RESUMÃO

MATEMÁTICA

FINANCEIRA

Conteúdo

  1. Noções Básicas pág. 02

  2. Juros Simples , Ordinário e Comercial pág. 04

Taxa Percentual e Unitária

Taxas Equivalentes

Capital, Taxas e Prazos Médios

Montante

Desconto Simples e Comercial

Valor Atual e Desconto Racional

Equivalência de Capitais

  1. Juros Compostos pág. 12

Montante

Valor Atual

Interpolação Linear

Taxas Proporcionais

Taxas Equivalentes

Taxas Nominais e Efetivas

Capitalização

Convenção Linear

Convenção Exponencial

Desconto Racional

Equivalência de Capitais

Rendas Certas

RESUMÃO - MATEMÁTICA FINANCEIRA

1. NOÇÕES BÁSICAS

Conceito: a Matemática Financeira tem por objetivo estudar as diversas formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas para aplicação / obtenção de recursos financeiros.

Capital é qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em determinada época. Referido montante de dinheiro também é denominado de capital inicial ou principal.

Juros é o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um valor em dinheiro durante um certo tempo; é o rendimento em dinheiro, proporcionado pela utilização de uma quantia monetária, por um certo período de tempo.

Taxa de Juros é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado.

Ex.:

Capital Inicial : $ 100

Juros : $ 150 - $ 100 = $ 50

Taxa de Juros: $ 50 / $ 100 = 0,5 ou 50 % ao período

  • a taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc) e pode ser apresentada na forma percentual ou unitária.

Taxa de Juros unitária: a taxa de juros expressa na forma unitária é quase que exclusivamente utilizada na aplicação de fórmulas de resolução de problemas de Matemática Financeira; para conseguirmos a taxa unitária ( 0.05 ) a partir da taxa percentual ( 5 % ), basta dividirmos a taxa percentual por 100:

5 % / 100 = 0.05

Montante denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos).

Capital Inicial = $ 100

+ Juros = $ 50

= Montante = $ 150

Regimes de Capitalização quando um capital é emprestado ou investido a uma certa taxa por período ou diversos períodos de tempo, o montante pode ser calculado de acordo com 2 regimes básicos de capitalização de juros:

  • capitalização simples;

  • capitalização composta;

Capitalização Simples somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ao longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de juros

Capitalização Composta os juros produzidos ao final de um período são somados ao montante do início do período seguinte e essa soma passa a render juros no período seguinte e assim sucessivamente.

  • comparando-se os 2 regimes de capitalização, podemos ver que para o primeiro período considerado, o montante e os juros são iguais, tanto para o regime de capitalização simples quanto para o regime de capitalização composto;

  • salvo aviso em contrário, os juros devidos no fim de cada período (juros postecipados) a que se refere a taxa de juros.

  • No regime de capitalização simples, o montante evolui como uma progressão aritmética, ou seja, linearmente, enquanto que no regime de capitalização composta o montante evolui como uma progressão geométrica, ou seja, exponencialmente.

Fluxo de Caixa o fluxo de caixa de uma empresa, de uma aplicação financeira ou de um empréstimo consiste no conjunto de entradas (recebimentos) e saídas (pagamentos) de dinheiro ao longo de um determinado período.

2. JUROS SIMPLES

Conceito: é aquele pago unicamente sobre o capital inicial ou principal

J = C x i x n

Onde:

J = juros

C = capital inicial

i = taxa unitária de juros

n = número de períodos que o capital ficou aplicado

Observações:

  • a taxa i e o número de períodos n devem referir-se à mesma unidade de tempo, isto é, se a taxa for anual, o tempo deverá ser expresso em anos; se for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses, e assim sucessivamente;

  • em todas as fórmulas matemáticas utiliza-se a taxa de juros na forma unitária (taxa percentual ou centesimal, dividida por 100)

Juro Comercial para operações envolvendo valores elevados e períodos pequenos (1 dia ou alguns dias) pode haver diferença na escolha do tipo de juros a ser utilizado. O juro Comercial considera o ano comercial com 360 dias e o mês comercial com 30 dias.

Juro Exato no cálculo do juro exato, utiliza-se o ano civil, com 365 dias (ou 366 dias se o ano for bissexto) e os meses com o número real de dias.

  • sempre que nada for especificado, considera-se a taxa de juros sob o conceito comercial

Taxa Nominal é a taxa usada na linguagem normal, expressa nos contratos ou informada nos exercícios; a taxa nominal é uma taxa de juros simples e se refere a um determinado período de capitalização.

Taxa Proporcional duas taxas são denominadas proporcionais quando existe entre elas a mesma relação verificada para os períodos de tempo a que se referem.

i1 =t1

i2 t2

Taxa Equivalente duas taxas são equivalentes se fizerem com que um mesmo capital produza o mesmo montante no fim do mesmo prazo de aplicação.

  • no regime de juros simples, duas taxas equivalentes também são proporcionais;

Capital, Taxa e Prazo Médios

em alguns casos podemos ter situações em que diversos capitais são aplicados, em épocas diferentes, a uma mesma taxa de juros, desejando-se determinar os rendimentos produzidos ao fim de um certo período. Em outras situações, podemos ter o mesmo capital aplicado a diferentes taxas de juros, ou ainda, diversos capitais aplicados a diversas taxas por períodos distintos de tempo.

Capital Médio (juros de diversos Capitais) é o mesmo valor de diversos capitais aplicados a taxas diferentespor prazos diferentes que produzem a mesma quantia de juros.

Cmd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn

i1 n1 + i2 n2 + i3 n3 + ... + in nn

Taxa Média é a taxa à qual a soma de diversos capitais deve ser aplicada, durante um certo período de tempo, para produzir juros iguais à soma dos juros que seriam produzidos por diversos capitais.

Taxamd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn

C1n1 + C2 n2+ C3 n3+ ... + Cn nn

Prazo Médio é o período de tempo que a soma de diversos capitais deve ser aplicado, a uma certa taxa de juros, para produzir juros iguais aos que seriam obtidos pelos diversos capitais.

Prazomd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn

C1i1 + C2 i2+ C3 i3+ ... + Cn in

Montante é o CAPITAL acrescido dos seus JUROS.

M = C ( 1 + i x n )

  • a fórmula requer que a taxa i seja expressa na forma unitária;

  • a taxa de juros i e o período de aplicação n devem estar expressos na mesma unidade de tempo;

Desconto Simples quando um título de crédito (letra de cambio, promissória, duplicata) ou uma aplicação financeira é resgatada antes de seu vencimento, o título sofre um ABATIMENTO, que é chamado de Desconto.

