apostila - matematica, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

Baixe apostila - matematica e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! APOSTILA DE MATEMÁTICA PARA ESCRITURÁRIO DO BANCO DO BRASIL Encontre o material de estudo para seu concurso preferido em www .acheiconcursos.com.br Conteúdo: - Números inteiros, racionais e reais; problemas de contagem . Sistema legal de medidas . Razões e proporções; divisão proporcional; regras de três simples e compostas; porcentagens . Equações e inequações de 1º e 2º graus; sistemas lineares . Funções; gráficos - Sequências numéricas - Funções exponenciais e logarítimicas . Noções de probabilidade e estatística 9. Juros simples e compostos: capitalização e descontos 10. Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, proporcionais, real e aparente 11. Rendas uniformes e variáveis 12. Planos de amortização de empréstimos e financiamentos 13. Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações de financiamento, empréstimo e investimento 14. Avaliação de alternativas de investimento 15. Taxas de retorno ONDA BWIN NÚMEROS INTEIROS - OPERAÇÕES E PROPRIEDADES Neste capítulo será feita uma revisão dos aspectos mais importantes sobre as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão com números inteiros. ADIÇÃO Os termos da adição são chamados parcelas e o resultado da operação de adição é denominado soma ou total 1º parcela + 2º parcela = soma ou total * A ordem das parcelas nunca altera o resultado de uma adição: a+b=b+a * O zero éelemento neutro da adição: 0+a=a+0=a SUBTRAÇÃO O primeiro termo de uma subtração é chamado minuendo, o segundo, subtraendo e o resultado da operação de subtração é denominado resto ou diferença. minuendo - subtraendo = resto ou diferença * A ordem dos termos pode alterar o resultado de uma subtração: a-b%b-a (semprequea * b) * Seadicionarmos uma constante k ao minuendo, o resto será adicionado de k. * Seadicionarmos uma constante k ao subtraendo, o resto será subtraído de k. * A subtração é a operação inversa da adição: MS=R6R+S=M * A soma do minuendo com o subtraendo e o resto é sempre igual ao dobro do minuendo. M+S+R=2 x M Valor absoluto O valor absoluto de um número inteiro indica a distância deste número até o zero quando consideramos a representação dele na reta numérica. Atenção: * O valor absoluto de um número nunca é negativo, pois representa uma distância. * A representação do valor absoluto de um número n é In I. (Lê-se "valor absoluto de n" ou "módulo den.) Números simétricos Dois números a e b são ditos simétricos ou opostos quando: a+b=0 Exemplos: -3e 3 são simétricos (ou opostos) pois (-3) + (3) 4e-4 são simétricos (ou opostos) pois (4) + (-4) O oposto de 5 é -5. O simétrico de 6 é -6. O oposto de zero é o próprio zero. 0. 0. Dois números simétricos sempre têm o mesmo módulo. Exemplo: 1-31=3 e 131=3 Ao somarmos os três termos da subtração, m+s+r, observamos que a adição das duas últimas parcelas, Ss +r, resulta sempre igual am. Assim poderemos escrever: m+(s+r)=m+ma=2m O total será sempre o dobro do minuendo. Deste modo, temos: m+s+r=264 2m = 264 m =264:2=132 Resp.: O minuendo será 132. 3. Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é 5 e o resto é o maior possível. Qual é o dividendo? Solução: Se o divisor é 12, então o maior resto possível é 11, pois o resto não pode superar nem igualar-se ao divisor. Assim, chamando de no dividendo procurado, teremos: n = (quociente) x (divisor) + (resto) n=5x12+11 O dividendo procurado é 71. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Numa adição com três parcelas, o total era 58. Somando-se 13 à primeira parcela, 21 à segunda e subtraindo-se 10 da terceira, qual será o novo total? 2. Numa subtração a soma do minuendo com o subtraendo e o resto resultou 412. Qual o valor do minuendo? 3. O produto de dois números é 620. Se adicionasse-mos 5 unidades a um de seus fatores, o produto ficaria aumentado de 155 unidades. Quais são os dois fatores? 4. Numa divisão inteira, o divisor é 12, o quociente é uma unidade maior que o divisor e o resto, uma unidade menor que o divisor. Qual é o valor do dividendo? 5. Certo prêmio será distribuído entre três vendedores de modo que o primeiro receberá R$ 325,00; o segundo receberá R$ 60,00 menos que o primeiro; o terceiro receberá R$ 250,00 menos que o primeiro e o segundo juntos. Qual o valor total do prêmio repartido entre os três vendedores? 6. Um dicionário tem 950 páginas; cada página é dividida em 2 colunas; cada coluna tem 64 linhas; cada linha tem, em média, 35 letras. Quantas letras há nesse dicionário? 7. Uma pessoa ganha R$ 40,00 por dia de trabalho e gasta R$ 800,00 por mês. Quanto ela economizará em um ano se ela trabalhar, em média, 23 dias por mês? 8. Um negociante comprou 8 barricas de vinho, todas com a mesma capacidade. Tendo pago R$ 7,00 o litro e vendido a R$ 9,00, ele ganhou, ao todo, R$ 1.760,00. Qual era a capacidade de cada barrica? 9. Em um saco havia 432 balinhas. Dividindo-as em três montes iguais, um deles foi repartido entre 4 meninos e os dois montes restantes foram repartidos entre 6 meninas. Quantas balinhas recebeu cada menino e cada menina? 10. Marta, Marisa e Yara têm, juntas, R$ 275,00. Marisa tem R$ 15,00 mais do que Yara e Marta possui R$ 20,00 mais que Marisa. Quanto tem cada uma das três meninas? 11. Do salário de R$ 3.302,00, Seu José transferiu uma parte para uma conta de poupança. Já a caminho de casa, Seu José considerou que se tivesse transferido o dobro daquele valor, ainda lhe restariam R$ 2.058,00 do seu salário em conta corrente. De quanto foi o depósito feito? 12. Renato e Flávia ganharam, ao todo, 23 bombons. Se Renato comesse 3 bombons e desse 2 para Flávia, eles ficariam com o mesmo número de bombons. Quantos bombons ganhou cada um deles? NÚMEROS RACIONAIS OPERAÇÕES E PROPRIEDADES CONCEITO a Dados dois números inteiros a e b, com b £ 0, denominamos número racional a todo número x + » tal que xxb=a. s=To x-b=a(comae Zebe Z%) REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA Denominamos representação fracionária ou simplesmente fração ãexpressão de um número racional a a na forma —. b REPRESENTAÇÃO DECIMAL DE UM NÚMERO RACIONAL A representação decimal de um número racional poderá resultar em um do três casos seguintes: Inteiro Neste caso, a fração correspondente ao inteiro é denominada fração aparente. Expansão Decimal Finita Neste caso, há sempre uma quantidade finita de algarismos na representação decimal. =-15 5-125 2-0375 4 cow Expansão Decimal Infinita Periódica Esta representação também é conhecida como dízima periódica pois, nela, sempre ocorre alguma sequência finita de algarismos que se repete indefinidamente. Esta sequência é denominada período. 1033 101666. 3 6 DETERMINAÇÃO DE UMA FRAÇÃO GERATRIZ Todos os números com expansão decimal finita ou infinita e periódica sempre são números racionais. Isto significa que sempre existem frações capazes de representá-los. Estas frações são denominadas frações geratrizes. Como determinar uma fração geratriz 1º Caso - Números com expansão decimal finita A quantidade de algarismos depois da vírgula dará o número de "zeros" do denominador: 816 8,16=—— 100 s24- 24 10 0,085 = 0035 À 35 1000 1000 2º Caso - Dízimas Periódicas Seja a,bc...nppp... uma dízima periódica onde os primeiros algarismos, indicados genericamente por a, b, c...n , não fazem parte do período p. abc...np-ab..n 99...900...0 1º- o número de “noves' no denominador for igual âquantidade de algarismos do período; 2º - houver um 'zero' no denominador para cada algarismo aperiódico (bc...n)após a vírgula. A fração será uma geratriz da dízima periódica a,bc...nppp... se: Exemplo: 5,8523232... . . . período: 32 (dois "noves" no denominador) atraso de 1 casa (1 "zero" no denominador) 5832-58 5.774 parte não-periódica: 58 fração geratriz: 390 073434... iodo: 4H "mover , zeros" ts período: 4 (1 "nove" no denominador) atraso de duas casas (2 "zeros") parte não-periódica: 073 fração geratriz: 0734-073 734-73 661 900 900 900 La 6,034034034... período: 034 (três "noves"” no denominador) não houve atraso do período (não haverá "zeros" no denominador) parte não-periódica: 6 x :—. 6034-6 fração geratriz: —— 0,535252... período: 52 (dois "noves") não houve atraso do período (não haverá "zeros" no denominador) parte não-periódica: O 2-0 52 4 o. 0 fração geratriz: NÚMEROS MISTOS Dados três números inteirosn, a,e b, com nz0 e O « a « b, denomina-se número misto à representação de um número racional escrito sob a forma a a no==n+— b b Se numa divisão inteira não exata o valor absoluto do dividendo for maior que o do divisor, então, pode-se representar o seu resultado por um número misto. Exemplo: A divisão inteira de 30 por 7 não é exata, dando quociente 4 e resto 2. Então, pode-se escrever: 30 2 =D =40 7 7 ADIÇÃO ESUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES Com Denominadores Iguais Conserva-se o denominador, adicionando ou subtraindo os numeradores. 3/5 7 /345-7 1 —+ 20 20 20 20 20 Com Denominadores Diferentes Substituem-se as frações dadas por outras, equivalentes, cujo denominador será o MMC dos denominadores dados: mme64pa2 2 9 6 2 2 12 10+3+— 12 10 + 12 3 12 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES Para multiplicar duas ou mais frações deve-se: 1º) multiplicar os numeradores, encontrando o novo numerador; 2º) multiplicar os denominadores, encontrando o novo denominador. Como a quantia inicial foi representada por 5x, tem-se: 5x=5x45= 225,00 Cínthia levava, inicialmente, R$ 225,00. 7. Um rapaz separou 1/10 do que possuía para comprar um par de sapatos; 3/5 para roupas, restando-lhe, ainda, R$ 180,00. Quanto o rapaz tinha? Solução: Seja 10x a quantia inicial (pois tem décimos e tem quintos exatos) sapatos:-L delOx =x 10 3 10x jroupas :> de 10x = 6x restante :180,00 gastos — resto piel Dm ro 10x —-x-6x= 180 3x=180 x=60 inigial Portanto, o valor inicial era: 10x = 10 x 60 = 600,00 reais O rapaz tinha, inicialmente, R$ 600,00. air inini. : : 1 : : : x 8. De um reservatório, inicialmente cheio, retirou-se z do volume e, em seguida, mais 21 litros. Restaram, então 2 mini : ei 3 do volume inicial. Qual a capacidade deste reservatório? Solução: Seja 20x o volume do reservatório (pois tem quartos e quintos exatos). 1º retirada ção 20x =5x 20x 1 2º retirada :21 litros resto:=de 20x= 8x inigial retiradas — resto retiradas — rest poa 20x —5x-21= 8x isolando os termos em "x" tem-se: 20x-5x-8x=21 7x=21 x=3 Como a capacidade do reservatório foi representada por 20x, tem-se: 20x =20x3=60 litros 1 . : 9. Rogério gastou 5 do que tinha e, em seguida, z do resto, ficando ainda com R$ 300,00. Quanto Rogério possuía inicialmente? Solução: Seja 12x a quantia inicial de Rogério: 2 1 -3 de 12x -z de 4x = 300,00 (resto) (-8x) (x) 3x = 300 x = 100 Logo, a quantia inicial de Rogério era: 12x = 12x 100 = 1.200 reais Rogério possuía, inicialmente, R$ 1.200,00. : 2 . 10. Um estojo custa 3 a mais que uma caneta. Juntos eles valem R$ 16,00. Quanto custa cada objeto? Solução: Como o preço do estojo foi indicado para dois terços a mais que o preço da caneta, faremos: caneta: 3x : 2 estojo:3x +-qde3x =3x+2x=5x Juntos eles valem R$ 16,00: caneta - estojo PM mo 3x + 5x =16 8x =16 x=2 Então: a caneta custa: 3x = 3x2 = 6 reais o estojo custa: 5x = 5x 2 = 10 reais 11. Um pai distribui certo número de balas entre suas três filhas de tal modo que a do meio recebe + do total, a mais velha recebe duas balas a mais que a do meio, enquanto a mais nova recebe as 25 balas restantes. Quantas balas, ao todo, o pai distribuiu entre suas filhas? Solução: Seja o total de balas representado por 3x: 1 adomeio iqde 3x=x (total) . a mais velha :x +2 a mais nova :25 Juntando todas as balas tem-se: 3x=x+x+2=25 10 isolando "x" na igualdade tem-se: 3x-x-x=2+25 x=27 Logo, o total de balas é: 3x = 3x 27 = 81 balas. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Efetue as expressões abaixo. 123 + 2 a) 234 Lol d 5-+2--4— ») 3 + 5 2 2. Efetue as multiplicações abaixo. 2.15 2, 5 16 1 1 b) 1x25 a) 3. Efetue as divisões abaixo. 3.6 a) >+— 47 4. Julgue os itens abaixo em verdadeiros (V) ou falsos (F). 107 ()0321321321..=-5 ()0,00333 ..= 30 1. 12,37777...=— =D ()123 0 Ss 5. Quanto valem três quintos de 1.500 ? 6. Se cinco oitavos de x são 350, então, qual é o valor de x? 7. Que fração restará de x se subtrairmos três sétimos do seu valor? 8. Se subtrairmos três sétimos do valor de x e, em seguida, retirarmos metade do restante, que fração restará dex? 9. Determine o valor da expressão 6,666... x 0,6. 10. Determine o valor da expressão 0,5 - 0,16666.... ;2 : 4 ma : á 11. Um garoto possui 3 da altura de seu pai que correspondem a 3 da altura de seu irmão mais moço. Qual é a altura deste último se a altura do pai é 180 cm? 12. No primeiro dia de uma jornada, um viajante fez : do percurso. No segundo dia, andou : do restante. Quanto falta para completar a jornada se o percurso completo é de 750 km? 13. Se um rapaz separar o dinheiro que tem em três partes, sendo a primeira igual àterça parte e a segunda igual âmetade do total, então a terceira parte será de R$ 35,00. Quanto dinheiro tem este rapaz? 14. A idade de Antônio é : da idade de Benedito, César tem metade da idade de Antônio e Dilson tem tantos anos quantos César e Antônio juntos. Quais são as idades de cada um deles se a soma das quatro idades é 54 anos? q RAZÕES E PROPORÇÕES Chama-se razão de dois números, dados numa certa ordem e sendo o segundo diferente de zero, ao quociente do primeiro pelo segundo. Assim, a razão entre os números a e b pode ser dita "razão de a para b" e representada como: 2 ou ab b Onde a é chamado antecedente enquanto b é chamado consequente da razão dada. Ao representar uma razão frequentemente simplificamos os seus termos procurando, sempre que possível, torná-los inteiros. Exemplos: Arazão entre 0,25e 26: 1 025 [4 2 2 1.5 A razão entre—e—é: 6 12 Arasão6e re 5) Proporção é a expressão que indica uma igualdade entre duas ou mais razões. ana e . “ A : A . A proporção va pode ser lida como "a está para b assim como c está para d' e representada como a: b:c: d. Nesta proporção, os números a e d são os extremos e os números b e c são osmeios. Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. Quarta proporcional de três números dados a, b e c nesta ordem, é o número x que completa com os outros três uma proporção tal que: ac b x Exemplo: Determinar a quarta proporcional dos números 3, 4 e 6 nesta ordem. Solução: 2.8 axcax6ox=s x » Proporção contínua é aquela que tem meios iguais. Exemplo: A proporção 9:6::6:4 é contínua pois tem os seus meios iguais a 6. Numa proporção contínua temos: * O valor comum dos meios é chamado média proporcional (ou média geométrica) dos extremos. Ex.: 4 é a média proporcional entre 2 e 8, pois 24::4:8 * O último termo é chamado terceira proporcional. Ex.: 5 é a terceira proporcional dos números 20 e 10, pois 20:10::10:5 14 Proporção múltipla é a igualdade simultânea de três ou mais razões. Exemplo: 234 468 10 Razões inversas são duas razões cujo produto é iguala 1. Exemplo: ENE = lentão dizemos que "3 está para 5 na razão inversa de 10 para 6" ou então que "3/5 está na razão inversa de 10/6" ou ainda que "3/5 e 10/6 são razões inversas”. Quando duas razões são inversas, qualquer uma delas forma uma proporção com o inverso da outra. Exemplo: 3/5 e 10/6 são razões inversas. Então, 3/5 faz proporção com 6/10 (que é o inverso de 10/6) enquanto 10/6 faz proporção com 5/3 (que é o inverso de 3/5). EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Numa prova com 50 questões, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais. Qual é a razão do número de questões certas para o de erradas? Resolução: Das 50 questões, 35 estavam certas e 5 ficaram em branco. Logo, o número de questões erradas é: 50-35-5= 10 .35 7 Assim, a razão do número de questões certas (35) para o de erradas (10) é 107707 para 2. 2. Calcular dois números positivos na proporção de 2 para 5 sabendo que a diferença do maior para o menor é42 Resolução: Sejam x o menor e y o maior dos números procurados. A proporção nos mostra que x está para 2 assim como y está para 5. Então, podemos dizer qu xtem2 partes . enquanto y tem 5 partes .. x =2p) (y=5p) Mas como a diferença y -x deve valer 42, teremos: 42 Sp-2p=423p=425p=0 op=14 Agora que descobrimos que cada parte vale 14 (p = 14), podemos concluir que: o valor de x é 5 x=2p=2-(14)=28 o valor de y é 5 y=5p=5-(14)=70 3. Na proporção múltipla : = - = : , determinar os valores de x, de y e de z sabendo que x + y + z= 112. Resolução: A proporção múltipla nos mostra que: x tem 3 partes .......... enquanto y tem 5 parte: eztem6 partes. 15 Como a soma das três partes vale 112, temos: 3p+5p +6p= 112 14p=112 p=112-14 p=8 Agora que descobrimos que cada parte vale 8, podemos concluir que: o valor de x é > x=3p=3-(8)=24 o valor de y é > y=5p=5-(8)=40 o valor de z é > z=6p=6-(8)=48 4. Sabendo que a está para b assim como 8 está para 5 e que 3a - 2b = 140, calcular a e b. Resolução: Pela proporção apresentada, a tem 8 partes enquanto b tem 5 partes: a=8pe b=5p então teremos: 3a = 3 x (8p) = 24p e 2b=2x(5p)=10p portanto: 3a - 2b = 140 » 24p - 10p= 140 > 14p= 140 >p=10 como p=1Otemos:a=8p=8x10=80€e b=5p=5x10=50 5. Dois números positivos estão entre siassim como 3 está para 4. Determine-os sabendo que a soma dos seus quadrados é igual a 100. Resolução: Se os números estão entre si na proporção de 3 para 4, então um deles é 3p e o outro é 4p. Deste modo, a soma dos quadrados fica sendo: (3p)? + (49)? = 100 9p? + 16p? = 100 25p*= 100 p?=4>p =2 (pois os números são positivos) Portanto, os dois números são: 3p=3x2=6 e 4p=4x2=8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Calcule a quarta proporcional dos números dados: 3. Calcule a média proporcional entre os números dados: a)3e 12 b)6e 24 1 —e 128 c) 3º 16 Assim, concluímos que: A=6p=6x2=12, B=8p=8x2=-16e C=9p=9x2=18 As partes procuradas são 12, 16€ 18. 3. Dividir o número 45 em partes diretamente proporcionais aos números 200, 300 e 400. Inicialmente dividiremos todos os números dados por 100. Isto não alterará a proporção com as partes procuradas, mas simplificará os nossos cálculos. (200, 300, 400) + 100 = (2,3,4) Então poderemos dividir 45 em partes diretamente proporcionais aos números 2,3 e 4. Indicando as partes procuradas por: A=2p, B=3p e C=4p A+B+C=45 > 2p+3p+4p=45 >9p = 45» p=5 Assim, concluímos que: A=2p=2x5=10, B=3p=3x5=15e C=4p=4x5=20 2º caso: Divisão em partes inversamente proporcionais Dividir um número N em partes inversamente proporcionais a números dados a, b, c...., significa encontrar os números A, B, C, ... tais que axA=bxB=cxCa=.. e A+B+C+...=N 4. Dividir 72 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 4 e 12. Usando a relação entre proporção inversa e proporção direta vista na página 70, podemos afirmar que as 20 di mea lia partes procuradas serão diretamente proporcionais a TA Reduzindo as frações ao mesmo denominador, teremos: 43 1 + Dem 1212 12 Desprezar os denominadores (iguais) manterá as proporções e ainda simplificará nossos cálculos. Então, poderemos dividir 72 em partes diretamente proporcionais a 4, 3e 1 (numeradores). Indicando por A, Be C as três partes procuradas, teremos: A=4p, B=3p, C=1p A+B+C=7254p+3p+1p=7258p=725P=9 Assim, concluímos que: A=4p=4x9=36, B=3p=3x9=27e C=1p=1x9=9. Portanto, as partes procuradas são 36,27 e 9. 3º caso: Divisão composta direta Chamamos de divisão composta direta à divisão de um número em partes que devem ser diretamente proporcionais a duas ou mais sucessões de números dados, cada uma. Para efetuarmos a divisão composta direta, devemos: 1º) encontrar uma nova sucessão onde cada valor será o produto dos valores correspondentes das sucessões dadas; 2º) efetuar a divisão do número em partes diretamente proporcionais aos valores da nova sucessão encontrada. 19 5. Dividir o número 270 em três partes que devem ser diretamente proporcionais aos números 2,3 e5 e também diretamente proporcionais aos números 4, 3 e 2, respectivamente. Indicando por A, Be C as três partes procuradas, devemos ter: Aserá ser proporcionalaZ2e4 » 2x4=8 > A=8p Bseráser proporcionala3e3 > 3x3 > 9p C será ser proporcionala5e2 > 5x2=10 > C=10p A+B+C=270 »8p + 9p + 10p =270 =2705 p= 10 8x 10=80 p x 10=90 10p=10x10=100 Portanto, as três partes procuradas são: 80, 90 e 100. 4º caso: Divisão composta mista Chamamos de divisão composta mista à divisão de um número em partes que devem ser diretamente proporcionais aos valores de uma sucessão dada e inversamente proporcionais aos valores de uma outra sucessão dada. Para efetuarmos uma divisão composta mista, devemos 1º) inverter os valores da sucessão que indica proporção inversa, recaindo assim num caso de divisão composta direta; 2º) aplicar o procedimento explicado anteriormente para as divisões compostas diretas. 6. Dividir o número 690 em três partes que devem ser diretamente proporcionais aos números |, 2 e 3 inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4, respectivamente. Invertendo os valores da sucessão que indica proporção inversa, obtemos: 1 Te 3 nj- el- Reduzindo as frações a um denominador comum, teremos: SAI gães 12 12 12 Então, indicando por A, Be C as três partes procuradas, devemos ter: A será proporcionala 1e 6»1x6=6 A =6p Bserá proporcionala2e 452x4=8 > 13=8p C será proporcionala 3e353x3=9 5C=9p A+B+C=690->6p+8p+9p=690 > 23p=690 > p=30 A=6p=6x30=180,B=8p=8x30=240€e C=9p=9x30=270 Portanto, as três partes procuradas são: 180, 240 e 270. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Determine X, Y e Z de modo que as sucessões (15, X, Y, Z) e (3,8, 10, 12) sejam diretamente proporcionais. 2. Determine X, Y e Z de modo que as sucessões (X, 32, Y, Z) e (3, 4, 7, 9) sejam diretamente proporcionais. 3. Determine X e Y de modo que as sucessões (20, X, Y) e (3, 4, 5) sejam inversamente proporcionais. 4. Determine X, Y e Z de modo que as sucessões (6, X, Y, Z) e (20, 12, 10, 6) sejam inversamente proporcionais. 5. Determine X e Y de modo que as sucessões (3, X, Y) e (4, 6, 12) sejam inversamente proporcionais. 6. Dividir 625 em partes diretamente proporcionais a 5, 7e 13. 20 7. Dividir 1.200 em partes diretamente proporcionais a 26, 34 e 40. 2 8. Dividir 96 em partes diretamente proporcionais a I2:çe8. 9. Dividir 21 em partes inversamente proporcionais a 3 e 4. 10. Dividir 444 em partes inversamente proporcionais a 4,5 e 6. 11. Dividir 1.090 em partes inversamente proporcionais a wjto uje jm e 12. Dividir 108 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3 e inversamente proporcionais a 5 e 6. 13. Dividir 560 em partes diretamente proporcionais a 3, 6 e 7 e inversamente proporcionais a 5,4e 2. 14. Repartir uma herança de R$ 460.000,00 entre três pessoas na razão direta do número de filhos de cada uma e na razão inversa das idades delas. As três pessoas têm, respectivamente, 2, 4 e 5 filhos e as idades respectivas são 24,32 e 45 anos. 15. Dois irmãos repartiram uma herança em partes diretamente proporcionais às suas idades. Sabendo que cada um deles ganhou, respectivamente, R$ 3.800,00 e R$ 2.200,00, e que as suas idades somam 60 anos, qual é a idade de cada um deles? REGRA DE TRÊS Chamamos de regras de três ao processo de cálculo utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas direta ou inversamente proporcionais. Quando o problema envolve somente duas grandezas é costume denominá-lo de problema de regra de três simples. Exemplos: Se um bilhete de ingresso de cinema custa R$ 5,00, então, quanto custarão 6 bilhetes? As grandezas são: o número de bilhetes e o preço dos bilhetes. Um automóvel percorre 240 km em 3 horas. Quantos quilômetros ele percorrerá em 4 horas? As grandezas são: distância percorrida e tempo necessário . Poderemos chamar a regra de três simples de direta ou inversa, dependendo da relação existente entre as duas grandezas envolvidas no problema. Quando o problema envolve mais de duas grandezas é costume denominá-lo de problema de regra de três composta. Exemplo: Se 5 homens trabalhando durante 6 dias constróem 300m de uma cerca, quantos homens serão necessários para construir mais 600rn desta cerca em 8 dias? o A grandezas são: o número de homens, a duração do trabalho e o comprimento da parte construída. Para resolver um problema qualquer de regra de três devemos inicialmente determinar que tipo de relação de proporção existe entre a grandeza cujo valor pretendemos determinar e as demais grandezas. Relação de proporção direto Duas grandezas variáveis mantêm relação de proporção direta quando aumentando uma delas para duas, três, quatro, etc. vezes o seu valor, a outra também aumenta respectivamente para duas, três, quatro, etc. vezes o seu valor. Exemplo: Considere as duas grandezas variáveis: (comprimento de um tecido) (preço de venda da peça) 1 metro. custa... R$ 10,00 2 metros -custam -R$ 20,00 3 metros custam. R$30,00 4 metros custam. R$40,00 2 Solução: O problema envolve duas grandezas, tempo de construção e número de operários necessários. Montaremos, então uma tabela com duas colunas, uma para cada grandeza: Tempo (em dias) Nº de operários 180 24 120. x Na coluna onde a incógnita x aparece, vamos colocar uma flecha apontada para o valor i Tempo (em dias) Nº de operários 180... .. 24 120. «x ? Lembre-se que esta flecha está indicando que se o tempo de construção permanecesse o mesmo, o número de operários necessários, x, continuaria sendo 24. Agora, devemos avaliar o modo como a variação no tempo de construção afetará o número de operários necessários: - Quanto menos tempo houver para realizar a obra, proporcionalmente maior será o número de operários necessários. Assim as grandezas tempo de construção e número de operários são inversamente proporcionais. Na tabela onde estamos representando as variações das grandezas, isto será indicado colocando-se uma flecha na coluna da quantidade de tecido no sentido inverso ao da flecha do x. Tempo (em dias) . - Nº de operários 180. 4 120. A flecha do x indica que seu valor, inicialmente, era 24: inicialmente, tinha-se x = 24 Como no exercício anterior, a outra flecha indica uma fração que nos dá a variação causada em x (o número de operários) pela mudança da outra grandeza (o tempo) apontando sempre do numerador para o denominador. 180 Como neste exemplo a flecha aponta do 180 para o 120 fração é Do Multiplicando o valor inicial de x por esta fração, armamos a seguinte igualdade que nos dará o valor final de x: xa 180, =36 12 Portanto, serão necessários 36 operários para fazer a casa em 120 dias. 3. Em 12 dias de trabalho, 16 costureiras fazem 960 calças. Em quantos dias 12 costureiras poderão fazer 600 calças iguais às primeiras? Solução: O problema envolve três grandezas, tempo necessário para fazer o trabalho, número de costureiras empregadas e quantidade de calças produzidas. Podemos, então, montar uma tabela com três colunas, uma para cada grandeza: Tempo Nº de Quantidade (em dias) costureiras de calças 12 16 960 Tx 12 600 Para orientar as flechas das outras duas grandezas é preciso compará-las uma de cada vez com a grandeza do x e de tal forma que, em cada comparação, consideraremos como se as demais grandezas permanecessem constantes. - Quanto menos costureiras forem empregadas maior será o tempo necessário para fazer um mesmo serviço. Portanto, número de costureiras é inversamente proporcional ao tempo. 24 - Quanto menor a quantidade de calças a serem feitas menor também será o tempo necessário para produzi-las com uma mesma equipe. Portanto, a quantidade de calças produzidas e o tempo necessário para fazê-las são diretamente proporcionais. Tempo Nº de Quantidade (em dias) costureiras de calças 12 16 960 Tx 112 Teo A flecha do x, como sempre, está indicando o seu valor inicial (x = 12). As outras duas flechas indicam frações que nos dão as variações causadas em x (o tempo) pelas mudanças das outras grandezas (o número de costureiras e a quantidade de calças). Lembre-se de que elas apontam sempre do numerador para o denominador. Multiplicando o valor inicial de x por estas frações, temos a igualdade que nos dará o valor final de x: xonsbx LO x10 12 900 Portanto, serão necessários 10 dias para fazer o serviço nas novas condições do problema. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Julgue os itens abaixo em Certos ou Errados. () Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma delas aumenta a outra também aumenta na mesma proporção. (| ) Dadas duas grandezas diretamente proporcionais, quando uma delas diminui a outra aumenta na mesma proporção. () Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando uma delas aumenta a outra diminui na mesma proporção. (/ ) Dadas duas grandezas inversamente proporcionais, quando uma delas diminui a outra também diminui na mesma proporção. 2. Julgue os itens abaixo em Certos ou Errados. ( ) Se duas grandezas A e B são tais que ao duplicarmos o valor de A, o valor de B também duplica então A e B são grandezas diretamente proporcionais. ( ) Se duas grandezas A e B são tais que ao reduzirmos para um terço o valor de A, o valor de B também reduz- se para um terço, então A e B são grandezas inversamente proporcionais. ( ) Se duas grandezas A e B são tais que ao triplicarmos o valor de A, o valor de B fica reduzido para um terço do que era, então A e B são grandezas inversamente proporcionais. ( ) Se A é uma grandeza inversamente proporcional àgrandeza B, então B é diretamente proporcional a A. ( ) Se duas grandezas A e B são tais que ao aumentarmos o valor de A em x unidades, o valor de B também aumenta em x unidades então A e B são grandezas diretamente proporcionais. 3. Determine, em cada caso, se a relação entre as grandezas é de proporção direta (D) ou inversa (1). a) O número de máquinas funcionando e a quantidade de peças que elas produzem durante um mês. ( ) b) O número de operários trabalhando e o tempo que levam para construir uma estrada de 10 km. ( ) c) A velocidade de um ônibus e o tempo que ele leva para fazer uma viagem de Brasília a São Paulo.