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CENTRO UNIVERSITÁRIO DO SUL DE MINAS - UNIS/MG (1º SEMESTRE 2008) FACULDADE DE ENGENHARIAS MECÂNICA E DE PRODUÇÃO

SISTEMAS MECÂNICOS 1/ ELEMENTOS DE MÁQUINAS

Dagoberto Cássio da Silva

Introdução

Árvores são elementos de máquinas geralmente de seção circular rotativas ou estacionárias que têm função de suporte de outros componentes mecânicos (engrenagens, polias, volantes, etc.) e transmitem momento de torção. Os eixos são elementos de máquinas que têm função de suporte, mas não transmitem momento de torção (potência).

correias ou correntes

Na prática usa-se apenas o termo eixo para denominar estes elementos. Precisam ser consideradas tanto as tensões quanto as deflexões e a velocidade crítica para o projeto de árvore ou eixo. Freqüentemente a deflexão pode ser o fator crítico, porque deflexões excessivas causarão desgaste rápido dos mancais da árvore ou promoverão desalinhamentos que prejudicarão o engrenamento de engrenagens

Entretanto, os cálculos de deflexão requerem que a geometria inteira da árvore ou eixo seja definida. Assim, um eixo é preliminarmente projetado quanto à resistência (tensões), e as deflexões são calculadas uma vez que a geometria esteja completamente definida. A velocidade (rotação) crítica é calculada posteriormente para se evitar que o eixo gire com rotação próxima a primeira freqüência natural do eixo, impedindo assim, que ocorra o fenômeno de ressonância do sistema.

Considerações gerais

Algumas regras gerais para o projeto de eixos podem ser enunciadas como segue:

• Para minimizar as tensões e deflexões, o comprimento do eixo deve ser o menor possível e os trechos em balanço minimizados ao máximo;

• Deve-se usar preferencialmente o eixo biapoiado ao invés do em balanço;

• Um eixo vazado tem uma razão melhor de rigidez/massa (rigidez específica) e freqüências naturais mais altas que aquelas de um eixo comparativamente rígido ou sólido;

• Tente colocar concentradores de tensão longe das regiões de grandes momentos fletores e minimize seu efeito com grandes raios e aliviadores de tensão;

• Se a principal preocupação é minimizar a deflexão, talvez o material mais indicado seja o aço de baixo carbono, porque sua rigidez é tão alta quanto aquela de aços mais caros, e um eixo projetado para pequenas deflexões tenderá a ter tensões baixas;

• As deflexões nas posições de engrenagens suportadas pelo eixo não devem exceder cerca de 0,127 m e a inclinação relativa entre os eixos da engrenagem deve ser menor que cerca de 0,03º;

• Se forem usados mancais de deslizamento, a deflexão do eixo ao longo do comprimento do mancal deve ser menor que a espessura da película de óleo

“hmin” no mancal; • Se forem usados rolamentos (não auto-compensadores), a inclinação do eixo nos rolamentos deve ser mantida menor que aproximadamente 0,04º;

• A primeira freqüência natural do eixo deve ser pelo menos de 3 a 4 vezes a freqüência máxima da carga esperada em serviço.

Projeto de eixos e árvores

O objetivo deste dimensionamento consiste em determinar o diâmetro mínimo necessário à árvore ou eixo para que ela(e) suporte os esforços atuantes.

Se uma árvore suporta diversas engrenagens ou polias, diferentes seções da mesma poderão estar submetidas a torções diferentes, porque a potência total desenvolvida na árvore é retirada parcialmente nos vários pontos.

Em conseqüência, devemos verificar a parcela do momento de torção que atua em cada parte da árvore. Em seguida, podemos estudar a distribuição do momento de flexão. Deste exame preliminar assinalamos as seções em que os momentos de flexão e de torção são máximos. Se estes máximos ocorrerem na mesma seção, o diâmetro necessário para aquela seção será determinado e usado para a árvore toda, se o diâmetro tiver de ser constante. Se os máximos não ocorrerem na mesma seção, deverse-á determinar o diâmetro para a seção do momento de torção máximo e também para a de momento de flexão máximo e usar o de maior valor.

1) Projeto de eixo de transmissão para flexão alternada e torção constante

Segundo o método ANSI/ASME (1985) para flexão alternada e torção constante e ausência de força axial (caso mais comum), o diâmetro para uma seção circular maciça pode ser calculado pela equação (1):

af TMkFS

onde:

FS = fator de segurança; fcorσ= resistência à fadiga corrigida para uma vida desejada ou então:

fcorσ= ncorσ para vida infinita, já estudado; aM= momento de flexão alternado; mT = momento de torção médio; fk = fator de concentração de tensões de fadiga na flexão; eσ = tensão de escoamento

Para o caso de eixo circular com seção transversal constante utilizamos para dimensionamento a equação (1a) que é a forma simplificada da equação (1).

d = 3 2

2) Projeto de eixo de transmissão para flexão variada e torção variada

Para um eixo de seção circular maciça sujeito à flexão e torção variadas e sem carga axial o diâmetro pode ser calculado pela equação (2):

afsaf TkMkTkMkFS

σσpi (2) onde:

fcorσ= resistência à fadiga corrigida para uma vida desejada; σr = tensão de resistência à tração; mM = momento de flexão médio; aT = momento de torção alternado; fsk= fator de concentração de tensões de fadiga na torção; fmk = fator de concentração de tensões relativo à tensão média em fadiga; fsmk = fator de concentração de tensões relativo à tensão média em fadiga ≅ fsk. FS = fator de segurança.

Determinação de fmk:

Se fknommáxσ < σe então → fmk = fk;

Se fknommáxσ < σe então → fmk = nom nomm afe kσ

Se fk nomnommáxminσσ− > 2 σe então → fmk = 0

3) Projeto de eixo de transmissão para flexão variável, torção variável e carga axial

O ASME (America Society of Mechanical Engineers) apresenta a seguinte equação para o cálculo de eixo oco submetido à torção, flexão e carga axial (caso mais geral). São introduzidos na equação (3) fatores de choque e fadiga.

t oa b s α τpi onde:

aF = carga axial;

K = di/do(0,4 a 0,9 normalmente);

di = diâmetro interno do eixo; do =diâmetro externo do eixo; M = momento fletor máximo;

T = momento de torção máximo; kb = fator que leva em conta o choque e a fadiga, aplicado ao momento de flexão; kt = fator que leva em conta o choque e a fadiga, aplicado ao momento de torção.

sτ = tensão admissível conforme o código ASME.

Fatores de concentração de tensões para eixos e árvores segundo o ASME

Para eixos estacionários: bk tk Carga gradualmente aplicada 1,0 1,0 Carga subitamente aplicada 1,5 a 2,0 1,5 a 2,0

Para árvores ou eixos que giram:

Carga gradualmente aplicada 1,5 1,0

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