Valor Nominal: valor que corresponde ao seu valor no dia do seu vencimento. Antes do vencimento, o título pode ser resgatado por um valor menor que o nominal, valor este denominado de valor Atual ou valor de Resgate.

Desconto Comercial também conhecido como Desconto Bancário ou “por fora”, é quando o desconto é calculadosobre o valor nominal de um título.
  • pode ser entendido como sendo o juro simples calculado sobre o valor nominal do título;

Dc = N x i x n

Onde:

Dc = Desconto Comercial

N = Valor Nominal

i = Taxa de juros

n = Período considerado

Ex.: Uma promissória de valor nominal de $ 500 foi resgatada 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de 8 % a.a.. Qual o valor do Desconto ?

N = $ 500

i = 8 % a.a. = 0.08 Dc = N . i . n

n = 4 meses = 4/12 Dc = 500 . 0.08 . 4/12

Dc = ? Dc = $ 13,33

Valor Atual o Valor Atual (ou presente) de um título é aquele efetivamente pago (recebido) por este título, na data de seu resgate, ou seja, o valor atual de um título é igual ao valor nominal menos o desconto. O Valor Atual é obtido pela diferença entre seu valor nominal e o desconto comercial aplicado.

Vc = N - Dc

Ex.: Um título de crédito no valor de $ 2000, com vencimento para 65 dias, é descontado à taxa de 130 % a.a. de desconto simples comercial. Determine o valor de resgate (valor atual) do título.

N = $ 2000 Dc = N . i . n = $ 2000 . 1.30 . 65/360

n = 65 dias = 65/360 Dc = $ 469,44

i = 130 a.a. = 1.30

Dc = ? Vc = N – Dc = $ 2000 - $ 469,44

Vc = ? Vc = $ 1.530,56

Desconto Racional o desconto racional ou “por dentro” corresponde ao juro simples calculado sobre o valor atual (ou presente) do título. Note-se que no caso do desconto comercial, o desconto correspondia aos juros simples calculado sobre o valor nominal do título.

Dr = N x i x n

( 1 + i x n )

Ex.: Qual o desconto racional de um título com valor de face de $ 270, quitado 2 meses antes de seu vencimento a 3 % a.m. ?

N = $ 270 Dr = N . i . n / (1 + i . n)

n = 2 meses Dr = $ 270 . 0.03 . 2 / (1 + 0.03 . 2)

i = 3 a.m. = 0.03 a.m. Dr = $ 16,20 / 1.06

Dr = ? Dr = $ 15,28

Valor Atual Racional é determinado pela diferença entre o valor nominal N e o desconto racional Dr

Vr = N - Dr

Equivalência de Capitais

Capitais Diferidos quando 2 ou mais capitais (ou títulos de crédito, certificados de empréstimos,etc), forem exigíveis em datas diferentes, estes capitais são denominados DIFERIDOS.

Capitais Equivalentes por sua vez, 2 ou mais capitais diferidos serão equivalentes, em uma certa data se, nesta data, seus valores atuais forem iguais.

Equivalência de Capitais p/ Desconto Comercial

  • Chamando-se de Vc o valor atual do desconto comercial de um título num instante n’ e de V’c o de outro título no instante n’, o valor atual destes títulos pode ser expresso como segue:

Vc = N ( 1 – i.n ) e V’c = N’ ( 1 – i . n’ )

Para que os títulos sejam equivalentes, Vc deve ser igual a V’c, então:

N’ = N ( 1 – i x n)

1 – i x n’

onde:

N’ = Capital Equivalente

N = Valor Nominal

n = período inicial

n’ = período subseqüente

i = taxa de juros

Ex.: uma promissória de valor nominal $ 2000, vencível em 2 meses, vai ser substituída por outra, com vencimento para 5 meses. Sabendo-se que estes títulos podem ser descontados à taxa de 2 % a.m., qual o valor de face da nova promissória ?

$ 2.000 N’

N’ = ? ] ] ] ] ] ]

N = $ 2.000 0 1 2 3 4 5

n’ = 5 meses

n = 2 meses

I = 2 % a.m. = 0,02 a.m.

N’ = N (1 – i . n) / 1 – i . n’ = 2.000 (1 – 0.02 . 2) / (1 – 0.02 . 5)

N’ = $ 2.133

Equivalência de Capitais p/ Desconto Racional

  • Para se estabelecer a equivalência de capitais diferidos em se tratando de desconto racional, basta lembrar que os valores atuais racionais dos respectivos capitais devem ser iguais numa certa data.

  • Chamando-se de Vr o valor atual do desconto comercial de um título na data n’ e de N o valor nominal deste título na data n, e de V’r o valor racional atual de outro título na data n’, e de N’ o valor nominal do outro título na data n’, temos:

Vr = N / ( 1 + i.n ) e V’r = N’ / ( 1 + i . n’ )

Para que se estabeleça a equivalência de capitais devemos ter Vr = V’r, logo:

N’ = N ( 1 + i x n’ )

1 + i x n

onde:

N’ = Capital Equivalente

N = Valor Nominal

n = período inicial

n’ = período subseqüente

i = taxa de juros

Ex.: qual o valor do capital disponível em 120 dias, equivalente a $ 600, disponível em 75 dias, `a taxa de 80 % a.a. de desconto racional simples ?

N $ 600 N’ = ?

] ] ] ]

0 75 120

Vr 75

Vr 120

Vr 75 = ?

Vr 120 = ?

n = 75 dias

n’ = 120 dias

i = 80 % a.a. = 0.80 a.a. = 0.80/360 a.d.

Como Vr 75 = Vr 120, temos N’ = 600 . ( 1 + 0.80/360 . 120) / (1 + 0.80/360 . 75)

N’ = $ 651,28

  1. JUROS COMPOSTOS

Conceito: No regime de Juros Compostos, no fim de cada período de tempo a que se refere a taxa de juros considerada, os juros devidos ao capital inicial são incorporados a este capital. Diz-se que os juros são capitalizados, passando este montante, capital mais juros, a render novos juros no período seguinte.

Juros Compostos são aqueles em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial, acrescidos dos juros acumulados até o período anterior

Cálculo do Montante vamos supor o cálculo do montante de um capital de $ 1.000, aplicado à taxa de 10 % a.m., durante 4 meses.

CAPITAL

( C )

Juros

( J )

Montante

( M )

1º Mês

1.000

100

1.100

2º Mês

1.100

110

1.210

3º Mês

1.210

121

1.331

4º Mês

1.331

133

1.464

  • Pode-se constatar que a cada novo período de incidência de juros, a expressão (1 + i) é elevada à potência correspondente.