( ) d) A velocidade de um ônibus e a distância percorrida por ele em três horas. ( ) e) A quantidade de ração e o número de animais que podem ser alimentados com ela durante uma semana. (1) f) O tamanho de um tanque e o tempo necessário para enchê-lo. ( ) ) O número de linhas por página e o total de páginas de um livro. ( ) ) A eficiência de um grupo de operários e o tempo necessário para executarem certo serviço. ( ) i) A dificuldade de uma tarefa e o tempo necessário para uma pessoa executá-la. ( ) j) A facilidade de uma tarefa e o tempo necessário para uma pessoa executá-la. ( ) k) O número de horas trabalhadas por dia e a quantidade de trabalho feito em uma semana. ( ) 1) O número de horas trabalhadas por dia e o número de dias necessário para fazer certo trabalho. ( ) 9 h 4. (CESPE/96-MPU-Assistente) É comum em nosso cotidiano surgirem situações-problema que envolvem relações entre grandezas. Por exemplo, ao se decidir a quantidade de tempero que deve ser usada na comi- da, a quantidade de pó necessária para o café, a velocidade com que se deve caminhar ao atravessar uma rua, etc., está-se relacionando, mentalmente, grandezas entre si, por meio de uma proporção. Em relação às proporções, julgue os itens abaixo. () A quantidade de tinta necessária para fazer uma pintura depende diretamente da área da região a ser intada. ê ) O número de pintores e o tempo que eles gastam para pintar um prédio são grandezas inversamente proporcionais. (/ ) A medida do lado de um triângulo equilátero e o seu perímetro são grandezas diretamente proporcionais. 25 (| ) O número de ganhadores de um único prêmio de uma loteria e a quantia recebida por cada ganhador são grandezas inversamente proporcionais. (/ ) A velocidade desenvolvida por um automóvel e o tempo gasto para percorrer certa distância são grandezas diretamente proporcionais. 5. Se 3 kg de queijo custam R$ 24,60, quanto custarão 5 kg deste queijo? 6. Se3 kg de queijo custam R$ 24,60, quanto deste queijo poderei comprar com R$ 53,30? 7. Cem quilogramas de arroz com casca fornecem 96 kg de arroz sem casca. Quantos quilogramas de arroz com casca serão necessários para produzir 300 kg de arroz sem casca? 8. Em 8 dias 5 pintores pintam um prédio inteiro. Se fossem 3 pintores a mais, quantos dias seriam necessários para pintar o mesmo prédio? 9. Um veículo trafegando com uma velocidade média de 60 km/h, faz determinado percurso em duas horas. Quanto tempo levaria um outro veículo para cumprir o mesmo percurso se ele mantivesse uma velocidade média de 80km/h? 10. Uma roda-d'água dá 390 voltas em 13 minutos. Quantas voltas terá dado em uma hora e meia? 11. Duas rodas dentadas estão engrenadas uma na outra. A menor delas tem 12 dentes e a maior tem 78 dentes. Quantas voltas terá dado a menor quando a maior der 10 voltas? 12. Qual é a altura de um edifício que projeta uma sombra de 12m, se, no mesmo instante, uma estaca vertical de 1,5m projeta uma sombra de 0,5m? 13. Se um relógio adianta 18 minutos por dia, quanto terá adiantado ao longo de 4h 40min? 14. Um relógio que adianta 15 minutos por dia estava marcando a hora certa às 7h da manhã de um certo dia. Qual será a hora certa quando, neste mesmo dia, este relógio estiver marcando 15h 5min? 15. Um comerciante comprou duas peças de um mesmo tecido. A mais comprida custou R$ 660,00 enquanto a outra, 12 metros mais curta, custou R$ 528,00. Quanto media a mais comprida? 16. Um navio tinha víveres para uma viagem de 15 dias. Três dias após o início da viagem, contudo, o capitão do navio recebe a notícia de que o mau tempo previsto para o resto da viagem deve atrasá-la em mais 4 dias. Para quanto terá de ser reduzida a ração de cada tripulante? 17. Um rato está 30 metros àfrente de um gato que o persegue. Enquanto o rato corre 8m, o gato corre 1 tm. Qual a distância que o gato terá de percorrer para alcançar o rato? 18. Um gato está 72m àfrente de um cão que o persegue. Enquanto o gato corre 7m, o cão corre 9rn. Quantos metros o cão deverá percorrer para diminuir a metade da terça parte da distância que o separa do gato? 19. Um gato persegue um rato. Enquanto o gato dá dois pulos, o rato dá 3, mas, cada pulo do gato vale dois pulos do rato. Se a distância entre eles, inicialmente, é de 30 pulos de gato, quantos pulos o gato terá dado até alcançar orato? 20. Um gato e meio come uma sardinha e meia em um minuto e meio. Em quanto tempo 9 gatos comerão uma dúzia e meia de sardinhas? 21. Se 2/5 de um trabalho foram feitos em 10 dias por 24 operários que trabalhavam 7 horas por dia, então quantos dias serão necessários para terminar o trabalho, sabendo que 4 operários foram dispensados e que o restante agora trabalha 6 horas por dia? 22. Um grupo de 15 mineiros extraiu em 30 dias 3,5 toneladas de carvão. Se esta equipe for aumentada para 20 mineiros, em quanto tempo serão extraídos 7 toneladas de carvão? 23. Dois cavalos, cujos valores são considerados como diretamente proporcionais às suas forças de trabalho e inversamente proporcionais às suas idades, têm o primeiro, 3 anos e 9 meses e o segundo, 5 anos e 4 meses de idade. Se o primeiro, que tem 3/4 da força do segundo, foi vendido por R$ 480,00, qual deve ser o preço de venda do segundo? 24. Se 27 operários, trabalhando 6 horas por dia levaram 40 dias para construir um parque de formato retangular medindo 450m de comprimento por 200m de largura, quantos operários serão necessários para construir um outro parque, também retangular, medindo 200m de comprimento por 300m de largura, em 18 dias e trabalhando 8 horas por dia? 26 4º passo: O valor da variável encontrada é substituído numa das equações iniciais que conte- nha também a outra variável e, então, resolvemos a equação resultante: 5º passo: Escrevemos o conjunto-solução: S=((2;3)) B) Método da Substituição 1º passo: Isolamos uma das variáveis em uma das equações dadas: x +y=759y=7-X 3x +2y 2º passo: a variável isolada é substituída na outra equação e, então, resolvemos a equação resultante que tem somente uma variável: 3x +2y = 12 3x+2(7-2x)= 12 3x +14 - 4x = 12 3x —-4x= 12-14 -Ix=-2 x 3º passo: Levamos o valor encontrado para a equação que tem a variável isolada e calculamos o valor desta: 4º passo: Escrevemos o conjunto-solução: S=((2,3)) Sistema indeterminado Se, ao tentarmos encontrar o valor de uma das variáveis, chegarmos a uma expressão do tipo 0=0 ou 3=3 ou qualquer outra que expresse uma sentença sempre verdadeira, o sistema terá infinitas soluções e diremos que ele é possível mas indeterminado. Sistema impossível Se, ao tentarmos encontrar o valor de uma das variáveis, chegarmos a uma expressão do tipo 0=3 ou 2=5 ou qualquer outra que expresse uma sentença sempre falsa, o sistema não terá qualquer solução e diremos que ele é impossível. O conjunto-solução de um sistema impossível é vazio. 29 Resolução gráfica Vamos considerar um sistema do 1º grau com duas variáveis e duas equações: ax+by=c (1) mx +ny=p (8) Cada equação do sistema representauma reta. Cada ponto comum às retas do sistema corresponde a uma solução. Então, as pergunta-chaves são: As retas do sistema têm algum ponto em comum? Quantos? Graficamente, existirão três situações possíveis: 1º) Retas Concorrentes x. Somente um ponto coincidente. Se as retas forem concorrentes o sistema terá uma única solução. Será um sistema possível e deter- minado. 2º) Retas Paralelas Coincidentes Se as retas forem coincidentes o sistema terá infinitas soluções. Será um sistema possível mas indeterminado. k/ Anfinitos pontos coincidentes. 3º) Retas Paralelas Distintas Se as retas forem paralelas e distintas o sistema não terá qualquer solução. Será um sistema impossível. Nenhum ponto coincidente. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Resolva os seguintes sistemas: x+y=5 a) x-y=l 30 2. Dividir onumero 85 em duas partes, tais que a maior exceda a menor em 21 unidades. 3. Dois números são tais que multiplicando-se o maior por 5 e o menor por 6 os produtos serão iguais. O menor, aumentado de 1 unidade, fica igual ao maior, diminuído de 2 unidades. Quais são estes números? 4. Numa gincana cultural, cada resposta correta vale 5 pontos, mas perdem-se 3 pontos para cada resposta errada. Em 20 perguntas, minha equipe só conseguiu 44 pontos. Quantas perguntas ela acertou? 5. Somando-se 8 ao numerador, uma fração fica equivalendo a 1. Se, em vez disso, somássemos 7 ao . Ao tina . 1 . ao nai denominador, a fração ficaria equivalente a 3" Qual é a fração original? 6. Num quintal encontram-se galinhas e coelhos, num total de 30 animais. Contando os pés seriam, ao todo, 94. Quantos coelhos e quantas galinhas estão no quintal? 7. Quando o professor Oliveira entrou na sala dos professores, o número de professores presentes ficou igual ao triplo do número de professoras. Se, juntamente com o professor, entrasse também uma professora, o número destas seria a metade do número de professores (homens). Quantos professores (homens e mulheres) estavam na sala após a chegada do professor Oliveira? 8. A soma dos valores absolutos dos dois algarismos de um número é 9. Somado com 27, totaliza outro número, representado pelos mesmos algarismos dele, mas na ordem inversa. Qual é este número? 9. Um colégio tem 525 alunos, entre moças e rapazes. A soma dos quocientes do número de rapazes por 25 e do número de moças por 30 é igual a 20. Quantos são os rapazes e quantas são as moças do colégio? 10. José Antônio tem o dobro da idade que Antonio José tinha quando José Antônio tinha a idade que Antonio José tem. Quando Antônio José tiver a idade que José Antônio tem, a soma das idades deles será 63 anos. Quantos anos tem cada um deles? EQUAÇÕES DO 2º GRAU Denominamos equação do 2º grau a toda equação da forma ax+bx+e=0, (a 0) ou qualquer equação redutível a esta forma. Exemplos: a)X:5x+6=0 bj32+2=0 ch3%$+27=0 31 Agora "passaremos" o coeficiente principal (a = 12) para o termo independente, multiplicando-os e conseguindo uma nova equação: novaequação 12%? -x 6-0 —BC6=72 424 .72-0 Nesta equação nova, procuraremos as raízes: x2-x-72=0 =-72 1 +72 2 +36 -3 | +24 4 + 18 6 + 12 -8 +9 | > raízes da equação nova: -8 e +9. Finalmente, obteremos as raízes da equação original dividindo as raízes da equação nova por cha = Sen que, simplificadas, dão: Sed -2 +43 Então, as raízes da equação -12X2+x+6=0são: Se b) 2X+9x-5=0 1º) "Passando" o coeficiente principal (que já é positivo) 4 nova equação 2x(-5)=10 2x2 +9%-5=0 ALHO , 2,9% .10=0 2º) Resolvendo a nova equação: 2 +9x-10=0 P=-10 +1 10 < raízes da equação +2 -5 nova: +1 e -10 mn 3º) Di 5 1 Então as raízes de 2x + 9x - 5 = 0 são: 2º- 5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Resolva as seguintes equações incompletas do segundo grau: 2. Resolva as seguintes equações incompletas do segundo grau: a) x2- 6x b) x2+ 6x : ç + 10 : indo as raízes encontradas por l= +2:5e5. OU sejam: 34 c)2x)-3x= d)-52+7x=0 e)19xX- 15x = 0 10,52 +3x=0 3. Resolva as seguintes equações completas do segundo grau. a)x)-13x+12=0 b)x2-8x+12=0 c)$+7x+12=0 d)x2-20x+36=0 e)x)+ 15x+36=0 x-11x-12=0 9) x+11x-12=0 h)x2-x -12=0 i) 5) k)-x + 8x+2 1) m n) 0) 4.R a)2x+3x-2=0 b)15x-8x+1=0 c)3x2+4x+1=0 d)2x-5x+2=0 5. Verifique se -2 é raiz da equação 242 -5x-18=0. 6. Calcular m na equação mj- 3x + (m - 1) = 0, de modo que uma de suas raízes seja igual a 1. 7. Determine m na equação 2% - mx + x + 8 = 0, de modo que a soma de suas raízes seja igual a 5. 8. Determine m tal que as raízes de 4% + (m + 1)x + (m + 6) = 0 sejam iguais. 9. Determine dois números cuja soma seja -2 e o produto seja -15. 10. Decompor o número 21 em duas parcelas tais que o produto entre elas seja 110. 11.A soma de um número natural com o seu quadrado é igual a 72. Determine este número. 12. A soma de certo número inteiro com o seu inverso é igual a 50/7. Qual é esse número? 13. Determine dois números inteiros e consecutivos tais que a soma dos seus inversos seja 5/6. 14. Determine dois números pares, positivos e consecutivos cujo produto seja 120. 15. A diferença entre o quadrado e o triplo de um mesmo número natural é igual a 54. Determine esse número. FUNÇÕES Defi ções Dados dois conjuntos não vazios, A e B, chama-se função de A em B a qualquer relação tal que a cada um dos elementos do conjunto A corresponda sempre um único elemento do conjunto B. Indicamos que uma relação f é uma função de A em B, escrevendo f: AB. O conjunto A é o domínio da função e o conjunto B é o contradomínio. Domínio de f - D(f)= A Contradomínio de f - CD(f)=B Numa função f AB, chamamos de conjunto Imagem da função ao conjunto de todos os elementos de B (contradomínio) que tiveram alguma correspondência com valores de A (domínio). Lei de uma função Para o nosso estudo interessam apenas as funções definidas para conjuntos numéricos, cujas relações sejam definidas por operações aritméticas. 35 Exemplos: 1- A função f:N > Nº definida por f(x) = 3x +2 associa a cadax e N o número 3x +2 e N* chamado imagem do elemento x. A imagem do elemento x = 5 será 17, pois 3(5) +2 = 17 e anotamos f(5) = 17. 2- A função f Z> Nº definida por f(x) = 3x? + 2 associa a cada xe Z o número 3x? +2e Nº chamado imagem do elemento x. A imagem do elemento x = -2 será 14, pois 3(-2)2+2=3X 4+2=14 e anotamos f(-2) = 14. Gráfico de uma função Considere todos os pares ordenados (x, y) onde x pertence ao domínio da função f e y é a imagem de x pela função f. O gráfico cartesiano de uma função numérica f é a representação gráfica onde cada um desses pares orde- nados é mostrado como um ponto do plano cartesiano. Discutiremos os detalhes dos gráficos de funções no estudo das funções do 1º e do 2º graus. Função do 1º Grau Denominamos função do primeiro grau a qualquer função f: R > R, tal que: f(x) =ax+b (coma z 0) O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta inclinada que encontra o eixo vertical quando y =b. O valor constante b da expressão ax + b é chamado coeficiente linear. O coeficiente a da expressão ax + bé chamado coei nte angular e está associado ao grau de inclinação que a reta do gráfico terá (na verdade o valor de a é igual à tangente de um certo ângulo que a reta do gráfico forma com o eixo horizontal). Se a > O a função será crescente, ou seja, quanto maior for o valor de x, maior será também o valor correspondente de y e o gráfico vai ficando mais alto para a direita. 3 aj=ar+b 2>0 Sea<0afunçãoserá decrescente, ou seja, quanto maior foro valor de x menor será o valor correspondente de y e o gráfico vai ficando mais baixo para a direita. + fi)=ar+b o<0 36 Coordenadas do Vértice As coordenadas do vértice podem ser obtidas com as seguintes expressões: Uma forma alternativa de se conseguir estas coordenadas é fazendo: 1º - Conhecidas as raízes da função, o x do vértice pode ser calculado como a média aritmética das raízes da função. nt x= Y 2 2º - Conhecido o valor de x, pode-se calcular o y do vértice como o valor que a função assume para X = Xy: yu= a(x) + b(xy) + 0 O vértice da parábola será: - ponto de mínimo sempre que a > 0; - ponto de máximo sempre que a < 0. