(Parte 1 de 2)

3. INTEGRAIS MULTIPLAS

Integrais duplas: Objetivos:

Ao final do capıtulo espera-se que o aluno seja capaz de: 1. Encontrarov alord eu ma integral dupla; 2. Interpretar geometricamente uma integral dupla;

3. Dada uma regiao delimitada por funcoes, encontrar os limitantes que permitem calcular o valor da integral dupla;

4. Calcular integrais duplas em coordenadas polares; 5. Resolver exercıcios usando o Maple Integrais triplas: Objetivos: Ao final do capıtulo espera-se que o aluno seja capaz de: 1. Encontrarov alord eu ma integral tripla; 2. Interpretar geometrica e fisicamente uma integral tripla; 3. Calcular integrais triplas em coordenadas retangulares; 4. Calcular integrais triplas em coordenadas cilındricas; 5. Calcular integrais triplas em coordenadas esfericas; 6. Mudar os limitantes de uma integral em coordenadas retangulares para cilindricas e de cilindricas para retangulares;

7. Mudar os limitantes de uma integral em coordenadas retangulares para esfericas ed e sfericas para retangulares; 8. Calcular a area de uma superfıcie;

9. Fazeram aqueted eu ma figura delimitada por superfıcies e encontrar seu volume.

10. Resolver exercıcios usando o Maple.

Ap rova sera composta por questoes que possibilitam verificar se os objetivos foram atingidos. Portanto, esse e o roteiro para orientacoes de seus estudos. O modelo de formulacao das questoes e o modelo adotado na formulacao dos exercıcios e desenvolvimento teorico desse capıtulo, nessa apostila.

3.1. Introducao

No estudo das funcoes de varias variaveis, ao calcularmos derivadas parciais escolhiamos uma das variaves independentes para derivar i em relacao a ela e admitiamos que as demais eram constantes. O mesmo procedimento sera adotado para integracao multipla.

Antesd e studarmosai ntegracao multipla propriamente dita vamos ver alguns exemplos.

Solucao: Como foi dito, vamos admitir | como constante e integrar em relacao a {. Portanto,

Porem, nesse caso, a constante F eu ma funcao de |.P ode ser por exemplo, F (|)= d|3 + e|2 + f| + 3 e uma das primitivas de i ({>|)=1 2{2|3 sera

Solucao: Agora vamos admitir { como constante e integrar em relacao a |. Portanto,

Nesse caso, a constante N eu ma funcao de {.P ode ser por exemplo,

Exemplo 3.3. Encontrar o valor da expressao R {+1

Solucao: Aplicando o teorema fundamental do calculo vem:

Como podemos observar R {+1

Solucao: No exemplo anterior vimos que

Portanto, aplicando do teorema fundamental do calculo vem

Os exemplo 3.3 e 3.4 podem ser escritos como segue:

Dessa forma, obtemos um exemplo de integral dupla. Note que a variavel dependente eap rimeiraas er integradaeav ariavel independente a ultima. O processo de solucao e dado abaixo:

Vejamos outro exemplo.

Exemplo 3.5. Encontrarov alord ai ntegral R 40

Solucao: Aplicandoot eorema fundamentald oc alculo primeiro integrando em relacao a | e depois em relacao a {.

Portanto, o valor da integral R 40

Exercıcios

Nos problemas abaixo calcule a integral dupla

Figura 3.1:

3.2. Interpretacao Geometrica da Integral Dupla

Ad efinicao de integral dupla comporta uma interpretacao geometrica analoga ad efinicao de integral definida simples, associando-a ao problema de calculo de volume (ver figura 3.1 ) da mesma forma que a integral definida ea ssociada ao calculo de area. Assim, definicao formal da integral dupla envolve a soma de muitas areas elementares, isto e, diferenciais de area ,o us eja,,c om a finalidade de obter-se uma quantidade total apos esta operacao. Assim, pode usar-se a integral para resolver problemas concernentes a volumes e a areas.

Ao tentar resolver-se “o problema do volume” , sabe-se que se trata area da base vezes a altura et al quep arac adaarea elementar o valor de fica univocamente definido.

