Calculo 2 - resumo com exercícios

Calculo 2 - resumo com exercícios

(Parte 1 de 7)

Prof. Francisco Leal Moreira 2004/2

1. INTEGRAL INDEFINIDA1
1.1. EXERCÍCIOS DE REVISÃO1
1.2. RESPOSTAS2
2. INTEGRAÇÃO POR PARTES3
2.1. RESPOSTAS3
3. INTEGRAL DEFINIDA4
3.1. PROPRIEDADES BÁSICAS4
3.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA5
3.3. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS6
3.4INTEGRAIS IMPRÓPRIAS .................................................................................................................................7
3.4. RESPOSTAS7
4. CÁLCULO SOMATÓRIO8
4.1. NÚMERO DE PARCELAS DO SOMATÓRIO8
4.2. PROPRIEDADES DO SOMATÓRIO9
4.3. PRINCÍPIO DA INDUÇÃ O FINITA(PIF)1
4.4. SOMATÓRIO DUPLO12
4.5. RESPOSTAS13
5. SEQÜÊNCIAS E SÉRIES14
5.1. INTRODUÇÃO14
5.2. SEQÜÊNCIAS INFINITAS14
5.3. LIMITE DE UMA SEQÜÊNCIA15
5.4. SÉRIES INFINITAS15
5.5. SOMA DE UMA SÉRIE17
5.6. SÉRIES GEOMÉTRICAS17
5.7. PROPRIEDADES DAS SÉRIES18
5.8. TESTE DA DIVERGÊNCIA19
5.9. TESTE DA INTEGRAL19
5.10. SÉRIE-P19
5.1. TESTE DA COMPARAÇÃO DO LIMITE20
5.12. SÉRIES ALTERNADAS20
5.13. TESTE DE LEIBNIZ20
5.14. CONVERGÊNCIA ABSOLUTA E CONVERGÊNCIA CONDICIONAL21
5.15. TESTE DA RAZÃO21
5.16. SÉRIES DE POTÊNCIAS2
5.17. INTERVALO DE CONVERGÊNCIA2
5.18. FUNÇÕES DEFINIDAS POR SÉRIES DE POTÊNCIAS23
5.19. DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS24
5.20. SÉRIES DE TAYLOR24
5.21. RESPOSTAS26

6. OS CONJUNTOS 2

27

ÂE 3

27

6.1. O CONJUNTO 2

27
7. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS28
8. DERIVADAS PARCIAIS31
8.1. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS31
8.2. DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM32
8.3. HESSIANO32
8.4. RESPOSTAS3
9. MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS34
9.1. PONTO CRÍTICO DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS35
9.2. CRITÉRIO PARA CARACTERIZAÇÃO DE PONTOS EXTREMANTES35
9.3. MÁXIMOS E MÍNIMOS CONDICIONADOS36
9.4. RESPOSTAS37
DERIVAÇÃO
F F’= f
PRIMITIVAÇÃO

1. INTEGRAL INDEFINIDA 1.1. EXERCÍCIOS DE REVISÃO

E1) Encontre:

1)2dx1)(2x3ò- 2) xdx2.1x2ò- 3) xdx)4x3(52ò+
4) ò-2x5
xdx5) ò-4)x1(
dx6) ò+322)(x

xdx

7) ò-32x3
xdx8) ò-12x
9) ò+53)(2x

dx

10) dx

+-1) ò-dxe1x3 12) ò+1x

æ dxx3

14) ò-2x4

dx2

15) ò+dxxe332x

xdx20

17) dxe52x
ò18) òxe

2 dx

19) ò+dxe)2e(x25x2 20)òxdx3cos 21) òxdx5sen
2)ò+dx)1x3cos( 23)òdxxcosx2 24)ò+dx)x4x2(senx32
25)òxdxcosexsen 26)òxdxcos)x(sen5 27) xdxcos.xsenò
28)ò-3)xcos5(

xdxsen

1.2. RESPOSTAS

2) k
3) k
)4x3(62++
4) –kx52+- 5)k
6) k
7) k
8) k1x2+- 9) k
-
10) k
e3x+--1)k
12) k|1x|ln
13++
13)k
14) k|2x4|ln
+-15) k
16) 10ln(x2 +10) + k 17) 10ke2x
+18)k
+-
20) k
+21)k
+-
)1x3(sen++23) sen x2 + k 24)kx
++-
25) esen x+ k26)k
+27)k
+

28)k

Sabemos que [ f (x).g(x) ]’ = f(x).g’(x) + g(x).f ’(x) ou f(x).g’(x) = [ f(x) . g(x) ]’ – g (x). f ’(x)

2. INTEGRAÇÃO POR PARTES

Fazendo f(x) = u e g(x) = v, vem:

E1)Calcule :

1)òdxxex2)òxdxsenx 3)òxdxln
4)ò-xdxcos)1x2(5)òdxxlnx 6)òdxxlnx2
7)òdxxsecx28)ò+xdx2cos)1x( 9)òxdx3lnx

