Estudo de funções reais de várias variáveis, Notas de estudo de Física

Baixe Estudo de funções reais de várias variáveis e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity! Estudo de funções reais de várias variáveis Sofia Castro Gothen Faculdade de Economia do Porto Setembro de 2002 Introdução Nestes apontamentos é feito o estudo de funções de várias variáveis. Sendo estas funções de dif́ıcil representação gráfica, este estudo destina-se a co- nhecer melhor a função sem recurso ao gráfico. No entanto, são tratados aspectos gráficos, como as curvas de ńıvel e, sempre que posśıvel, é explicado o significado geométrico dos objectos estudados. Sendo um texto de apoio para disciplinas de matemática, não se pretende introduzir nenhuma aplicação de carácter económico. Estas aplicações serão certamente muito melhor apresentadas nas disciplinas da área apropriada. Para os mais interessados em aplicações fica a referência do livro de A.C. Chiang [2], em cujas secções 7.5, 8.6 e 11.6 se podem encontrar aplicações de assuntos como derivação, funções impĺıcitas e extremos, respectivamente. Em relação ao livro de A.C. Chiang, uma chamada de atenção para os alunos, da licenciatura em Economia, que vão ser avaliados sobre os assuntos aqui tratados: a avaliação é feita sobre este texto e não sobre o livro de A.C. Chiang. Assim, quaisquer definições, resultados ou notação de algum modo utilizados na avaliação são os que constam no presente texto. Ao contrário da maior parte dos produtos dos dias de hoje, estas notas são oferecidas sem qualquer garantia. Por esse motivo, comentários e correcções são muito bem-vindos. Finalmente, resta agradecer ao Senhor Professor Doutor Francisco Durão cujos apontamentos de aula foram preciosos para estruturar estas notas. Agradeço também aos Mestres Manuela Aguiar e Filipe Antunes o terem lido e comentado a versão original. A presente versão beneficiou dos comentários do meu colega Paulo Sousa, a quem eu muito agradeço. 1 A distância entre os dois pontos de Rn definidos por X e Y é dada por ‖ X − Y ‖= √ (X − Y ).(X − Y ). Sendo a distância definida à custa da norma, é evidente que esta vai ser sempre positiva ou nula. 2 Funções reais de várias variáveis reais Vamos agora fazer o estudo de funções reais de várias variáveis reais. Note-se que este estudo tem necessariamente que incluir todos os resultados relativos a funções reais de variável real. Definição 2.1. Seja D ⊂ Rn um subconjunto. Uma função real de n variáveis reais é uma lei que associa a cada X = (x1, . . . , xn) ∈ D ⊂ Rn um único número real f : D → R (x1, . . . , xn) → f(x1, . . . , xn). Ao conjunto D chamamos domı́nio de f e definimos o contradomı́nio de f como sendo o {f(x1, . . . , xn) : (x1, . . . , xn) ∈ D}. ♠ Exemplo 1. O domı́nio da função de duas variáveis definida por f(x, y) = y √ 2 + x é D = {(x, y) ∈ R2 : x > −2} ⊂ R2. ♣ Exerćıcio 1. Represente graficamente o domı́nio da função do exemplo ante- rior. ./ Por vezes, utilizamos Df para representar o domı́nio de f e assim dis- tinguir entre domı́nios de diferentes funções. É também frequente o uso da notação z = f(x1, . . . , xn) para designar o valor que a função f toma no ponto (x1, . . . , xn). Neste caso, distinguimos entre as variáveis independentes (x1, . . . , xn) e a variável depen- dente z. Utilizaremos as diferentes notações conforme for mais apropriado. 4 Observação. Uma vez que apenas faz sentido estudar as funções em pontos do seu domı́nio, encontrar este domı́nio é o primeiro passo no estudo de funções. Mais adiante, deixaremos de fazer referência expĺıcita a Df , referindo apenas o espaço Rn em que este se encontra. É claro que qualquer resultado a seguir mencionado apenas é válido em Df . Definição 2.2. O gráfico de uma função f : D ⊂ Rn → R é o conjunto dos pontos de Rn+1 da forma (x1, . . . , xn, z) tais que (x1, . . . , xn) ∈ D e z = f(x1, . . . , xn), isto é, {(x1, . . . , xn, z) ∈ Rn+1 : z = f(x1, . . . , xn) ∧ (x1, . . . , xn) ∈ D}. ♠ Todas estas definições são conhecidas se n = 1. Neste caso, o gráfico é uma curva em R2 que sabemos desenhar. No caso de f ser uma função de duas variáveis, já o gráfico não é tão fácil de desenhar, uma vez que é uma superf́ıcie em R3. Para funções de mais variáveis torna-se imposśıvel o seu esboço gráfico. Para termos uma ideia de como é este gráfico sem, no entanto, sermos capazes de o desenhar, recorremos às superf́ıcies de ńıvel. Definição 2.3. A superf́ıcie de ńıvel c, com c ∈ R constante, da função f : D ⊂ Rn → R é o conjunto dos pontos de D cuja imagem é igual ao valor constante c, ou seja, Nc = {(x1, . . . , xn) ∈ D : f(x1, . . . , xn) = c} ⊂ D. ♠ Assim, para uma função de duas variáveis, as superf́ıcies de ńıvel são curvas em R2. Por este motivo, muitas vezes utilizamos a designação curva de ńıvel neste caso. Para estas funções, as curvas de ńıvel equivalem a fazer um corte no gráfico de f , em R3, por um plano horizontal de altura c. Exemplo 2. Seja f : R2 → R a função definida por f(x, y) = x2 + y2. As superf́ıcies de ńıvel c de f são vazias se c < 0, são um ponto (a origem) se c = 0 e são circunferências de raio √ c para c > 0, Nc = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = c}. ♣ 5 Exemplo 3. Seja f : R2 → R a função definida por f(x, y) = x2 − y2. As superf́ıcies de ńıvel c de f são as rectas bissectrizes dos quatro quadrantes se c = 0 e são hipérboles que intersectam o eixo horizontal se c > 0 e o eixo vertical se c < 0, Nc = {(x, y) ∈ R2 : x2 − y2 = c}. ♣ 3 Limites e continuidade Vamos estender às funções reais de n variáveis as noções já conhecidas de limite e continuidade. De forma análoga ao que acontece com funções de uma variável, temos a seguinte Definição 3.1. Dizemos que a função f : Rn → R tem limite igual a L no ponto X0 ∈ Rn se f(X) está arbitrariamente próximo de L para todos os pontos X no domı́nio de f suficientemente próximos de X0, ou seja, ∀ > 0 ∃δ > 0 : X ∈ Df \ {X0} ∧ ‖ X −X0 ‖< δ ⇒ |f(X) − L| < . Escrevemos então lim