Consideremos uma funcao } = i ({>|) 0, definida numa regiao U do plano

{|. Nossa intensao e estimar o volume aproximado do solido delimitado por } = i ({>|) acima do plano } = 0 ep eloc ilindrod efinido pela curva fechada que delimita a regiao U. Para tanto, subdividimos U em q subregioes tracando linhas paralelas aos planos coordenados, conforme na figura 3.2 e 3.3.Assim, a integral seraov olumeo btidop ela soma de uma infinidade de volumes das colunas infinitesimais inscritas em forma de paralelepıpedos, como mostra a Figura 3.3. Figura 3.2:

Figura 3.3:

Entao {U1>U2>==Ul===Uq}e uma particao de U.S eja |S| o comprimento da maior de todas as diagonais dos Uq subretangulos.

Seja Dl aarea da subregiao Ul Para cada l escolhenos um ponto ({l>|l) 5 Ul. O produto Yl = i ({l>|l)Dl eov olume do l esimo paralelepıpedo de area Dl ea ltura i ({l>|l). Como ha q subdivisoes, ha q paralelepıpedos. Assim, o volume aproximado do solido delimitado superiormente por i ({>|) e inferiormente pela regiao U ed adop or

Yq = qX

A integral dupla de uma funcao i definida numa regiao U ed adap orZZ

Observacao 5. Se i ({>|)= 1 entao R

U g{g| e, geometricamente, a area da regiao U.

3.3. Calculo da Integral Dupla

Saberr econhecerod omınio de integracao ou regiao de integracao e fundamental para o calculo das integrais duplas. Outro ponto importante e o reconhecimento das curvas que delimitam a regiao de integracao. Muitas vezes e conveniente ter essas curvas escritas em funcao de {, isto e, | = i ({) e outras vezes ec onveniente ter { como funcao de |, isto e { = i (|). Essa conveniencia ed evidoa om aior ou menort rabalhoe xigido no processo do calculo do valor numerico. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 3.6. Calcular o valor da integral R

U 24{|g{g| sendo U ar egiao delimitada

Solucao: Primeiro vamos fazer o grafico da regiao e a tabela de limites dessa regiao.

Curvas funcoes curva ae squerda { =0 curva ad ireita { =1 curva inferior | = {2

Agora podemos efetuar os caculos. A curvas ae squerdae ad ireita sao os limites que integram o primeiro sımbolo de integracao ea sc urvasi nferior e superior o segundo. Assim,R

Oc alculo da integral no exemplo 3.6 foi feito tomando { como variavel independente. Vamos calcular a mesma integral tomando | como variavel independente.

Exemplo 3.7. Calcular o valor da integral R

U 24{|g{g| sendo U ar egiao delimitada

Solucao: Primeiro vamos fazer o grafico da regiao e a tabela de limites dessa regiao.

Curvas funcoes curva ae squerda | =0 curva ad ireita | =1 curva inferior { = |2 curva superior { = s| Agora podemos efetuar os caculos. A curvas ae squerdae ad ireita sao os limites do primeiro sımbolo de integracao e as curvas inferior e superior do segundo. Assim,

Como podemos observar, o valor numerico e o mesmo nos dois casos. Muitas vezes a regiao de integracao nao e delimitada apenas por quatro curvas. Nesse caso, a escolha da variavel independente adequada pode diminuir o trabalho duante o processo de integracao. Vejamos um exemplo.

Exemplo 3.8. Encontrar o valor da integral Z

U g{g| sendo U ar egiao delimitada a) Tomando x como variavel independente. b) Tomando y como variavel independente.

Solucao: Primeiro vamos fazer o grafico da regiao (ver figura 3.4) e a tabela de limites dessa regiao.

Os pontos de intersecao das curvas sao: ( 3>9) e (2>4) para as curvas | = {2, | =6 { e( 1>1) e (1>1) para as curvas | = {2 e | =1 . d) Tomamdo{ como variavel independente. Vemos que a regiao de integracao deve ser subdividida em tres sub-regioes para que o calculo possa ser efetivado. Portanto, a tabela de limites ed adap or

Tabela de limites referente ar egiao U 115

Figura 3.4: area delimitada

Assim, a integral dupla R U g{g| serad adap or :Z

{2 g|g{

Vemos que a regiao de integracao deve ser subdividida em duas sub-regioes para que o calculo possa ser efetivado. Portanto, a tabela de limites e dada por

Tabela de limites referente ar egiao U

Assim, a integral dupla R U g{g| serad adap or

Observacao 6. Note que a mudanca da variavel independente diminuiu o trabalho dispensado ao calculo da integral.

a. Tomando { como variavel independente b. Tomando | como variavel independente

Solucao: Aarea delimitada pelas curvas pode ser vista na figura 3.5

Figura 3.5: area delimitada

Inicialmente, vamos encontrar os pontos de intersecao( { = |2

a. tomando { como variavel independente

Tabela de limites referente ar egiao U

curva superior | =1 + { | =1 Ps: Na U2 vamos usar a semetria

g|g{ = 8 b. Tomando | como variavel independente.

