TESTES DE HIPÓTESES

Comentários iniciais

  • Uma hipótese estatística é uma afirmativa a respeito de um parâmetro de uma distribuição de probabilidade.

  • Por exemplo, podemos formular a hipótese que a produtividade é diferente de 2,5 peças/hora. Formalmente isso é escrito como:

  • Ho é chamada de hipótese nula e H1 de hipótese alternativa. Nesse caso, a alternativa formulada é bilateral, mas também podem ser estabelecidas alternativas unilaterais, tais como:

Os testes de hipóteses são uma das aplicações da estatística mais usadas.

  • Os testes de hipóteses são uma das aplicações da estatística mais usadas.

  • Via de regra, a hipótese nula é feita com base no comportamento passado do produto/processo/serviços, enquanto a alternativa é formulada em função de alterações / inovações recentes.

  • No ambiente atual de melhoria contínua, é fácil entender a importância dos testes de hipótese: eles permitem confirmar a eficácia das medidas de melhoria adotadas.

  • Ao testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória do sistema em estudo e se calcula o parâmetro desejado. Conforme o valor do parâmetro, a hipótese nula será aceita ou rejeitada, a partir de procedimentos estatísticos.

Passos para realizar um Teste de Hipóteses:

  • Passo 1 : Definição da Hipótese

  • O primeiro passo é o estabelecimento das hipóteses: hipótese nula e hipótese alternativa

  • Hipótese Nula (Ho): É um valor suposto para um parâmetro.Se os resultados da amostra não forem muito diferentes de Ho, ela não poderá ser rejeitada.

  • Hipótese Alternativa (H1) : É uma hipótese que contraria a hipótese nula, complementar de Ho, Essa hipótese somente será aceita se os resultados forem muito diferentes de Ho.

Passos para realizar um Teste de Hipóteses

  • Passo 2: Calcular a estatística do Teste

  • É o valor calculado a partir da amostra, que será usado na tomada de decisão. Uma maneira de tomar-se uma decisão é comparar o valor tabelado com a estatística do teste.

  • Para o caso de testes de médias, a estatística do teste é a variável padronizada Z:

Passos para realizar um Teste de Hipóteses

  • Passo 3: Região Crítica

  • O valor da estatística do teste, no caso, o valor Z, é calculado supondo que a hipótese nula (Ho) é verdadeira. No entanto, o valor calculado pode estar associado a uma probabilidade de ocorrência muito baixa. Nesse caso, a hipótese nula deve ser rejeitada e aceitamos a hipótese alternativa.

  • A região crítica é a região onde Ho é rejeitada. A área da região crítica é igual ao nível de significância (), que estabelece a probabilidade de rejeitar Ho quando ela é verdadeira.

  • Por exemplo, se utilizarmos o nível de significância de 5%, a probabilidade de rejeitar Ho quando ela é verdadeira é igual a 5%. Na prática, os valores usuais de alfa são  = 0,01 ou 0,05 ou 0,10.

Passos para realizar um Teste de Hipóteses

  • Unilateral à esquerda:

  • Ho:  = 50

  • H1::  > 50

  • Unilateral à direita:

  • Ho: :  = 50

  • H1: :  <50

  • Bilateral:

  • Ho: :  = 50

  • H1::   50

Passos para realizar um Teste de Hipóteses

  • Passo 4. Regra de Decisão:

  • Se o valor da estatística do teste cair na região crítica, rejeita-se Ho. Ao rejeitar a hipótese nula (Ho) existe uma forte evidência de sua falsidade.

  • Ao contrário, quando aceitamos, dizemos que não houve evidência amostral significativa no sentido de permitir a rejeição de Ho.

Passos para realizar um Teste de Hipóteses

  • Passo 5: Conclusão

  • Aceitar Ho, implica que a hipótese nula não pode ser rejeitada!

  • Rejeitar Ho implica que temos evidências estatísticas para rejeitá-la com um risco conhecido : .

Na seqüência os seguintes pontos serão cobertos:

  • Na seqüência os seguintes pontos serão cobertos:

  • 1. Comparação de médias, variância conhecida

  • 2. Comparação de médias, variância desconhecida

  • 3. Comparação de pares de observações

  • 4. Comparação de variâncias

Comparação de médias, variância conhecida

  • Suponha que X é uma variável aleatória com média  desconhecida e variância conhecida. E queremos testar a hipótese de que a média é igual a um certo valor especificado 0. O teste de hipótese pode ser formulado como segue:

  • Para testar a hipótese, toma-se uma amostra aleatória de n observações e se calcula a estatística

  • Note que o teste é feito usando-se no denominador, uma vez que esse é o desvio padrão da média.