X→X0 f(X) = L. ♠ Uma observação importante é a de que, na definição acima, não exigimos que o ponto X0 no qual estamos a calcular o limite seja um ponto do domı́nio da função. No entanto, se não houver pontos do domı́nio de f a uma distância de X0 menor que δ, não faz sentido definir o limite da função neste ponto X0 desta maneira. Assim, falamos de limite no ponto X0 apenas quando, qualquer que seja δ, haja pontos do domı́nio de f , diferentes de X0, a uma distância de X0 menor que δ, isto é, ∀δ > 0 ∃X ∈ Df \ {X0} : ‖ X −X0 ‖< δ. 6 Vejamos, a t́ıtulo de curiosidade, que pod́ıamos ter utilizado qualquer recta que passe pela origem. Calculemos o limite ao longo da recta genérica de equação y = ax com a ∈ R, isto é, da recta com a direcção do vector U = (1, a). O lim x→0 f(x, ax) = lim x→0 x2 x2 + a2x2 = 1 1 + a2 varia com a ∈ R logo, o limite não existe. ♣ Este exemplo ilustra o caso mais simples de limite trajectorial que é aquele em que o caminho é uma recta que passa por X0. Dado que a recta é deter- minada pela direcção de um vector, U , utiliza-se, neste caso, a designação de limite direccional. Apesar de não servirem para provar a existência de limite num ponto, o cálculo dos limites trajectoriais pode levar-nos a crer que tal limite existe e a encontrar o valor desse limite. Exemplo 6. Para encontrar o valor do limite na origem de f(x, y) = x2y2 x2 + y2 , comecemos por calcular este limite ao longo de rectas da forma y = ax com a ∈ R. Obtemos lim x→0 x2a2x2 x2 + a2x2 = 0, o que nos garante que, caso o limite exista, este é o seu valor. Vamos mostrar que assim é. Queremos encontrar δ > 0 tal que se ‖ (x, y) ‖< δ então |f(x, y)| < . Temos |f(x, y)| = | x 2y2 x2 + y2 | < |(x 2 + y2)(x2 + y2) x2 + y2 | = x2 + y2 =‖ (x, y) ‖2< δ2 < . Logo, basta escolher δ < √ , por exemplo, δ = √  2 . ♣ 9 Lema 3.1 (Propriedades dos limites). As propriedades dos limites são as mesmas que para funções reais de variável real. Exerćıcio 2. Enuncie e demonstre as propriedades dos limites para funções reais de duas variáveis. [Sugestão: Procure na bibliografia.] ./ Definição 3.3. Uma função f : Rn → R diz-se cont́ınua no ponto X0 ∈ Df se lim X→X0 f(X) = f(X0), ou seja, ∀ > 0 ∃δ > 0 : X ∈ Df ∧ ‖ X −X0 ‖< δ ⇒ |f(X) − f(X0)| < . Se f não é cont́ınua em X0, diz-se descont́ınua em X0 ou que tem uma descontinuidade em X0. ♠ Note-se que nesta definição não é necessário exigir a existência de pontos do domı́nio de f próximos de X0. Com efeito, a condição da definição de continuidade verifica-se trivialmente em pontos isolados pelo que, qualquer função é sempre cont́ınua neste tipo de pontos. Definição 3.4. Uma função f : Rn → R diz-se cont́ınua em D1, D1 ⊂ Df , se é cont́ınua em todos os pontos de D1. Uma função f : Rn → R diz-se cont́ınua se é cont́ınua em todos os pontos do seu domı́nio, isto é, se ∀X0 ∈ Df ∀ > 0 ∃δ > 0 : X ∈ Df ∧ ‖ X −X0 ‖< δ ⇒ |f(X) − f(X0)| < . ♠ Exemplo 7. A função f : R2 → R definida por f(x, y) = x+ y2 é cont́ınua. Temos |x− x0| 6 √ (x− x0)2 + (y − y0)2 =‖ X −X0 ‖ e |y − y0| 6 √ (x− x0)2 + (y − y0)2 =‖ X −X0 ‖ . 10 Usando as desigualdades acima, obtemos |f(X) − f(X0)| = |x+ y2 − x0 − y20| = |(x− x0) + y2 − y20| = = |(x− x0) + (y − y0)2 + 2y0(y − y0)| 6 6 ‖ X −X0 ‖ + ‖ X −X0 ‖2 +2|y0| ‖ X −X0 ‖6 6 δ + δ2 + 2|y0|δ = δ(δ + 1 + 2|y0|). Queremos escolher δ tal que δ(δ + 1 + 2|y0|) < . Se δ 6 1 então δ2 6 δ e δ(δ + 1 + 2|y0|) < 2δ(1 + |y0|). Para esta última expressão ser menor que  escolhemos, por exemplo, δ = min{1,  4(1 + |y0|) }. ♣ Observação. Para estudar a continuidade num ponto X0, podemos fazer uso também dos limites trajectoriais. Assim, se ao aproximarmos o ponto X0 por um dado caminho não obtivermos como limite o valor f(X0), garantimos a descontinuidade da função nesse ponto. Exerćıcio 3. Mostrar que tem uma descontinuidade na origem a função defi- nida em R2 por f(x, y) = { x2 x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0) 1 se (x, y) = (0, 0) . ./ Teorema 3.1. Sejam f : Rn → R e g : R → R funções cont́ınuas em X0 e f(X0), respectivamente. A função g ◦ f : Rn → R é também cont́ınua no ponto X0. Demonstração: Seja  > 0. Como g é cont́ınua em YX0 = f(X0), existe δg > 0 tal que |Y − YX0| = |Y − f(X0)| < δg ⇒ |g(Y ) − g(YX0)| = |g(Y ) − g(f(X0)| < . Fixemos δg nas condições anteriores. Como f é cont́ınua em X0, para este δg, existe δ > 0 tal que ‖ X −X0 ‖< δ ⇒ |f(X) − f(X0)| < δg. 11 e ∂f ∂y (x0, y0) = fy(x0, y0) = h ′(y0). Fazendo variar o ponto (x0, y0), obtemos duas funções nas variáveis x e y, a saber fx(x, y) = ∂f ∂x (x, y) e fy(x, y) = ∂f ∂y (x, y). Em termos do gráfico das funções, a função g tem o gráfico que resulta da intersecção do gráfico de f com o plano vertical y = y0. Analogamente, o gráfico de h obtém-se intersectando o gráfico de f com o plano vertical x = x0. Assim sendo, como as derivadas das funções g e h correspondem à variação de cada uma das funções, as derivadas parciais indicam a variação de f ao longo das curvas que constituem os gráficos de g e h, nos planos que os contêm. Exemplo 9. Dada a função real de duas variáveis f(x, y) = x2y + y3, as suas derivadas parciais são fx(x, y) = ∂f ∂x (x, y) = 2xy e fy(x, y) = ∂f ∂y (x, y) = x2 + 3y2. Uma vez que a derivada parcial em ordem a y é sempre positiva, sabemos que a função f é sempre crescente em qualquer plano vertical x = a ∈ R. As derivadas parciais foram obtidas por derivação directa usando as regras de derivação de funções de uma variável. Vejamos como calcular fx com a definição. ∂f ∂x (x0, y0) = lim h→0 f(x0 + h, y0) − f(x0, y0) h = = lim h→0 (x0 + h) 2y0 + y 3 0 − x20y0 − y30 h = = lim h→0 x20y0 + 2x0y0h + y0h 2 − x20y0 h = = lim h→0 (2x0y0 + y0h) = 2x0y0. ♣ Como nos diz a definição de derivada parcial, esta é uma função real nas mesmas variáveis que a função f de que partimos. Podemos então pensar em calcular derivadas parciais para esta função derivada parcial, fxi = ∂f/∂xi, 14 obtendo novas funções reais nas mesmas variáveis. Chamamos a estas últimas derivadas parciais, derivadas