S = P ( 1 + i ) n

Onde:

S = Soma dos Montantes

P = Principal ou Capital Inicial

i = taxa de juros

n = nº de períodos considerados

  • a taxa de juros i e o período de aplicação n devem estar expressos na mesma unidade de tempo;

Ex.: Um investidor quer aplicar a quantia de $ 800 por 3 meses, a uma taxa de 8 % a.m., para retirar no final deste período. Quanto irá retirar ?

S = ?

0i = 8 % a.m.

$ 800 n = 3

Dados: Pede-se: S = ?

P = $ 800

n = 3 meses

i = 8 % a.m. = 0.08 a.m.

S = P (1 + i ) n = 800 x (1 + 0.08) 3 = 800 x (1.08) 3

S = $ 800 x 1.08 x 1.08 x 1.08

S = $ 1.007,79

Valor Atual Considere-se que se deseja determinar a quantiaP que deve ser investida à taxa de jurosi para que se tenha o montanteS, após nperíodos, ou seja, calcular ovalor atual de S.

- Basta aplicarmos a fórmula do Montante, ou Soma dos Montantes, para encontrarmos o valor atual

P = S / ( 1 + i ) n

Onde:

S = Soma dos Montantes

P = Principal ( VALOR ATUAL )

i = taxa de juros

n = nº de períodos considerados

Interpolação Linear é utilizada para o cálculo do valor de ( 1 + i ) n , quando o valor de n ou de i não constam da tabela financeira disponível para resolver o problema.

  • a interpolação é muito utilizada quando se trabalha com taxas de juros “quebradas” ou períodos de tempo “quebrados”. Ex.: taxa de juros de 3.7 % a.m. ou 5 meses e 10 dias

  • Como a tabela não fornece o valor da expressão ( 1 + i ) n para números “quebrados”, devemos procurar os valores mais próximos, para menos e para mais, e executarmos uma regra de três, deste modo:

Ex.: Temos que calcular o montante de um principal de $ 1.000 a uma taxa de juros de 3.7 % a.m., após 10 meses, a juros compostos.

A tabela não fornece o fator ( 1 + i ) n correspondente a 3.7 %, mas seu valor aproximado pode ser calculado por interpolação linear de valores fornecidos na tabela.

Procuramos, então, as taxas mais próximas de 3.7 %, que são 3 % e 4 %. Na linha correspondente a 10 períodos (n), obtêm-se os fatores correspondentes a ( 1 + i ) n que são, respectivamente, 1.343916 e 1.480244. Procedemos, então, a uma regra de três para encontrarmos o fator referente a 3.7 %:

  • para um acréscimo de 1 % ( 4% - 3% ) temos um acréscimo de 0.136328 (1.480244 – 1.343916);

  • para 0.7 % de acréscimo na taxa, o fator ( 1 + i ) n terá um acréscimo de x. Portanto:

1 % --------------- 0.136328

0.7 % ------------- x

x = 0.09543

- Somando-se o valor encontrado (0.09543) ao do fator ( 1 + i ) n correspondente à taxa de 3 % (1.343916), teremos o fator (1.439346) correspondente à taxa de 3.7 %.

- Voltando à solução do problema, temos:

S = 1.000 x 1.439346

S = $ 1.439,34

Taxas Proporcionais

  • Na formação do montante, os juros podem ser capitalizados mensalmente, trimestralmente, semestralmente e assim por diante, sendo que, via de regra, quando se refere a período de capitalização, a taxa de juros é anual. Assim, pode-se falar em:

  • juros de 30 % a.a., capitalizados semestralmente;

  • juros de 20 % a.a., capitalizados trimestralmente;

  • juros de 12 % a.a., capitalizados mensalmente;

  • Quando a taxa for anual, capitalizada em períodos menores, o cálculo de ( 1 + i ) n é feito com a taxa proporcional. Dessa forma:

  • Para 30 % a.a., capitalizados semestralmente, a taxa semestral proporcional é 15% a.s.

1 ano = 2 semestres 30 % a.a. = 2 x 15 % a.s.

  • Para 20 % a.a., capitalizadas trimestralmente, a taxa trimestral proporcional é 5 % a.t.

1 ano = 4 trimestres 20 % a.a. = 4 x 5 % a.t.

  • Para 12 % a.a., capitalizados mensalmente, a taxa mensal proporcional é 1 % a.m.

1 ano = 12 meses 12 % a.a. = 12 x 1 % a.m.

Ex.: Qual o montante do capital equivalente a $ 1.000, no fim de 3 anos, com juros de 16 %, capitalizados trimestralmente ?

Dados:

P = 1.000

i = 16 % a.a. = 4 % a.t. = 0.04 a.t.

n = 3 anos = 12 trimestres

S = P . ( 1 + i ) n

S = 1.000 . ( 1 + 0.04 ) 12

S = 1.000 x (1.601032) S = $ 1.601,03

TAXAS EQUIVALENTES

  • São taxas diferentes entre si, expressas em períodos de tempo diferentes, mas que levam um capital a um mesmo resultado final ao término de um determinado período de tempo.

  • Duas taxas são equivalentes quando, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que o capital produza o mesmo montante, num mesmo intervalo de tempo.

Temos, então:

C = ( 1 +ie ) n , onde: ie= taxa de juros equivalente

Ck = ( 1 +ik ) nk , onde: ik = taxa de juros aplicada

- Como queremos saber a taxa de juros equivalente (ik), para um mesmo capital, temos:

C = Ck ( 1 +ie ) n = ( 1 +ik ) nk

Então: ie =( 1 +ik ) k - 1

- Esta fórmula é utilizada para, dada uma taxa menor (ex.: dia, mês, trimestre), obter a taxa maior equivalente (ex.: semestre, ano).

Ex.: Qual a taxa anual equivalente a 10 % a.m. ?

ik= 10 % a.m. = 0.1 a.m. ie= ?

k = 1 ano = 12 meses

ie =( 1 +ik ) k – 1 = (1 + 0.1) 12 - 1 = 2.138428

ie = 2.138428 ou transformando para taxa percentual ie = 213,84 %

TAXAS NOMINAL e EFETIVA (ou REAL)

  • No regime de juros simples, as taxas são sempre EFETIVAS. Para melhor compreensão dos conceitos de Taxa Nominal e Taxa Efetiva, no sistema de juros compostos, vamos considerar os seguintes enunciados:

1. Qual o montante de um capital de $ 1.000, colocado no regime de juros compostos à taxa de 10 % a.a., com capitalização anual, durante 2 anos ?

