Estudo de funções reais de várias variáveis

Estudo de funções reais de várias variáveis

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Estudo de fun c~oes reais de v arias vari aveis

So a Castro Gothen

Faculdade de Economia do Porto Setembro de 2002

Nestes apontamentos e feito o estudo de fun c~oes de v arias vari aveis. Sendo estas fun c~oes de dif cil representa c~ao gr a ca, este estudo destina-se a conhecer melhor a fun c~ao sem recurso ao gr a co. No entanto, s~ao tratados aspectos gr a cos, como as curvas de n vel e, sempre que poss vel, e explicado o signi cado geom etrico dos objectos estudados.

Sendo um texto de apoio para disciplinas de matem atica, n~ao se pretende introduzir nenhuma aplica c~ao de car acter econ omico. Estas aplica c~oes ser~ao certamente muito melhor apresentadas nas disciplinas da area apropriada. Para os mais interessados em aplica c~oes ca a referencia do livro de A.C. Chiang [2], em cujas sec c~oes 7.5, 8.6 e 1.6 se podem encontrar aplica c~oes de assuntos como deriva c~ao, fun c~oes impl citas e extremos, respectivamente.

Em rela c~ao ao livro de A.C. Chiang, uma chamada de aten c~ao para os alunos, da licenciatura em Economia, que v~ao ser avaliados sobre os assuntos aqui tratados: a avalia c~ao e feita sobre este texto e n~ao sobre o livro de A.C. Chiang. Assim, quaisquer de ni c~oes, resultados ou nota c~ao de algum modo utilizados na avalia c~ao s~ao os que constam no presente texto.

Ao contr ario da maior parte dos produtos dos dias de hoje, estas notas s~ao oferecidas sem qualquer garantia. Por esse motivo, coment arios e correc c~oes s~ao muito bem-vindos.

Finalmente, resta agradecer ao Senhor Professor Doutor Francisco Dur~ao cujos apontamentos de aula foram preciosos para estruturar estas notas. Agrade co tamb em aos Mestres Manuela Aguiar e Filipe Antunes o terem lido e comentado a vers~ao original.

A presente vers~ao bene ciou dos coment arios do meu colega Paulo Sousa, a quem eu muito agrade co.

Indice 1 O espa co vectorial Rn 3 2 Fun c~oes reais de v arias vari aveis reais 4 3 Limites e continuidade 6

4.1 Derivadas parciais12
4.2 Derivada de uma func~ao real de 2 variaveis reais16
4.3 Derivadas direccionais26
7.1 Extremos livres37
7.2 Extremos condicionados41
7.3 Breve introduc~ao as condic~oes de Kuhn-Tucker45

7 Extremos de fun c~oes de v arias vari aveis 37 8 Alguns exerc cios 46 9 Bibliogra a 5

1 O espa co vectorial R n

De nimos Rn como o conjunto seguinte ou seja, como o conjunto dos pontos com n coordenadas reais. Representamos os pontos de Rn da seguinte forma ou, simplesmente como X 2 Rn quando n~ao houver necessidade de usar coordenadas explicitamente. E sabido que se trata de um espa co vectorial real com as opera c~oes de adi c~ao ou composi c~ao interna

multiplica c~ao ou composi c~ao externa v alidas para todos os X;Y 2 Rn e todos os 2 R. Sendo um espa co vectorial, utilizamos frequentemente a designa c~ao de vectores para os elementos de R n e a de escalares para os elementos do corpo R.

Observa c~ao. Se n = 1, as designa c~oes acima podem tornar-se confusas, uma vez que, tanto os vectores como os escalares, s~ao elementos de um mesmo conjunto. No entanto, estas designa c~oes permitem distinguir as diferentes propriedades dos reais quando os consideramos um corpo ou um espa co vectorial.

Dados dois vectores

De nimos a norma de um vector X como sendo o n umero real n~ao negativo associado a X da seguinte maneira kX k= p X:X:

A distancia entre os dois pontos de Rn de nidos por X e Y e dada por

Sendo a distancia de nida a custa da norma, e evidente que esta vai ser sempre positiva ou nula.

Vamos agora fazer o estudo de fun c~oes reais de v arias vari aveis reais. Note-se que este estudo tem necessariamente que incluir todos os resultados relativos a fun c~oes reais de vari avel real.

