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Funcoes de Variavel Complexa

Miguel Moreira

Seccao Autonoma de Matematica da Escola Superior de Tecnologia do Instituto Politecnico de Setubal

Ano lectivo de 1997/98

Resumo

O estudo de funcoes de variavel complexa conduziu ao aparecimento de resultados e ferramentas com importantes aplicacoes na engenharia e na fısica.

O presente texto pretende de alguma forma dar resposta a esta necessidade servindo como guia para o estudo deste campo da matematica. Serao abordados de forma resumida os seus fundamentos basicos e algumas aplicacoes elementares.

Numa primeira fase estudam-se as propriedades algebricas dos numeros complexos e algumas funcoes complexas elementares.

Numa segunda fase faz-se referencia a derivacao complexa e as condicoes de Cauchy-Riemann. Aqui sao reveladas algumas das propriedades mais importantes das funcoes com C-derivada, nomeadamente a sua diferenciabilidade.

O estudo da integracao complexa, ao longo de caminhos, permite deduzir mais adiante, o importante teorema integral de Cauchy a partir do teorema de Cauchy-Goursat. A formula integral de Cauchy, consequencia imediata do teorema integral de Cauchy e igualmente referida.

Seguidamente os resultados anteriores sao utilizados na deducao do teorema fundamental da Algebra e no teorema dos resıduos e nas aplicacoes deste ultimo ao calculo de integrais no campo real.

Finalmente sao estudadas as propriedades basicas das aplicacoes harmonicas e das aplicacoes conformes e a sua relacao com as funcoes holomorfas, fazendose referencia a resolucao de problemas no campo da hidrodinamica, termostatica e electrostatica.

Conteudo 1I ntroducao 2

2.1 Exercıcios Propostos9

2 Definicoes e Propriedades Elementares 3

3.1 As Funcoes Polinomiais1
3.2 As Funcoes Racionais12
3.3 A Funcao Exponencial Complexa12
3.4 As Funcoes Circulares14
3.5 As Funcoes Hiperbolicas16
3.6 A Funcao Logaritmo16
3.7 A Funcao Raız Quadrada18
3.8 Exercıcios Propostos20

3F uncoes Complexas 10

4.1 A nocao de limite e de continuidade2
4.2 A derivacao complexa e as suas propriedades23
4.3 Funcoes Holomorfas (ou Analıticas)26
4.4 Exercıcios Propostos29

4A C−Derivacao 21

5.1 A integracao em caminhos e algumas propriedades29
5.2 O Teorema de Cauchy-Goursart35
5.3 O Teorema Integral de Cauchy39
5.4 A Formula Integral de Cauchy e a Serie de Taylor4
5.5 O Teorema Fundamental da Algebra48
5.6 Exercıcios Propostos49

5 Integracao Complexa 29

6.1 A nocao de singularidade51
6.2 A Serie de Laurent52
6.3 Exercıcios Propostos56

6S erie de Laurent 51

7.1 Exercıcios Propostos63

7 O Teorema dos Resıduos e o Calculo de Integrais 56

8.1 Aplicacoes aH idrodinamica69
8.2 Aplicacoes aT ermostatica71

8F uncoes Harmonicas e Aplicacoes Conformes 63 1

8.4 Exercıcios Propostos75

1I ntroducao

Os chamados numeros complexos,i sto e, os numeros da forma a+b√−1, em que a,b ∈ IR, surgiram pela primeira vez esbocados formalmente na “Algebra” de Bombeli em 1572. A sua criacao resultou da necessidade de tornar valida a famosa formula de Cardano1 destinada a resolucao algebrica de equacoes de terceiro grau em que poderia haver necessidade de efectuar calculos com raızes quadradas de numeros negativos.

A construcao do conjunto dos numeros complexos, habitualmente representado por C, revelou-se de grande utilidade noutras areas da ciencia. As transformadas de Laplace, as series de Fourier e as transformadas de Fourier constituem alguns exemplos de ferramentas indispensaveis da fısica e engenharia que nunca se teriam desenvolvido sem o aparecimento deste ramo da matematica.