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. A função do segundo grau f(x) =? + bx + c encontra o eixo horizontal para x = 2 e para x = 5. Então os valores de be dec são, respectivamente: a)-7e-10 . As raízes de f(x) = 2x? + bx + ctêm sinais opostos. Logo: ) b?. 8cé iguala zero. ) b2- 8c é negativo. )c<o. )b<o. )b<c. 4. As raízes de f(x) =-3x+ bx + c são positivas e distintas. Logo: ) b?- 8c é iguala zero. ) b2- 8c é negativo. )c>0. ) ) soc» b>0. ejb<c. INEQUAÇÕES DO 1º E DO 2º GRAUS Resolver uma inequação num dado conjunto numérico U (universo) significa encontrar o conjunto de todos os valores de U que tornam verdadeira a inequação. Este subconjunto de U é chamado conjunto-solução ou conjunto-verdade da inequação. Inequações do 1º grau Denominamos inequações do primeiro grau à inequações redutíveis a uma das seguintes formas: ax+b<0 ax+b<0 ax+b>0 39 ax+b>0 ax+bx0 (todas com a 0) Obs.: É sempre possível multiplicar os dois lados de uma inequação por -1 para obter a > 0, lembrando que ao multiplicar a inequação por -1 os sinais > e < serão sempre trocados um pelo outro. Sendo a > 0, teremos: ax+b<0 o x<-b/a ax+b<0 o x<-b/a ax+b>0 6 x>-b/a ax+b>0 o x >-b/a ax+bz 0 o xx -b/a EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nos exercícios 1 a 10, resolva as inequações do 1º grau no universo dos números reais: «2x +16<0 «-5x+10 <0 «3x + 4 >2x+5 «9x +4 > 11x-3 «3x -2>20 .8(1-2x) 26 -3x «Tx-1<27 3x-6 5x-9 * o VNonaBona Inequações do 2º Grau Denominamos inequações do segundo grau às inequações redutíveis a uma das seguintes formas: +bx+c<0 +bx+c<0 ax +bx+c>0 ax +bx+c>0 ax + bx +c *0 ax ax 2 2 2 2 2 (todas com a * 0) Sejama>0e A=b?-4ac, tem-se: A>05ax? + bx +cserá: positiva, para todo x fora do intervalo limitado pelas duas raízes; igual a zero, para x iguala qualquer uma das duas raízes; negativa, para todo x dentro do intervalo limitado pelas duas raízes. A=0- ax?+ bx+cserá: igual a zero quandox for a raiz; positiva para todos os outros valores de x. A<0» ax2+bx+c será sempre positiva. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Resolver a inequação $-3x+2>0 Solução: Já temosa > 0. A=(-3)2-4(1)(2)=9-8= 1 (positivo > duas raízes) Então f(x) > O ocorrerá para todo x fora do intervalo limitado pelas raízes. 40 Como as raízes são 1e 2, teremos: x < 1 oux> 2. S=(xeR/x<1oux>2) 2. Resolver a inequação - 4x2 + 4x - 1<0 Solução: Multiplicando a inequação por -1, faremosa > O: 44. 4x+1>0 A=(-47 - 4(4)(1) = 16-16 = O (nulo > uma só raiz) Então f(x) > O ocorrerá para todo x diferente da raiz. Como a raiz é 1/2, teremos: x 1/2. S=[x e R/xz1/2) 3. Resolvera inequação É-5x+8<0 Solução: Já temos a > 0: A=(-5)-4(1)(8)=25- 32 7 (negativos > não há raízes) Então f(x) será sempre positiva (poisa > 0) Como o pedido foi f(x) < O (que nunca ocorrerá) teremos um conjunto-solução vazio, pois não há qualquer valor que satisfaça f(x) < 0. S=9 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nos exercícios 1 a 5, resolver as inequações do 2º grau. 1.x)+11x-12>0 2.-x)+x+12>0 3.x2-6x +9>0 4.-x2-16x-64>0 5.3x2+42<0 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS FUNÇÃO EXPONENCIAL É toda função f de R em R tal que: f(x) =a”*,como<a x 1 (a positivo e diferente de 1) Exemplos: f(x) = 3*- função exponencial com base a = 3. f(x) = E) função exponencial com base a = 1/5. A função exponencial será crescente sempre que a > 1. 41 > logs9=2 2º =1/8 & -3é0 logaritmo de 1/8 na base 2 1 lo - - logo (5) Na expressão logb (a) = x, a é o logaritmando - o resultado da potência b*; b é a base; x é o logaritmo - o expoente da potência b”. 3 Condições de Existência dos Logaritmos O logaritmando e a base de um logaritmo devem ser sempre positivos e a base ainda deve ser sempre diferente de 1. logb(a) existe se e somente se: a>0 b>0 bz1 Exemplos: 1º Determinar x para que exista loga(2x -10). 2x-10>0 x>5 2º Determinar o valor de x para que exista logxs (8). x-9>0ex-9% 1 x>9 ex +10 Propriedades dos Logaritmos Sejam M,N eb positivos eb 1, tem-se: 19) logo(b) = 1 2 Jogo (1)=0 * Jogo (M) = logb(N) & M=N & logo (DY =k & Jogo (MXN) = logs (M) + logo (N) & Jlogo(M = N) =loge (M) - logo( N) Jogo (MY = kxlogo (M) Cologaritmo Chama-se cologaritmo de um número ao oposto do logaritmo deste número. Colog»(N) =-log»(N) Antilogaritmo Chama-se antilogaritmo de K na base b à k-ésima potência da base b. antilogo(K) = b* Representação de logaritmos Decimais Chamam-se logaritmos decimais aos logaritmos de base dez. A representação dos logaritmos decimais é feita indicando-se apenas log (x). EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Calcular loga(329). 2. Calcular logs(2). 3. Calcular log (2º) + log (5º). 4. Resolva a equação logarítmica loga (2x+5) = 2. 5. Resolva a equação logarítmica log (2x+6) = 2. 6. Dados log(x) = 5 e log(y) =8, calcule log(é xy”. 7. Sabendo que log (x) = 2 e log (y) = 5, calculelog (Xº = yº). PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS Progressões Aritméticos Definição Dados os números reais a e r, denominamos progressão aritmética (P.A.) a toda sequência (a, , az, as, ...) talque: aj=a ag antr (paran>1) Onde r é chamado razão da P.A. Exemplos: 1º)A sequência (3, 7, 11, 15, 19) é uma P.A. com 5 termos onde a, = 3, az = 7, as =11,a4= 15, as= 19e arazãoé 4. 2º )Numa P.A. de 20 termos onde a; = 50 e r = -2, os quatro primeiros termos são a; = 50, a2=48,93=46ea4=44. Propriedades * A diferença entre um termo qualquer, a partir do segundo, e o termo anterior é igual à razão da P.A. ani—an=r * Qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética dos termos vizinhos a ele (antecedente e sucessor). Ani tâna n 3 a * Considerando n termos consecutivos de uma P.A., a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual àâsoma dos termos extremos. Termo geral de urna P.A. Numa P.A. de razãor, vale a seguinte igualdade: ag=ap+(n-k-r Exemplos: 1º Numa P.A. de razão 3, cujo 8º termo vale 10, o valor do 15º termo é: ajs=ag+(15-8):3 a15=1047:3 ais =10+21 ais =31 45 2 Seo 5º termo de umaP.A. é 13 e 0 9º termo é 45, pode-se determinar a razão da seguinte forma: ag=as +(9-5)-r 45=13+4-r 45-13=4r 32=4r>1=8 3º Numa P.A. de razão 6, o valor do 8º termo é 40 e o último termo vale 106. Pode-se determinar o número de termos da P.A. como segue: último termo :a, = 106 dados. oitavo termo : ag = 40 razão: 6 an=ag+(n-8)-r 106=40+(n-8)-6 66=(n-8)-6 H=n-8>n=19 Soma de n termos consecutivos de uma P.A. (Sn) Para calcularmos a soma de n termos consecutivos de uma P.A., devemos: 1º Calcular amédia aritmética dos dois extremos; 2º Multiplicar a média pelo número de termos somados. 2 Exemplo: Numa P.A. com 30 termos o primeiro é 12 e o último, 58. Qual o valor da soma de todos eles? s, [titan Solução: 12+58 So=[ Jo 2 70 So =| |:30 30 8) So =35:30 = 1.050 São =1.050 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Determine a razão de cada uma das seguintes progressões aritméticas: a) (34,41, 48,55, 62) b) (78, 83, 88, 93, 98) 0) (19,17, 15, 13,11) d) (-30, -27, -24, -21) e) (4/3, 5/3, 2, 7/3) 2. Determine o 10º termo de cada uma das progressões aritméticas do exercício anterior. 3. Determine o termo indicado em cada uma das seguintes progressões aritméticas: ajas=2,1=2,a20=? bjarw=15,r=3,a30= c)as=100,r=5,a1=? d e ) a20=40, ) aso = 18, fas=56,r=12,a49 4. Determine o primeiro termo das progressões aritméticas em cada caso: g)arw=-30er=-3 46 EXERCÍCIOS PROPOSTOS « Identifique a razão de cada uma das seguintes progressões geométricas: (3,6, 12,24) 24,12,6,3) 65, 0,0,0,0) (4,-8,16, -32, 64) f) (128, -64, 32, -16) 9) [6.6/2,12,1n2) n) (a312,347,6,642) (1.42,-2,242,-4) . Determine o sétimo termo de cada uma das seguintes progressões geométricas: (4,8, 16,32,...) (10, 30,90, ...) (5,20, 80, 320, ...) (10.000, 1.000, 100, ...) (128, 64,32,...) 1) (1,-2,4,-8, 2 a) b) e) a) e) 3. Determine o termo pedido de cada P.G., conhecendo a razão e um de seus termos. ajas= 10,]=2,as=? b)as=8q=3,a10=? c)as=12.500,g=-5,a1=? sa 9) an=qu=5,a =? 5. Determine o segundo termo de cada sequência resultante das interpolações geométricas indicadas. a) Inserir 4 meios geométricos entre 4e 1/8. b) Interpolar 4 meios geométricos entre 3 e -96. c) Inserir 2 meios geométricos entre 2 e 10. d) Inserir 3 meios geométricos entre 2 e 32, de modo a obter uma P.G. alternante. e) Interpolar 3 meios geométricos entre 4 e 36, de modo a obter uma P.G. crescente. PORCENTAGENS Razão Centesimal Chamamos de razão centesimal a toda razão cujo consequente (denominador) seja igual a 100. Exemplos: 6. 43,52. 270 100” 100" 100” 100 Outros nomes usados para uma razão centesimal são razão porcentual e percentil. 49 Taxa porcentual Quando substituímos o consequente 100 pelo símbolo % (lê-se "por cento") temos uma taxa porcentual ou taxa centesimal. Exemplos: 72 =72% (setentae dois por cento Top — 72% ( po ) 9 > =9% (nove por cento Top = 9% (nove p ) Porcentagem Dada uma razão qualquer Lp , Chamamos de porcentagem do valor v a todo valor de p que estabeleça uma v proporção com alguma razão centesimal. Na prática, pode-se determinar o valor p da porcentagem de dois modos: 1º modo: Multiplicando-se a razão centesimal pelo valor v. A expressão acima justifica dizermos que "p é igual a r% de v". 2º modo: Resolvendo a regra de três que compara v a 100%: valores taxas P—— % v ——— 100% Atenção: Nas questões de concursos públicos é comum encontrarmos: *"porcentagem" no lugar de "taxa percentual". Exemplo: "a porcentagem foi de 20%"; * desconto, abatimento, lucro, prejuízo, etc. indicando uma porcentagem em situações específicas; * a expressão "principal" indicando o valor de referência (v) que corresponde a 100%. Observe que resolver uma porcentagem ou uma taxa percentual é, fundamentalmente, resolver uma proporção ou uma regra de três simples. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. A conta de um restaurante indicava uma despesa de R$ 26,00 e trazia a seguinte observação: "Não incluímos os 10% de serviço". Quanto representam, em dinheiro, os 10% de serviço e quanto fica o total da despesa se nela incluirmos a porcentagem referente ao serviço? Solução: 10% de 26,00= 10 x 26 =—— 100 00 Portanto, os 10% de serviço representam R$ 2,60. Incluindo esta porcentagem na despesa original, teremos: 26,00 + 2,60 = 28,60 Assim, o total da despesa passa a ser de R$ 28,60. 50 2. Num laboratório, 32% das cobaias são brancas e as outras 204 são cinzas. Quantas cobaias há neste laboratório? Solução: O total de cobaias corresponde a 100%: brancas (32%) + cinzas (x%) = total (100%) x% = 100% - 32% = 68% Então, as 204 cobaias cinzas são 68% do total. Chamando o total de cobaias de C, poderemos escrever: 68% de C = 204 $ c-24 100 — 204x 100 68 c C=300 Portanto, há 300 cobaias no laboratório. 3.0 preço de um produto A é 30% maior que o de Be o preço deste é 20% menor que o de C. Sabe-se que A, B e Ccustaram, juntos, R$ 28,40. Qual o preço de cada um deles? Solução: Digamos que os preços deA, Be C são a,b e c, respectivamente: a = 100% de b mais 30% de b= 130% de b=1Ocp=13b 100 b = 100% de emenos20% de c= 80% de c- A e-08e o Comparando as duas igualdades acima, temos: b=0,8c e a=1,3b, portanto a = 1,3x (0,80) a=1,04c O preço dos três, juntos é R$ 28,40: a+b+c=õa28,40 / 1,04c + 0,8c + 1c = 28,40 2,84c=28,40 c= 10,00 (valor de C) b=0,8c=0,8x 10 = 8,00 (valor de B) a=1,04c= 1,04x 10 = 10,40 (valor de A) Então, os preços são: A custa R$ 10,40, Bcusta R$ 8,00 e C custa R$ 10,00. 4. Uma mercadoria foi vendida com um lucro de 20% sobre a venda. Qual o preço de venda desta merca- doria se o seu preço de custofoi de R$ 160,00? 51 4. (AFTN/96) De todos os empregados de uma grande empresa, 30% optaram por realizar um curso de especialização. Essa empresa tem sua matriz localizada na capital. Possui, também, duas filiais, uma em Ouro Preto e outra em Montes Claros. Na matriz trabalham 45% dos empregados e na filial de Ouro Preto trabalham 20% dos empregados. Sabendo-se que 20% dos empregados da capital optaram pela realização do curso e que 35% dos empregados da filial de Ouro Preto também o fizeram, então a percentagem dos empregados da filial de Montes Claros que não optaram pelo curso é igual a: a) 60% b) 40% 5. (AFTN/96) O salário mensal de um vendedor é constituído de uma parte fixa igual a R$ 2.300,00 e mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 10.000,00. Calcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre seu salário bruto. Em dois meses consecutivos, o vendedor recebeu, líquido, respectivamente, R$ 4.500,00 e R$ 5.310,00. Com esses dados, pode-se afirmar que suas vendas no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em: a) 18% b) 20% JUROS SIMPLES Juro é a remuneração paga a um capital. Ao capital acrescido de juros é comum chamarmos montante. Capital Montante + Juros Assim, observamos que os juros são a variação entre o capital e o montante. Regime de Juros Simples Chamamos de regime de juros simples âquele onde se admite que os juros serão diretamente proporcionais ao tempo da operação considerada. Como os juros são a variação entre o capital e o montante e esta, na prática, ocorre ao longo do tempo, o valor dos juros deve sempre ser associado ao período de tempo que foi necessário para gerá-lo. Exemplo: Se dissermos que um empréstimo de R$ 1.000,00 cobra juros de R$ 2,00 isto representará uma variação grande ou pequena? Depende. Se ela ocorreu em um ano, podemos dizer que é bem pequena. Mas se ocorreu em um dia, já não teremos a mesma opinião. Taxa de Juros A taxa de juros é a taxa porcentual que indica a proporção entre os juros e o capital. A taxa de juros deve sempre estar associada a um período de tempo. 