parciais de 2 a ¯ ordem. Para uma função f de duas variáveis existem 4 derivadas parciais de 2 a ¯ ordem, a saber ∂2f ∂x2 = ∂ ∂x ( ∂f ∂x ) = (fx)x = fxx ∂2f ∂y∂x = ∂ ∂y ( ∂f ∂x ) = (fx)y = fxy ∂2f ∂x∂y = ∂ ∂x ( ∂f ∂y ) = (fy)x = fyx ∂2f ∂y2 = ∂ ∂y ( ∂f ∂y ) = (fy)y = fyy. Para obter derivadas parciais de ordem superior, basta calcular as deri- vadas parciais das funções obtidas acima e iterar o processo tantas vezes quantas as necessárias. Exemplo 10. Dada a função real de duas variáveis f(x, y) = sen x sen2 y, temos as seguintes derivadas parciais ∂f ∂x (x, y) = cos x sen2 y e ∂f ∂y (x, y) = 2 sen x sen y cos y = sen x sen(2y). Derivando cada uma destas funções em ordem a cada uma das variáveis, obtemos as derivadas parciais de 2 a ¯ ordem ∂2f ∂x2 (x, y) = − sen x sen2 y, ∂2f ∂y2 (x, y) = 2 sen x cos(2y), ∂2f ∂x∂y (x, y) = cos x sen(2y) e ∂2f ∂y∂x (x, y) = 2 cos x sen y cos y = cos x sen(2y). ♣ Exerćıcio 4. Calcule as derivadas parciais de 3 a ¯ ordem da função f do e- xemplo anterior. ./ No exemplo acima, verificamos que as derivadas de 2 a ¯ ordem, em ordem às duas variáveis são iguais. Vejamos que isso não acontece por acaso. 15 Teorema 4.1 (Teorema de Schwarz). Se f é uma função real de duas variáveis reais de domı́nio Df , cujas derivadas parciais fx, fy e fxy existem numa vizinhança centrada num ponto (x0, y0) ∈ Df e são cont́ınuas neste ponto, então existe também fyx(x0, y0) e ∂2f ∂x∂y (x0, y0) = ∂2f ∂y∂x (x0, y0). A demonstração deste teorema pode ser encontrada em A. A. Breda e J. N. Costa [1], p.46. O Teorema de Schwarz aparece por vezes enunciado na seguinte forma: Teorema 4.2. Se f é uma função real de duas variáveis reais de domı́nio Df , cujas derivadas parciais fyx e fxy existem numa vizinhança centrada num ponto (x0, y0) ∈ Df e são cont́ınuas neste ponto, então ∂2f ∂x∂y (x0, y0) = ∂2f ∂y∂x (x0, y0). 4.2 Derivada de uma função real de 2 variáveis reais Por analogia com a derivada de funções de uma variável, pretendemos que a derivada de uma função de duas variáveis num ponto dê alguma indicação sobre a variação da função e, ao mesmo tempo constitua uma boa apro- ximação da função em pontos próximos. Se para funções reais de variável real, a recta tangente à curva que constitui o gráfico da função no ponto x0 é uma boa aproximação da função para pontos próximos de x0, vamos definir derivada de uma função de duas variáveis de modo a que o plano tangente à superf́ıcie que constitui o gráfico da função seja a “boa aproximação” que procuramos. Definição 4.2. Seja f : R2 → R. Dizemos que f é derivável ou dife- renciável no ponto (x0, y0) ∈ Df se ambas as derivadas parciais de 1a¯ ordem existem em (x0, y0) e se lim (x,y)→(x0,y0) |f(x, y) − f(x0, y0) − ∂f∂x(x0, y0)(x− x0) − ∂f ∂y (x0, y0)(y − y0)| ‖ (x, y) − (x0, y0) ‖ = 0. Por outras palavras, dizemos que f é derivável se a expressão f(x0, y0) + ∂f ∂x (x0, y0)(x− x0) + ∂f ∂y (x0, y0)(y − y0) é uma boa aproximação de f para pontos próximos de (x0, y0). ♠ 16 Exemplo 12. O plano tangente ao gráfico de f(x, y) = x2 + y4 + exy no ponto (1, 0, f(1, 0)) é dado pela equação z = 2x + y. Comecemos por calcular o valor da função no ponto em causa: f(1, 0) = 1 + 0 + 1 = 2. As derivadas parciais no ponto considerado são ∂f ∂x (1, 0) = (2x + yexy)|(1,0) = 2 e ∂f ∂y (1, 0) = (4y3 + xexy)|(1,0) = 1, donde a equação do plano tangente é z = 2(x− 1) + 1(y − 0) + 2. ♣ Exerćıcio 6. Calcule a função derivada da função do exemplo anterior no ponto (1, 0). ./ Exemplo 13. A função f(x, y) = x+ y é derivável no ponto (1, 0) já que lim (x,y)→(1,0) |f(x, y) − f(1, 0) − ∂f ∂x (1, 0)(x− 1) − ∂f ∂y (1, 0)(y − 0)| ‖ (x, y) − (1, 0) ‖ = = lim (x,y)→(1,0) |f(x, y) − 1 − 1(x− 1) − 1(y − 0)| √ (x− 1)2 + y2 = = lim (x,y)→(1,0) 0 √ (x− 1)2 + y2 = 0. A derivada de f neste ponto é a função real de duas variáveis Df(1, 0)(u, v) = (1, 1).(u, v) = u+ v. De notar que a derivada é a própria função. Isto acontece com todas as funções lineares. Geometricamente, o gráfico da função f , quando esta é uma função linear de duas variáveis, é um plano. Logo, a melhor aproximação ao gráfico da função, isto é, o plano tangente ao gráfico da função, é o próprio gráfico. Assim, a derivada é a própria função. ♣ 19 Exerćıcio 7. Calcule a derivada da função f(x, y) = x+ y+1 no ponto (1, 0) e determine a equação do plano tangente ao gráfico da função neste ponto. ./ Este último exemplo permite também concluir que a utilização da defini- ção para mostrar que uma função é derivável pode conduzir a cálculos muito complicados. Assim, vamos introduzir alguns resultados que permitem, em alguns casos, concluir da derivabilidade ou não de uma função sem recorrer à definição. Vejamos, antes de mais, que a existência de derivadas parciais não é condição suficiente para a existência de derivada de uma função. No entanto, é claro que se não existirem derivadas parciais, a função não é derivável. Esta conclusão é imediata a partir da definição. Exemplo 14. A função f de duas variáveis definida por f(x, y) = { xy x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0). Usando a definição para calcular as derivadas parciais na origem obtemos ∂f ∂x (0, 0) = lim h→0 h.0 h2+02 − 0 h = 0 e analogamente, a derivada parcial em ordem a y é igual a zero. Caso a função seja diferenciável na origem tem que ser igual a zero o seguinte lim (x,y)→(0,0) | xy x2+y2 − 0| √ x2 + y2 = lim (x,y)→(0,0) |xy| √ x2 + y2(x2 + y2) . Ora, ao longo da recta y = x este limite é infinito pelo que a função f não é diferenciável na origem. ♣ A função f do exemplo anterior não é sequer cont́ınua na origem. O facto de uma função ser cont́ınua não nos permite concluir se ela é derivável como sabemos de exemplos com uma variável. No entanto, a descontinuidade de uma função num ponto permite-nos concluir que ela não é derivável nesse ponto, como nos diz o seguinte Teorema 4.3. Se f : R2 → R é derivável em X0 ∈ Df então f é cont́ınua em X0. Este teorema é especialmente útil para mostrar que uma função não é