De ni c~ao 2.1. Seja D Rn um subconjunto. Uma fun c~ao real de n

Ao conjunto D chamamos dom nio de f e de nimos o contradom nio de f como sendo o

Exerc cio 1. Represente gra camente o dom nio da fun c~ao do exemplo anterior. ./

Por vezes, utilizamos Df para representar o dom nio de f e assim distinguir entre dom nios de diferentes fun c~oes. E tamb em frequente o uso da para designar o valor que a fun c~ao f toma no ponto (x1;:::;xn). Neste caso, distinguimos entre as vari aveis independentes (x1;:::;xn) e a vari avel dependente z. Utilizaremos as diferentes nota c~oes conforme for mais apropriado.

Observa c~ao. Uma vez que apenas faz sentido estudar as fun c~oes em pontos do seu dom nio, encontrar este dom nio e o primeiro passo no estudo de fun c~oes.

Mais adiante, deixaremos de fazer referencia expl cita a Df, referindo apenas o espa co Rn em que este se encontra. E claro que qualquer resultado a seguir mencionado apenas e v alido em Df.

Todas estas de ni c~oes s~ao conhecidas se n = 1. Neste caso, o gr a co e uma curva em R2 que sabemos desenhar. No caso de f ser uma fun c~ao de duas vari aveis, j a o gr a co n~ao e t~ao f acil de desenhar, uma vez que e uma superf cie em R3. Para fun c~oes de mais vari aveis torna-se imposs vel o seu esbo co gr a co. Para termos uma ideia de como e este gr a co sem, no entanto, sermos capazes de o desenhar, recorremos as superf cies de n vel.

De ni c~ao 2.3. A superf cie de n vel c, com c 2 R constante, da fun c~ao f : D Rn ! R e o conjunto dos pontos de D cuja imagem e igual ao valor constante c, ou seja,

Assim, para uma fun c~ao de duas vari aveis, as superf cies de n vel s~ao curvas em R2. Por este motivo, muitas vezes utilizamos a designa c~ao curva de n vel neste caso. Para estas fun c~oes, as curvas de n vel equivalem a fazer um corte no gr a co de f, em R3, por um plano horizontal de altura c.

Exemplo 2. Seja f : R2 ! R a fun c~ao de nida por

As superf cies de n vel c de f s~ao vazias se c < 0, s~ao um ponto (a origem) se c = 0 e s~ao circunferencias de raio p c para c > 0,

As superf cies de n vel c de f s~ao as rectas bissectrizes dos quatro quadrantes se c = 0 e s~ao hip erboles que intersectam o eixo horizontal se c > 0 e o eixo vertical se c < 0,

3 Limites e continuidade

Vamos estender as fun c~oes reais de n vari aveis as no c~oes j a conhecidas de limite e continuidade. De forma an aloga ao que acontece com fun c~oes de uma vari avel, temos a seguinte

De ni c~ao 3.1. Dizemos que a fun c~ao f : Rn ! R tem limite igual a L no ponto X0 2 Rn se f(X) est a arbitrariamente pr oximo de L para todos os pontos X no dom nio de f su cientemente pr oximos de X0, ou seja,

Uma observa c~ao importante e a de que, na de ni c~ao acima, n~ao exigimos que o ponto X0 no qual estamos a calcular o limite seja um ponto do dom nio da fun c~ao. No entanto, se n~ao houver pontos do dom nio de f a uma distancia de X0 menor que , n~ao faz sentido de nir o limite da fun c~ao neste ponto X0 desta maneira. Assim, falamos de limite no ponto X0 apenas quando, qualquer que seja , haja pontos do dom nio de f, diferentes de X0, a uma distancia de X0 menor que , isto e,

Aos pontos X0 que veri cam esta condi c~ao chamamos pontos de acumula c~ao. Se, pelo contr ario, X0 ∈ Df e tal que isto e, n~ao h a pontos em Df t~ao pr oximos de X0 quanto se queira, dizemos que X0 e um ponto isolado. Ao seguinte conjunto chamamos vizinhan ca de X0 de raio em Df, isto e, trata-se do conjunto dos pontos que distam menos de do ponto X0. Para pontos isolados nos quais a fun c~ao est a de nida, de nimos o limite, por conven c~ao, como sendo lim

Exemplo 4. No dom nio da fun c~ao real de duas vari aveis de nida por

apenas existem pontos de acumula c~ao. Temos e todos os pontos do eixo vertical tem pontos de Df t~ao pr oximos quanto se queira.