100% (100 +x)% +X% Capital Montante + Juros Taxas Porcentuais e Unitárias Conforme vimos no capítulo de Porcentagens, uma taxa porcentual representa uma razão centesimal fazendo uso do símbolo %. Assim, temos: E = 18% (taxa porcentual) s4 Entretanto, podemos representar a razão centesimal na forma decimal, obtendo a forma unitária da taxa, ou taxa unitária: 18 100 0,18 (taxa unitária) Taxas Proporcionais Dizemos que duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção direta com os respectivos tempos, considerados numa mesma unidade. Exemplo: As taxas de 72% ao ano e de 6% ao mês são proporcionais, pois: ou seja: 72% está para 12 meses (1 ano) assim como 6% está para 1 mês. Taxas Equivalentes Dizemos que duas taxas são equivalentes quando produzem juros iguais ao serem aplicadas a capitais iguais e por períodos de tempo também iguais. Atenção: No regime de juros simples, taxas equivalentes serão sempre proporcionais . Exemplo: Aplicar X reais, durante algum tempo, àtaxa de juros simples de 2% a.m. nos daria juros iguais âqueles que obteríamos se aplicássemos os mesmos X reais, durante o mesmo tempo, mas àtaxa de juros simples de 6% a.t. (ao trimestre). Então dizemos que 2% a.m. é uma taxa equivalente a 6% a.t. Notemos que 2% a.m. e 6% a.t. são também taxas proporcionais, pois: 6% 2% 3 meses Imês Juros Comerciais e Juros Exatos Existem situações onde o prazo de uma operação financeira é contado em dias enquanto a taxa de juros é indicada em alguma outra unidade de tempo maior (mês, bimestre, quadrimestre, semestre ou ano). A contagem do número de dias envolvidos nestas situações será feita, na prática, de acordo com uma das duas convenções abaixo. * prazo comercial - consideram-se todos os meses com 30 dias (mês comercial) e o ano com 360 dias (ano comercial). Este é o caso mais frequente nos problemas de juros simples e os juros calculados de acordo com esta convenção são chamados de juros comerciais ou juros ordinários . * prazo exato - consideram-se os dias transcorridos efetivamente entre as datas apresentadas. Cada mês poderá ter 30 dias (para abril, junho, setembro e novembro), 28 dias (para fevereiro, sendo 29 se o ano for bissexto) ou 31 dias (para os demais meses do ano). O ano terá um total de 365 dias (ou 366 dias se for bissexto). Os juros calculados de acordo com esta convenção são chamados juros exatos. Prazo Médio e Taxa Média Dado um conjunto com duas ou mais aplicações a juros simples, cada qual com seus próprios valores de capital, taxa e prazo, dizemos que prazo médio é um prazo único tal que, substituindo os prazos de cada uma das aplicações dadas, produzirá o mesmo total de juros das aplicações originais. O prazo médio é sempre a média dos prazos ponderados pelos valores correspondentes das taxas e dos capitais a eles associados. Exemplo: Três capitais de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00 foram aplicados à taxas simples de 2%, 3% e 4% ao mês durante 3 meses, 2 meses e 1 mês, respectivamente. Qual seria o prazo médio para estas três aplicações? 55 A B c AxBxC Bxc PRAZOS CAPITAIS TAXAS PRODUTOS PESOS 3 meses 1 2 3x1x2=6 1x2=2 2 meses 2 3 2 2x3=6 1 mês 3 4 1x3x4=12 3x4=12 6+12+12 30 ádio = SHI2+I2 30 prazo médio ZE6 4127 20 +5 (meses) Portanto, o prazo médio seria de 1 mês e 15 dias. Isto significa que, se nós trocássemos os três prazos por 1 mês e 15 dias, o total de juros produzidos pelas três aplicações continuaria inalterado. Taxa média é uma taxa única tal que, substituindo as taxas de cada uma das aplicações dadas, produzirá o mesmo total de juros das aplicações originais. A taxa média é sempre a média das taxas ponderadas pelos valores correspondentes dos prazos e dos capitais a eles associados. Exemplo: Considerando as aplicações do exemplo anterior: R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00, às taxas de 2%, 3% e 4% ao mês, durante 3, 2e 1 mês, respectivamente. Qual seria a taxa média para estas três aplicações? A B c AxBxC Bxc TAXAS CAPITAIS PRAZOS PRODUTOS PESOS 2%am. 1 3 2x1x3=6 1x3=3 3%a.m. 2 2 3x2x2=12 2x2=4 4%a.m. 3 1 4x3x1=12 3x1=3 6+12+12 30 éda=———=" =3% taxa média 35453 10 Portanto, a taxa média seria de 3% ao mês. Isto significa que, se nós trocássemos as três taxas (2%, 3% e 4%) todas para 3% a.m., o total de juros produzidos pelas três aplicações continuaria inalterado. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Um capital de R$ 800,00 foi aplicado pelo prazo de 2 meses, âtaxa de 3% ao mês. Qual o valor dos juros a receber? Solução: Inicialmente, vemos que a taxa é de 3 Yao mês mas o prazo de aplicação é de 2 meses. Logo: Observe o raciocínio de regra de três: Se,em 1 mês pagam 3% de juros, então, em 2 meses pagam 6%de juros. 100% (100 + x)% CAPITAL +6% MONTANTE C=800,00 +JUROS=? M=? Poderíamos determinar quer os juros, quer o montante através de uma simples regra de três. Mas o problema pediu o valor dos juros. Logo, faremos: Se 100% representam 800,00 (capital) então, 6% representam J=? (juros). 56 Agora, devemos ajustar a taxa de juros ao prazo de 73 dias da aplicação, pelo critério do juros exatos, ou seja, 1 ano = 365 dias. Regra de três: em 365 dias (1 ano) então, em 73 dias - temos . - teremos ap = 10273 “og, 365 Então, os juros obtidos durante os 73 dias são 2% de R$ 5.300,00. 2% de R$ 5.300,05 55x 5.300 =106,00 Portanto, o montante procurado é igual a R$ 5.406,00, pois: 5.300 + 106 = 5.406 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. (Metrô-Técnico em Contabilidade-2º G-IDR/94) Qual o juro obtido na aplicação, durante 3 meses, de um capital de R$ 10.000,00, àtaxa de juros simples de 10% ao mês? 2. (TCDF-Analista de Finanças e Controle Externo-Superior-IDR/94) Qual o juro obtido na aplicação, durante 2 meses, de um capital de R$ 100.000,00 àtaxa de juros simples de 60% a.m.? 3. (Metrô-Assistente Administrativo-2º G-IDR/94) Um capital de R$ 100.000,00 foi aplicado à taxa de juros simples de 40% a.m. Após um semestre, qual o valor do montante obtido? 4. (CEB-Contador-Superior-IDR/94) O capital de R$ 9.000,00 foi aplicado àtaxa de juros simples de 36% a.a. Após quatro meses, qual é o valor do montante? 5. (IDR/TCDF/AGENTE ADMINISTRATIVO) De quanto será o juro produzido por um capital de R$ 39.600,00, aplicado durante 300 dias, àtaxa de 15% ao ano? 6. (IDR/TCDF/AGENTE ADMINISTRATIVO) Qual o valor do capital que se deve aplicar, à taxa de 8% ao ano, durante 7 meses, para obter juro de R$ 8.568,00? 7. (TTN/89-2ºG) A que taxa anual o capital de Cz$ 288,00, em 2 meses e 15 dias, renderia Cz$ 6,60 de juros simples? 8. (TTN/89-2ºG) Uma certa importância foi aplicada a juros simples de 48% a.a., durante 60 dias. Findo o prazo, o montante apurado foi reaplicado por mais 120 dias, a uma taxa de 60% a.a., mantendo-se o mesmo regime de capitalização. Admitindo-se que o último montante foi de R$ 207,36, qual foi o capital inicial da primeira operação? 9. Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de R$ 4.000,00, durante 3 anos, sabendo-se que se um capital de R$ 10.000,00 fosse aplicado durante o mesmo tempo, a juros simples de 5% a.a., renderia mais R$ 600,00 que o primeiro. 10. Obtive uma renda (juros) total de R$ 1.290,00 proveniente das aplicações de dois capitais a juros de 6% a.a., durante 4 meses. Se eu aplicasse a diferença entre os dois capitais a 12% a.a., durante o mesmo perío- do, obteria um rendimento de R$ 540,00. Quais eram os valores dos capitais aplicados? 11. Um capital de R$ 94.000,00 foi aplicado sendo uma parte a 6% a.m., outra a 8% a.m. e o restante a 10% a.m., todas durante 10 meses. Determine o valor da terceira parte sabendo que os juros das três foram iguais. 12. (Atendente Judiciário-TRT-ES/90) Dividir o capital de R$ 441.000, em duas partes de modo que a primeira, aplicada a 5,5% ao mês e a segunda a 60% ao ano, produzam, no fim do mesmo tempo de aplicação, juros de mesmo valor. 13. Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. Para que, em períodos de tempo iguais, sejam obtidos rendimentos iguais para os dois capitais, a taxa de aplicação do menor deles deve superar a do maior em quantos por cento? 14. (Atendente Judiciário-TRT-ES/90) Uma pessoa emprega seu capital nas seguintes condições: a terça parte a 15% ao ano, a quinta parte a 18% ao ano e o restante a 21 % ao ano. Qual a taxa única, a que a mesma poderia empregar todo o capital, a fim de obter o mesmo rendimento anual? 59 15. Certo capital foi dividido em duas partes iguais que, aplicadas à mesma taxa de juros, produziram montantes de R$ 1.500,00 e R$ 1.200,00 em 6 meses e 4 meses respectivamente. Qual o valor do capital? 16. Aplicando-se R$ 100.000 durante 90 dias, obteve-se um rendimento de R$ 10.800,00. Qual seria o rendi- mento obtido em um ano se a taxa mensal de juros fosse 0,1% maior (x% + 0,1%)? 17. Certo capital foi dividido em duas partes iguais que, aplicadas, produziram montantes de R$ 4.200,00 e R$ 3.400,00 em 6 meses e 4 meses respectivamente. Qual era o valor do capital se a taxa de juros da primeira aplicação estava para a da segunda assim como 2 está para 1 ? TESTES 1. (TTN/85) Se 6/8 de uma quantia produzem 3/8 desta mesma quantia de juros em 4 anos, qual é a taxa aplicada? a) 20% ao ano b) 125% ao ano c) 12,5% ao ano d) 200% ao ano e) 10% ao ano 2. (TTN/85) Um capital de Cr$ 14.400 aplicado a 22% ao ano rendeu Cr$ 880 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado? a) 3 meses e 3 dias b) 3 meses e 8 dias c) 2 meses e 23 dias d) 3 meses e 10 dias e) 27 dias 3. (TTN/89) Calcular os juros simples que um capital de NCz$ 10.000,00 rende em um ano e meio aplicado à taxa de 6% a.a. Os juros são de: a) NCz$ 700,00 b) NCz$1.000,00 c) NCz$1.600,00 d) NCz$ 600,00 e) NCz$ 900,00 4. (AFTN/91) Um capital no valor de 50, aplicado a juro simples a uma taxa de 3,6% ao mês, atinge, em 20 dias, um montante de: 5. (TTN/94) Qual é o capital que diminuído dos seus juros simples de 18 meses, àtaxa de 6% a.a., reduz-se a R$8.736,00? a) R$ 9.800,00 b) R$ 9.760,66 c) R$ 9.600,00 d) R$ 10.308,48 e) R$ 9.522,24 6. (TTN/89) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará a NCz$ 1.296,00 no fim de 8 meses, é de: a) NCz$1.100,00 b) NCz$1.000,00 c) NCz$1.392,00 d) NCz$ 1.200,00 e) NCz$1.399,68 7. (TTN/92) Se em 5 meses o capital de Cr$ 250.000,00 rende Cr$ 200.000,00 de juros simples àtaxa de 16% ao mês, qual o tempo necessário para se ganhar os mesmos juros se a taxa fosse de 160% ao ano? so 7m 8m 9m Deo tom 8. (AG.SEG-TRT/ES-90) Obtendo-se, em 10 meses, Cr$ 120.000,00 de juros simples pelo empréstimo de um capital de Cr$ 200.000,00 àtaxa de 6% a.m. Determine o tempo necessário para se ganharem os mesmos juros, caso a taxa seja de 60% a.a. a) 8meses b)fanoe3 meses c)tano d) 1Omeses e) 13meses 9. (AG.SEG.-TRT/ES-90) Em março de 1990, o governo brasileiro, numa tentativa de acabar com a inflação, reteve o dinheiro do povo. Uma pessoa verificou que, ao final de 45 dias, àtaxa de 4,2% ao mês obteve, de acordo com seu saldo em cruzados novos, juros de Cr$ 630,00. Qual foi a quantia retida? a) Cr$ 18.000,00 b) Cr$ 20.000,00 Cr$ 36.000,00 Cr$ 5.000,00 Cr$ 10.000,00 o) d e) 10. (AG.SEG.-TRT/ES-90) Emprestei 1/4 do meu capital, a 8% ao ano, 2/3 a 9% ao ano, e o restante a 6% ao ano. No fim de um ano recebi Cr$ 102,00 de juros. Determine o capital. a) Cr$ 680,00 b) Cr$ 840,00 c) Cr$ 1.200,00 d) Cr$ 2.530,00 e) Cr$ 12.600,00 11. (AG.SEG.-TRT/ES-90) A que taxa mensal deverá a firma "O Dura" aplicar seu capital de Cr$ 300.000,00, para que, em 2 anos e 4 meses, renda juros equivalentes a 98% de si mesmo? a) 42% a.m. b) 3,5% am. c)35%a.m. d) 4,2% am. e) 18% am. 12. (AT.JUD.-TRT/GO-90) Calcule o capital que se deve empregar àtaxa de 6% a.m., a juros simples, para se obter Cr$ 6.000,00 de juros em 4 meses. a) Cr$ 10.000,00 b) Cr$ 25.000,00 Cr$ 100.000,00 Cr$ 180.000,00 Cr$ 250.000,00 o) d e) 13. (AT.JUD.-TRT/GO-90) Se uma pessoa deseja obter um rendimento de Cr$ 27.000,00, dispondo de Cr$ 90.000,00 de capital, a que taxa de juros simples quinzenal o dinheiro deverá ser aplicado no prazo de 5 meses? a) 10% 14. (AT.JUD.-TST/ES-90) Qual a taxa necessária para que um capital, colocado a juros simples, decuplique de valor em7 anos? a) 50% a.a. b) 1284/7%aa. c)1426/7%a.a. d)127%am. e) 12% a.m. 15. (AT.JUD.-TST/ES-90) Depositei certa importância em um Banco e, depois de algum tempo, retirei os juros de Cr$ 1.600.000,00, que representavam 80% do capital. Calcular o tempo em que o capital esteve empregado, se a taxa contratada foi de 16% am. a) 5 meses e 20 dias b) 5 meses 4 meses e 10 dias 4meses Gmeses e 5 dias o) d e) 16. (AT.JUD.-TST/ES-90) O capital de Cr$ 1.200.000,00 está para seus juros assim como 4 está para 3. Determinar a taxa de juros, considerando que o capital esteve empregado 1 ano e 3meses. a)6%a.m. 61 Vamos resumir o que temos até agora num esquema: (ANTES DO VENCIMENTO) (VENCIMENTO) VALOR LÍQUIDO PRAZO DE ANTECIPAÇÃO | | VALOR NOMINAL. +DESCONTO Observe que o desconto sempre é a diferença entre o valor nominal e o valor líquido. Estudaremos dois tipos de desconto: 1º) Desconto "por dentro", ou desconto racional é aquele onde a referência para o cálculo percentual do desconto é o valor líquido . Desconto "por dentro" ou racional > 100% é o valor líquido Neste caso, o nosso esquema será: 100% (100+9)% VALOR +d% VALOR LÍQUIDO | DESCONTO | NOMINAL Atenção: A taxa de desconto, d%, é sempre proporcional ao prazo de antecipação do título. 2º) Desconto "por fora”, ou desconto comercial é aquele onde a referência para o cálculo percentual do desconto é o valor nominal [ Desconto "por fora" ou comercial => 100% é o valor nominal Neste caso, o nosso esquema será: (100-d)% 100% VALOR +dY% VALOR LÍQUIDO DESCONTO NOMINAL Para resolver um problema de desconto simples, tudo que temos a fazer é: 1º identificar qual o tipo do desconto no problema; 2º procurar preencher o "esquema" correspondente de acordo com os dados do problema; 3º calcular o valor que precisarmos, no esquema, usando regra de três. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Determinar o desconto por dentro sofrido por um título de R$ 650,00, descontado 2 meses antes do vencimento àtaxa de 15% a. m. Solução: Primeiramente devemos determinar, pelo tipo do desconto, qual valor será a referência (100%). Macete: Pense numa garrafa: O que há dentro dela? O líquido! (por dentro: 100% é o líquido) O que háfora dela? O nome! (por fora: 100% é o nominal) Como o problema pede desconto por dentro, o 100% será o valor líquido . Nosso esquema, portanto, será: 100% (2 meses) 130% VALOR +30%, R$ 650,00 LÍQUIDO DESCONTO=? (observe a taxa ajustada para 2 meses) Agora, é só resolver a regra de três: Se 130% correspondem a $ 650,00 (valor nominal), então, 30% correspondem a D (valor do desconto) Portanto, o desconto foi de R$ 150,00. 2. Determinar o valor nominal de um título que, descontado comercialmente, 60 dias antes do vencimento e àtaxa de 12% ao mês, resultou um valor descontado de R$ 608,00. Solução: A expressão "descontado comercialmente" indica que o desconto é comercial, ou por fora. Logo, o 100% é o valor nominal e o nosso esquema será: (100-24)% 76% (60 dias = 2 meses) 100% 608,00 +24%, VALOR NOMINAL (Pelos 2 meses, a taxa ficou em 24%.) Resolvendo a regra de três: Se 76% correspondem a $ 608,00 (valor líquido), então, 100% correspondem a N (valor nominal). N= 608 x 100 = 800,00 76 Então, o valor nominal foi de R$ 800,00. 3. Uma nota promissória foi descontada comercialmente àtaxa simples de 5% a.m. 15 meses antes do seu vencimento. Se o desconto fosse racional simples, qual deveria ser a taxa adotada para produzir um desconto de igual valor? tf? Solução: Consideremos N = $ 100,00. 5% a.m. daria, em 15 meses: 15 x 5% = 75% Então, o esquema para o desconto comercialseria: 15 meses 100% L=25,00 nº N= 100,00 Dc=75,00 Agora, consideremos os valores encontrados sendo aplicados a um esquema de desconto racional. 15meses 100% L= 25,00 15x2 N= 100,00 Dr =75,00 temos a seguinte regra de três: 25,00 ———— 100% 75,00 —————— 15x% 65 = 15x100 25 15x 300 15x = 300 =x = 20% (é a taxa racional) 2º Solução: Sejam C%= taxa comercialsimples por período (0=5) R% = taxa racional simples por período (R= ?) n = número de períodos de antecipação (n =15) Pode-se provar que vale sempre a relação. 109 100 CR 100 100 (00 100 45 eo :R nossos =R=2052U%am. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. (TCDF/94) Um título com valor nominal de CR$ 110.000,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples àtaxa de 60% a.m. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título? 