derivável. Note-se que se f não é cont́ınua num ponto, não faz sentido falar 20 no plano tangente ao gráfico da função nesse ponto. Uma vez que é mais simples testar a continuidade do que a derivabilidade, este teorema introduz algumas simplificações. De referir, no entanto, que há funções cont́ınuas que não são deriváveis, como a do exerćıcio seguinte. Exerćıcio 8. Considere a função real de duas variáveis reais definida por f(x, y) = { xy√ x2+y2 se (x, y) 6= (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0). (a) Mostre que f é cont́ınua. (b) Mostre que as derivadas parciais são nulas na origem. (c) Mostre que as derivadas parciais não são cont́ınuas na origem. (d) Use a aĺınea (b) para concluir que, caso a derivada de f exista, ela vale 0 na origem. Usando este valor, mostre que f não é derivável na origem. ./ Para concluirmos que uma função é derivável temos que exigir algo mais do que a existência das derivadas parciais, como nos mostra o seguinte Teorema 4.4. Se f : R2 → R é tal que as derivadas parciais de 1a¯ ordem existem e são cont́ınuas numa vizinhança de um ponto X0 ∈ Df , então f é derivável em X0. Este teorema não será demonstrado. Corolário 4.1. Se f : Rn → R é tal que n − 1 das suas derivadas parciais são cont́ınuas numa vizinhança de X0 ∈ Df e a derivada parcial restante existe em X0 ∈ Df então f é derivável nesse ponto. No exemplo anterior, as derivadas parciais, que existem na origem, não são cont́ınuas nesse ponto. De facto, ∂f ∂x (0, ) = lim h→0 f(h, ) − f(0, 0) h = = lim h→0 −1 h = ∞. Note-se que a existência de derivadas parciais cont́ınuas implica a dife- renciabilidade de f mas o inverso não é verdade, como podemos ver no seguinte Exemplo 15. A função f(x) = { x2 sen 1 x se x 6= 0 0 se x = 0. 21 Exerćıcio 9. Seja f : R2 → R definida por f(x, y) = x3 + xy2. Mostre que F = f ◦ Φ é crescente sendo Φ = (φ1, φ2) : R → R2 com φ1, φ2 funções crescentes em R. ./ Esta versão do Teorema da Função Composta não é a mais geral. A versão mais geral deste teorema, que contempla aplicações Rn → Rm, requer conhecimentos sobre matrizes e pode ser encontrada em Marsden e Tromba [3], p.102. Teorema 4.6 (Derivada da função composta II). Sejam f : R → R, na variável u, e Φ : R2 → R, com Φ(x, y) = u, tais que o contradomı́nio de Φ está contido no domı́nio de f e para as quais existe derivada de f em u0 = Φ(x0, y0) e derivadas parciais de Φ cont́ınuas numa vizinhança de (x0, y0). A função F = f ◦ Φ : R2 → R tem derivadas parciais dadas por ∂F ∂x (x0, y0) = df du (u0) ∂Φ ∂x (x0, y0) e por ∂F ∂y (x0, y0) = df du (u0) ∂Φ ∂y (x0, y0) no ponto (x0, y0). Exemplo 17. Cálculo da derivada parcial em ordem à primeira variável de F : R2 → R definida por F = f ◦ Φ onde f(u) = u2 + 2u e Φ(x, y) = x(y + 1). Temos ∂F ∂x (x, y) = df du (u) ∂Φ ∂x (x, y) = (2u+ 2)(y + 1) = 2x(y + 1)2 + 2(y + 1). ♣ Exerćıcio 10. Seja f : R → R uma função derivável que atinge um máximo em u0 = Φ(x0, y0). Mostre que, qualquer que seja Φ : R 2 → R diferenciável, F = f ◦ Φ tem gradiente nulo em (x0, y0). ./ Exemplo 18. De modo análogo, é fácil entender que sendo f : R2 → R, nas variáveis u e v, e Φ : R2 → R2, com Φ(x, y) = (φ1(x, y), φ2(x, y)), tais que o contradomı́nio de Φ está contido no domı́nio de f e para as quais existem derivadas parciais cont́ınuas numa vizinhança de (u0, v0) = Φ(x0, y0) 24 e de (x0, y0), respectivamente, a função F = f ◦ Φ : R2 → R tem derivadas parciais dadas por ∂F ∂x (x0, y0) = ∂f ∂u (u0, v0) ∂φ1 ∂x (x0, y0) + ∂f ∂v (u0, v0) ∂φ2 ∂x (x0, y0) e por ∂F ∂y (x0, y0) = ∂f ∂u (u0, v0) ∂φ1 ∂y (x0, y0) + ∂f ∂v (u0, v0) ∂φ2 ∂y (x0, y0) no ponto (x0, y0). Este resultado não é mais do que uma terceira versão do caso mais geral do Teorema da Função Composta. ♣ O primeiro destes teoremas permite-nos entender melhor o significado geométrico do vector ∇f . Seja f : R2 → R uma função derivável. A direcção do vector gradiente diz-nos qual é a direcção em que há maior variação nos valores da função. Suponhamos que o gráfico de f representa o contorno de um monte, sendo as curvas de ńıvel curvas de altura constante. Se queremos passar de uma curva de ńıvel a outra com a maior variação posśıvel, isto é, se queremos passar de uma altitude a outra pela encosta de maior declive, devemos seguir a direcção do vector gradiente. Isto ilustra um resultado importante relativo ao gradiente de uma função. Teorema 4.7. Seja f : R2 → R. O vector ∇f é normal às curvas de ńıvel Nc de f nos pontos em que a curva de ńıvel é regular. Demonstração: Dizer que ∇f é normal à curva de ńıvel Nc, é dizer que é ortogonal a um vector tangente a essa curva de ńıvel. Tomemos F : I ⊂ R → R2 derivável e tal que F (t) ∈ Nc ∀ t ∈ I, ou seja, temos f(F (t)) = c. Aplicando o teorema da derivada da função composta I, temos [f(F (t))]′ = Df(F (t))(F ′(t)) = ∇ f.F ′(t), resultando a última igualdade da definição de derivada de uma função de duas variáveis. Mas, f ◦ F é uma função real de variável real donde, f(F (t)) = c ⇒ [f(F (t))]′ = 0. 25 Logo, temos ∇ f.F ′(t) = 0, o que significa que os dois vectores são ortogonais. ♦ Este resultado permite calcular a equação da recta tangente à curva de ńıvel Nc num ponto X0 = (x0, y0) ∈ Nc. Esta equação é dada por ∇f(x0, y0).(x− x0, y − y0) = 0. 4.3 Derivadas direccionais Sabemos já que as derivadas parciais de uma função f : R2 → R correspon- dem às derivadas da função segundo a direcção dos eixos coordenados. Assim, a partir das derivadas parciais podemos analisar a variação de f segundo a direcção dos eixos. Interessa-nos agora obter informação sobre a variação da função segundo outras direcções, por exemplo, segundo a direcção de um vector U ∈ R2 que vamos supôr de norma unitária. Definição 4.5. Seja f : R2 → R. A derivada direccional de f no ponto X0 segundo o vector U , de norma unitária, é dada por DUf(X0) = d dt f(X0 + tU)|t=0. ♠ Note-se que, para a definição de derivada direccional consideramos a res- trição de f à recta com a direcção de U que passa por X0, isto é, à recta de equação X = X0 + tU. Da definição de derivada de uma função de uma variável vem que a derivada direccional pode ser calculada de modo equivalente através do lim t→0 f(X0 + tU) − f(X0) t . Geometricamente, estamos a calcular o declive da recta tangente à curva que resulta da intersecção do gráfico de f com o plano vertical com a direcção do vector U . 