10)òdxxex4

E1) 1) xex – ex + k2) –xcos x + sen x + k 3)xln x – x + k
4) (2x – 1)sen x + 2cos x + k5)k

x4 xln

+-6)k
7) xtg x + ln | cos x | + k8)k
9) k
+-
Seja f uma função e F uma primitiva de f. A integral definida de f de a até b é o número real

3. INTEGRAL DEFINIDA representado por òb a f(x)dx e calculado por F(b) - F(a).

ò b a f(x)dx = ba[F(x)] = F(b) - F(a)

1)dxx
302ò2) dxx)(1
-

3.1. PROPRIEDADES BÁSICAS f(x)dx = 0 b) ò b a f(x)dx = - òa b f(x)dx c) ò b a c.f(x)dx = c.òb a f(x)dx, sendo c uma constante d) ò – b a g(x)]dx[f(x) = òb a f(x)dx ± ò b a g(x)dx e) ò b a f(x)dx =òc a f(x)dx + òb c f(x)dx, com a < c < b f) ò b a

E2)Calcule:

34dx)1x3x(2) ò-
25dx)1x2x3x3(3) ò++

4) dt t

-5) ò20
21)dx -(x x 6) ò

1t dt

5dx4) -(2x8) ò24
4dx6) -(2x9) ò+

32 dx 1) 8x(x

10) ò

du1) ò+2
dx12) du12u)u(2410
dx|1x|14) ò+-2
15) ò0
æ-17) ò-
dt|42t|18) ò

x dx

Seja f uma função continua em [a,b] com f(x) ‡ 0, "x [a,b].

3.2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA

y f
f(x+?x)
A1A2
f(x)
A3
A ?A
0 a x x +?x b x
A é a área da região hachurada, ?Aé o acréscimo que sofre a área A quando x recebe um acréscimo ?x
A3 £ ( A2 + A3 )£ (A1 + A2 + A3 )Û f(x).?x£?A£ f(x + x).?x Þ f(x) £

Vamos calcular a área da região situada entre o gráfico de f e o eixo das abscissas de a até b. ?x

?A£ f(x +?x)

0xlim fiD f(x) £0lim fiDx ?x

0xlim fiD f(x +?x ) Û f(x) £0lim fiDx ?x

£ f(x ) Þ0lim fiDx ?x

?A = f(x) Û A’ = f(x)

Então A é uma primitiva de f(x) , logo A = F(x) + k. Para x = a, A = 0 e k = -F(a), logo A = F(x) - F(a) Para calcular a área de a até b basta tomar x = b.

Para x = b, A = F(b) - F(a) = òb a f(x)dx

Se f é uma função continua e não negativa em [a,b], o númeroòb
f(x)dx representa a área da região

limitada pelo gráfico de f, pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b.

y
f
R
0 a b x
AR = òb

f(x)dx

Sejam f e g funções continuas em [a,b] , com f(x) ‡ g(x) , "x [a,b]. Se R é a região limitada pelos

3.3. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS gráficos de f, g, x=a e x=b então AR = òb a g(x)]dx-[f(x)

y
f
R
g
0 a b x
1) y=-x2 + 4 e y=0

E3)Calcule a área da região limitada por:

3) y=x, y=0, x=-2 e x=1
5) y=x2 + 1, y=2x - 2, x=-1 e x=2
7) y= x e y=x2
3.4INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
A integral imprópria de f sobre o intervalo ),a[+¥ é definida por òò¥fi
Se o resultado é um número real, dizemos que a integral imprópria converge.
Se o limite não existe ou é infinito, dizemos que a integral imprópria diverge.
1)ò¥
2)ò¥
dx3)ò¥
dx4)ò¥

2 dx

x5)ò¥
E1) 1) 92) 5

3.4. RESPOSTAS 32

92)
-3) 144 4)3
405) 3
46) 2ln
--7) 3
16-8)5
32-9) 15
41)54
712)6
713)
14)3
215)2- 16)
-17) 25 18)3

E3) 1) 3

2) 9 3)
4)
5) 9 6)
7)
8)

E4) 1) Converge, 1/2 2) Diverge 3) Diverge 4) Converge, 1/3 5) Diverge

Consideremos a seguinte soma indicada : 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + ... + 100
Podemos observar que cada parcela é um número par e portanto pode ser representada pela forma 2n,

4. CÁLCULO SOMATÓRIO neste caso, com n variando de 0 a 50. Esta soma pode ser representada abreviadamente por: å lê: “somatório de 2n com n variando de 0 a 50”.

A letra åque é o esse maiúsculo grego (sigma) é denominada sinal de somatório e é usada para

indicar uma soma de várias parcelas.

Seja {a1, a2, a3, ..., an} um conjunto de n números reais, o símbolo å

ia representa a sua soma,

isto é, å
ia= a1 + a2 + a3 ++ an.
Em å

ia:

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