Matemática Básica Coleção Fundamental 1

Matemática Básica Coleção Fundamental 1

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Apostila de Matemática Básica

Assunto:

MATEMÁTICA BÁSICA Coleção Fundamental - volume 1/8

Unidade 1 – Revisão de Tópicos Fundamentais do Ensino Médio04
1.1 Apresentação04
1.2 Simbologia Matemática mais usual04
1.3 Conjuntos Numéricos05
1.4 Operações com Números Relativos07
1.4.1 Soma ou Adição07
1.4.2 Subtração ou Diferença08
1.4.3 Multiplicação09
1.4.4 Divisão09
1.4.5 Potenciação10
1.4.6 Radiciação1
1.4.7 Produto14
1.4.8 Expoente Nulo15
1.4.9 Expoente Negativo15
1.4.10 Expoente Fracionário16
números16
1.5 Produtos Notáveis16
1.5.1 Quadrado de um binômio16
1.5.2 Produto da Soma de dois termos pela diferença entre eles17
1.5.3 Cubo de um binômio17
1.6 Equações19
1.6.1 Equação do 1.º grau com uma Incógnita19
1.6.2 Equação do 2.º grau com uma Incógnita20
1.7 Progressão Aritmética (P. A.)2
1.7.1 Definição2
1.7.2 Classificação2
1.7.3 Termo Geral23
1.7.4 Propriedades23
1.7.5 Soma dos n primeiros termos de uma P. A25
1.8 Progressão Geométrica (P. G.)28
1.8.1 Definição28
1.8.2 Classificação29
1.8.3 Termo Geral29
1.8.4 Propriedades30
1.8.5 Soma dos n primeiros termos de uma P. G32
1.9 Coordenadas Cartesianas no Plano35
1.10 Equação reduzida da Reta37
1.1 Noção de Aplicação42
1.12 Exercícios Propostos43
1.13 Respostas dos Exercícios Propostos46
1.14 Números Complexos47
1.14.1 Introdução47
1.14.2 Potências de j50
1.14.3 Representações e Formas de um Número Complexo51
a) Representações51
c) Formas5
c.1) Cartesiana ou Retangular5
c.2) Trigonométrica5
c.3) Exponencial ou de Euler5
c.4) Polar ou de Steinmetz5
c.5) Algumas Formas Polares Especiais60
c.6) Complexo Conjugado60
1.14.4 Operações com Números Complexos62
a) Igualdade62
b) Adição e Subtração62
c) Multiplicação67
d) Divisão69
e) Potenciação71
f) Radiciação74
1.14.5 Desigualdade do Triângulo82
1.14.6 Curvas e Regiões no Plano Complexo84
a) Circunferência84
b) Disco Fechado86
c) Disco Aberto87
d) Exterior da Circunferência87
e) Coroa Fechada8
f) Coroa Aberta8
g) Circunferência Unitária8
h) Reta que une dois pontos89
1.15 Exercícios Propostos sobre Números Complexos90
1.16 Respostas dos Exercícios Propostos sobre Números Complexos97
Unidade 2 – Somatórios, Produtórios e uma Introdução às Medidas de Posição115
2.1 Introdução aos Somatórios115
2.2 Definição formal de somatório116
2.3 Propriedades dos Somatórios118
2.4 Somatório Duplo125
2.5 Propriedade dos Somatórios Duplos127
2.6 Exercícios Propostos sobre Somatórios128
2.7 Respostas dos Exercícios Propostos sobre Somatórios132
2.8 Introdução aos Produtórios134
2.9 Definição Formal de Produtório134
2.10 Propriedades dos Produtórios135
2.1 Exercícios Propostos sobre Produtórios137
2.12 Respostas dos Exercícios sobre Produtórios139
2.13 Introdução às Medidas de Posição140
2.14 Média Aritmética – Dados Não-agrupados140
2.15 Média Aritmética – Dados Agrupados141
2.16 Média Geral143
2.17 Média Geométrica – Dados Não-agrupados143
2.18 Média Geométrica – Dados Agrupados144
2.19 Média Harmônica – Dados Não-agrupados145
2.20 Média Harmônica – Dados Agrupados146
2.2 Exercícios de Revisão sobre Medidas de Posição151
2.23 Respostas dos Exercícios Propostos sobre Medidas de Posição152
2.24 Respostas dos Exercícios de Revisão sobre Medidas de Posição152
Unidade 3 – Matrizes, um primeiro enfoque153
3.1. Apresentação153
3.2. Introdução Histórica153
3.3. Conceitos Fundamentais154
3.4. Matrizes Especiais e Operações com Matrizes160
3.4.1 Matriz Linha161
3.4.2 Matriz Coluna161
3.4.3 Matriz Quadrada161
3.4.4 Matriz Triangular164
3.4.5 Matriz Diagonal164
3.4.6 Matriz Escalar165
3.4.7 Matriz Identidade ou Matriz Unidade165
3.4.8 Matriz Nula ou Matriz Zero166
3.4.9 Igualdade de Matrizes166
3.4.10 Transposição de matrizes167
3.4.1 Matriz Oposta168
3.4.12 Matriz Conjugada169
3.4.13 Matriz Simétrica170
3.4.14 Matriz Anti-simétrica171
3.4.15 Matriz Hermitiana173
3.4.16 Matriz Anti-hermitiana173
3.4.17 Soma ou Adição de Matrizes174
3.4.18 Subtração ou Diferença de Matrizes178
3.4.19 Produto de um Número Complexo por uma Matriz179
3.4.20 Produto de Matrizes186
3.4.21 Matriz Periódica204
3.4.2 Matriz Idempotente205
3.4.23 Matriz Nilpotente ou Nulipotente206
3.4.24 Polinômio de uma Matriz206
3.4.25 Matrizes em Blocos ou Partição de Matrizes207
3.5 Exercícios Propostos211

Unidade 1 Revisão de Tópicos Fundamentais do Ensino Médio

1.1 Apresentação

Esta é a primeira unidade da disciplina Matemática 1 dos cursos da área de Informática da Universidade Estácio de Sá.