Solução: Tal enunciado contém uma redundância, pois em se tratando de uma taxa anual de juros compostos, está implícito que a capitalização (adição de juros ao Capital), é feita ao fim de cada ano, ou seja, é anual. Elaborado visando o aspecto didático, este enunciado objetivou enfatizar que a taxa efetivamente considerada é a de 10 % a.a., ou seja, que a taxa de 10 % é uma taxa efetiva.

2. Qual o montante de um capital de $ 1.000, colocado no regime de juros compostos, à taxa de 10 % a.a., com capitalização semestral, durante 2 anos ?

Solução: Este segundo enunciado também apresenta uma incoerência, pois sendo uma taxa anual, os juros só são formados ao fim de cada ano e, portanto, decorridos apenas 1 semestre, não se terão formados ainda nenhum juros e, por conseguinte, não poderá haver capitalização semestral.

Portanto, na prática costuma-se associar o conceito detaxa nominalao detaxa proporcional

Assim, se a taxa de juros por período de capitalização for i e se houver N períodos de capitalização, então a taxa nominaliN será:

IN = N x i

O conceito de taxa efetiva está associado ao de taxa equivalente. Assim, a taxa efetiva ie pode ser determinada por equivalência, isto é, o principal P, aplicado a uma taxa ie, durante um ano, deve produzir o mesmo montante quando aplicado à taxa i durante n períodos.

i = ( 1 + ie) 1/n - 1

Ex.: Vamos supor $ 100 aplicados a 4 % a.m., capitalizados mensalmente, pelo prazo de 1 ano. Qual a taxa nominal e a taxa efetiva.

  1. Taxa Nominal

IN = N x i 12 x 0.04 = 0.48 IN= 48 % a.a. Taxa Nominal

b) Taxa Efetiva

P = $ 100 S = P (1 + i) n

S = ?

i = 4 % a.m. = 0.04 a.m. S = 100 x ( 1 + 0.04) 12

n = 12 meses S = 100 x 1.60103

S = $ 160,10

Logo, J = 160,10 – 100 J = $ 60,10, que foi produzido por $ 100; então:

ie = 60,10 % a.a.

A taxa equivalente também poderia ser determinada pela fórmula:

i = ( 1 + ie) 1/n - 1

ie = ( 1 + i)n - 1 = (1 + 0.04)12 – 1 = 1.60103 – 1 = 0.60103

ie = 0.6010 transformando-se para a forma percentual, temos:

ie = 60,10 % a.a.

CAPITALIZAÇÃO EM PERÍODOS FRACIONÁRIOS

  • No regime de capitalização composta, os juros são capitalizados ao final de um período inteiro de capitalização (mês, ano, bimestre, semestre, etc). Dentro deste conceito, qual o tratamento a ser dado para os períodos não inteiros de uma operação? Nestas situações pode ser adotada a convenção linear ou a exponencial.

CONVENÇÃO LINEAR

  • Por esta convenção, calcula-se o montante a juros compostosdo número de períodos inteiros. Ao montante obtido, adicionam-se os juros simples a ele correspondente no período fracionário.

  • Denominando-se de t + p / q o prazo total; de t, o número de períodos inteiros, e de p / q uma fração desse período, para calcular o montante S, atingido pelo capital P, na taxa i, ao fim de t + p / q períodos, temos:

S = P . ( 1 + i )n + P ( 1 + i )n . i . p / q

Juros compostos juros simples nas frações de períodos

Nos períodos inteiros (taxa proporcional)

S = P ( 1 + i ) n . ( 1 + i . ( p / q ) )

Ex.: Dado um capital de $ 100.000, aplicado a juros compostos durante 3 anos e 2 meses, à taxa de 12 % a.a., capitalizados anualmente, calcular S, pela conversão linear.

Dados:

P = $ 100.000 Pede-se: S = ?

i = 12 % a.a. = 0.12 a.a.

n = 3 anos S = P (1 + i)n . (1 + i . p/q)

p / q = 2 meses = 1 / 6 ano S = 100.000 (1+0.12)3 (1+0.12 . 1/6)

S = $ 143.302,66

CONVENÇÃO EXPONENCIAL

  • Na convenção exponencial, o capital renderá juros compostos durante todo o período de aplicação, ou seja, nos períodos inteiros e fracionários. É conveniente notar que, nos períodos fracionários, o cálculo é efetuado pela taxa equivalente. Assim, temos:

S = P ( 1 + i ) n( + p / q)

Ex.: Um capital de $ 135.000 foi aplicado a juros compostos de 12.6825 % a.a. , capitalizados anualmente, durante um prazo de 2 anos e 3 meses. Calcular S pela convenção exponencial.

Dados:

P = $ 135.000 Pede-se: S = ?

n = 2 anos = 24 meses

p / q = 3 meses

n + p/q = 24 + 3 = 27 meses

i = 12.6825 % a.a. = ? a.m.

  • Antes de resolver a questão, devemos ter a taxa e o período de capitalização numa única unidade de tempo, isto é, homogeneizados. Como temos a taxa anual, vamos determinar a taxa mensal equivalente. Temos:

Dados:

P = $ 100 Pede-se: i = ?

S = $ 112,6825

n = 12 meses S = P ( 1 + i )n

112,6825 = 100 ( 1 + i )12

( 1 + i )12 = 1.126825

  • consultando a tabela de ( 1 + i )n, a taxa correspondente ao fator 1.1268, para n = 12, obtém-se i = 1 %. Como n está expresso em meses, a taxa será de 1 % a.m. Voltando ao problema, temos:

S = P ( 1 + i ) n ( + p / q) = 135.000 ( 1 + 0.01) 27

- Como a tabela de ( 1 + i ) n para i = 1 e n = 18, obtém-se 1.196147 e para n = 9, obtém-se 1.093685, logo:

S = 135.000 x (1.196147) x (1.093685)

S = $ 176.608,13

ATENÇÃO: Ao se resolverem problemas de capitalização com períodos fracionários, o primeiro passo é definir claramente qual a convenção a ser utilizada, isto é, se vai ser aplicada a convenção linear ou a exponencial. Definido que será a linear, deve-se trabalhar comtaxas proporcionais para o cálculo da capitallização no período fracionário. Caso definido que será empregada a exponencial, será utilizada a taxa equivalente.

DESCONTOS COMPOSTOS

  • Corresponde à soma dos descontos simples, calculados isoladamente em cada período de capitalização.

DESCONTO RACIONAL COMPOSTO

  • O desconto racional composto é calculado sobre o valor atual (presente) de um título, utilizando-se do regime de capitalização composta. Dessa forma, o desconto racional composto (real, ou racional, ou “por dentro”) pode ser entendido como sendo os juros compostos calculados sobre o valor presente (ou atual) de um título. Em outras palavras, a taxa de desconto, aplicada sobre o valor atual, resulta no valor futuro( ou nominal ) do título.