3.4. Integrais Duplas em Coordenada Polares

Frequentemente, a regiao U sobre a qual esta sendo calculada a integral dupla em ais facilmente descrita por coordenadas polares do que por coordenadas retangulares. Vamos descrever o processo para o caculo de integrais duplas em coordenadas polares. Veja a figura ??

Particao em coordenadas polares

area de Ul e dada por Dl = { l l{ l. Tomando um ponto ( nl> nl)n oi nteriord e Ul podemos formar um solidoc ujaarea da base e Dl ea ltura i ( nl> nl), de modo que o volume desse solido serad adap or

Assim, o volume sob a superfıcie i ( > )s eraa proximadap elas oma

Yq = qX

Observacao 7. Vimos anteriormente que a particao de uma regiao U por retas paralelas

que nao. Porem, lim lim

=1 e isso implica em g{g| = g g . Assim, a

equivalencia entre a integral dupla em coordenadas retangulares e a integral dupla em

Exemplo 3.10. Escreva a integral, em coordenadas polares, que calcula a area sombreada 3.6

Aarea e em coordenadas polares

Solucao: Og rafico dessas curvas ed adap ela figura 3.7 120

Figura 3.6: area sombreada

Figura 3.7: area delimitada

Agora, op rimeirop asso e encontrar os pontos de intersecao das curvas. Portanto, igualando as equacoes temos assim obtemos

At abelad el imites ed adap or

Limites R1

raio menor =2 raio maior =4 vhq

Aarea da regiao ed adap or

3.5. Exercıcios Gerais

1. Nos items d e e,f aca o grafico, a tabela de limites e escrva a integral que permite calcular a area da regiao U delimitada pelas curvas primeiro tomando { como variavel independente e apos tomando | como variavel independente.

2. Nos problemas a seguir faca o grafico e use coordenadas polares para carcular as integrais1. RRU

4. INTEGRAIS TRIPLAS 4.1. Introducao

As integrais triplas, aplicadas sobre solidos no espaco {|},s ao definidas segundo uma analogia com a definicao das integrais duplas aplicadas sobre uma regiao do plano {|.N ao e nosso objetivo discutir os pormenores da definicao pois estes fazem parte do conteudo de um texto de calculo avancado. Vamos esbocara penasa si deias principais.

Definicao 4.1. Seja um solido V no espaco tridimensional, por exemplo, um paralelepıpedo, um elipsoide, uma esfera etc, e i : V $ R uma funcao de tres variaveis definida sobre cada ponto de ({>|>}) 5 V definimos integral tripla (se existir) como sendoZZZ

4.2. Interpretacao geometrica da integral tripla

Para fixar as ideias vamos supor que o solido V e um paralelepıpedo. Uma particao desse paralelepıpedo e obtida seccionando-o com q planos paralelos aos eixos coordenados, conforme ilustra a figura 4.1

Figura 4.1:

O fracionamento de V obtido pela particaoe um conjunto de sub-parelelepıpedos chamados celulas da particao. Suponhamos que uma l celula tenha dimensoes {{l>{|l e {}l,E ntao, o volume dessa l celula e Yl = {{l{|l{{l.S eja ({Wl>| Wl >} Wl )u mp onto qualquer da l celula e seja i : V $ R a funcao densidade em cada ponto de V,e ntao uma estimativa da massa da l celula e pl = i ({Wl>| Wl>} Wl ){{l{|l{{l e, desse modo uma estimativa da massa do solido V sera pq = qP

Seja |Q| ac elula de maior diametro da particao de V entao a massa p do solido V serad adap or

Observacao 8. Se i ({>|>})= 1 entaoam assa p eov olume Y do solidot em om esmo valor numerico. Portanto, o volume do solido em termos de integrais triplas ed adop or