Devido à flagrante heterogeneidade dos alunos, e já tendo tido várias turmas anteriores de experiência, optamos por apresentar, mesmo que de forma sucinta, alguns assuntos básicos que entendemos como sendo absolutamente fundamentais para o restante do curso, e esperamos que os estudantes que estejam fora do “bom combate” há algum tempo, ou há muito tempo, possam colocar suas idéias de novo em ordem, e os conceitos fundamentais nos seus devidos lugares.

1.2 Simbologia Matemática mais usual

Esperamos que o estudante conheça a seguinte simbologia:

a) = (igual à) b) ≠ (diferente de) c) φ ou {} (conjunto vazio) d) ∈ (pertence à) e) ∉ (não pertence à) f) ⊂ (está contido) g) ⊄ (não está contido) h) ⊃ (contém) i) ⊃/ (não contém) j) ∃ (existe pelo menos um) k) ∃/ (não existe) l) ∃| (existe e é único) m) | (tal que / tais que) p) BA∩ (interseção dos conjuntos A e B) q) BA∪ (união dos conjuntos A e B) r) ∀ (para todo e qualquer, qualquer que seja) s) ⇒ (implica) t) ⇔ (implica e a recíproca é equivalente) u) ∴ (donde se conclui)

1.3 Conjuntos Numéricos

É lógico que, para a Matemática, os conjuntos de maior importância são aqueles formados por números, e certos conjuntos numéricos são especialmente importantes devido às propriedades das operações entre seus elementos e, portanto, recebem nomes especiais, quais sejam:

é o conjunto dos números inteiros não-negativos. b) Z{}K 3, 2, 1, 0, 1, 2, , 3 ,−−−= é o conjunto dos números inteiros.

p x| sendo p ∈ Z, q ∈ Z e q ≠0.

É o conjunto dos números racionais.

São exemplos de números racionais: 5

d) R é o conjunto dos números reais, formados por todos os números racionais e irracionais, e costumamos associar tais números aos pontos de uma reta que, por definição, é infinita em ambos os sentidos.

Fig. 1.1 Representação gráfica de alguns elementos do conjunto R.

e) {}yxzzj+==|C, sendo x ∈ R, y ∈ R e é 1−=j, é o conjuntos dos números complexos (voltaremos a tal assunto na seção 1.14).

Quando incluímos o símbolo * (asterisco), estamos indicando que o zero foi excluído do conjunto. Assim, temos:

Quando incluímos o símbolo + (mais), estamos indicando que foram excluídos todos os números negativos dos conjunto.

k) Z+{∈=x| Z e }0≥x=N é o conjunto dos números inteiros não negativos.

l) Q+{∈=x| Q e }0≥x é o conjunto dos números racionais não negativos m) R+{∈=x| R e }0≥x é o conjunto dos números reais não negativos.

Quando acrescentamos o símbolo – (menos) estamos indicando que foram excluídos todos os números positivos do conjunto. Assim, temos:

é o conjunto dos números inteiros não positivos.

é o conjuntos dos números racionais não positivos.

é o conjunto dos números reais não positivos.

Devemos notar que o zero é elemento dos conjuntos Z+, Z− , Q+, Q−

. Se excluímos o zero destes conjuntos, teremos:

O conjunto R+* é chamado conjunto dos números reais estritamente positivos e R− * é o conjunto dos números reais estritamente negativos. Os outros têm nomes semelhantes.

Notemos a propriedade:

isto é, todo número natural é inteiro, todo número inteiro é racional, todo número racional é real e todo número real é também complexo.

1.4 Operações com Números Relativos •••• Ilustração 1.1: Números relativos

1.4.1 Soma ou Adição

Quando os números têm o mesmo sinal basta conservá-lo e adicionar os números; quando os sinais são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o deste último. É bom lembrar também que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai alterar o sinal do número que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes do parêntese for o de (–). Se não houver nenhum sinal antes do parêntese estará implícito que o sinal será o de mais (+).

Quando devemos somar mais de dois números relativos o resultado é obtido somando o primeiro com o segundo, o resultado obtido com o terceiro, e assim por diante até a última parcela.

Podemos também adicionar separadamente todas as parcelas positivas e todas as negativas e, em seguida, somar os dois números de sinais contrários obtidos.

•••• ILUSTRAÇÃO 1.4 Efetuando a soma do exemplo anterior, temos:

— soma das parcelas positivas:

— soma das parcelas negativas:

1.4.2 Subtração ou Diferença

Cumpre observar que o sinal de menos (–) antes de um parêntese troca o sinal do número que está entre parênteses e, no mais, procedemos como na operação anterior.

Para as operações de multiplicação e divisão que virão logo a seguir vale a seguinte regra: “Números de mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto que os de sinais contrários conduzem sempre à resultados negativos”.

1.4.3 Multiplicação

1.4.5 Potenciação

Quando, em uma multiplicação, os fatores são todos iguais, em módulo e em sinal, esta operação recebe o nome de potenciação. Assim sendo, a potência de um número é o produto de fatores iguais a este número, sendo representada por:

Conforme veremos a seguir, toda potência de expoente par é positiva, qualquer que seja o sinal da base, porém, toda potência de expoente ímpar tem o sinal de base.

Para executar a potenciação de um número relativo em uma minicalculadora, a seqüência de operações é simples:

(a) Determinar 42: 1.º) Digitamos a base (2)

2.º) Pressionamos a tecla exponencial

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