A hipótese Ho é rejeitada se onde é um valor limite da distribuição normal reduzida tal que a probabilidade de se obter valores externos a é .

  • A hipótese Ho é rejeitada se onde é um valor limite da distribuição normal reduzida tal que a probabilidade de se obter valores externos a é .

  • A probabilidade do valor Zo acontecer segundo a hipótese nula é menor do que , logo rejeita-se a hipótese nula Ho.

  • Se resultar próximo de , a hipótese Ho é aceita;

  • Se resultar longe de , a hipótese Ho é rejeitada.

Teste de Hipóteses para a média - EXEMPLO

  • A resistência à tração do aço inoxidável produzido numa usina permanecia estável, com uma resistência média de 72 kg/mm2 e um desvio padrão de 2,0 kg/mm2. Recentemente, a máquina foi ajustada. A fim de determinar o efeito do ajuste, 10 amostras foram testadas.

  • 76,2 78,3 76,4 74,7 72,6 78,4 75,7 70,2 73,3 74,2

  • Presuma que o desvio padrão seja o mesmo que antes do ajuste. Podemos concluir que o ajuste mudou a resistência à tração de aço? (Adote um nível de significância de 5%)

Teste de Hipóteses para a média - EXEMPLO

  • Passo 1 : Definição da Hipótese

  • Ho: = 72 kg/mm2

  • H1: ≠ 72 kg/mm2

  •  = 2 kg/mm2

  • Passo 2: Calcular a estatística do Teste

  • Sendo = 75,0 e  = 2 kg/mm2, temos:

  • Isso significa que a média da amostra retirada aleatoriamente da produção está a 4,74 desvios-padrão da média alegada em Ho que é 72.

Teste de Hipótese para a média

  • Passo 3: Região Crítica

  • Passo 4: Regra de Decisão

  • Como o valor crítico para 5% é 1,96 desvios (Z tabelado), estamos na região de rejeição de Ho.

  • Passo 5: Conclusão

  • Ho é rejeitada e concluímos que a resistência à tração do aço mudou.

Exemplo 7.1: Um processo deveria produzir bancadas com 0,85 m de altura. O engenheiro desconfia que as bancadas que estão sendo produzidas são diferentes que o especificado. Uma amostra de 8 valores foi coletada e indicou . Sabendo que o desvio padrão é , teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância =0,05.

  • Exemplo 7.1: Um processo deveria produzir bancadas com 0,85 m de altura. O engenheiro desconfia que as bancadas que estão sendo produzidas são diferentes que o especificado. Uma amostra de 8 valores foi coletada e indicou . Sabendo que o desvio padrão é , teste a hipótese do engenheiro usando um nível de significância =0,05.

  • Solução:

  • Rejeita-se Ho

Em alguns casos, o objetivo pode ser rejeitar Ho somente se a verdadeira média for maior que o. Assim, a hipótese alternativa unilateral será , e a hipótese nula será rejeitada somente se .

  • Em alguns casos, o objetivo pode ser rejeitar Ho somente se a verdadeira média for maior que o. Assim, a hipótese alternativa unilateral será , e a hipótese nula será rejeitada somente se .

  • Se o objetivo for rejeitar Ho somente quando a verdadeira média for menor que o, a hipótese alternativa será e a hipótese nula será rejeitada somente se ou .

  • Quando há duas populações com médias desconhecidas, digamos e variâncias conhecidas, , o teste para verificar a hipótese que as médias sejam iguais é o seguinte:

Nesse caso, a partir de uma amostra aleatória de n1 observações da população 1 e n2 observações da população 2, calcula-se:

  • Nesse caso, a partir de uma amostra aleatória de n1 observações da população 1 e n2 observações da população 2, calcula-se:

  • E Ho é rejeitada se .

  • No caso da alternativa unilateral , a hipótese nula Ho será rejeitada quando .

  • E se a alternativa unilateral for , a hipótese nula Ho será rejeitada quando resultar ou .

Tabela 7: Teste de Médias, Variância Conhecida

  • Tabela 7: Teste de Médias, Variância Conhecida

  • Exemplo

Comparação de médias, variância desconhecida

  • Suponha que X é uma variável aleatória Normal com média  e variância desconhecidas. Para testar a hipótese de que a média é igual a um valor especificado o , formulamos:

  • Esse problema é idêntico àquele da seção anterior, exceto que agora a variância é desconhecida. Como a variância é desconhecida, é necessário fazer a suposição adicional de que a variável tenha distribuição Normal.

  • Essa suposição é necessária para poder desenvolver a estatística do teste; contudo, os resultados ainda serão válidos se o afastamento da normalidade não for forte.