26 5 Funções homogéneas Neste caṕıtulo, vamos estudar um tipo particular de função que tem como caracteŕıstica principal o facto de, para efeitos de derivação, se comportar como uma potência. Definição 5.1. Uma função f : Rn → R diz-se homogénea de grau m se verifica a condição f(tX) = tmf(X) ∀ t ∈ R, X ∈ Df tais que tX ∈ Df . ♠ O caso mais simples de funções homogéneas são as funções polinomiais sem termo constante como, por exemplo, f(x, y) = x2 + xy + y2, para as quais o grau de homogeneidade m coincide com o grau do polinómio. Exerćıcio 12. Mostre que as funções da forma f(x, y) = apx p + ap−1x p−1y + ap−2x p−2y2 + . . .+ a2x 2yp−2 + a1xy p−1 + a0y p são homogéneas de grau p. ./ O resultado com mais interesse sobre funções homogéneas é o seguinte Teorema 5.1 (Teorema de Euler). Se f : Rn → R é homogénea de grau m e diferenciável então ∇f(X).X = mf(X), ou seja, mf(x1, . . . , xn) = n ∑ i=1 xi ∂f ∂xi (x1, . . . , xn). Demonstração: Seja f homogénea de grau m e definamos a função real de variável real g(t) = f(tX) = tmf(X). A derivada de g é dada por g′(t) = df dt (tX) = mtm−1f(X). 29 Mas, fazendo Y = tX temos (usando o teorema da derivação da função composta) df dt (tX) = ∇f(Y ).dY dt = ∇ f(tX).X. Ora, para t = 1, temos g′(1) = ∇f(X).X = m1m−1f(X) = mf(X). ♦ Observação. Se na definição de função homogénea restringimos t a valores positivos então o teorema de Euler é uma equivalência. As funções que satis- fazem esta definição restrita chamam-se funções positivamente homogéneas. Exerćıcio 13. Encontre Df(1, 0)(1, 0) sabendo que f(1, 0) = 1 e f é ho- mogénea de grau 3. ./ 6 Funções Impĺıcitas Continuando a estudar apenas funções reais de duas variáveis, interessa-nos agora obter resultados sobre igualdades que permitem definir uma variável à custa da outra. Comecemos por ver um exemplo. A função F : R2 → R definida por F (x, y) = x2 + y2 − 1 é tal que F (x, y) = 0 não tem solução em todos os pontos, isto é, não é posśıvel escrever y como função de x. No entanto, há pontos nos quais está definida uma função real de uma variável, f , tal que y = f(x) e F (x, f(x)) = 0. Dizemos que, nestes pontos, a equação F (x, y) = 0 define y implicitamente como função de x. O resultado seguinte permite-nos decidir, em certos casos, quais são os pontos em que uma variável é uma função impĺıcita da outra e também calcular a derivada dessa função impĺıcita. Teorema 6.1 (Teorema da Função Impĺıcita - versão 1). Seja F : R2 → R tal que as derivadas parciais de 1 a ¯ ordem são cont́ınuas numa vizinhança de (x0, y0) ∈ DF . Se F (x0, y0) = 0 e ∂F ∂y (x0, y0) 6= 0, 30 então existe uma função, f , real de variável real, definida numa vizinhança de x0 tal que y = f(x), isto é, a equação F (x, y) = 0 define implicitamente y como função de x numa vizinhança de (x0, y0) e a derivada de y em ordem a x no ponto x0 é dada por ∂F ∂x (x0, y0) + ∂F ∂y (x0, y0) dy dx (x0) = 0, ou seja, df dx (x0) ≡ dy dx (x0) = − ∂F ∂x (x0, y0) ∂F ∂y (x0, y0) . Não vamos demonstrar este teorema porque a demonstração exige técni- cas que não cabem neste curso. Vamos apenas mostrar como é que, dada a existência da função f , se deduz a expressão da derivada já que se trata de um bom exerćıcio sobre a derivada da função composta. Temos G(x) = F (x, f(x)) = (F ◦ Φ)(x), onde Φ : R → R2 x → (x, f(x)). Logo, G′(x) = ∇F (x, y).Φ′(x) = (∂F ∂x , ∂F ∂y ).( dΦ1 dx , dΦ2 dx ) = ( ∂F ∂x , ∂F ∂y ).(1, df dx ). Substituindo na equação F ′(x, f(x)) = 0, vem imediatamente a expressão do teorema. Em certas condições, podemos obter derivadas de ordem mais alta da função impĺıcita y ≡ y(x), o que nos permite estudar a existência de pontos extremos da função impĺıcita usando a teoria das funções reais de variável real. 31 Exemplo 21. A equação F (x, y, z) = xyz − x+ 4y − z = 0 define z implicitamente como função de x e de y numa vizinhança do ponto (1, 1 2 , 2). De facto, temos ∂F ∂x (x, y, z) = yz − 1, ∂F ∂y (x, y, z) = xz + 4 e ∂F ∂z (x, y, z) = xy − 1 cont́ınuas e ∂F ∂z (1, 1 2 , 2) = −1 2 6= 0. O Teorema da Função Impĺıcita garante a existência de uma função dife- renciável f : R2 → R tal que z = f(x, y), em particular 2 = f(1, 1 2 ). As derivadas parciais de z em ordem às outras variáveis são ∂z ∂x (x, y) = −yf(x, y)− 1 xy − 1 e ∂z ∂y (x, y) = −xf(x, y) + 4 xy − 1 . ♣ Exerćıcio 16. Mostre que a equação do exemplo anterior define y implici- tamente como função de x e de z numa vizinhança de (1, 1 2 , 2) e calcule as derivadas parciais da função impĺıcita. Mostre que a mesma equação não define necessariamente x implicitamente como função das duas outras variáveis numa vizinhança do mesmo ponto. ./ Finalmente, vejamos a versão geral do teorema da função impĺıcita que nos permite decidir quando é que um sistema de equações define implicita- mente uma ou mais variáveis à custa das restantes. Em rigor, o que consi- deramos são funções F : Rn+m → Rm. Estas funções têm m componentes em m+ n variáveis F (x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = (F1(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym), F2(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym), . . . . . . , Fm(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym)) permitindo construir um sistema de m equações com m+ n incógnitas como se segue F1(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0 . . . Fm(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0. A questão é a de saber se estas equações nos permitem definir implicitamente as variáveis y1, . . . , ym à custa das variáveis x1, . . . , xn. 34 Observação. A existência de funções impĺıcitas obriga a que o sistema tenha uma infinidade de