2. (CEB/94) Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado quatro meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples àtaxa de 10% a.m. De quanto foi o valor pago pelo título? 3. (METRÔ/94) Um título com valor nominal de R$ 7.420,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, sendo-lhe por isso concedido um desconto racional simples àtaxa de 20% a.m. Nesse caso, de quanto foi o valor pago pelo título? 4. (METRÔ/94) Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo valor nominal é de US$ 2.040,00, quatro meses antes de seu vencimento. Qual o valor, em dólar, que deverá pagar pelo título, se a taxa racional simples usada no mercado é de 5% ao mês? 5. Calcular o desconto por dentro sofrido por uma letra de R$ 8.320,00, descontada àtaxa de 6% a.a., 8 meses antes do seu vencimento. 6. Qual o prazo de antecipação de um título que descontado racionalmente, à taxa de juros de 8% a.m. produziu um desconto equivalente a 1/6 do seu valor nominal? 7.0 valor atual racional de um título é igual a 4/5 de seu valor nominal. Calcular a taxa anual de desconto, sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado de 6 meses. 8. Aceitei um título vencível a 1 ano, 1 mês e 10 dias. Tendo sido descontado por dentro a 9% a.a., deu R$ 1.000,00 de desconto. Qual era o valor nominal do título? 9. Qual é o valor do desconto bancário sofrido por uma promissória de R$ 1.000,00, àtaxa de 8% a.m., 3 meses antes do seu vencimento? 10. A que taxa anual, um título de R$ 2.000,00, em 6 meses, dá R$ 400,00 de desconto por fora? 11. Descontado por fora, àtaxa de 4% a.m., três meses antes do vencimento, um título sofreu um desconto de R$ 24.000,00. Qual era o valor nominal desse título? 12. Uma nota promissória de R$ 1.800,00, tem valor líquido de R$ 1.200,00 quando descontada por fora três meses antes do seu vencimento. Qual é a taxa mensal do desconto? 13. Um título de R$ 8.400,00 produziu um desconto por fora de R$ 105,00, quando descontado um mês e meio antes do seu vencimento. Qual é a taxa anual desse desconto? 14. Um título com valor nominal de R$ 2.400,00 é descontado por fora a uma taxa de 4,5% ao mês, com antecedência de 6 meses. Qual é o valor do desconto? 66 valores de é n 15% 2% ad 1 LOIO0O 1,92000: api 12 1.12683 26824 | aumesso Assim, a expressão do montante será dada por: M = 60.000 x 1,26824 = 76.094,40 O comerciante deverá pagar, ao fim do prazo combinado, R$ 76.094,40. 3. Calcular o montante para um capital inicial de R$ 10.000,00 aplicado a juros compostos de 6% a.a. durante 8 anos e 4 meses. Solução: Primeiramente observaremos que o número de períodos não é inteiro. 1 8 anos e 4 meses = 8anos + qe ano Nesta situação o cálculo será feito usando-se uma técnica denominada de convenção linear que nos dará uma aproximação bem razoável para o valor do montante composto procurado. A técnica consiste em calcular o montante em duas etapas: 1? etapa -Calcular o montante composto para o maior número possível de períodos inteiros; 2 etapa - Acrescentar ao resultado da 1º etapa ogjuros simples proporcionais àparte fracionária restante do tempo de aplicação, calculados sobre o montante obtido na 1º etapa do cálculo. Assim, no nosso problema teremos: 1º- Cálculo do montante composto, àtaxa de 6% a.a., após os 8 anos: M = 10.000 x (1,06)º (o resultado da potência M = 10.000 x 1,59385 foi encontrado na M = 15.938,50 tabela 1) : ; : : , 1 2º- Acréscimo dos juros simples proporcionais a qde ano: Se em 1 ano..................... temos 6% de juros, 1 . A Então, em 7 deano.............. teremos 2% dejuros. (regra de três) Portanto, o acréscimo de juros simples deverá ser de 2% sobre o montante da 1º etapa e o montante final será: M= 15.938,50 x (1,02) = 16.257,27 O montante procurado é, portanto, de R$ 16.257,27. Observação: *A técnica apresentada acima conduz a resultado idêntico ao encontrado com a aplicação da técnica conhecida como interpolação linear (a menos de erros de aproximação, comuns nesta última), portanto não a apresentaremos. 4. Calcular o capital que aplicado à taxa composta de 2% a.m. daria origem a um montante de R$ 3.656,97 ao fim de 10 meses. 69 Solução: São dados no problema: M= 3.656,97 2%=0,02 n=10 Precisamos calcular o capital que, isolado a partir da fórmula fundamental, nos dará: M “up Substituindo os dados do problema nesta expressão, teremos: 3.656,97 3.656,97 =3000 (02º *1,21899 Então, o capital procurado é de R$ 3.000,00. 5. Um capital de R$ 8.000,00 foi aplicado à taxa composta de 12% a.a., gerando um montante de R$ 15.790,56. Determinar quanto tempo durou esta aplicação. Solução: 1º “Usando uma tabela financeira Substituindo os dados do problema na fórmula fundamental, teremos: 15.790,56 = 8.000x (1,12)º 7 Podemos determinar o resultado da potência isolando-a: 15.790,56 (= = 1,97382 Agora, com o auxílio da tabela 1 procuramos o resultado da potência na coluna de 12%, encontrando-o na linha referente an = 6. Concluímos, portanto, que a duração da aplicação foi de 6 anos. 2º -Usando logaritmos Se as tabelas financeiras não fossem fornecidas, seria necessário empregarmos a fórmula que expressa o número de períodos (n) em função dos outros elementos: M log — n= + (já apresentado no início destecapítulo) log (l+i Numa prova de concurso, esta situação poderia ser proposta basicamente de duas formas: : . M . a) Seriam dados os valores prontos dos logaritmos de ce del+i. Neste caso, deveríamos dividir um valor pelo outro, como indicado na fórmula, para obter n. b) As alternativas indicariam n em função de expressões com logaritmos. Neste caso, a resposta correta seria aquela que apresentasse a expressão dada pela fórmula. Restaria-nos apenas assinalar a alternativa correspondente. 6. Certa loja anunciou um aparelho de som por R$ 466,56 com pagamento somente após 60 dias da compra, sem entrada. Porém, se o comprador resolvesse pagar àvista, o mesmo aparelho sairia por R$ 400,00. Calcular a taxa mensal de juros compostos praticada pela loja. 70 Solução: 1º - Usando uma tabela financeira Os dados do problema são: C=400 M= 466,56 n=2 (60 dias = 2 meses) Substituindo estes dados na fórmula fundamental, teremos: 466,56 = 400 x (1+i), Poderemos determinar o resultado da potência, isolando-a na expressão acima: Agora, com o auxílio da tabela 1 procuramos o resultado da potência na linha de n = 2, encontrando-o na coluna referente a 8%. º Concluímos, assim, que a taxa mensal de juros compostos praticada pela loja é de 8%. 2º - Sem o uso de tabelas financeiras Se as tabelas financeiras não fossem fornecidas, seria necessário empregarmos a fórmula que expressa a taxa (i) em função dos outros elementos: i=nl (E) 1 (apresentado no início deste capítulo) Substituindo os dados do problema na fórmula, teríamos: 466,56 | — —1=Y1,1664 -1 400 A única dificuldade, a partir deste ponto, seria o cálculo da raiz. Numa prova de concurso, duas situações poderiam ocorrer a partir deste ponto: a) O valor da raiz seria dado pronto, ao fim do enunciado do problema. Então, bastaria efetuar a subtração final para termos a taxa na forma unitária (i = 0,08 ) b) As alternativas indicariam i em função de expressões com radicais. Neste caso, a resposta correta seria aquela que apresentasse a expressão dada pela fórmula. Restaria-nos apenas assinalar a alternativa correspondente. Taxas Efetivas e Taxas Nominais Quando a unidade de tempo indicada pela taxa de juros coincide com a unidade de tempo do período de capitalização dizemos que a taxa é efetiva. Exemplos: taxa de 2% ao mês com capitalização mensal juros de 6% ao trimestre capitalizados trimestralmente Nos enuncidados de problemas de juros compostos onde se dá a taxa efetiva, frequentemente se omite o período de capitalização, ficando subentendido que este é o mesmo indicado pela taxa. Exemplos: taxa de 2% ao mês - significando 2% ao mês, com capitalização mensal. juros de 6% ao trimestre - significando 6% ao trimestre, com capitalização trimestral. Entretanto, é comum encontrarmos também em problemas de juros compostos expressões como: “juros de 72% ao ano, capitalizados mensalmente " "taxa de 24% ao ano com capitalização bimestral" A Observe que, ao contrário do que possa parecer a princípio, a taxa aparente i anão é igual âsoma da taxa de inflação i; com a taxa real in, mas sim: ina=irt int (pia) TESTES 1. (ESAF) Se para um mesmo capital, aplicado durante qualquer período de tempo maior do que zero e a uma certa taxa, chamarmos: M1- Montante calculado no regime de juros simples; M2- Montante calculado no regime de juros compostos pela convenção exponencial; M3 - Montante calculado no regime de juros compostos pela convenção linear. Teremos: a) M3>M 1 para qualquer t >0; b) M3=M 1 para qualquer O<t< 1; c) M3< M2 para qualquer t> 0, desde que não seja inteiro; d) M3< M2 quando t é inteiro; e) M2> Mi para qualquer t> 0. 2. (CEB — Contador — Superior - IDR-94) A aplicação de R$ 5.000,00 àtaxa de juros compostos de 20% a.m. irá gerar, após 4 meses, o montante de: a) R$10.358,00 b) R$10.368,00 c) R$10.378,00 d) R$ 10.388,00 3. (Metrô-Técnico em Contabilidade-2ºG-IDR-94) Um investidor aplicou a quantia de R$ 20.000,00 àtaxa de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital irá gerar após 3 meses? ) R$ 26.420,00 ) R$ 26.520,00 ) R$ 26.620,00 ) R$ 26.720,00 a b c d 4. (Metrô-Assistente Administrativo-2ºG-IDR-94) Um capital de US$ 2.000,00, aplicado à taxa racional composta de 5% a.m., em 1 ano produz um montante de quantos dólares? Dado: (1 ,05) “= 1,79586. a) US$ 3.291,72 US$ 3.391,72 b) c) US$ 3.491,72 d) US$ 3.591,72 5. (ESAF) A aplicação de um capital de Cz$ 10.000,00, no regime de juros compostos, pelo período de três meses, a uma taxa de 10% ao mês, resulta, no final do terceiro mês, num montante acumulado: a) de Cz$ 3.000,00; b) de Cz$13.000,00; o) inferior a Cz$ 13.000,00; d) superior a Cz$ 13.000,00; e) menor do que aquele que seria obtido pelo regime de juros simples. 6. (ESAF) Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos, na base de 10% ao ano, seu montante final é: a) 30% superior ao capital inicial; b) 130% do valor do capital inicial; c) aproximadamente 150% do capital inicial; d) aproximadamente 133% do capital inicial. 7. (TCDF-Analista de Finanças e Controle Externo-Superior-IDR/94) Um investidor aplicou a quantia de CR$ 100.000,00 àtaxa de juros compostos de 10% a.m. Que montante este capital irá gerar após 4 meses? a) CR$ 140.410,00 b) CR$ 142.410,00 c) CR$144.410,00 d) CR$ 146.410,00 8. (CEB - Contador- Superior-IDR-94) A caderneta de poupança remunera seus aplicadores àtaxa nominal de 6% a.a., capitalizada mensalmente no regime de juros compostos. Qual é o valor do juro obtido pelo capital de R$ 80.000,00 durante 2 meses? a) R$801,00 b) R$802,00 c) R$ 803,00 d) R$804,00 74 9. (TCDF-Analista de Finanças e Controle Externo-Superior-IDR/94) No Brasil as cadernetas de poupança pagam, além da correção monetária, juros compostos àtaxa nominal de 6% a.a., com capitalização mensal. A taxa efetiva bimestral é então de: a) 1,00025% a.b. b) 1,0025% a.b. c) 1,025% a.b. d) 1,25% a.b. 10. (Banco Central/94-Superior) A taxa de 30% ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva bimestral de: a) 20% b)21% 11. (TCU - Analista de Finanças e Controle Externo) O preço de uma mercadoria é CR$ 2.400,00 e o comprador tem um mês para efetuar o pagamento. Caso queira pagar àvista, a loja dá um desconto de 20%. O mercado financeiro oferece rendimento de 35% ao mês. Assinale a opção correta. a) A melhor opção é o pagamento àvista, b) Não há diferença entre as duas modalidades de pagamento. c) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, CR$ 192,00. d) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, CR$ 210,00. e) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, CR$ 252,00. 12. (AFTN/85) Uma pessoa aplicou Cr$ 10.000 a juros compostos de 15% a.a., pelo prazo de 3 anos e 8 me- ses. Admitindo-se a convenção linear, o montante da aplicação ao final do prazo era de: a) Cr$ 16.590 b) Cr$ 16.602 c) Cr$ 16.698 d) Cr$ 16.705 e) Cr$ 16.730 Obs.:(1,15)º = 1,5209 13. (AFTN/91) Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês, rendendo uma taxa de 1% ao dia útil, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais: a) 20,324% b) 19,6147% 0) 19,196% d) 18,174% e) 18% 14. (AFC-ESAF/93) Um título de valor inicial CR$ 1.000,00, vencível em um ano com capitalização mensal a uma taxa de juros de 10% ao mês, deverá ser resgatado um mês antes do seu vencimento. Qual o desconto comercial simples âmesma taxa de 10% ao mês? a) CR$313,84 b) CR$ 285,31 c) CR$ 281,26 d) CR$ 259,37 e) CR$251,81 15. (AFTN/85) Um capital de Cr$ 100.000 foi depositado por um prazo de 4 trimestres àtaxa de juros de 10% ao trimestre, com correção monetária trimestral igual àinflação. Admitamos que as taxas de inflação trimes- trais observadas foram de 10%, 15%, 20% e 25% respectivamente. A disponibilidade do depositante ao final do terceiro trimestre é de, aproximadamente: a) Cr$ 123.065 b) Cr$ 153.065 o) Cr$ 202.045 d) Cr$ 212.045 e) Cr$ 222.045 16. (AFC-TCU/92) Um certo tipo de aplicação duplica o valor da aplicação a cada dois meses. Essa aplicação renderá 700% de juros em: a) 5 meses e meio; b) 6 meses; c) 3 meses e meio; d)5 meses; e)3 meses. 75 18. (AFTN/96) Uma empresa aplica $ 300 àtaxa de juros compostos de 4% ao mês por 10 meses. A taxa que mais se aproxima da taxa proporcional mensal dessa operação é: a) 4,60% b) 4,40% 5,00% 19. (CESPE/UnB - TCDF/AFCE/95) Para que se obtenha R$ 242,00, ao final de seis meses, a uma taxa de juros de 40% a.a., capitalizados trimestralmente, deve-se investir, hoje, a quantia de: a) R$ 171,43 b) R$ 172,86 ) R$ 190,00 ) R$ 200,00 ) R$ 220,00 20. (CESPE/UnB - TCDF/AFCE/95) Determinada quantia é investida àtaxa de juros compostos de 20% a.a., capitalizados trimestralmente. Para que tal quantia seja duplicada, deve-se esperar log5 log1,05 trimestres; log log2 log1.05 trimestres; log5 ) E trimestres; log1.2 log2 log1,2 trimestres; log 20 log12 trimestres. 21. (CESPE/UnB - TCDF/AFCE/95) A renda nacional de um país cresceu 110% em um ano, em termos nomi- nais. Nesse mesmo período, a taxa de inflação foi de 100%. O crescimento da renda real foi então de: a) 5% b) 10%n 22. (CESPE/UnB - TCU/AFCE/96) Acerca das taxas utilizadas em juros compostos, julgue os itens a seguir. a) Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o valor obtido pela soma do capital inicial e dos juros acumulados até o período anterior. b) Duas taxas referentes a períodos distintos de capitalização são equivalentes, quando produzem o mesmo montante no final de determinado período de tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial. c) Quanto maior o número de capitalizações, maior é a taxa efetiva. d) Para uma mesma taxa nominal, pagamentos de menor periodicidade implicam uma taxa efetiva mais elevada. e) A taxa efetiva de 21% ao ano corresponde àtaxa nominal anual de 20%, capitalizadas semestralmente. 