Apostila Óptica e ondas

Apostila Óptica e ondas

(Parte 1 de 4)

Universidade Estadual de Maringa

Centro de Ciencias Exatas Departamento de Fısica

Projeto de Ensino de Fısica:

Professores participantes:

Wilson Ricardo Weinand

Ester Avila Mateus Irineu Hibler

Revisado em fevereiro de 2006.

Sumario

I CORDA VIBRANTE 3

I VELOCIDADE DO SOM 10

I CIRCUITO RLC - SERIE 19

IV INDICE DE REFRAC AO 27

V ESPELHOS ESFERICOS. 3

VI LENTES 43

VII POLARIZAC AO. 56

VIII DIFRAC AO E INTERFERENCIA. 62 IX Anexo: USO DO OSCILOSCOPIO 73

Parte I CORDA VIBRANTE

I - FUNDAMENTACAO TEORICA I.1 INTRODUC AO.

Consideremos uma corda fixa na suas extremidades e sujeita a uma certa tensao. Se excitarmos um ponto desta corda atraves de um vibrador de frequencia qualquer, toda a extensao da corda entrara em vibracao. Sao as chamadas Oscilacoes Forcadas. Quando a frequencia do vibrador e igual a uma das frequencias proprias da corda, dizemos que o vibrador e a corda estao em em ressonancia. Neste caso, a amplitude de vibracao da corda e maxima, e alem disso, formam-se na mesma, ondas estacionarias.

I.2 - ONDA PROGRESSIVA OU VIAJANTE

Quando uma onda se propaga atraves de um meio, as partıculas deste realizam um movimento oscilatorio, que pode ser representado pela equacao:

y – deslocamento de partıcula, em relacao a posicao de equilıbrio; ym – deslocamento maximo ( amplitude ); k – numero de onda (k = 2piλ ); λ – comprimento de onda; ω – frequencia angular (ω = 2pif = 2piT ); f– frequencia e T – periodo.

Obs.: A eq(1) refere-se a uma onda progressiva, propagando-se na direcao de X+.

I.3 ONDA ESTACIONARIA

A onda estacionaria se forma pela superposicao de duas ondas que tenham a mesma frequencia, velocidade e amplitude e que se propaguem em sentidos opostos. Consideremos, nessas condicoes, duas ondas progressivas[2, 3], y2 = ymsen (kx + ωt). (3) A onda resultante, pelo princıpio da superposicao e:

que e a equacao de uma onda estacionaria. Na onda estacionaria, cada ponto (cada valor de x ), tem sua amplitude dada por:

Pela equacao(5), observamos que a amplitude sera maxima, e igual a 2ym, para:

kx = pi

kx = pi, 2pi, 3pi,, ou

Esses pontos sao denominados de antinodos ou ventres, estando distanciados entre si de meio comprimento de onda ( λ/2) ,Fig.(1). Tambem pela equacao (5), observamos que a amplitude sera mınima, e igual a zero, para:

;

Tais pontos denominam-se nodos, e tambem estao distanciados entre si de meio comprimento de onda, Fig.(1).

Ventre 6

Figura 1: Ondas estacionarias.

I.4 ONDAS ESTACIONARIAS EM UMA CORDA

Em nosso experimento, usaremos uma corda de comprimento ( L ), fixa em ambas as extremidades. Uma das extremidades e presa a um alto–falante que vibra com frequencia ( f ) e amplitude pequena e a outra ligada a um peso, apos passar por uma polia Fig.(2). As ondas provocadas pelo alto–falante percorrem a corda, sao invertidas pela reflexao fixa, na polia, e retornam a extremidade inicial com uma variacao de fase de 1800. Como a amplitude do alto–falante e pequena, ele reflete a onda como se fosse um suporte fixo, e a onda e novamente invertida voltando a percorrer a corda no sentido inicial. Como as ondas incidentes e refletidas possuem a mesma frequencia e se propagam em sentidos opostos, sob condicoes apropriadas, elas podem combinarse produzindo ondas estacionarias. Nesse momento a corda e o alto–falante estao em ressonancia, sendo o comprimento ( L ) da corda um multiplo inteiro de meios comprimentos de onda, Fig.(1).

Ou seja, na ressonancia

onde n = 1, 2, 3,representa o n0 de ventres.

Alto-falanteff - m

Figura 2: Configuracao do experimento.