soluções. Consideremos o seguinte sistema de 2 equações e 3 incógnitas { x2 + y − z = 0 x− 2ey + z = 0. Queremos saber se existem pontos perto dos quais estas equações permitem escrever, por exemplo, x e y como função de z. Em primeiro lugar, os pon- tos para os quais a definição de uma função impĺıcita faz sentido têm que satisfazer o sistema de equações. O ponto (x0, y0, z0) = (1, 0, 1) é um ponto no qual as equações do sistema se anulam. Podemos dizer então que, neste ponto, o valor atribúıdo a z determina o valor de x e de y. Para ver se esta dependência de x e y com z é verdadeira não só no ponto (x0, y0, z0) mas em pontos próximos temos o seguinte Teorema 6.3 (Teorema da Função Impĺıcita). Seja F : Rn+m → Rm com componentes F1(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym), . . . , Fm(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) cont́ınuas e com todas as derivadas parciais de 1 a ¯ ordem cont́ınuas numa vi- zinhança de um ponto (x01, . . . , x 0 n, y 0 1, . . . , y 0 m) do seu domı́nio. Consideremos o sistema de m equações satisfeitas por (x01, . . . , x 0 n, y 0 1, . . . , y 0 m)    F1(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0 . . . Fm(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) = 0 . Se ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∂F1 ∂y1 ∂F1 ∂y2 . . . ∂F1 ∂ym ∂F2 ∂y1 ∂F2 ∂y2 . . . ∂F2 ∂ym . . . . . . . . . . . . ∂Fm ∂y1 ∂Fm ∂y2 . . . ∂Fm ∂ym ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 6= 0 no ponto (x01, . . . , x 0 n, y 0 1, . . . , y 0 m) então o sistema de equações permite definir as variáveis y1, . . . , ym implicitamente à custa das restantes numa vizinhança do ponto considerado, isto é, existem funções φi : R n → R tais que yi = φi(x1, . . . , xn). As derivadas parciais de cada yi em ordem a xj no ponto (x 0 1, . . . , x 0 n) obtêm- se por derivação das equações do sistema associado a F em ordem a xj. 35 Consideremos então o exemplo com que começamos esta generalização { x2 + y − z = 0 x− 2ey + z = 0. Para sabermos os pontos na vizinhança dos quais o sistema de equações define x e y como funções de z, aplicamos o teorema da função impĺıcita. Para tal calculamos ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∂F1 ∂x (x, y, z) ∂F1 ∂y (x, y, z) ∂F2 ∂x (x, y, z) ∂F2 ∂y (x, y, z) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 2x 1 1 −2ey ∣ ∣ ∣ ∣ = −4xey − 1. O conjunto de pontos nos quais podemos aplicar o teorema da função impĺıcita são então aqueles que satisfazem as equações do sistemas e para os quais −4xey − 1 6= 0. Por exemplo, em (1, 0, 1) as equações são satisfeitas e ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∂F1 ∂x ∂F1 ∂y ∂F2 ∂x ∂F2 ∂y ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ |(1,0,1) = −5 6= 0. Logo, o teorema da função impĺıcita garante que x e y se podem definir implicitamente como funções de z. A derivada (total, uma vez que x e y são funções de uma só variável) destas funções em ordem a z encontra-se a partir de { 2xdx dz (z) + dy dz (z) − 1 = 0 dx dz (z) − 2ey dy dz (z) + 1 = 0. Exemplo 22. Seja F (x, y, u, v) = (x+ y+ u+ v, ln (x)− ln (−y)). Vejamos que as equações associadas a esta função definem implicitamente x e u como funções de y e de v numa vizinhança do ponto (e,−e, 1,−1). A primeira coisa a verificar é que F (e,−e, 1,−1) = (0, 0). Tendo verificado isto vamos calcular, no ponto (e,−e, 1,−1), o valor de ∣ ∣ ∣ ∣ ∂F1 ∂x ∂F1 ∂u ∂F2 ∂x ∂F2 ∂u ∣ ∣ ∣ ∣ |(e,−e,1,−1) = ∣ ∣ ∣ ∣ 1 1 1 x 0 ∣ ∣ ∣ ∣ |(e,−e,1,−1) = −1 e 6= 0. ♣ Exerćıcio 17. Encontre as derivadas parciais de x e de u em ordem a y e v do exemplo anterior no ponto (−e,−1). ./ 36 Como esta igualdade se verifica para qualquer vector U temos que Df(X0) ≡ 0. ♦ Este teorema dá uma condição necessária para um ponto ser extremo. Infelizmente, a condição não é suficiente como sabemos do estudo de funções de uma variável. A função real de variável real f(x) = x3 é derivável, tem derivada nula na origem mas, a origem não é nem máximo nem mı́nimo local. Outro ponto fraco do teorema é o facto de apenas ser válido para funções diferenciáveis. Por exemplo, a função real de variável real definida por f(x) =    −x se x < 0 −1 se x = 0 x se x > 0 não é sequer cont́ınua na origem mas atinge um mı́nimo para x = 0. Exemplo 23. Seja f : R2 → R a função definida por f(x, y) = x2 + y2. Os pontos cŕıticos de f são aqueles que verificam ∂f ∂x (x, y) = 2x = 0 ∂f ∂y (x, y) = 2y = 0. Logo, há um único ponto cŕıtico que é a origem. É fácil ver que este ponto é um mı́nimo (absoluto) já que a função toma valores estritamente positivos em todos os outros pontos. ♣ Exemplo 24. Seja f : R2 → R a função definida por f(x, y) = x2 − y2. Os pontos cŕıticos de f são aqueles que verificam ∂f ∂x (x, y) = 2x = 0 ∂f ∂y (x, y) = −2y = 0. Logo, há um único ponto cŕıtico que é a origem. No entanto, a origem não é ponto extremo de f . De facto, pontos da forma (x, 0) tomam valores sempre positivos o que garante que (0, 0) não é um máximo. Por outro lado, pontos da forma (0, y) tomam valores sempre negativos, ou seja, (0, 0) não é um mı́nimo. ♣ 39 Estes dois exemplos mostram que é necessário encontrar mais condições para determinar se um ponto cŕıtico de f é um ponto extremo. Nas funções de uma variável recorre-se à derivada de 2 a ¯ ordem da função. No caso de funções de mais variáveis, a 2 a ¯ derivada é substitúıda pela matriz descrita a seguir. Definição 7.3. Seja f uma função com derivadas parciais de 2 a ¯ ordem ∂2f ∂xi∂xj (X0) ∀ i, j = 1, . . . , n num ponto X0 ∈ Df . O Hessiano de f no ponto X0 é a forma quadrática HX0 de R n definida por HX0(u1, . . . , un) = n ∑ i,j=1 ∂2f ∂xi∂xj (X0)uiuj. A matriz desta forma quadrática chama-se matriz Hessiana de f . ♠ É o estudo desta forma quadrática que nos permite determinar se um ponto cŕıtico de f é um extremo relativo. Fazendo a classificação da forma quadrática podemos, em alguns casos, determinar a existência de extremos. Portanto, este estudo pode ser feito calculando os valores próprios