23. (TCU-AFCE/92) Deseja-se comprar um bem que custa X cruzeiros, mas dispõe-se apenas de 1/3 desse valor. A quantia disponível é, então, aplicada em um Fundo de Aplicações Financeiras, àtaxa mensal de 26%, enquanto que o bem sofre mensalmente um reajuste de 20%. Considere as aproximações: log 3 = 0,48; log 105 =2,021, log 0,54 = -0,27. Assinale a opção correta. a) Ao final do primeiro ano de aplicação, o bem poderá ser adquirido com o montante obtido. b) O número n de meses necessários para o investimento alcançar o valor do bem é dado pela fórmula: X/3 + n 0,26 X/3=X + n0,2X c) O número mínimo de meses de aplicação necessários a aquisição do bem será 23. 76 Podemos representar o desconto comercial composto pelo seguinte esquema: VALOR DESCONTOS SUCESSIVOS VALOR LÍQUIDO NOMINAL Exemplo: Um título de R$ 1.000,00 deve ser resgatado três meses antes do seu vencimento, pelo critério do desconto comercial composto e a uma taxa de 10% a.m. O valor líquido pelo qual o título será resgatado é: VALOR var Liquino NOMINAL Ss 729. do Og g10.00/422 [5 s00.00[42E fs 1 aomao| [5 zemodje NEL sroooja CO s soconje CS Wês descmntos musseivos de 107% Como o valor nominal era R$ 1.000,00 mas foi resgatado por R$ 729,00 então o valor do desconto foi de: $ 1.000,00 - $ 729,00 = $ 271,00 Observação: O valor líquido ao final dos três descontos sucessivos poderia ser calculado multiplicando-se o valor nominal do título três vezes por 0,90 (pois 100% - 10% = 90%) $ LÍQUIDO = $ 1.000 x 0,9 x 0,9x 0,9 S LÍQUIDO = $ 1.000 x (0,9)*= $ 1.000 x 0,729 = $ 729,00 Valor Líquido no Desconto Comercial Composto Generalizando o procedimento que descrevemos no exemplo anterior, podemos dizer que um título de valor nominal N descontado pelo critério do desconto comercial composto, n períodos antes do seu vencimento e a uma taxa igual a i por período apresentará um valor líquido L igual a: L=Nx(t-i) Exemplo: Um título de R$ 2.000,00 será resgatado três anos antes do seu vencimento pelo critério do desconto composto comercial à taxa de 20% a.a. com capitalizações semestrais. Qual será o valor líquido? (dado: (0,9) º = 0,531441) Solução: taxa (nominal): 20% a.a. taxa efetiva: 10% a.a. capitalizações: semestrais i=0,10 prazo de antecipação = 3 anos = 6 semestres >» n=6 L=2.000x(1-0,10)º L=2.000 x (0,9)º .000 x 0,531441 .062,882 = 1.062,88 L= Observação: Os valores de (1 - 1)" normalmente não são tabelados. Assim as questões relativas a desconto comercial composto usualmente fornecem o resultado da potência. Equivalência entre os Taxas de Desconto Racional e Comercial Compostos Duas taxas de desconto são equivalentes se e somente se produzem descontos iguais quando aplicadas a um mesmo título e por igual prazo de antecipação. Considerando o mesmo período de capitalização para uma taxa ir de desconto racional e uma outra ic de desconto comercial, poderemos afirmar que a equivalência entre ine icnos dará: De=Dr N-Do =N-Da Lo=Lr Ni)" = Gig)" 79 dividindo os dois membros por N e multiplicando-os por (1 +in)”, teremos: (Di) +ia)=1 finalmente, calculando a raiz n-ésima de cada membro, encontraremos: dar are! =4T (id) d+ig)=] Exemplo: Determinar a taxa mensal de desconto racional equivalente àtaxa de desconto comercial de 20% a.m. ic=20 0) . faster o2m=1 (1+1g)-08=1 Lig =me-15> ig = 0,25=25% am. TESTES 1. Um título de R$ 5.000,00 será descontado 2 meses antes do vencimento pelo critério de desconto comercial àtaxa de 60% a.a. com capitalização mensal. O valor do desconto será: a R$ 487,50 b) R$464,85 R$512,50 R$4.512,50 R$4.535,15 c) d e) 2. Considerando que uma mesma taxa i seja utilizada para determinação dos descontos compostos racional, Da, e comercial, Dc, de um mesmo título e para um mesmo prazo de antecipação, pode-se afirmar que: a) De = q Da para qualquer prazo b) Dc > Da para qualquer prazo c) Do < Da para qualquer prazo d) dependendo do prazo, podem ocorrer Dc > Dr, De< Dre Dc = Dr e) para prazos menores que 1 período de capitalização tem-se Dc < Dr 3. Uma duplicata de R$ 3.000,00 deverá ser descontada 3 anos antes do seu vencimento a uma taxa de 25% a.a. pelo critério do desconto racional composto. Qual seria a taxa anual a ser adotada para obter-se um desconto igual pelo critério de desconto comercial composto? a)333%a.a. b)28%a.a. c)25%a.a. d)20%a.a. ej1i8%aa. 4. (CESPE/UnB - TCDF/AFCE/95) Uma duplicata, no valor de R$ 2.000,00, é resgatada dois meses antes do vencimento, obedecendo ao critério de desconto comercial composto. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 10% ao mês, o valor descontado e o valor do desconto são, respectivamente, de: a) R$ 1.600,00 e R$ 400,00 b) R$ 1.620,00 e R$ 380,00 c) R$ 1.640,00 e R$ 360,00 d) R$ 1.653,00 e R$ 360,00 e) R$ 1.666,67 e R$333,33 EQUIVALÊNCIA COMPOSTA DE CAPITAIS FLUXOS DE CAIXA Fluxos de caixa são os pagamentos e/ou recebimentos envolvidos em certa transação financeira e conside- rados ao longo de determinado intervalo de tempo. Muitas situações do nosso dia-a-dia envolvem fluxos de caixa. so Exemplo: Em uma conta corrente bancária, a sucessão de débitos e créditos ocorridos em determinado mês é uma sequência de fluxos de caixa. DIAGRAMAS DE FLUXOS DE CAIXA Com o objetivo de facilitar a visualização dos fluxos de caixa que compõem determinada transação financeira, usamos o diagrama de fluxos de caixa. Um diagrama de fluxos de caixa é um retrato de um problema financeiro que mostra as entradas e saídas de valores, ao longo do intervalo de tempo considerado para situação. Os diagramas de fluxos de caixa podem representar qualquer situação prática onde ocorram fluxos (entradas / saídas) de caixa. Assim, desenhar um diagrama de fluxos de caixa é o primeiro passo que devemos dar para resolver um problema financeiro. 250 +ago -106-100 -300 -270 Diagrama de Fluxos de Caixa No diagrama de fluxos de caixa representado anteriormente foram usadas algumas convenções que iremos usar como padrões: * O eixo horizontal representa o intervalo de tempo envolvido na situação sob análise e é sempre dividido em períodos de tempo iguais. Usa-se, preferencialmente, o prazo de capitalização. * As flechas para cima representam fluxos de caixa positivos, isto é, dinheiro recebido, resgatado, dinheiro entrando, fluindo para dentro da instituição. * As flechas para baixo representam fluxos de caixa negativos, ou seja, dinheiro pago, investido, dinheiro saindo, fluindo para fora da instituição. * Onde não existem flechas desenhadas não há ocorrência de fluxos de caixa. * Sempre que dois ou mais fluxos de caixa ocorrerem ao mesmo tempo (no mesmo ponto da linha de tempo do diagrama) será considerado o seu valor líquido (soma ou diferença deles). Exemplos de Fluxos de Caixa 1. Uma pessoa investiu R$ 600,00 numa modalidade de aplicação que pagava juros capitalizados mensalmente, obtendo, após 6 meses, um montante de R$ 750,00. 750,00. 6 600,00 2. Uma pessoa planeja depósitos mensais de R$ 100,00 em uma caderneta de poupança, sendo o primeiro depósito feito logo no início do primeiro mês, o segundo no início do segundo mês, e assim sucessivamente, até o quinto depósito e deseja prever qual será o montante que terá naquele momento. M=? -100 100 100 100 100 81 2ºFluxo: o 3 6 oa ecra (meses) 1.157,69 A 1.340,10 B Para que os dois fluxos sejam equivalentes na data 6 é preciso que a soma dos capitais de primeiro fluxo na data 6 seja igual âsoma dos capitais do segundo fluxo nesta mesma data: A= 1.340,10 + B (equação de equivalência) Calculando os valores A e B teremos: A=2431,02x (1,05)? B=1.157,63 x (1,05)? 2.431,02x 1,1025 B=1.157,63 x 1,157625 A=2.680,20 B=1.34010 Substituindo os valores encontrados para A e B na equação de equivalência, podemos observar que eles a satisfazem: Portanto, podemos concluir que os dois fluxos de caixa são equivalentes para a data 6. Taxa Interna de Retorno Taxa interna de retorno de um fluxo de caixa é uma taxa de juros que iguala o valor atual de todas as entradas com o valor atual de todas as saídas de caixa. Os fluxos de caixa podem admitir várias, uma única, ou nenhuma taxa interna de retorno. Exemplos: 1) O fluxo composto por uma entrada de $1.000,00 no fim do primeiro mês, uma saída de $2.300,00 no fim do segundo mês e uma entrada de $1.320,00 no fim do terceiro mês, tem duas taxas internas de retorno distintas (10% a.m. e 20% a.m. - verifique!). 2) O fluxo composto por uma saída de $1.100,00 no início do primeiro mês, uma entrada de $2.210,00 no início do segundo mês e uma saída de $1.100,00 no início do terceiro mês, tem uma única taxa interna de retorno (10% a.m.). 3) O fluxo composto por uma entrada de $1.000,00 no início do primeiro mês, uma saída de $2.000,00 no fim do primeiro mês e uma entrada de $2.000,00 no fim do segundo mês, não tem taxa interna de retorno (tente provar). No caso da compra de um bem com pagamento financiado em n prestações (uma entrada e n saídas), ataxa interna de retorno corresponde àtaxa de juros do financiamento, pois a soma dos valores atuais de todas as parcelas deverá ser exatamente igual ao valor atual do financiamento. TESTES 1. (ESAF) Dois esquemas financeiros são ditos equivalentes, a uma determinada taxa de juros, quando apre- sentam: a) os mesmos valores de aplicações nas datas iniciais e aplicações diferenciadas nas demais datas, sendo equivalentes as taxas de juros de aplicação; b) o mesmo valor atual, em qualquer data, âmesma taxa de juros; c) a mesma soma de pagamentos nos seus perfis de aplicação; d) o mesmo prazo total para suas aplicações. 2. (TCU - Analista de Finanças e Controle Externo) A empresa X paga, a cada de seus funcionários, salário de Cr$ 10.000.000,00, com reajuste mensal de 10%. A empresa Y paga salário de Cr$ 14.400.000,00, com reajuste semestral de 60%. Indique o número de semestres após os quais o salário na empresa Y começará a ser menor que na empresa X. Utilize as aproximações: log 1,44 = 0,16; log 1,1 = 0,04; log 1,6 = 0,2. s4 e) Essa possibilidade jamais ocorrerá. f) Desconheço a resposta correta. 3. (ESAF) Sejam dois títulos com as seguintes características: A) um certificado de depósito a prazo, de Cz$50.000,00, efetuado 17 meses atrás, que rende juros compos- tos de 4% ao mês. Os rendimentos são tributados em 8% (Imposto de Renda) no ato do resgate; B) uma promissória de Cz$1 12.568,00, vencível de hoje a 7 meses, que pode ser resgatada mediante des- conto racional composto de 5% ao mês. Os dois títulos, se resgatados hoje, desprezados os centavos, valem: a) Cz$169.603 b) Cz$173.603 Cz$177.395 Cz$181.204 Cz$185.204 o) d e) 4. (Banco Central/94-Superior) Tomei emprestados CR$ 1.000.000,00 a juros compostos de 10% ao mês. Um mês após o empréstimo, paguei CR$ 500.000,00 e dois meses após esse pagamento, liquidei a dívida. O valor desse último pagamento foi de: a) CR$ 660.000,00 b) CR$ 665.500,00 c) CR$ 700.000,00 d) CR$ 726.000,00 e) CR$ 831.000,00 5. (Metrô-Assistente Administrativo-2ºG-IDR-94) Um comerciante deve dois títulos, ambos com o mesmo valor nominal de CR$ 100.000,00. O vencimento do primeiro ocorre dentro de 2 meses e o do segundo, em 4 meses, mas ele deseja substituir ambos os títulos por um outro, com vencimento em 3 meses. Se o banco que realizará esta transação opera com uma taxa racional composta de 25% a.m., qual será o valor do novo título? a) CR$ 200.000,00 b) CR$ 205.000,00 c) CR$ 210.000,00 d) CR$ 215.000,00 6. (Banco Central/94-Superior) Considere o fluxo de caixa abaixo: Período 0 1 2 (Ano) Valor -100 80 x (Milhares de URVs O valor de x para o qual a taxa interna de retorno anual é igual a 10% é: a)25 b)26 c)28 d)30 c)33 ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO Testes 1. (CESPE/Espec. de Assist. à Educ.-FEDF/96) Uma escola oferece as seguintes opções para o pagamento da taxa de matrícula, quando efetuada no dia 5 de dezembro: | - desconto de 10% para pagamento àvista Il - pagamento em duas vezes, sendo 50% no ato da renovação da matrícula e 50% um mês após, isto é, no dia 5 de janeiro. Um pai de aluno não quer ter lucro nem prejuízo, optando por qualquer uma das duas modalidades de pagamento, no ato da renovação de matrícula. Para tanto, se optar por II, deve investir a diferença entre os valores que seriam pagos em 5 de dezembro, nas modalidades | e Il, em uma aplicação financeira com uma taxa mensal de rendimento de: a) 5% b) 10% c) 20% d) 25% e) 2. (CESPE/PMDF/96) O preço de um televisor de 20 polegadas da marca Alpha é R$ 400,00. O vendedor propõe a um comprador as seguintes alternativas de pagamento: |- pagamento em 30 dias, com acréscimo de 5% sobre o preço de tabela. Il - pagamento àvista, com 4% de desconto sobre o preço de tabela. 85 Considere X como sendo a diferença entre os preços do televisor para pagamento em 30 dias e para paga- mento àvista. Assim, X representa uma porcentagem do preço àvista do televisor igual a: a) 9% b) 9,25% 0) 9,375% d) 9,5% e) 9,725% 3. (CESPE/Aux. de Admin. - NOVACAP/96) Paulo quer comprar um refrigerador e tem as seguintes alternati- vas: | - àvista, por R$ 900,00; | - em duas prestações mensais e iguais a R$ 500,00, vencendo a primeira no ato da compra; HI - em três prestações mensais e iguais a R$ 350, 00, vencendo a primeira no ato da compra. Supondo que ele possa aplicar o dinheiro a uma taxa de 4% ao mês, assinale a opção que indica as formas de Rem em ordem crescente de vantagem para Paulo: ajl-I- b) = 1-1 o) -1-H a) M-1-1 ejl-I-1 4. (CESPE/Assist. Admin. - NOVACAP/96) Fernando possui uma quantia suficiente para adquirir um aparelho de som, mas a loja oferece três formas diferentes de pagamento: 1 - àvista, com 20% de desconto; Il - em duas prestações mensais e iguais, com 10% de desconto, vencendo a primeira um mês após a compra; Il - em três prestações mensais e iguais, sem desconto, vencendo a primeira no ato da compra. Admitindo que a taxa de rendimento das aplicações financeiras seja de 3% ao mês, assinale a opção que indica as escolhas que Fernando pode fazer, em ordem decrescente de vantagem para ele, isto é, da mais vantajosa para a menos vantajosa: a) = b)I-M- o) M-M-1 a) -1-1 eji-1-1 5. (CESPE/UnB - TCU/AFCE/95) Julgue os itens que se seguem. a) Um bem pode ser adquirido por 100 reais à vista ou em 2 (duas) prestações fixas de 60 reais, a primeira devida no ato da compra. Para o comprador, a segunda opção será melhor que a primeira somente quando a taxa de juros mensal for maior que 50%. b) Pressupondo que o mercado imobiliário esteja em equilíbrio e que a taxa de juros real seja de 10% ao ano e seja constante, o proprietário de um imóvel que conseguir 1.200 reais, líquidos, de aluguel por ano, terá prejuízo se vender seu imóvel por quantia inferior a 122.000 reais (Considere que o aluguel possa manter-se constante durante toda a vida do proprietário). c) Será indiferente, para um investidor, uma aplicação, com vencimento em 2 (dois) anos, que lhe renda juros simples anuais de 10% e outra, com idêntico prazo de maturação, que lhe renda juros compostos de 8% ao ano, capitalizados anualmente. d) Se em dado momento a importância de 100 reais é aplicada a juros compostos de 4% ano a ano, ca- pitalizados anualmente, ao final de 2 (dois) anos terá rendido a importância de 8,16 reais de juros. e) Um demógrafo deseja determinar em que ano a população de certo país dobrará. Pressupondo que a taxa de crescimento demográfico seja constante e igual a 2% anuais, o demógrafo terá de calcular o valor da log (1,02) log 2 razão 6. (CESPE/UnB - Senado Federal/96) Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa com um desembolso de R$ 10.000,00, no início do primeiro mês, outro desembolso, de R$ 5.000,00, ao final do primeiro mês, e duas entradas líquidas mensais de R$ 11.000,00 e R$ 12.100,00, no final do segundo e do terceiro meses, respectivamente. Considerando uma taxa nominal de juros de 120% ao ano, julgue os itens a seguir. a) As taxas anuais, tanto efetivas quanto nominais, têm o mesmo significado e assumem valores iguais quando se trata de fluxo de caixa. b) Os valores atuais de entradas líquidas, no fim do primeiro mês, somam R$ 20.000,00. c) A soma dos montantes dos desembolsos, no fim do terceiro mês, é exatamente igual a R$ 19.000,00. d) O valor atual do fluxo de caixa, no fim do primeiro mês, é igual a R$ 4.000,00. e) No fim do terceiro mês, o montante do fluxo de caixa é negativo. 