Todos os pontos do dom nio s~ao pontos de acumula c~ao e, al em destes, todos os pontos do eixo vertical s~ao pontos de acumula c~ao do dom nio. No conjunto o ponto ( 1; 1) e um ponto isolado. Todos os outros pontos do conjunto s~ao pontos de acumula c~ao. |

De ni c~ao 3.2. Dizemos que a fun c~ao f : Rn ! R tem limite in nito no ponto X0 2 Df se f(X) se torna arbitrariamente grande para todos os pontos X no dom nio de f su cientemente pr oximos de X0, ou seja,

Escrevemos ent~ao

Assim como para fun c~oes reais de uma vari avel podemos falar de limite a esquerda e limite a direita, tamb em para fun c~oes de mais vari aveis podemos falar do limite restrito a uma direc c~ao determinada ou a um qualquer caminho contido no dom nio de f. A estes limites chamamos limites trajectoriais ou limites ao longo de um caminho. Escrevemos

sendo C o caminho ou a traject oria que de ne a aproxima c~ao ao ponto X0. E claro que, sendo a de ni c~ao de limite independente do modo como os pontos

X 2 Df est~ao pr oximos de X0, se existir limite L neste ponto, existem todos os limites trajectoriais e s~ao iguais a L. O inverso tamb em e verdade, isto e, se existirem e forem iguais a L todos os limites trajectoriais em X0 ent~ao tamb em existe e e igual a L o limite em X0. Mas, sendo o n umero de limites trajectoriais num ponto em Rn; n > 2, in nito, n~ao podemos utilizar este facto para estabelecer a existencia de limite. Os limites trajectoriais s~ao uteis, em especial, para obter o resultado inverso, ou seja, a n~ao existencia de limite num ponto. Com efeito, se dois limites trajectoriais s~ao diferentes ou, pelo menos um deles n~ao existe, num ponto X0 ent~ao n~ao existe limite nesse ponto.

Exemplo 5. Mostremos que n~ao existe

Ao longo do eixo horizontal, isto e, da recta de equa c~ao y = 0 temos

Mas, ao longo do eixo vertical, ou seja, da recta x = 0

Logo, o limite da fun c~ao dada n~ao existe na origem. 8

Vejamos, a t tulo de curiosidade, que pod amos ter utilizado qualquer recta que passe pela origem. Calculemos o limite ao longo da recta gen erica de equa c~ao y = ax com a ∈ R, isto e, da recta com a direc c~ao do vector U = (1;a). O

varia com a 2 R logo, o limite n~ao existe. |

Este exemplo ilustra o caso mais simples de limite trajectorial que e aquele em que o caminho e uma recta que passa por X0. Dado que a recta e determinada pela direc c~ao de um vector, U, utiliza-se, neste caso, a designa c~ao de limite direccional.

Apesar de n~ao servirem para provar a existencia de limite num ponto, o c alculo dos limites trajectoriais pode levar-nos a crer que tal limite existe e a encontrar o valor desse limite.

Exemplo 6. Para encontrar o valor do limite na origem de

comecemos por calcular este limite ao longo de rectas da forma y = ax com a 2 R. Obtemos

o que nos garante que, caso o limite exista, este e o seu valor. Vamos mostrar que assim e. Queremos encontrar > 0 tal que se

Lema 3.1 (Propriedades dos limites). As propriedades dos limites s~ao as mesmas que para fun c~oes reais de vari avel real.

Exerc cio 2. Enuncie e demonstre as propriedades dos limites para fun c~oes reais de duas vari aveis. [Sugest~ao: Procure na bibliogra a.] ./ lim

ou seja,

Note-se que nesta de ni c~ao n~ao e necess ario exigir a existencia de pontos do dom nio de f pr oximos de X0. Com efeito, a condi c~ao da de ni c~ao de continuidade veri ca-se trivialmente em pontos isolados pelo que, qualquer

Usando as desigualdades acima, obtemos

Observa c~ao. Para estudar a continuidade num ponto X0, podemos fazer uso tamb em dos limites trajectoriais. Assim, se ao aproximarmos o ponto X0 por um dado caminho n~ao obtivermos como limite o valor f(X0), garantimos a descontinuidade da fun c~ao nesse ponto.

Exerc cio 3. Mostrar que tem uma descontinuidade na origem a fun c~ao de - nida em R2 por

Uma vez que a ultima desigualdade implica ca provado o teorema. }

Este resultado permite-nos concluir a continuidade, por exemplo, da func~ao h(x;y) = ln(x + y2), usando o exemplo anterior e a continuidade, que j a conhecemos, da fun c~ao logaritmo no seu dom nio.