da matriz Hessiana. Note-se que pontos cŕıticos onde não existem derivadas parciais de 2 a ¯ ordem têm que ser estudados por outro processo. Teorema 7.2. Se f tem derivadas parciais de 3 a ¯ ordem cont́ınuas e X0 é um ponto cŕıtico de f , X0 é um mı́nimo relativo se HX0 é definida positiva. Se HX0 é definida negativa então X0 é um máximo relativo. Se HX0 é indefinida não há extremo. Se HX0 é semi-definida, mas não definida, positiva ou negativa, nada se pode concluir por este processo. Note-se que estas condições são muito semelhantes às condições que garan- tem a existência de extremos de funções de uma variável. Os pontos cŕıticos aos quais corresponde uma forma quadrática semi- definida dizem-se pontos cŕıticos degenerados. Da classificação das formas quadráticas, podemos concluir que nestes pontos a matriz Hessiana de f tem determinante zero. No entanto, nem todos os pontos nos quais o determi- nante da matriz Hessiana é zero são pontos cŕıticos degenerados se f é função de 3 ou mais variáveis. Neste caso, a forma quadrática pode ser indefinida. Para funções de duas variáveis, uma vez que a matriz Hessiana apenas tem dois valores próprios, os pontos cŕıticos são degenerados se e só se o determinante de HX se anula nesses pontos. Os pontos nos quais o Hessiano é uma forma quadrática indefinida chamam-se pontos-sela. 40 Exemplo 25. O ponto cŕıtico do Exemplo 24 é um ponto-sela. O Hessiano de f na origem é a forma quadrática H(0,0)(u1, u2) = 2u 2 1 − 2u22, cuja matriz é diagonal com valores próprios 2 e −2. Logo, a forma quadrática é indefinida. ♣ Exemplo 26. Consideremos novamente a função de duas variáveis definida por f(x, y) = x2 + y2. Sabemos que a origem é um ponto cŕıtico. A matriz Hessiana de f na origem é H(0,0) = [ ∂2f ∂x2 ∂2f ∂y∂x ∂2f ∂x∂y ∂2f ∂y2 ] = [ 2 0 0 2 ] . Sendo os valores próprios desta matriz estritamente positivos (ambos iguais a 2), a forma quadrática que ela define é definida positiva. Logo, a origem é um mı́nimo local da função. ♣ Exerćıcio 19. Considere as funções de duas variáveis definidas por f(x, y) = x2 e g(x, y) = x2 + xy2. (a) Mostre que a origem é ponto cŕıtico de f e de g. (b) Mostre que o Hessiano na origem é igual para f e g e é dado por H(0,0)(u, v) = 2u 2. (c) Mostre que f tem um mı́nimo (não estrito) na origem e g não tem extremo na origem. ./ 7.2 Extremos condicionados Vamos agora estudar o problema de encontrar os extremos de uma função f de n variáveis, sabendo que as variáveis têm que satisfazer uma equação adicional g(X) = c0 ∈ R. Dizemos que esta equação condiciona os extremos de f ou é uma restrição para os extremos de f . Para resolver este problema temos a seguinte condição necessária 41 Exerćıcio 20. Encontre os posśıveis extremos de g(x, y) = x2+y2 condiciona- dos a f(x, y) = x2 − y2 = 1. ./ O método dos multiplicadores de Lagrange tem uma generalização trivial a casos em que o condicionamento é feito por mais do que uma equação. Supondo que a restrição imposta às variáveis é g1(x1, . . . , xn) = c1 g2(x1, . . . , xn) = c2 ... gk(x1, . . . , xn) = ck então se X0 é um extremo de f , no qual o gradiente de g não se anula, existem constantes λ1, . . . , λk tais que ∇f(X0) = λ1∇g1(X0) + . . .+ λk∇gk(X0). Exerćıcio 21. Encontrar os extremos de f(x, y, z) = x+ y + z satisfazendo a g1(x, y, z) = x 2 + y2 − 2 = 0 g2(x, y, z) = x + z − 1 = 0. ./ O problema de encontrar extremos de uma função sujeitos a restrições é por vezes resolvido usando uma terceira função constrúıda como se segue: Definição 7.4. Sejam f e g funções como no Método dos Multiplicadores de Lagrange. Chamamos função de Lagrange ou Lagrangeano de f sujeita à restrição g(X) = c0 à função real de n+ 1 variáveis definida por L(X, λ) = f(X) + λ(c0 − g(X)). ♠ 44 Observação. A variável λ que aparece na definição acima é o multiplicador de Lagrange. Por vezes, a função de Lagrange é definida usando g(X)−c0. Uma vez que todos os candidatos a extremos que queremos estudar verificam c0 − g(X) = g(X)− c0 = 0 as definições são equivalentes mas o significado económico não é o mesmo. Podemos utilizar o Lagrangeano na resolução do problema de extremos condicionados graças ao seguinte Teorema 7.4. Supondo ∇g(X0) 6= 0, se o ponto X0 é um extremo para o problema de extremos condicionados então existe λ ∈ R tal que (X0, λ) é ponto cŕıtico de L. 7.3 Breve introdução às condições de Kuhn-Tucker No caso em que a restrição imposta às variáveis toma a forma de uma de- sigualdade, seja do tipo xi > 0 ou mais complicada como g(X0) > 0, o Método dos Multiplicadores de Lagrange não é aplicável. O problema pode ser resolvido usando as condições de Kuhn-Tucker. O texto que se segue pre- tende alertar para este tipo de problemas, sem a preocupação de ser exaustivo ou aprfundado. Consideremos o problema de encontrar o máximo de uma função real de n variáveis reais f(x1, . . . , xn) no domı́nio xi > 0, i = 1, . . . , n. Teorema 7.5 (Condições necessárias de Kuhn-Tucker). As condições (necessárias) de Kuhn-Tucker para a existência de máximo para o problema anterior são ∂f ∂xi 6 0, xi > 0 e xi ∂f ∂xi = 0, para i = 1, . . . , n. A primeira condição inclui o caso em que a derivada se anula. O facto de se permitir que ela seja negativa, inclui apenas o caso em que a função é decrescente na direcção correspondente à derivada parcial e permite incluir pontos da fronteira. A segunda condição é a repetição da condição que define o domı́nio. Finalmente, a terceira condição diz que, ou o ponto é um ponto 45 da fronteira (xi = 0), ou a derivada da função é nula, isto é, o problema pode ser resolvido sem recurso às condições de Kuhn-Tucker. Para encontrar o mı́nimo, basta inverter a primeira desigualdade das condições de Kuhn-Tucker. Exerćıcio 22. Escreva as condições necessárias de Kuhn-Tucker para o pro- blema de encontrar o máximo de uma função real de uma variável com a restrição x 6 0. ./ Exemplo 28. Usando o Teorema 7.5, encontrar os candidatos a máximo da função f(x) = 6−x2−4x para valores