Como não é conhecido, usa-se a distribuição de Student para construir a estatística do teste:

  • Como não é conhecido, usa-se a distribuição de Student para construir a estatística do teste:

  • E a hipótese nula é rejeitada se , onde t  / 2 é um valor limite da distribuição de Student tal que a probabilidade de se obter valores externos a t  / 2 é .

  • A Tabela 8 mostra os testes apropriados para os casos de hipóteses unilaterais.

Teste de Hipóteses para a média (desvio padrão desconhecido)

  • Um trecho de uma rodoviária estadual, quando é utilizado o radar, são verificadas em média 7 infrações diárias por excesso de velocidade. O chefe de polícia acredita que este número pode ter aumentado. Para verificar isso, o radar foi mantido por 10 dias consecutivos. Os resultados foram:

  • 8, 9, 5, 7, 8, 12, 6, 9, 6, 10

  • Os dados trazem evidência de aumento nas infrações?

  • Passo 1 : Definição da Hipótese

  • Ho:  = 7

  • H1:  > 7

Teste de Hipóteses para a média (desvio padrão desconhecido)

  • Passo 2: Calcular a estatística do Teste

  • Temos = 8.

  • Não conhecendo , estimamos por S (desvio-padrão da amostra), logo, S = 2,10.

  • Desvio-padrão foi estimado a partir de uma pequena amostra) deve-se usar a estatística t-student.

  • Isso significa que a média da amostra retirada aleatoriamente da produção está a 1,5 desvios-padrão da média alegada em Ho que é 7.

Teste de Hipóteses para a média (desvio padrão desconhecido)

  • O valor tabelado de t depende do nível de significância (5%) e dos graus de liberdade, que são função do tamanho da amostra: GL = n – 1 = 9. Nesse exemplo,

  • t tabelado = 1,833

Teste de Hipóteses para a média (desvio padrão desconhecido)

  • Passo 4: Regra de Decisão

  • O valor calculado de t está dentro da região de aceitação de Ho.

  • Passo 5: Conclusão

  • Como aceitamos Ho, a conclusão é que e não houve um aumento significativo no número de infrações. Veja que, apesar de 8 ser maior que 7, a diferença não foi significativa para concluir que o número de infrações aumentou. É como se não houvesse provas suficientes para condenar o réu.

Exemplo 7.2: Um empresário desconfia que o tempo médio de espera para atendimento de seus clientes é superior a 20 minutos. Para testar essa hipótese ele entrevistou 20 pessoas e questionou quanto tempo demorou para ser atendido. O resultado dessa pesquisa aparece a seguir:

  • Exemplo 7.2: Um empresário desconfia que o tempo médio de espera para atendimento de seus clientes é superior a 20 minutos. Para testar essa hipótese ele entrevistou 20 pessoas e questionou quanto tempo demorou para ser atendido. O resultado dessa pesquisa aparece a seguir:

Teste de Hipóteses para comparação de médias (Independentes)

  • Existem situações que queremos comparar duas amostras independentes, por exemplo, queremos verificar se existe diferença significativa entre dois lotes em relação à média de uma característica de qualidade importante.

  • Neste caso, temos duas amostras e utilizaremos a diferença entre as médias amostrais. Se esta diferença for significativa, dizemos que as populações possuem médias diferentes quanto a característica utilizada.

Teste de Hipóteses para comparação de médias (Independentes)

  • Passo 1 : Definição da Hipótese

  • Quando há duas populações normais com médias e variâncias desconhecidas, as hipóteses para testar se as médias são iguais são as seguintes:

  • Passo 2: Calcular a estatística do Teste

  • O procedimento do teste irá depender de que . Se essa suposição for razoável, então calcula-se a variância combinada

  • E a seguir calcula-se a estatística do teste:

Teste de Hipóteses para comparação de médias (Independentes)

  • Passo 3: Região Crítica

  • Similar aos demais testes.

  • Passo 4: Regra de Decisão

  • Comparar o valor da estatística do teste tcal com o valor tabelado ttab com n1+n2-2 graus de liberdade.

  • Ho será rejeitada se

Teste de Hipóteses para comparação de médias (Independentes) - EXEMPLO

  • Um engenheiro desconfia que a qualidade de um material pode depender da matéria-prima utilizada. Há dois fornecedores de matéria-prima sendo usados. Testes com 10 observações de cada fornecedor indicaram,

  • Use um nível de significância = 5% e teste a hipótese do engenheiro.

  • Se houver evidências de que , então a estatística a ser usada é:

  • e o número de graus de liberdade para t é calculado da forma aproximada:

  • Ho será rejeitada se . Os testes unilaterais correspondentes aparecem na Tabela 8 .

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