Dr = S . ( 1 + i ) n - 1

( 1 + i ) n

Ex.: O valor do desconto real de uma nota promissória, que vence em 36 meses, é de $ 11.318,19. Admitindo-se que é utilizada uma taxa de 2 % a.m. de desconto racional, qual o valor nominal do título ?

Dados:

D = $ 11.318,19 Pede-se: S = ?

i = 2 % a.m. = 0.02 a.m.

n = 36 meses

- Aplicando-se a fórmula, encontramos:

11.318,19 = S x (1 + 0.02)36 – 1 / ( 1 + 0.02) 36

S = $ 22.202,19

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

  • Trabalhando-se no regime de capitalização simples, a equivalência de capitais ocorre quando dois ou mais capitais diferidos (exigíveis em datas diferentes) descontados (comercialmente ou racionalmente), possuem o mesmo valor atual na data “zero”.

  • No sistema de capitalização composta usual (juros compostos e desconto racional composto), a equivalência de capitais pode ser feita na data zero (valor atual) ou em qualquer outra data, vez que os juros compostos são equivalentes aos descontos compostos.

Ex.: Considere uma dívida de $ 2.000 no final de 3 meses, a uma taxa de juros compostos de 10 % a.m. Quanto seria o valor do capital da data de hoje?

Capital A = ?

Capital B = $ 2.000 capital B = Capital A

i = 10 % a.m. = 0.10 a.m. 2.000 = capital A ( 1 + 0.10) 3

n = 3 meses 2.000 = capital A ( 1.1 x 1.1 x 1.1)

Capital A = 2.000 / 1.331 C = $ 1.502,63

RENDAS CERTAS

Denomina-se Renda o conjunto de 2 ou mais pagamentos, ocorridos em épocas distintas, objetivandoa formação de um capital ou o pagamento de uma dívida.

Termos os pagamentos (prestações ou depósitos) são os termos da Renda.

Montante da Renda quando a renda for destinada à formação de um capital, estecapital será denominado de Montante da Renda.

Valor Atual da Renda se o objetivo da renda for o pagamento de uma dívida, o valor da dívida será designada por Valor Atual da Renda.

Graficamente, temos:

S

0 1 2 3 4

|

R R R

Onde: S = Montante de uma Renda com 3 termos (depósitos)

P

0 1 2 3

|

R R R

Onde: P = Valor Atual ou presente de uma Renda com 3 termos (Pagamentos)

  • As Rendas podem ser classificadas em função de:

  1. possibilidade de se estabelecer previamente o número de termos de uma renda, seus vencimentos e respectivos valores.

  • Nas Rendas Certas, o número de termos, seus vencimentos e respectivos valorespodem ser previamente calculados.

  • Ex.: as prestações necessárias para pagar uma compra a prazo.

  • As rendas aleatórias são aquelas em que pelo menos um dos elementos da renda (número de termos, vencimentos, valores) não pode ser previamente estabelecido.

  • Ex.: pagamento de uma pensão vitalícia.

  1. Duração, periodicidade e valores dos termos.

  • Por este critério as rendas podem ser classificadas em:

  • Temporárias - são as rendas em que o número de termos é finito e a renda tem um termo final.

  • Ex.: venda de um carro financiado em 15 parcelas;

  • Perpétuas – são as rendas em que o número de termos é infinito.

  • Ex.: direitos autorais

  • Periódicas – são aquelas em que a freqüência entre pagamentos é constante.

  • Ex.: Aluguéis mensais;

  • Não – Periódicas – são aquelas em que a freqüência entre os pagamentos não é constante.

  • Ex.: venda de um bem a prazo, com pagamento de uma parcela no ato, a 2ª com 30 dias e 3ª com 50 dias.

  • Constantes - são aquelas em que todos os pagamentos são de um mesmo valor

  • Ex.: financiamento de um veículo em 5 parcelas mensais, iguais e consecutivas;

  • Variáveis – são aquelas em que os pagamentos não são do mesmo valor.

  • Ex.: parcelas de um consórcio.

  1. Vencimento dos termos

  • quanto ao vencimento dos termos as Rendas podem se classificar em:

  • rendas imediatas – (ou postecipadas) - quando os pagamentos ocorrem no fim de cada período (convenção de fim de período do fluxo de caixa)

  • rendas antecipadas - quando os pagamentos ocorrem no início de cada período;

  • rendas diferidas – quando o pagamento (ou recebimento) dos termos passa a ocorrer após determinado período de tempo (prazo de carência)

1. RENDAS IMEDIATAS

Valor Atual de uma Renda Imediata o valor atual (ou presente) de uma renda equivale ao valor de uma dívida (empréstimo, valor à vista de um bem) que será pago em prestações.

1 2 3 4 ..... n

Renda imediata 0

R R R R R

P = R x ( 1 + i )n - 1

i x ( 1 + i )n

Onde:

P = Capital

R = Renda ou Prestação

i = Taxa de juros

n = Períodos

Ex.: Qual o valor da prestação mensal de um financiamento de $ 250,000, em 5 parcelas, à uma taxa de 5 % a.m. ?

Dados:

P = $ 250.000 Pede-se: R = ?

n = 5 meses

i = 5 % a.m. = 0,05 a.m. P = R .( (1 + i)n - 1) / i . (1 + i) n

250,000 = R . ((1 + 0,05)5 – 1) / 0,05 . (1 + 0,05)5 .

250,000 = R . (1,276281 – 1) / (0,05 . 1,276281)

R = (250,000 x 0,063814) / 0,276281 R = $ 57.743,70

Montante de Rendas Imediatas O montante de uma renda imediata corresponde à soma dos depósitos (termos) individuais, durante n períodos, a uma taxa i de juros.

  • devemos lembrar que o valor presente da série de ntermos da renda, no instante zero, deve ser equivalente ao montante Sno instante zero.

S = R x ( 1 + i )n - 1

i

Onde:

S = Montante

R = Renda ou Prestação

i = Taxa de juros

n = Períodos

Ex.: Se quisermos ter $ 2,000,000 daqui a 12 meses, quanto deveremos depositar mensalmente sabendo que a taxa de juros é de 15 % a.m. ?

