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E. CIVIL - 01

NIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA

DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA

PROF.: SERGIO TRANZILLO FRANÇA

MECÂNICA - RESUMOS E EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

CURSO: ENGENHARIA CIVIL

04. PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DAS SEÇÕES – PARTE I. Momento de primeira ordem; centróide de áreas simples e compostas (plano); centróide de curvas; teorema de Pappus-Guldinus.

Resitência Distribuição de Tensões

Tensões =

Propriedade Geométrica da Seção

Solicitações

Área

Esforço Normal e Cortante

Momento estático

Corte e Flexão

Baricentro

Todas as solicitações

Momento Axial de Inércia

Corte e Flexão

Produto de Inércia

Flexo-Tração

Momento Polar de Inércia

Torção

Determinação do ponto de aplicação do peso de um corpo: (sistema de forças paralelas)

P

y

x

P = P ; P Mx = yP ; My = xP

MRx = yP ; MRy = xP

x P = MRy = xP

y P = MRx = yP

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P

E. CIVIL - 02

ara uma placa homogênea, de espessura constante: P =  e A ; P =  e A

Eliminando  e e, e fazendo A  dA:

x ; y  centróide da área (centro geométrico)

(superfície do corpo)

Para um arame:

Simetria:

Um eixo de simetria centróide sobre o eixo

Dois eixos de simetria centróide no encontro dos eixos

Centro de simetria centróide neste ponto

Figuras compostas (placas e arames): Divide-se em figuras simples, com x e y de cada figura conhecidos (tabela anexa)

Calcula-se x e y da figura composta:

Para cada figura: Ai ; xi ; yi

Mix = Aiyi ; Miy = Aixi

Figura

Ai

xi

yi

xiAi

yiAi

Valores da tabela

Σ A

Σ xiAi

Σ yiAi

Cuidado!!! Sinal (posição relativa dos eixos)

Área Vazada

Posição da figura na tabela

Superfície de revolução: gerada pela rotação de uma curva;

Corpo de revolução: gerado pela rotação de uma área;

Teorema de Pappus-Guldinus: I – Área de uma Superfície de revolução: A = 2YL

II - Volume de um Corpo de revolução: V = 2YA

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CENTRÓIDE DE FORMAS COMUNS

E. CIVIL - 03

Forma da Superfície

Área

x

y

Triângulo Retângulo

Base = b

Altura = h

Quarto de Círculo

Raio = r

Semi-círculo

Raio = r

0

Quarto de elipse

Semi-elipse

0

Dois segmentos de reta e um arco de parábola de grau n

Y=kxn

r2

Setor Circular

Raio = r

Ângulo total 2

(em radianos)

0

Forma da Curva

Comprimento

x

y

Quarto de Circunferência

Raio = r

Semi-circunferência

Raio = r

r

0

A

2r

rco de circunferência

Raio = r

Ângulo total 2

(em radianos)

0

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EXERCÍCIOS

E. CIVIL - 04

  1. Determine, por integração, o centróide da área limitada pelas curvas ilustradas:

Para as questões 2 e 3, determine o centróide dos arames ilustrados.

2.

3.

Para as questões de 4 a 11, determine o centróide das áreas indicadas: (distâncias em mm)

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

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12. Determinar o centróide da área indicada, e o volume do sólido gerado por sua rotação em torno do eixo a (distâncias em centímetros).

13. A área indicada gira ao redor do eixo a, formando um sólido de volume 51,2 cm2.

Determine a coordenada Y do centróide da área.

14. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da área indicada, em torno do eixo x e do eixo b, bem como a área da superfície de cada sólido:

b

2,0m

1

E. CIVIL - 05

5. Determine, utilizando o teorema de Pappus, o volume do reservatório ilustrado, e a área de sua superfície lateral.

RESPOSTAS:

1. X = 1,8; Y = 1,8

2.X = 24,41 mm; Y = 40,64 mm

3. X = 2,43 m ; Y = 1,31 m

4. X = 55,38 mm; Y = 93,85 mm

5. X = 5,26 mm; Y = 0

6. X = 0,22 mm; Y = 2,92

7. X = 3,91 mm; Y = 4,87 mm

8. X = 59,26 mm; Y = 14,97 mm

9. X = 27,92 mm; Y = 14,16 mm

10.X = 4,96 mm ; Y = 3,22 mm

11.X = 2,22 m ; Y = 1,41 m

12. X = 3,55 cm ; Y = 1,61 cm; V = 131,62 cm3

13. 2,4

14. Eixo x: V = 210,08 m3 ; A = 250 m2

Eixo b: V = 1292,83 m3 ; A = 1487,86 m2

15. V = 207,35 m3; A = 160,22 m2

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