Instituto Superior T ecnico

(1) Para cada um dos seguintes conjuntos Z ⊂ C, esboce o conjunto

W = fw 2 C : ew 2 Zg dos seus logaritmos.

Resolu c~ao: Como, para z 6= 0, os logaritmos de z s~ao dados por

Portanto o esbo co do conjunto W e:

y= pi/2−4pi y= −2pi y=0 y= y= y= y= y= y= x y=

2pi pi/2+2pi

4pi pi/2+4pi pi/2−2pi −4pi pi/2

2 AMIV { FICHA RESOLVIDA 2 (b) Tendo em conta que 0 n~ao pertence a imagem da exponencial, temos

Portanto o esbo co do conjunto W e:

y= 4pi y=0 y= 2pi y= −pi y= pi y= 3pi y= −2pi y= −3pi y= −4pi y x

(c)

Portanto o esbo co do conjunto W e:

(1,3pi/4) (1,pi/4)

(1,9pi/4) (1,11pi/4)

(1,17pi/4) (1,19pi/4)

(1,−5pi/4) (1,−7pi/4)

(1,−13pi/4) (1,−15pi/4)

onde e a semicircunferencia ou circunferencia parametrizada por:

4 AMIV { FICHA RESOLVIDA 2

(b) Analogamente∫

(c) Pela aditividade do integral em rela c~ao ao caminho de integra c~ao, o integral da al nea

(3) Seja γ a circunferencia de raio 1 centrada na origem percorrida uma vez no sentido positivo. Usando o teorema de Cauchy e as f ormulas integrais de Cauchy, calcule os seguintes integrais:

(b) Z ez

(c) Z cos z

(d) Z sin z

Resolu c~ao: (a) A fun c~ao constante f(z) = 1 e anal tica em C, que e uma regi~ao simplesmente conexa. Portanto pelo teorema de Cauchy, o integral de f(z) ao longo de qualquer

AMIV { FICHA RESOLVIDA 2 5 (b) f(z) = ez e uma fun c~ao anal tica em C e e um caminho fechado simples contendo a origem e orientado no sentido positivo. Portanto pela f ormula de Cauchy,∫ ez

e uma fun c~ao anal tica em C n f2ig. Como 2i n~ao pertence ao interior do contorno , a fun c~ao e anal tica numa regi~ao que cont em o interior do contorno e portanto, pelo teorema de Cauchy,Z cosz

(d) Podemos escrever o integral na formaZ sinz

Z sinz

Aplicando a f ormula integral de Cauchy para a derivada de ordem 5 de uma fun c~ao anal tica a fun c~ao f(z) = sinz (que e anal tica em C e portanto numa regi~ao que contem o interior do caminho ) temosZ sinz

(4) Determine a s erie de Taylor em torno da origem de cada uma das seguintes fun c~oes, indicando o raio de convergencia.

0 caso contr ario.

Resolu c~ao: (a) Para jzj < 1, a fun c~ao f e a soma da s erie geom etrica de raz~ao z. Por unicidade do desenvolvimento em s erie de potencias, conclu mos que o desenvolvimento de Taylor e

n=0 zn v alido para jzj < 1. O raio de convergencia da s erie de Taylor e 1.

6 AMIV { FICHA RESOLVIDA 2

(b) Temos

zn n! sendo a ultima igualdade v alida para todo o z ∈ C. Por unicidade conclu mos que o desenvolvimento de Taylor em torno da origem e

n! zn sendo o raio de convergencia +1. (c) O desenvolvimento de Taylor de uma fun c~ao num ponto depende apenas dos valores que a fun c~ao toma numa vizinhan ca desse ponto. Portanto o desenvolvimento de Taylor de f(z) na origem e o mesmo que o de cosz. Ora

onde a ultima igualdade se deve ao cancelamento das potencias mpares de z. Este desenvolvimento e v alido para qualquer z 2 C porque o desenvolvimento da exponencial e v alido para todo o z 2 C. Assim, o desenvolvimento de Taylor de f(z) em torno da origem e

Coment ario: Apesar de o desenvolvimento de Taylor da al nea c) convergir para todo o z 2 C, ele s o representa a fun c~ao f no disco aberto de raio 1 centrado na origem, que e o maior disco aberto centrado na origem em que f(z) e anal tica. ♦

(5) Determine as s eries de Laurent da fun c~ao

v alidas nas seguintes regi~oes:

AMIV { FICHA RESOLVIDA 2 7

Resolu c~ao: (a) Temos

Por unicidade do desenvolvimento de Laurent, conclu mos que o desenvolvimento de Laurent na regi~ao 0 < jzj < 1 e

(b) Temos

para 1 zk para jzj > 1

Por unicidade, conclu mos que o desenvolvimento de Laurent na regi~ao jzj > 1 e

(c)

8 AMIV { FICHA RESOLVIDA 2

(d)

para 1

Portanto o desnenvolvimento de Laurent para jz 1j > 1 e

(6) Seja f a fun c~ao de nida por

(a) Determine e classi que as singularidades de f. (b) Determine o desenvolvimento de f em s erie de Laurent v alido para 0 < jzj < 2. (c) Calcule o integral de f ao longo da circunferencia de raio 1 centrada na origem e percorrida uma vez no sentido positivo. (d) Determine o raio de convergencia do desenvolvimento de f em s erie de potencias de z + 3, sem calcular os coe cientes desse desenvolvimento. Justi que!

Resolu c~ao: (a) A fun c~ao f(z) tem singularidades nos pontos z = 0 e z = 2. No ponto 0 temos

sinz onde na segunda e terceira igualdades se aplicou a regra de l’Hospital 1 para resolver a indetermina c~ao do limite. Uma vez que f(z) tem limite quando z ! 0 conclui-se que o ponto z = 0 e uma singularidade remov vel. Quanto ao ponto z = 2, temos

1Tamb em conhecida por regra de Cauchy

AMIV { FICHA RESOLVIDA 2 9 logo o ponto n~ao e uma singularidade remov vel.

logo o ponto z = 2 e um p olo simples. (b) Temos

onde

uma func~ao analtica no interior do contornoEnt~ao pelo teorema de Cauchy,

(c) Seja a circunferencia de raio 1 percorrida uma vez no sentido positivo. A unica singularidade de f(z) no interior de e o ponto z = 0. Uma vez que esta e uma singularidade remov vel podemos prolongar f(z) por continuidade ao ponto 0 obtendo

(d) Seja R o raio de convergencia do desenvolvimento em s erie de Taylor de f(z) no ponto z = 3. Pelo teorema sobre o desenvolvimento de fun c~oes anal ticas em s erie de Taylor sabemos que R e maior ou igual ao raio do maior disco centrado em z = 3 no qual f e anal tica. Isto e, R e maior ou igual a distancia de z = 3 a singularidade mais pr oxima, que e z = 2. Daqui conclu mos que R 1. Por outro lado, a s erie de Taylor converge para uma fun c~ao anal tica no interior do seu disco de convergencia, que coincide com f(z) para jzj < 1. Ora vimos na al nea a) que f(z) ! 1 quando z ! 2. Portanto z = 2 n~ao pode pertencer ao disco de convergencia da s erie. Conclu mos que R 1.

Coment ario: Para classi car a singularidade z = 0 na al nea a) poder-se-ia ter utilizado o desenvolvimento de Laurent da fun c~ao sinz z2 1z no ponto z = 0

10 AMIV { FICHA RESOLVIDA 2

Uma vez que o desenvolvimento de Laurent no ponto z = 0 n~ao tem termos com potencias negativas conclu mos novamente que a singularidade e remov vel. ♦

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