Dados:

S = $ 2,000,000 Pede-se: R = ?

n = 12 meses

i = 15 % a.m. = 0,15 a.m. S = R . ((1 + i)n - 1) / i

2,000,000 = R . ((1 + 0,15) 12 - 1 ) / 0,15 2,000,000 = R . 4,35025 / 0,15

R = 2,000,000 x 0,15 / 4,35025 R = $ 68,961.55

2. RENDAS ANTECIPADAS

Valor Atual de uma Renda Antecipada Nas rendas imediatas, o primeiro pagamento ocorre no final do primeiro período e dos demais no final dos respectivos períodos. Nas Rendas antecipadas, o 1º pagamento ocorre no instante zero e os demais pagamentos ocorrem no início de cada período.

1 2 3 4 ..... n

Renda imediata 0

R R R R R

1 2 3 n

Renda ANTECIPADA 0

R R R R R

Comparando-se os diagramas de renda imediata com o de renda antecipada, a única diferença é que o primeiro termo, na renda imediata, ocorre no fim do 1º período, enquanto na antecipada, o 1º pagamento ocorre no instante zero.

  • Caso o 1º pagamento da série antecipada ocorresse no final do 1º período, automaticamente a série antecipada seria transformada em imediata (postecipada).

  • Para “empurrar” o 1º termo para o final do instante 1 ( e os demais para o final dos respectivos períodos), basta que multipliquemos a série de pagamentos por ( 1 + i )n, “deslocando” o gráfico para a direita por um período. Como resultado desta “transformação”, a série de pagamentos antecipados passa a ser uma renda postecipada.

  • Portanto, para encontrarmos o valor das rendas antecipadas, basta dividirmos o valor encontrado para as rendas imediatas por( 1 + i ).

R antecipada = R imediata / ( 1 + i )

Ex.: Um apartamento é vendido à vista por $ 100,000, mas pode ser vendido a prazo em 19 prestações mensais, iguais, vencendo a 1ª no ato da compra. Sabendo que a taxa de juros é de 2% a.m., qual o valor da Prestação ?

Dados:

P = $ 100,000 Pede-se: R = ? (antecipada)

n = 19 meses

i = 2 % a m. = 0,02 a m.

Solução: Primeiramente, calculemos o valor das prestações caso o produto fosse vendido sem entrada, com a 1ª prestação somente no final do 1º período.

P = R . ((1 + i)n – 1) / (i . ( 1 + i)n 100,000 = R . ((1,02)19 – 1) / (0,02 . (1,02)19 )

100,000 = R . 0,456811 / (0,02 . 1,456811) 100,000 = R . 0,456811 / 0,029136

R = 100,000 x 0,029136 / 0,456811 R = $ 6.378,13 (imediata)

R (antecipada) = $ 6.378,13 / (1 + 0,02) R = $ 6.253,07 (antecipada)

Montante de Rendas Antecipadas A exemplo dos valores atuais de rendas imediatas e antecipadas, o montante de uma renda antecipada irá diferir do montante de uma renda imediata (ou postecipada) no tocante à ocorrência do 1º depósito.

  • Portanto, para encontrarmos o valor do montante antecipado, basta dividirmos o valor encontrado para o montante imediato por( 1 + i ).

Santecipada = Simediata / ( 1 + i )

Ex.: Quanto devo depositar mensalmente num fundo de investimento que paga 4 % a m., para que, no fim de 10 meses, não ocorrendo nenhum resgate, possa dispor de $ 150,000, supondo o 1º depósito na data zero, e o total de 10 depósitos ?

Dados:

S = $ 150,000 Pede-se: R = ?

n = 10 meses

i = 4 $ a m. = 0,04 a.m.

Solução: Primeiramente, calculemos o valor dos depósitos caso o primeiro fosse feito não na data zero, mas 30 dias após, ou seja, no final do 1º período.

S = R . ((1 + i)n - 1) / i 150,000 = R . ((1 + 0,04)10 – 1) / 0,04

150,000 = R . (1,04)10 – 1) / 0,04 150,000 = R . (1,480244 – 1) / 0,04

150,000 = R . 0,480244 / 0,04 R = 150,000 x 0,04 / 0,480244

R = $ 12.493,65 (imediata) R antecipada = R imediata / 1 + i

R antecipada = 12.493,65 / 1,04 R = $ 12.013,12 (antecipada)

3. RENDAS DIFERIDAS

Valor Atual de Rendas Diferidas As rendas diferidas são aquelas em que os pagamentos ou depósitos passam a ocorrer após um certo prazo, prazo este denominado prazo ou período de carência.

P renda de 5 termos, c/ 3 períodos de

Carência.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

R

  • o cálculo do valor atual de uma renda diferida pode ser decomposto em 2 etapas:

1ª etapa: cálculo do valor presenteda renda até o final do período de carência;

2ª etapa: cálculo do valor presente, na data zero, do valor obtido no final do período de carência.

P = 1 x R x ( 1 + i )n - 1

( 1 + i )n i x ( 1 + i )n

período de carência cálculo da renda após a carência

Ex.: Qual o valor atual de uma renda de $ 100, de 3 termos mensais, com 2 meses de carência, à taxa de 6 % a m. ?

P = ? i = 6 % a m.

0 1 2 3 4 5

--- carência ------- R = 100

1ª etapa:

Dados:

R = 100 Pede-se: P2 = ?

n = 3 meses

i = 6 % a m. = 0,06 a m. P = R . ((1 + i)n - 1) / i .(1 + i)n

P = 100 . ((1 + 0,06)3 – 1) / (1 + 0,06)3 P = 100 . (1,191016 – 1) / 1,191016 x 0,06

P = 100 . 0,191016 / 1,191016 x 0,06 P2 = $ 267,30

2ª etapa:

Dados: Pede-se: P = ?

P2 = 267,30 P = P2 / (1 + i)n P = $ 267,30 / (1 + 0,06)2

n = 2 meses

i = 6 % a m. = 0,06 a m. P = 267,30 / 1,1236 P = $ 237,90

Valor Atual de Rendas Perpétuas Imediatas Rendas Perpétuas são aquelas em que o número de termos é infinito. O valor atual de uma renda perpétua imediata é dado pela fórmula:

P = R / i

Onde:

P = Valor do Capital

R = Renda ou pagamento

I = taxa de juros

Ex.: Durante 10 anos um investidor pretende depositar mensalmente uma certa quantia para, após o término dos depósitos, ter uma renda perpétua de $ 2,000 por mês. Considere a convenção de fim de período e juros de 1 % a m.