Tal como o conjunto dos numeros inteiros Z pode ser considerado uma extensao do conjunto dos numeros naturais IN, o conjunto dos numeros complexos C pode ser considerado igualmente uma extensao do conjunto dos numeros reais IR, extensao esta que possui as seguintes propriedades adicionais:

• Ae quacao x2 + 1 = 0, admite pelo menos uma solucao em C;

• Todo oe lementod e C pode ser representado da forma a+bi em que a e b ∈ IRe i = √−1( isto e, i eu ma solucao de x2 +1 = 0).

Repare-se que o conjunto dos numeros reais pode ser interpretado como um subconjunto do conjunto dos numeros complexos e que no seio deste ultimo as raızes quadradas de numeros negativos passam a ter significado. Um facto semelhante a este estan ab ased ac onstrucao do conjunto Z. Com

1ou Cardan:m edico e matematico de Milao que publicou na sua obra de algebra Ars

Magna, em 1545 a solucao (enunciada anteriormente por Tartaglia) das equacoes cubicas x3 + px = q, x3 = px + q e x3 + q = px,c om p e q> 0. De referir que qualquer equacao cubica pode ser reduzida a uma das equacoes anteriores com uma adequada mudanca de variavel. A solucao da segunda equacao apresenta a seguinte forma:

efeito os numeros que constituem solucoes de equacoes do tipo x + n =0 , n ∈ INque nao tinham significado no seio do conjunto dos numeros naturais passam a adquirir sentido no seio do conjunto dos numeros inteiros.

2 Definicoes e Propriedades Elementares

Definio 1 Chamam-se numeros complexos aos numeros da forma, z = a + bi, a e b ∈ IR. Nesta representacao, dita rectangular, a designa-se por parte real de z e b por parte imaginaria de z, escrevendo-se, a =R ez e b =I mz.

Se Imz =0 , z diz-se imaginario es ea lem disso Rez =0 , z diz-se imaginario puro. On umero imaginario puro i diz-se a unidade imaginaria e verifica

Se a cada numero complexo z associarmos o par ordenado Z =( a,b)e m que a =R ez e b =I mz, Z diz-se a imagem de z e z pode designar-se por afixo de Z. Nesta ultima representacao os numeros complexos sao pontos do plano de Argand. Neste plano as imagens dos numeros reais estao associadas ao eixo dos x e e as imagens dos numeros imaginarios puros ao eixo dos y.

Figura 1: Representacao de complexos no plano de Argand. 3

Dois numeros complexos sao iguais se e so se as suas partes reais e imaginarias tambem forem iguais.

Sejam z = a + bi e w = c + di numeros complexos. As operacoes de adicao, subtraccao, de multiplicacao e divisao (caso w = 0), definem-se da seguinte forma:

Oc onjunto C munido das operacoes de adicao ed em ultiplicacao constitui um corpo, isto e:

2. Dado z = a+bi ∈ C\{0} indique os elementos simetricos relativamente a dicao e multiplicacao.

1. Basta mostrar que ( a

2Um grupo abeliano designa um conjunto munido de uma operacao binaria associativa e comutativa relativamente a qual existe elemento neutro e em que todo o elemento possui simetrico.

Definio 5 Chama-se modulo ou valor absoluto ou norma do numero complexo z = a + bi ad istancia ρ de Z =( a,b) ao rigemd op lano de

Definio 6 Chama-se argumento de um numero complexo z = a + bi =0 , representando-se por argz, qualquer dos angulos entre o semi-eixo positivo dos x e o segmento orientado OZ em que Z =( a,b) e O =( 0,0), contados positivamente no sentido directo. Se θ for um desses angulos a expressao geral do argumento de z,e argz = θ +2 kπ, k ∈ Z.

Como se pode verificar a cada numero complexo diferente de 0 correspondem diferentes argumentos. Para que a correspondencia anterior seja bijectiva torna-se necessario definir as nocoes de argumento principal ou argumento positivo mınimo, entre outras.

Definio 7 Seja z ∈ C, argz diz-se argumento principal se argz ∈ [−π,+π[. Se argz ∈ [0,2π[,e ntao diz-se que eo argumento positivo mınimo.

Naturalmente a cada numero complexo diferente de 0 corresponde um e um so argumento principal ou argumento positivo mınimo.

[ como contradomınio da

funcao arctanx o argumento principal de um qualquer numero complexo z pode calcular-se recorrendo a seguinte expressao:

arctan(yx ), se x> 0

arctan(yx )+ π, se x< 0e y ≥ 0 arctan(yx ) − π, se x< 0e y< 0

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