Isto quer dizer que, para valores diferentes de ( n ), nos teremos varios modos de vibracao ( ou ressonancia ) da corda.

I.5 VELOCIDADE DE ONDA (v)

A velocidade com a qual a onda percorre um meio, e determinada pelas propriedades deste. Para o caso de uma corda longa e flexıvel, e dada por:

sendo, F, a tensao aplicada na corda, e ρ, a massa por unidade de compri-

O comprimento de onda (λ) de uma onda progressiva, e a distancia entre dois maximos sucessivos, isto e, a distancia em que a forma da onda se repete, num intervalo de tempo igual ao perıodo ( T ). Dessa forma a relacao entre a frequencia f, o comprimento de onda λ, e a velocidade v, de uma onda harmonica e:

Combinando as eq.(6), (7) e (8) podemos obter uma expressao geral para as frequencias de vibracao ( ou ressonancia ) da corda, tambem chamados de harmonicos. Esta expressao e conhecida como formula de Lagrange:

fn = n

Para n=1, tem-se o 10 harmonico ou frequencia fundamental.

As outras frequencias chamadas de 20 harmonico, 30 harmonico, etc, sao multiplos da frequencia fundamental, ou seja

I. PARTE EXPERIMENTAL I.1 OBJETIVOS:

• Gerar ondas estacionarias em uma corda;

• Analisar a dependencia da frequencia de vibracao da corda, com o n0 de ventres, comprimento e tensao aplicada.

• Determinar a densidade linear da corda.

I.2 MATERIAL UTILIZADO

Gerador de funcao; amplificador; frequencımetro; alto–falante; trena; massas; corda; suporte com roldana; balanca.

I.3 PROCEDIMENTO

01- Monte o sistema, como especificado na Fig.(2), utilizando a menor massa e adequando as escalas dos instrumentos. 02- Meca o comprimento ( L ) da corda entre o alto–falante e a polia, e anote na tabela (1) . 03- A partir do zero, aumente lentamente a frequencia do gerador ate a corda entrar em ressonancia, no modo de vibracao fundamental ( n= 1 ).

Tabela 1: Medidas das frequencias em funcao do numero de ventres e da tracao aplicada ao fio.

Anote o valor desta frequencia na tabela (1). 04- Obtenha agora as frequencias de ressonancia para os harmonicos n = 2, 3, 4, 5 e anote os valores na tabela (1).

Obs.: Procurar a maxima amplitude, em cada caso.

05- Repita a experiencia para outros 4 valores crescentes da massa ( m ). Re-gistre os resultados obtidos, na tabela(1). 06- Zere a fonte e o amplificador e desligue o sistema. 07- Meca o valor das massas utilizadas e anote na tabela.

08- Determine a densidade linear (ρ = mL ) de tres amostras da corda e obtenha o valor mais provavel.

Parte 01: Dependencia da frequencia de ressonancia com o numero de ventres (modos de vibracao)[1, 3].

01- Utilizando os dados da tabela (1) selecione um valor para ( F ) e construa o grafico ( f × n ). O que voce conclui ?

02- Determine o coeficiente angular da reta( K1), com a respectiva unidade. O que representa esta constante ? Escreva a relacao matematica (f × n ).

Parte 02: Dependencia da frequencia com o comprimento da corda.

Em vez de variar o comprimento da corda, e repetir a experiencia, podemos usar o seguinte artifıcio: Considerar como ”corda ”, a parte da mesma compreendida entre dois nos consecutivos. O novo comprimento ( Ln ) sera entao Ln = L/n.

03 - Com base na mesma linha da tabela utilizada na parte 01, complete a tabela (2).

Tabela 2: Frequencia em funcao do comprimento.

n f Ln 1 Ln

Tabela 3: Frequencia em funcao da forca tensora. n=

04- Costrua, agora o grafico f × 1

Ln . O que voce conclui ?

05- Determine a inclinacao da reta (K2) e escreva a relacao matematica

Parte 03: Dependencia da frequencia com a forca tensora.

06- Na tabela (1) escolha um modo de vibracao e complete a tabela(3). 07- Construa o grafico f2 × F. O que voce conclui ?

08- Determine o coeficiente angular da reta (K3) e escreva a relacao matematica (f × F).