de x > 0 equivale a resolver o seguinte sistema −2x− 4 6 0 −2x(x + 2) = 0 x > 0, que corresponde às três condições do Teorema 7.5. A equação tem duas soluções, a saber x = 0 e x = −2. Como x = −2 não satisfaz a última de- sigualdade, temos apenas que verificar se x = 0 satisfaz a primeira desigual- dade. Sendo verdade que −4 6 0, está encontrado o candidato a máximo. Note que, sem a restrição a função f atinge um máximo em x = −2, não tendo nenhum extremo em x = 0. ♣ Exerćıcio 23. Considere a função f(x) = x2 e a restrição x 6 1. Mostre que f tem um candidato a máximo local em x = 1 com a restrição dada. Mostre que x = 1 não é máximo global. Mostre que, com ou sem restrição, f tem um mı́nimo na origem. ./ O exerćıcio anterior cabe numa outra classe de restrição do tipo g(X) > 0. Trata-se de um problema de programação não linear que vamos tratar apenas para funções de duas variáveis e uma restrição. Teorema 7.6. Sejam f, g : R2 → R diferenciáveis. Se X0 é extremo de f sujeito a g(X) > 0 e ∇g(X) 6= (0, 0) em pontos onde g(X) = 0 então existe λ ∈ R tal que ∂f ∂xi (X0) + λ ∂f ∂xi (X0) = 0, i = 1, 2 λg(X0) = 0 g(X0) > 0. 46 10. Sejam g : R → R e φ : R2 → R funções deriváveis. Calcule as derivadas parciais e a derivada de G = g ◦ φ onde (a) φ(x, y) = x2 − y2 e g(u) = u− 1; (b) φ(x, y) = xy e g(u) = eu; (c) φ(x, y) = x2 + y2 + 1 e g(u) = 1 u . 11. Sejam f : R2 → R e ψ : R → R2 funções deriváveis. Calcule a derivada de F = f ◦ ψ onde (a) ψ(t) = (et sen t, e2t cos t) e f(x, y) = x2 + y; (b) ψ(t) = (R sen t, R cos t) e f(x, y) = 1√ x2+y2 ; R 6= 0; (c) ψ(t) = (t, t2) e f(x, y) = x2 + y2; (d) ψ(t) = (cos t, sen t) e f(x, y) = exy cos (xy2). 12. Sejam g : R → R e φ : R2 → R funções tais que as derivadas parciais de φ são positivas e g é definida por g(u) = e−u. Mostre que as derivadas parciais de G = g ◦ φ são negativas. 13. Sejam f : R2 → R e ψ : R → R2 funções deriváveis tais que ψ(t) = (t, 1) e ∂f ∂x (x0, y0) > 0 ∀ (x0, y0). Mostre que F = f ◦ ψ é crescente em R. 14. Calcule as derivadas direccionais das funções que se seguem, nos pon- tos e segundo as direcções indicadas, e diga qual a direcção de maior crescimento a partir do ponto dado: (a) f(x, y) = x+ 2x2 − 3xy; (x0, y0) = (1, 1); U = (3, 4); (b) f(x, y) = log √ x2 + y2; (x0, y0) = (1, 0); U = (2, 1); (c) f(x, y, z) = xyz; (x0, y0, z0) = (1, 1, 1); U = (1, 0, 1); (d) f(x, y, z) = ex + yz; (x0, y0, z0) = (1, 1, 1); U = (1,−1, 1). 49 15. Mostre que a função real de duas variáveis definida por f(x, y) = x+ y2 − 4 cresce de modo constante em planos paralelos ao plano vertical con- tendo o eixo dos xx. Estude a variação da função nos planos verticais paralelos ao eixo dos yy. 16. Sejam f : R2 → R e ψ : R2 → R2 definidas por ψ(x, y) = (ex 2−2y2 , log (x2 + y2)) e por f(u, v) = log u+ ev. Mostre que a função real de duas variáveis F = f ◦ ψ é homogénea de grau 2. 17. Sejam f : R → R e ψ : R2 → R tais que f(x) = xn e ψ é homogénea de grau m. Mostre que F = f ◦ ψ é homogénea de grau nm. 18. Mostre que numa vizinhança de (1, √ 3) a equação x(x2 + y2) − 3(x2 − y2) = 10 define implicitamente y como função de x. Calcule as primeira e se- gunda derivadas de y em ordem a x no ponto x = 1. 19. Seja F : R3 → R dada por F (x, y, z) = x+ y + z − sen (xyz). Mostre que numa vizinhança de (0, 0, 0) a curva de ńıvel 0 de F define z como função de x e y. Calcule as primeiras derivadas parciais de z em ordem a x e a y no ponto (0, 0). 20. Seja f : R3 → R dada por f(x, y, z) = y − xz − ez. Diga em que pontos pode garantir que existe uma vizinhança na qual a equação f(x, y, z) = 0 define z como função de x e de y. Mostre que a equação f(x, y, z) = 0 define, numa vizinhança de (1, 1, 0), z como função de x e de y. 50 21. Mostre que a equação x2 + 3xz + y2z − 4z2 = 0 define z como função impĺıcita de x e de y numa vizinhança de (2, 0, 2). Determine a direcção de maior crescimento da função impĺıcita no ponto (2, 0). 22. Seja f : R2 → R definida por f(x, y) = 2x3 − 2y3 + 6x2y − 3x2. (a) Verifique se alguma curva de ńıvel da função f tem pontos onde a tangente à curva é horizontal. (b) Diga se a curva de ńıvel −2 é côncava ou convexa em x = 0. 23. Considere o sistema nas incógnitas reais x, y e z { x2 − y2 + z3 = 9 x + 2y + 2z = 5 . Mostre que, numa vizinhança de (1, 0, 2), o sistema define implicita- mente y e z como funções de x. Calcule as derivadas das funções impĺıcitas no ponto x = 1. 24. Mostre que o sistema de equações { x2 + 3xz + y2z − 4z2 = 0 xyz = 0 define y e z como função de x numa vizinhança de (2, 0, 2). Estude a monotonia de z como função de x no ponto x = 2. 25. Considere o sistema { 2x2 − zy + 1 = 0 3x2 + y2 − z2 = 0 . (a) Encontre os pontos em que que o sistema é localmente resolúvel em ordem a y e a z. (b) Considere as funções impĺıcitas y(x) e z(x) definidas pelo sistema numa vizinhança de (0, 1, 1). i. Calcule y′(0) e z′(0). 51 34. Mostre que a equação xy − x2 − y3 − z + log (1 + z2) = 0 define z = f(x, y) numa vizinhança da origem. Determine e classifique o Hessiano de f em (0, 0). 35. Considere a função real de duas variáveis definida por f(x, y) = xy2 − x2y. (a) Verifique que numa vizinhança de (2, 4) a curva de ńıvel 16 de f define y = g(x). (b) Verifique que 2 é ponto cŕıtico de g e classifique-o. 36. Considere a elipse de equação 5x2 + 5y2 + 6xy − 4x+ 4y = 0. Determine o ponto de ordenada máxima e o ponto de ordenada mı́nima. 37. Relativamente a cada uma das funções que se seguem, determine a respectiva fórmula de Taylor de ordem 2, em cada um dos pontos indi- cados: (a) f(x, y) = ex cos y, no ponto (0, 0); (b) f(x, y) = x3 + y2 + xy2, no ponto (1, 2); (c) f(x, y) = log (x+ y), x > 0 e y > 0, no ponto (1, 1). 54 9 Bibliografia [1] A.A. Breda e J.N. Costa, Cálculo com funções de várias variáveis, Mc- Graw-Hill, Lisboa, 1996. [2] A.C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Mc- Graw-Hill, Singapore, 1984. [3] J.E. Marsden e A.J. Tromba, Vector Calculus, W.H. 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