V g{g|g}

4.3. Calculo da integral tripla em coordenadas retangulares

({>|)conforme tabela de limites abaixo sobre a qual desejamos encontrar a integral tripla com respeito a funcao i ({>|>})d efinida em todoso sp ontosd e V.E ntao podemos enunciar as seguintes tabelas de limites

Tabela de limites Curvas equacoes

Curva ae squerda { = d Curva ad ireita { = e

Assim, a integral tripa tem formaZZZ

Solucao: vamos fazer um esboco do solido, conforme figura 4.2

Figura 4.2: volume delimitado

Agora, vamos escolher o plano {| (ver figura 4.3) para fazer a projecao (poderia ser outro)

Limites R1 ae squerda { =0

Figura 4.3: projecao no plano xy

Solucao: Vamos fazer o desenho do solido e escolher um dos planos coordenados para a projecao.

volume delimitado Comoos olido faz parte do I octante, temos os planos } =0 >| =0 e } =0 delimitando o solido. Limites R1 ae squerda { =0 ad ireita { =3 curva inf | =0

Logoov olumed os olido e Y =1 8xy

Solucao: O primeiro passo e determinar as curvas que limitam a regiao de

integracao sobre o plano {|. Para isso resolvemos o sistema de equacoes

Igualando as duas equacoes obtemos a parabola | = {2 4. Desse modo, no plano {|,a regiao de integracao e delimitada pelas curvas | = {2 4, | =0 e | =5 . Para diminuir o trabalho no processo de integracao e conveniente tomar | como variavel independente. Desse modo a tabela de limites ed adap or (V ejaog rafico ??)

Tabela de limites

Curvas equacoes Curva ae squerda | =0 Curva ad ireita | =5

x y

Ov olume ed adop or: 129

Como a superfıcie e simetrica em relacao ao eixo | podemos escrever=2 R 50

Vamos inicialmente identificar as superfıcies:; A?

} =1 0 plano Agora, vamos fazer uma projecao no plano {|, conforme figura 4.4

Figura 4.4: projecao no plano xy logo a massa e dada por P =p1+p2

4.4. Integrais triplas em coordenadas cilındricas

Uma integral tripla pode ser convertida em coordenadas cilındricas seguindo o processo descrito a seguir.

verdadeiro para todo valor de com 5 [ 1> 2]et odo 1 ( ) 2 ( ). Seja V os olido contituido por todos os pontos cujas coordenadas cilındricas satisfacam as condicoes

Tabela de limites Curvas equacoes

Figura 4.5: e escrita em coordenadas cilındricas como segue

projecao no plano xy 132

Figura 4.6:

Os olido esta limitado inferiormente pelo plano } = 0 e superiormente pelo paraboloide } = |2 + {2 +1

Fazendo a tabela, podemos observar que em coordenadas cilindricas em uito mais facil resolver esse problema

Tabela de limites em coordenadas retangulares Tabela de limites em coord. cilındricas Curvas equacoes

Curva ae squerda { = 1 Curva ad ireita { =1

Curvas equacoes

Superfıcie superior } = 2 +1 logo o Volume em coordenadas cilındricas ed adop or:

Z 2vhqw

Z 2vhqw

Exemplo 4.7. Represente graficamente o solido cujo volume ed adop ela integral:

Tabela de limites em coord. cilındricas Curvas equacoes

Considerando os arcos inferior e superior concluımosq ue ab ased os olido esta projetada sobre todos os quadrantes, pois temos 0 2 = Comoo0 2 o raio varia fixamente, portanto, lateralmente temos um cilindro centrado na origem {2 +|2 =4 = Inferiormente temos } = 0 e superiormente o cilindro parabolico } =4 {2 (observe que 2 cos2 = {2 ) Portanto, temos o solido, conforme ilustra a figura 4.7

Figura 4.7: volume delimitado

Exemplo 4.8. Escreva em coordenadas retangulares a integral

Solucao: Para melhor compreensao, primeiro devemos identificar a representacao geometrica do solido. Vamos estudar a tabela de limites

Tabela de limites em coord. cilindricas 135

Curvas equacoes

Considerando os arcos inferior e superior concluımosq ue ab ased os olido esta projetada sobre o primeiro quadrante, pois temos 0 2 . Agora vamos escrever ac urva =2 cos em coordenadas retangulares. Sabemos que { = cos ,d e modo

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