Equação dos Três Momentos

Equação dos Três Momentos

2.2 - Equação dos Três Momentos

Foi desenvolvida pelos engenheiros franceses Clapeyron (1857) e Bertot (1855). Embora Bertot tenha publicado seu artigo primeiro, Clapeyron já havia utilizado este método vários anos antes, para uso em seus trabalhos com pontes.

Este método permite o cálculo dos momentos fletores solicitantes nos apoios das vigas contínuas. Sua dedução é baseada nas condições de deformação das vigas no regime elástico.

Hipóteses e limitações:

São as mesmas usadas na determinação da LE, já apresentadas no item 1.4 ; As cargas atuantes e as reações são todas verticais (perpendiculares ao eixo da viga); A natureza dos apoios não deve permitir esforços axiais na viga.

Demonstração: Seja a figura (4), a seguir:

xE xD

1º PASSO: Criação da Estrutura Primária.

Para esta análise, selecionamos como redundantes os momentos fletores nas seções dos apoios intermediários da viga (momentos fletores solicitantes).

Através da eliminação dos MF nos apoios (reações redundantes), a continuidade da viga é quebrada, e a estrutura primária assim obtida consiste numa série de vigas bi-apoiadas [Fig.4(b)].

Desta forma, cada viga primária fica sujeita a seu carregamento externo e a dois momentos redundantes nas suas extremidades [Fig.4(c)].

2º PASSO: Igualdade de Deformação Angular para um mesmo apoio.

A equação necessária, para completar o sistema de equações do equilíbrio estático, é obtida do fato que, para um mesmo apoio, tramos adjacentes possuem a mesma deformação angular (devido continuidade da LE). Isto nos permite calcular os Momentos Fletores nos diversos apoios [vide Figura (5)].

Em virtude da LE ser muito aplainada, e as flechas serem muito pequenas, pode-se admitir que:

tg ∆ =≅→CECEØØ

Mas, de acordo com o 2º TEOREMA DOS MOMENTOS ESTÁTICOS DE ÁREA, temos:

)cos(.).(1.1 DMFdosáreas das estátiMomentos IELL E

Assim:).( . 3
Das Fig. Fig. 5(a) e Fig. 5(b), temos que:

Finalmente, substituindo (2.1) e (2.2) em (2.3) e agrupando os termos comuns , obtem-se:

. M . 2M- -

Esta é a EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS, pois relaciona três momentos fletores de apoios consecutivos na viga. Ela deve ser escrita para cada apoio intermediário da viga contínua, e fornecerá tantas equações quanto forem os momentos fletores desconhecidos.

A equação dos três momentos simplifica-se um pouco quando todos os vãos têm o mesmo momento de inércia " I ".

x . A . 6 L

. MM . 2 . M- -

Comentários