O teorema seguinte, apresentado sem demonstra c~ao, permite concluir, por exemplo, que a fun c~ao f(x;y) = x2=(x2 + y2) e cont nua.

Neste cap tulo, vamos estabelecer o conceito de derivada de uma fun c~ao de v arias vari aveis. Conv em ter sempre em mente a raz~ao pela qual nos interessa saber derivar. Assim como nas fun c~oes reais de vari avel real, a derivada da fun c~ao nos d a informa c~ao sobre o crescimento da fun c~ao e pontos extremos, tamb em aqui a derivada nos vai dar informa c~ao sobre a forma do gr a co da fun c~ao. Note-se que, sendo muito mais dif cil desenhar gr a cos de fun c~oes de v arias vari aveis, a derivada adquire aqui um papel ainda mais importante. Analogamente ao que acontece em fun c~oes de uma vari avel, as fun c~oes diferenci aveis ou deriv aveis de mais vari aveis s~ao aquelas cujo gr a co n~ao tem dobras nem cantos.

4.1 Derivadas parciais

Este conceito requer apenas conhecimentos relativos a fun c~oes de uma vari avel. No que se segue, n~ao vamos explicitar o dom nio das fun c~oes que consideramos. Assim, supomos que as fun c~oes tem dom nio Rn. Caso tal n~ao aconte ca, os resultados mantem-se v alidos em Df Rn.

De ni c~ao 4.1. Seja f : Rn ! R uma fun c~ao de n vari aveis, x1;x2;:::;xn. A derivada parcial de f em ordem a xi e uma fun c~ao das mesmas n

E claro que a derivada parcial s o existe se existir e for nito o limite da de ni c~ao. Da de ni c~ao de derivada parcial, e imediato reconhecer que se trata de calcular a derivada de uma fun c~ao real de vari avel real xi, sendo as restantes componentes consideradas constantes nesta nova fun c~ao. Podemos, ent~ao, utilizar todas as regras de deriva c~ao em R para calcular derivadas parciais.

Exemplo 8. A fun c~ao tem como derivada parcial em ordem a x a fun c~ao

Para entendermos o signi cado geom etrico desta de ni c~ao, consideremos a fun c~ao de duas vari aveis, f : R2 ! R tal que z = f(x;y). Utilizando o ponto (x0;y0) 2 R2, de nimos duas fun c~oes reais de uma vari avel

Com esta nota c~ao, temos

Fazendo variar o ponto (x0;y0), obtemos duas fun c~oes nas vari aveis x e y, a saber

Em termos do gr a co das fun c~oes, a fun c~ao g tem o gr a co que resulta da intersec c~ao do gr a co de f com o plano vertical y = y0. Analogamente, o gr a co de h obt em-se intersectando o gr a co de f com o plano vertical x = x0. Assim sendo, como as derivadas das fun c~oes g e h correspondem a varia c~ao de cada uma das fun c~oes, as derivadas parciais indicam a varia c~ao de f ao longo das curvas que constituem os gr a cos de g e h, nos planos que os contem.

Exemplo 9. Dada a fun c~ao real de duas vari aveis f(x;y) = x2y + y3, as suas derivadas parciais s~ao

Uma vez que a derivada parcial em ordem a y e sempre positiva, sabemos que a fun c~ao f e sempre crescente em qualquer plano vertical x = a ∈ R. As derivadas parciais foram obtidas por deriva c~ao directa usando as regras de deriva c~ao de fun c~oes de uma vari avel. Vejamos como calcular fx com a de ni c~ao.

= lim

Como nos diz a de ni c~ao de derivada parcial, esta e uma fun c~ao real nas mesmas vari aveis que a fun c~ao f de que partimos. Podemos ent~ao pensar em calcular derivadas parciais para esta fun c~ao derivada parcial, fxi = @f=@xi, obtendo novas fun c~oes reais nas mesmas vari aveis. Chamamos a estas ultimas derivadas parciais, derivadas parciais de 2a ordem. Para uma fun c~ao f de duas vari aveis existem 4 derivadas parciais de 2a ordem, a saber

Para obter derivadas parciais de ordem superior, basta calcular as derivadas parciais das fun c~oes obtidas acima e iterar o processo tantas vezes quantas as necess arias.

Exemplo 10. Dada a fun c~ao real de duas vari aveis f(x;y) = senxsen2 y, temos as seguintes derivadas parciais

Derivando cada uma destas fun c~oes em ordem a cada uma das vari aveis, obtemos as derivadas parciais de 2a ordem

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