S

0 1 120 R00

R

1ª etapa: vamos, inicialmente, calcular o valor que proporciona uma renda mensal vitalícia de $ 2,000

P = R / i P = 2000 / 0,01 P = $ 200,000

2ª etapa: agora o problema se resume a, dado o Montante S, achar a Renda N:

Dados:

S = $ 200,000 Pede-se: R = ?

i = 1 % a m. = 0,01 a m. S = R . ((1 + i)n - 1) / i

n = 120 meses 200,000 = R . ((1 + 0,01)120 – 1) / 0,01

200,000 = R . (1,01120 – 1) / 0,01 200,000 = R . (1,01120 – 1)/ 0,01

R = 200,000 x 0,01 / (1,01120– 1) R = 2000 / 2,3003841

R = $ 869,42

Valor Atual de Rendas Perpétuas antecipadas Para calcular o valor atual de rendas perpétuas antecipadas, basta adicionar o termo que ocorreu no instante zeroà fórmula das rendas perpétuas imediatas. Assim, temos:

P = R + R / i

Ex.: Uma pessoa pretende se aposentar e “viver de juros”. Quanto deve ter depositado para receber $ 2,000 mensalmente, sabendo que o investimento feito paga juros de 1 % a. m.. Considerar série infinita de pagamentos antecipados.

P = R + R / i P = 2000 + 2000 / 0,01 P = $ 102,000

SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS

  • Quando se contrai uma dívida, o devedor se compromete a devolver o capital emprestado acrescido dos juros, que é a remuneração do capital. Como a remuneração do capital depende do regime de juros adotados, geralmente este regime é determinado pelo prazo em que o empréstimo é efetuado.

Sistemas de Amortização de Curto Prazo Para os casos de empréstimos de curto prazo (inferior a 1 ano) costuma-se utilizar o sistema de juros simples, sendo que as formas mais freqüentes de se quitar o débito são:

  1. O principal e os juros são pagos somente no final do período do empréstimo ( P + E), ou comumente chamado de “principal mais encargos no final”.

Supondo um empréstimo de $ 100,000, por 4 meses, à taxa de 10% am., temos:

M = C ( 1 + in) 100,000

M = 100,000 ( 1+ 0,1 . 4) 0 4

M = 140,000

140,000

  1. Os juros devidos ao principal, pelo período total do empréstimo, são cobrados antecipadamente, ou seja, no próprio momento em que se contrai a dívida. Isto é conhecido como encargos antecipados, principal no final, e é, praticamente, a única forma de financiamento a juros simples que existe no mercado, atualmente. É o que ocorre no Desconto de Duplicatas. O comerciante entrega duplicatas com valor de face de $ 100,000, mas recebe somente $ 92.455,62. No vencimento das duplicatas, o banco recebe o seu valor de face.

100,000

0 4

7.544,38 100,000

  1. Um terceiro mecanismo de amortização de empréstimo a curto prazo, é aquele em que o débito é saldado com os juros sendo pagos mensalmente e o principal no final do prazo do financiamento (encargos mensais, principal no final).

0 1 2 3 4

4,000 4,000 4,000 104,000

Sistemas de Amortização a Longo Prazo O regime estipulado para a remuneração de capitais emprestados a longo prazo (mais de 1 ano), costuma ser o de juros compostos. O método mais utilizado para o resgate de empréstimos de longo prazo é chamado de Prestações Periódicas Constantes, ou Tabela Price.

O SISTEMA PRICE

  • O empréstimo é amortizado em prestações iguais e consecutivas, a partir do momento em que começam as amortizações

  • Como as prestações são iguais e consecutivas, durante um certo número de períodos, tais pagamentos podem ser calculados da seguinte maneira:

P = R x ( 1 + i )n - 1

i x ( 1 + i )n

Ex.: ( AFRF–2002) - Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de uma anuidade postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor de R$ 200.000,00 cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução da taxa de juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da nova prestação do financiamento.

a) R$ 136.982,00b) R$ 147.375,00c) R$ 151.342,00d) R$ 165.917,00e) R$ 182.435,00

Solução do Prof. Francisco Velter (Site Ponto dos Concursos):

A principal característica do sistema price é a de que o mutuário é obrigado a devolver os juros mais o principal em prestações periódicas e constantes.Estamos, portanto, diante de três problemas para construir a planilha financeira: como obter o valor das prestações, o valor dos juros e o valor da amortização em cada prestação.Partindo do pressuposto de que a prestação é a soma do valor da amortização e dos juros, temos as três relações a seguir:

P = A + J             A = P – J              J = P – A

 A prestação pode ser calculada pela aplicação da fórmula seguinte: 

P =

Va ¸

(1 + i)n - 1

i (1 + i)n

 O valor dos juros é obtido pela multiplicação da taxa de juros unitária (i) do período (n) pelo saldo devedor (SD) do período anterior (n-1).

  J = SDn-1x I

O valor da amortização é obtido pela diferença entre o valor da prestação e o valor dos juros.

A = P – J

 O saldo devedor do período é obtido pela subtração da amortização do período (n) do saldo devedor do período anterior (n-1).

SDn = SDn-1- An

Atenção!!!

 Nas provas de concursos, as questões sobre prestações normalmente versam sobre este tipo de amortização. Por isso vamos aprofundar o assunto com um exemplo completo e analisá-lo sob todos os aspectos possíveis, inclusive dando alguns macetes que você nunca viu antes!!!!!!!

 Suponha que você queira adquirir um veículo, cujo preço à vista é de R$ 20.441,07, em 12 prestações trimestrais. A financeira propõe uma taxa de juros de 40% ao ano, com capitalização trimestral. Você não dá entrada. Nessas condições, após calcular o valor de cada prestação, podemos montar a planilha financeira. 

P =

Va ¸

(1 + i)n - 1

i (1 + i)n

Procurando na tabela o valor de an¬ i , com n = 12 e i = 10%, encontramos o valor:

6,813692. Dessa forma, o valor de P será:P = R$ 20.441,07 /  6,813692

P = R$ 3.000,00Planilha financeira do sistema de amortização Francês ou Price. I = 10% a. t.

n

Saldo devedor (SD)

Amortização (A)

Juros (J)

