Apostila de equação diferencial ordinaria

Apostila de equação diferencial ordinaria

(Parte 1 de 7)

1) Equações Diferenciais de 1a Ordem a) Definição e classificação das equações diferenciais. b) Solução geral e solução particular. c) Equação de Variáveis Separáveis. d) Equação Homogênea. e) Equações Lineares. f) Equação Diferencial Exata. Fator Integrante. g) Aplicações. 2) Equações Diferenciais Lineares de Ordem n a) Classificação. b) Equações diferenciais lineares homogêneas de 2a ordem com coeficientes constantes. c) Equações diferenciais lineares homogêneas de ordem n com coeficientes constantes. d) Equações diferenciais lineares não-homogêneas de ordem n com coeficientes constantes. e) Método dos coeficientes a determinar para o cálculo de uma solução particular. f) Método da variação dos parâmetros para o cálculo de uma solução particular. g) Método dos operadores para o cálculo de uma solução particular. h) Equações diferenciais lineares de coeficientes variáveis. i) Equação de Euler-Cauchy, homogênea e não-homogênea. j) Equação de Euler-Cauchy generalizada. k) Método da Redução de Ordem. l) Aplicações. 3) Sistemas de Equações Diferenciais a) Método da Eliminação. b) Método dos Operadores. c) Método Matricial (autovalores e autovetores). d) Aplicações (sistemas massa-mola e circuitos elétricos).

4) Transformação de Laplace a) Definição e propriedades. Cálculo de integrais.

b) Definição de Transformada Inversa de Laplace. Teorema de Lerch. Propriedades. c) Cálculo da Transformada Inversa de Laplace: por inspeção e por frações parciais. d) Solução de equações diferenciais e sistemas de equações diferenciais. 5) Seqüências e Séries de Números Reais a) Seqüências. b) Séries Numéricas. c) Critérios de convergência e divergência de séries numéricas. d) Séries de Potências: definição. Intervalo de convergência. e) Série de MacLaurin. Série de Taylor. 6) Resolução de Equações Diferenciais Lineares por Séries a) Resolução em torno de um Ponto Ordinário. b) Resolução em torno de um Ponto Singular Regular (Método de Frobenius).

Livro texto: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno William Boyce & Richard Diprima

1 Equações diferenciais de 1a ordem 1.1 Equações diferenciais

Definição 1: Uma equação cujas incógnitas são funções e que contém, pelo menos, uma derivada ou diferencial dessas funções é denominada de equação diferencial.

Definição 2: Se uma equação diferencial só contém diferenciais ou derivadas totais é denominada de equação diferencial ordinária.

Definição 3: Se uma equação diferencial contém, pelo menos, uma derivada parcial é denominada de equação diferencial parcial.

Exemplos:

b) 0dxydyx=⋅−⋅ordinárias

∂ parciais

Definição 4: Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da “maior” derivada que aparece na equação.

Definição 5: O grau de uma equação diferencial é o grau da derivada de maior ordem envolvida na equação.

Exemplos:

a) 0y dx xd tcos22t c) x dy x

uy yx

1.2 Resolução

Resolver uma equação diferencial significa determinar as funções que satisfazem tal equação. Dessa forma, é pela integração de uma diferencial que se dá a solução e, geometricamente, as curvas que representam soluções são chamadas curvas integrais.

Existem 3 tipos de soluções:

1.2.1 Solução geral: é a solução da equação que contém tantas constantes arbitrárias quantas forem as unidades da ordem de integração; 1.2.2 Solução particular: é a solução deduzida da solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes; 1.2.3 Solução singular: é uma solução não deduzida da solução geral e que só existe em alguns casos.

Exemplos:

a) Dada a equação 2x dx dy =, determine a solução geral e represente geometri- camente. (esta família de curvas recebe o nome de curvas integrais) b) Sendo dadas as curvas seguintes determinar, para cada uma delas, a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária:

iv) ()bxcosay+⋅=, onde a e b são constantes

Definição 6: Uma condição inicial é uma condição da solução de uma equação diferencial num ponto.

Definição 7: Uma equação diferencial com uma condição inicial apresentada é chamada problema de valor inicial (PVI).

Exemplos: a) Seja a equação diferencial 0yy=+′′. Verifique que a função

()()xcoscxsency21⋅+⋅= é solução da equação diferencial e determine o valor das constantes (a solução particular) através do PVI ( )

b) Idem para 06y dx

1.3 Exercícios

1) Sendo dadas as curvas seguintes, determinar para cada uma delas a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária:

222cyx=+R: 0dyydxx=⋅+⋅
b) xecy⋅=R: 0y

a) dx

21cexccy+⋅+=R: 0

dx yd2

2x1ececy−⋅+⋅=R: 02y

f) x2 dx

R: 0dyy

2) Em cada caso, verificar que a função dada constitui uma solução da equação:

h) cy x;

cxcy ; 0yyxy2 2

4 xseny

3xseny xseny e2y ey ; 0yy

xcxcy xy xy ; 06yy4xyx

3) Em cada caso, determinar () ⋅=dxxfy e a constante de integração c, de modo que y satisfaça a condição dada:

==R: ()8x

y ; xcosxf2pi pi== R: ()2xsen

c) ()()()10y ; 2xcosxf==R:
=⋅=R: 

4) Em cada caso, verificar que a função dada é solução da equação diferencial correspondente e determinar as constantes de modo que a solução particular satisfaça a condição dada:

=⋅==R: 2x3y⋅=

81y ; cxcy ; 0 dx

2a23y ; bxcosay ; 0y dx yd 2 pi xcos2y pi

5) Suponha que r1 e r2 são duas raízes reais e distintas da equação

()0crabar2=+−+. Verifique se a função

21 r2r 1xdxdy+=, onde d1 e d2 são constantes arbitrárias, é uma solução da equação diferencial 0cyybxyax2 =+′+′′

1.4 Equações de 1a ordem e 1o grau

São equações do tipo ()yx,f dx yx,Myx,f−=, com ()0yx,N≠, podemos escrever:

1.5 Equações de Variáveis Separáveis

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