86 IH. Rendas Antecipadas Consideremos uma rendaantecipada (1º parcela no início do 1º mês) composta por 4 parcelas mensais de R$ 100,00, sujeitas a juros compostos de 5% a.m. conforme ilustra o diagrama de fluxos de caixa abaixo: (meses) 100,00 100,00 100,00 100,00 Como as parcelas são pagas antecipadamente, no início de cada mês, o pagamento da quarta e última parcela ocorrerá no início do quarto mês, ou seja, emn=83. O capital acumulado até a quarta parcela (inclusive) será: 1º parcela: 100 x (1,05)? = 115,76 2º parcela: 100 x (1,05F = 110,25 3º parcela: 100 x (1,05) = 105,00 4º parcela........ 100.00 capital acumulad 431,01 Observamos, então, que o capital acumulado ao fim do terceiro mês (n = 3) é a soma S de quatro termos em P.G. Podemos calcular o capital acumulado (S) em função do valor da parcela (R = 100), da razão da PG. (1 + i = 1,05) e do número de termos (n + 1=4) pela expressão: (1,05)! - L05-1 Generalizando para n+ 1 parcelas de valor R, aplicadas no início de cada um dos n períodos e sujeitas àtaxa composta de i por período, o valor do capital acumulado S, na data n, será dado por: S=100- =43101 mn 1 parcelas R daria i s= ouseja: S=R-smt) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Um poupador deposita mensalmente a quantia de R$ 200,00. Qual será o valor do capital acumulado em 6 meses se o primeiro depósito ocorrer no início do primeiro mês e considerarmos uma taxa de juros composta de 2%a.m.? Solução: Vamos observar o diagrama de fluxos de caixa correspondente: (x=24 am.) QE Sea gas s=? (meses) 200 200 200 200 200 200 200 7 depósitos Temos: valor da prestação: R = 200 número de períodos: n = 6 (meses) número de depósitos:n + 1=7 taxa ao período: 2% a.m. > i=0,02 89 Substituindo os elementos encontrados na expressão que nos dá o capital acumulado, teremos: S=R. sm S=200xsn S = 200 x 7,43428 (s7p foi obtido na tabela 2) S= 1.486,86 Deste modo, concluímos que o valor do capital acumulado em 6 meses será de R$ 1.486,86. 2. Desejando formar um certo capital, um aplicador faz, a cada seis meses, um depósito de R$ 1.000, 00em uma conta remunerada que paga juros compostos de 3% ao semestre. Cinco anos após o início do investimento, o aplicador resgata o montante acumulado. Qual foi o valor resgatado se o aplicador não efetuou depósito algum na ocasião? Solução: 5 x=? (semestres) o 1 1000 a00O 1000 1000 1000 10 depósitos Como não houve depósito no momento da retirada, isto é, ao fim do décimo semestre, o último depósito ocorreu na data 9. De zero (1º depósito) a nove temos, então, dez depósitos. O valor de S nos dá o montante na data 9, que é 1 período (6 meses) anterior âdata do resgate. Para encontrar o valor resgatado X poderíamos calcular S e depois capitalizá-lo por mais 1 período: 1º) S=1.000X Sma 2)X=Sx (14i) Mas poderemos obter o valor X resgatado de modo mais rápido utilizando um outro raciocínio: Se houvesse um depósito também na data do resgate, então, teríamos um total de 11 depósitos e o valor do resgate, na mesma data, seria R$ 1000,00 reais maior do que X: X + 1.000 = 1.000 XSma Agora, isolando o nosso X, teremos: -000 x Srma- 1.000 -000 x (Sma- 1) -000 x (12,80780 -1) -000 x 11,80780 x x x x X=11.807,80 1 1 1 1 1 Deste modo, concluímos que o valor do resgate após os 5 anos foi de R$ 11.807,80. AMORTIZAÇÃO Considere uma dívida que deve ser paga em prestações periódicas e com vencimentos ao fim de cada período. Quando a dívida vai sendo paga, dizemos que ela está sendo amortizada. Amortização de uma dívida, portanto, é o processo de extinção progressiva da dívida através de prestações que deverão ser pagas periodicamente. As prestações devem ser suficientes para restituir o capital financiado bem como pagar os juros originados pelo financiamento do capital. Admitiremos sempre que os juros tenham taxa constante e sejam calculados, a cada período, somente sobre o saldo devedor (saldo da dívida). Assim, os juros relativos a um determinado período, quando não pagos, serão acrescidos ao saldo devedor. Os diferentes critérios utilizados para a composição dos valores das parcelas são chamados de sistemas de amortização. Ao estudarmos um sistema de amortização, é útil considerarmos cada prestação como sendo o resultado da soma de duas partes componentes básicas: juro e cota de amortização. valor da prestação = (juro) + (cota de amortização) Dentre os diversos sistemas de amortização conhecidos destacaremos três, todos com prestações periódi- cas: * Sistema Francês ou Price - com prestações de valor fixo; * Sistema de Amortização Constante (SAC) - em cujas prestações, que têm valores decrescentes, a cota de amortização é constante. * Sistema de Amortização Misto (SAM) - onde cada uma das prestações tem valor igual à média aritmética dos valores das prestações correspondentes nos sistemas Francês e SAC. Sistema francês ou Price O sistema Francês, à vezes denominado Sistema Price, apresenta as seguintes características: * O valor da prestação R é constante e periódico, podendo ser obtido pela fórmula abaixo, onde P é o valor financiado (principal). G+dDra d+" R=P (para pagamentos postecipados) * O juro pago em uma dada prestação é sempre calculado sobre o saldo devedor do período imediatamente anterior, sendo menor a cadanova prestação. * A cota de amortização, em uma dada prestação, é sempre igual àdiferença entre o valor da prestação e o juro pago na mesma, sendo maior a cada nova prestação. tempo * O valor da expressão que calcula R em função de P pode ser encontrado pronto, para cada taxa i e cada quantidade n de períodos, na chamada tabela Price (ver tabela 3 na página 112), sendo frequentemente indicado pela expressão Ami * Os valores da tabela Price admitem sempre que as prestações são postecipadas (pagas ao fim de cada período). EXERCICIOS RESOLVIDOS 1. Um televisor que custa R$ 600,00 deve ser financiado em 6 pagamentos mensais e iguais, ataxa composta de 8% ao mês, com a primeira parcela vencendo somente um mês após a compra. Qual será o valor da prestação deste financiamento? Solução: Temos P = 600, i= 8% a.m. e n = 6 meses, com pagamentos postecipados. Fator da tabela Price: — = 0,21632 als Assim, temos: R=600x 0,21632 = 129,79 (valor da prestação) Portanto, o valor da prestação será de R$ 129,79. Observação: Algumas vezes dispomos apenas da tabela com os valores de am que é o fator que nos dá o valor atual (valor financiado). Para usá-lo corretamente devemos lembrar que: 91 b) Total dos juros pagos Observe que os saldos devedores, antes do pagamento de cada uma das dez prestações podem ser indicados em função do valor A da cota de amortização por: 104,94, 8A, 7A, 64,54, 4A,3A,2A€ 1 A O valor do juro pago em cada uma das prestações é calculado sobre o saldo devedor correspondente, àtaxa de 5%. Então o total dos juros pagos ao longo de todo o financiamento é: Jor = 0,05 x 10A + 0,05 x 9A + 0,05 x 8A+...+0,05 x 1A Colocando os fatores 0,05 e A em evidência, teremos: Jor = 0,05 x A x (10+9+8+...+1) termos em P.A. Jor = 0,05 xAx55 Substituindo o valor da cota de amortização, A = 500, calculado no item anterior, obteremos: =0,05 x 500 x 55 -375,00 Sistema de Amortização Misto (SAM) Neste sistema, cada uma das prestações é a média aritmética das prestações correspondentes calculadas pelo Sistema Francês e pelo SAC. O juro pago em cada prestação corresponde ao total do juro sobre o saldo devedor do período anterior. Em consequência, tanto a componente do juro quanto a da cota de amortização de uma dada parcela serão também as médias aritméticas dos valores correspondentes pelos sistemas Francês e SAC. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1. Um empréstimo de R$ 5.000,00 deverá ser pago em 10 prestações pelo SAM, com juros de 5% a.m. Qual será o valor a 7ºprestação? Solução: 1º) Cálculo da 7º prestação no Sistema Francês P = 5000 tx=5% 1 n=10 [ams =0,12950 atos R=P- R = 5000 x 0,12950 = 647,50 2º) Cálculo da 7º prestação pelo SAC Cada prestação é composta de uma cota de amortização (que é constante no SAC) mais o juro sobre o saldo devedor do período anterior. Cota de amortização: AP. sg0g n 10 Valor do juro na 7º parcela: Jy=SDe“i J=4A ti J7 =4 x 500 x 0,05 = 100,00 Valor da 7º prestação pelo SAC: Rz=A=J7 Rz = 500 + 100 = 600,00 94 3º) Cálculo da 7º prestação peloSAM É a média aritmética entre as prestações correspondentes pelos sistemas Francês e SAC: 647,50 + 600 2 150. 2395 2 TESTES 1. (Banco Central/94-Superior) Depositando mensalmente 10 URVs em um fundo que rende 1 % ao mês, o montante imediatamente após o 20º depósito será de: a) 244,04 URVs b) 240 URVs c) 220,2 URVs d) 220 URVs e) 202 URVs 2. (Banco Central/94-Superior) Tomou-se um empréstimo de 100 URVs, para pagamento em 10 prestações mensais sucessivas iguais, a juros de 1% ao mês, a primeira prestação sendo paga um mês após o empréstimo. O valor de cada prestação é de, aproximadamente: a) 10,8 URVs b) 10,6 URVs c) 10,4 URVs d) 10,2 URVs e) 10 URVs 3. (ESAF) O preço de um automóvel é de Cz$ 500.000,00. Um comprador ofereceu Cz$ 200.000,00 de entrada e o pagamento do saldo restante em 12 prestações iguais, mensais. A taxa de juros compostos é de 5% a.m.. O valor de cada prestação, desprezados os centavos, é: a) Cz$ 36.847 b) Cz$ 25.847 o) Cz$31.847 d) Cz$ 33.847 e) Cz$30.847 4. (ESAF) Uma roupa é vendida por Cz$ 4.000,00 àvista ou financiada em 5 prestações iguais, sem entrada. A taxa de juros é de 24% a.a., utilizando-se a tabela "price". A 1º prestação vence 1 mês após a compra. O valor da prestação, desprezados os centavos, e a taxa de juros efetiva cobrada, em termos anuais, são, respectivamente: a) Cz$ 848 e 24,8% b) Cz$ 858 e 26,8% c) Cz$ 878 e 26,8% d) Cz$ 848 e 26,8% e) Cz$ 858 e 24,8% 5. (AFTN/85) Um microcomputador é vendido pelo preço àvista de Cr$ 2.000.000, mas pode ser financiado com 20% de entrada e a uma taxa de juros de 96% a.a., "Tabela Price". Sabendo-se que o financiamento deve ser amortizado em 5 meses, o total de juros pagos pelo comprador é de, aproximadamente: a) Cr$ 403.652 b) Cr$ 408.239 Cr$ 410.737 Cr$412.898 Cr$ 420.225 o) d e) 6. (AFTN/96) Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 na compra de um equipamento, e paga mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas no valor de $ 14,64 cada uma. A instituição financiadora cobra uma taxa de juros de 120% a.a., capitalizados mensalmente (juros compostos). Com base nestas informações podemos afirmar que o valor que mais se aproxima do valor àvista do equipamento adquirido é: a) $ 70,00 7. (AFTN/96) Um empréstimo de $ 20.900 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final do primeiro trimestre, segundo vencimento ao final do segundo trimestre). O valor que mais se aproxima do valor unitário de cada prestação é: a) $ 10.350,00 b) $ 10.800,00 c)$11.881,00 95 d)$12.433,33 e) $ 12.600,00 8. (CESPE/UnB - TCU/AFCE/96) Um empréstimo de R$ 600.000,00 deverá ser liquidado em 6 prestações mensais e iguais a R$ 137.764,43, utilizando-se o Sistema de Amortização Francês (Tabela Price), com taxa de juros de 10% ao mês. Nessas condições, julgue os itens seguintes. a) A parcela de amortização do capital é obtida pela diferença entre o valor da prestação c o valor da parcela de juros. b) A medida que a parcela referente aos juros diminui, a parcela referente âamortização do capital aumenta. c) Após o pagamento da primeira parcela, o saldo devedor é igual a R$ 522.235,57. d) Na segunda prestação está incluído o valor da parcela de juros correspondentes aproximadamente a R$52.229,56. e) A parcela de amortização do capital, na sexta prestação, é igual ao saldo devedor obtido após o pagamento da quinta prestação. NOÇÕES DE PROBABILIDADE Experimentos Aleatórios Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo quando repetidos em idênticas condições, podem produzir resultados diferentes. As variações de resultado são atribuídas a uma multiplicidade de causas que não podem ser controladas à quais, em conjunto, chamamos de acaso. Exemplos: a) O resultado do lançamento de uma moeda (cara ou coroa). b) A soma dos números encontrados no lançamento de dois dados. c) A escolha, ao acaso, de 20 peças retiradas de um lote que contenha 180 peças perfeitas e 15 peças defeituosas. d) O resultado do sorteio de uma carta de um baralho com 52 cartas. Espaço Amostral (S) Embora não se possa determinar exatamente o resultado de um experimento aleatório, frequentemente é possível descrever o conjunto de todos os resultados possíveis para o experimento. Esse conjunto é chamado de espaço amostral ou conjunto universo do experimento aleatório. Exemplos: a) Lançar uma moeda e observar a face superior: S= (cara, coroa) b) Lançar dois dados e observar a soma dos números das faces superiores: S=(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) c) Extrair ao acaso uma bola de uma urna que contém 3 bolas vermelhas (V), 2 bolas amarelas (A) e 6 bolas brancas (B), e observar a cor: S=(V,A,B) Frequentemente, é possível descrevermos o espaço amostral de um experimento aleatório de mais de uma maneira. Evento Evento é qualquer um dos subconjuntos possíveis de um espaço amostral. É costume indicarmos os eventos por letras maiúsculas do alfabeto latino: A, B,C.....,Z. Pode-se demonstrar que se um espaço amostral tiver n elementos, então existirão 2" eventos distintos associados aele. Exemplo: O espaço amostral associado ao lançamento de uma moeda é S = (cara, coroa). Como esse espaço amostral tem dois elementos, existirão 2? = 4 eventos associados a ele: & (cara), (coroa), (cara, coroa). Observe que o primeiro e o último eventos indicados são, respectivamente, o conjunto vazio e o próprio espaço amostral. Evento Elementar Um evento é chamado elementar sempre que possuir um único elemento (conjunto unitário). Evento Certo Evento certo é aquele que compreende todos os elementos do espaço amostral. Se A é um evento certo, então A=S. 96