Prestação (P)

m

0

20441,07

0

0

0

12

1

19485,18

955,89

2044,11

3.000,00

11

2

18433,71

1051,47

1948,53

3.000,00

10

3

17277,09

1156,62

1843,38

3.000,00

9

4

16004,80

1272,29

1727,71

3.000,00

8

5

14605,29

1399,51

1600,49

3.000,00

7

6

13065,82

1539,47

1460,53

3.000,00

6

7

11372,41

1693,41

1306,59

3.000,00

5

8

9509,66

1862,75

1137,25

3.000,00

4

9

7460,63

2049,03

950,97

3.000,00

3

10

5206,70

2253,93

746,07

3.000,00

2

11

2727,37

2479,33

520,67

3.000,00

1

12

0,10

2727,26

272,74

3.000,00

0

Conclusões:1 - O Saldo devedor de R$ 0,10 não significa que você ficará devendo após ter pago todas as prestações e tampouco que a financeira não receberá o inicialmente pactuado, pois o valor do principal e os juros estão calculados na prestação. Esse saldo decorre apenas do processo de arredondamento das cálculos.2 – O saldo devedor teórico, imediatamente, após o pagamento da penúltima prestação é igual a amortização relativa a última prestação. Isso decorre do raciocínio natural de que quando pagamos a última prestação, estamos liquidando a nossa dívida.3 – As prestações são, sempre, fixas.4 – A amortização é crescente de forma não linear, isto é, cresce de forma exponencial. Com isso, ocorre uma menor amortização na fase inicial e uma maior amortização mais no final do período do empréstimo.5 – O valor dos juros é decrescente de forma não linear, isto é, de forma exponencial.6 – O valor da última amortização pode ser obtido da seguinte expressão:

P = A + J

 Como os juros incidem sobre o valor do saldo devedor do período anterior, e como o valor da última amortização é, teoricamente, idêntico ao saldo devedor anterior, então os juros incidem sobre a própria última amortização.

Cuidado! Esse raciocínio só é aplicável após o pagamento da penúltima prestação, isto é, vale para valores da última amortização, prestação, juros ou saldo devedor.

Nessas condições, temos que:

P = An + ( An x i )

Conferindo com o nosso exemplo, temos que:P = R$ 3.000,00A12 = ?i = 10% ao trimestre, logo3.000,00 = A12+ (A12 80,1)  3.000,00 = A12 + 0,1 A12  1,1 A12 = 3.000,00

A12 = 3.000,00  / 1,1  A12 = R$ 2.727,27

7 – Agora, uma das grandes novidades. Você sabia que o valor A12 ou outro An qualquer, pode ser obtido pela aplicação da fórmula do montante de juros compostos?Então veja:A12 = A1 x (1+ i)n-1  A12= A1 x (1,1)11  A12 = 955,89 x 2,853117

A12 = 2.727,27

Assim, se você se deparar diante de uma questão de prova, em que seja solicitado o valor originário de um financiamento e a banca examinadora apresentar uma planilha financeira com somente os seguintes elementos, não se apavore, pois o trem tem solução, senão vejamos:Planilha financeira do sistema de amortização Francês ou Price

n

Saldo devedor SD)

Amortização (A)

Juros (J)

Prestação (P)

m

0

0

0

0

12

1

11

2

10

3

1.156,62

9

4

8

5

7

6

1.460,53

6

7

5

8

4

9

2.049,03

3

10

2

11

1

12

0

 Como foi visto antes, o valor de An pode ser obtido pela fórmula do montante.  Assim, o valor de A9representa o montante de A3, com n sendo igual a 6 períodos.

 O primeiro passo a executar é calcular a taxa de juros que está embutida nessa planilha. Para isso basta dividir o valor de A9 pelo valor de A3 e obteremos o valor de (1+i)6.

Uma vez obtido o valor de (1+i)6 , procuramos na tabela, na linha de 6 períodos, até encontrarmos o valor.

Então:

 (1+i)6= A9¸ A3   (1+i)6 = 2049,03 ¸ 1156,62    (1+i)6 = 1,77156,

valor encontrado na coluna de 10%, logo a taxa utilizada é de 10% ao período.

 Sabido a taxa, agora é só achar o valor da 6ª amortização, para somá-la aos juros e obter o valor da prestação. Assim:

A6 = A3 x (1 + 0,1)3  A6 = 1156,62 x 1,331  A6 = 1539,46

 Dessa forma o valor da prestação será:

P = A6 + J6  P = 1.539,47 + 1460,53  P = R$ 3.000,00

 Mas, ainda não encontramos o valor do financiamento. Para isso, preciso saber o valor dos juros embutidos na 1ª prestação e esse valor obtenho pela diferença entre a prestação e o valor da amortização. Então teremos que calcular o valor da 1ª amortização:

A3 = A1 x (1,1)2  1156,62 = A1 x 1,21  A1 = 1.156,62 ¸ 1,21

A1 = 955,89

Logo, os juros da 1ª prestação são:  J = P – A

J = 3000 – 955,89

J = 2.044,11

 Finalmente podemos achar o valor do financiamento, pois sabemos que esse valor dos juros representa 10% do valor do saldo devedor anterior, ou seja, do valor do financiamento.

Dessa forma, o valor financiado é:

2.044,11 ................> 10

X ......................> 100

 X = 2.044,10 x 100 ¸ 10  X = R$ 20.441,00

Dessa vocês não sabiam, sabiam???!!!!!

Também, já era hora de aparecer algo de novo que compensasse o tempo investido.

  • no sistema de amortização Francês ou Price, as prestações são constantes, os juros são decrescentes de forma exponencial, a amortização é crescente de forma exponencial e o saldo devedor é decrescente.

Após este pequeno “intróito”, podemos finalmente resolver a questão da prova:

O primeiro passo é calcularmos o valor financiado, pois temos o valor das prestações, a taxa de juros e o número de períodos, não se esquecendo que o valor financiado é o próprio valor atual.

Va = P x an¬i Va = 200.000 x 6,259331 Va = 1.251.866,20

Podemos, agora, calcular o juro embutido na 1ª prestação:

J1 = 0,15 x 1.251.866,20  J1 = 187.779,93

Uma vez calculado o juro, temos condições de saber o valor da amortização da 1ª prestação:

P = A + J  A = P – J = 200.000,00 – 187.779,93 = 12.220,07

Agora, podemos calcular o valor da 10ª amortização:

A10 = A1 ( 1 + 0.15)9  A10 = 12.220,07 x 3,517876 = 42.988,69

Como P = A + J, o juro embutido nessa 10ª prestação é:

200.000,00 – 42.988,69 = 157.011,31

Esse juro representa 15% do Saldo Devedor do período anterior, então, o SDn-1 é:

157.011,31 ................> 15%

X ................> 100%   X = 1.046.742,06

Assim, o Saldo Devedor antes de pagar a 10ª prestação era de 1.046.742,06.

Após o pagamento da 10ª prestação, o SD será:

SDn = SDn-1 – An SD10 = 1.946.742,06 – 42.988,69 = 1.003.753,37

Esse valor será o novo valor atual para calcularmos o valor da prestação renegociada.

n = 15

i = 12

Va = 1.003.753,37

P = ?

P = Va ¸ an¬I P = 1.003.753,37 ¸ 6,810864

P = 147.375,33

Portanto, a resposta correta é a letra “b”

FIM

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