10 - Utilizando essa equacao e o valor K1 encontrado, obtenha as frequencias dos harmonicos (f1,f2,...,f5) e compare com os valores tabelados. 1- Desconsiderando os erros experimentais, voce acha que a equacao de

Lagrange preve as conclusoes tiradas da experiencia ?

12- Usando a formula de Lagrange e os valores de K1,K2, e K3, obtenha valores para a densidade linear (ρ ) da corda utilizada. Ache o desvio per- centual, em relacao ao valor mais provavel (ρ ). 13- Utilizando a eq.(7), calcule a velocidade (v) do trem de ondas, para a forca selecionada, na parte 01. 14- Teste o resultado obtido em (13), atraves da eq.(8).

Referencias

[1] HALLIDAY, D.; RESNICK, R.. Gravitacao, Ondas e Termodinamica. 3a ed.. Rio de Janeiro, Livros Tecnicos e Cientıficos Editora Ltda, 1991, Vol. 2, Cap. 17.

[2] GOLDEMBERG, J.. Fısica Geral e Experimental. Sao Paulo - SP, Companhia Editora Nacional USP, 1968, Vol. 1.

[3] TIPLER, P.. Gravitacao, Ondas e Termodinamica. 3a ed.. Rio de Janeiro, Editora Guanabara Koogan S.A., 1991, Vol. 2.

Parte I VELOCIDADE DO SOM

I - FUNDAMENTACAO TEORICA I.1 INTRODUC AO.

As onda sonoras sao ondas mecanicas longitudinais, que podem se propagar em solidos, lıquidos e gases.

As partıculas do meio oscilam paralelamente a direcao de propagacao da onda, de modo que, quando a onda sonora se propaga em um meio material, como o ar, ou um gas qualquer, produzem neste, zonas de compressao e rarefacao[2], enquanto a onda passa.

As ondas sonoras se propagam em todas as direcoes a partir da fonte, no entanto, e mais facil tratar da propagacao em uma dimensao.

I.2 - EQUAC AO DE ONDA SONORA UNIDIMENSIONAL.

Devido as compressoes e rarefacoes das partıculas do meio, durante a propagacao, uma onda sonora, em um gas, pode ser considerada uma onda de deslocamento das partıculas, em relacao a posicao de equilıbrio, ou uma onda de variacao de pressao, em relacao ao seu valor normal.

Considerando uma onda longitudinal, em um tubo, que contem um gas, se propagando na direcao ( X ), a onda de deslocamento y(x,t) pode ser representada por sendo, ym – deslocamento maximo das partıculas, em relacao a posicao de equilıbrio; k = 2piλ – numero de onda; ω = 2piT = 2pif – frequencia angular; e a onda de pressao por:

e o valor maximo da pressao do gas, em relacao ao seu valor normal e ρ – densidade de equilıbrio do meio; v – velocidade de propagacao ( v = λ f).

Como vemos, a onda de pressao Eq.(12), esta defasada de pi/2, em relacao a onda de deslocamento Eq.(7). Ou seja, quando em um ponto ( x ) do meio, o deslocamento das partıculas em relacao a posicao de equilıbrio, for maximo/nulo, o excesso de pressao naquele ponto, em relacao ao valor normal, sera nulo/maximo.

Isto, na pratica, corresponde a uma rarefacao/ compressao das partıculas do gas.

I.3 VELOCIDADE DAS ONDAS SONORAS

A velocidade com a qual uma onda sonora percorre um meio, quando a variacao da pressao nao e muito grande, e dada por:

onde, ρ, e a densidade e β, o modulo volumetrico de elasticidade do meio, que se define como a razao entre a variacao de pressao e a variacao relativa de volume, ou seja:

A Eq.(14) e valida para qualquer meio, seja ele um gas, um lıquido ou um solido, entretanto, para sua deducao, e assumido que o meio esteja confinado em um tubo, de modo que a onda se mova em uma so direcao. Esta condicao e geralmente satisfeita para um gas ou um lıquido. Para um solido, e necessario substituir β por Y – modulo longitudinal de Young.

Podemos modificar a Eq.(14), apresentando-a de uma certa forma, que mostra claramente, que a velocidade da onda sonora depende da temperatura absoluta ( Kelvin ) do meio, onde ela se propaga.

A partir da Primeira Lei da Termodinamica, aplicada a um gas ideal, em um estado de equilıbrio termodinamico, obtemos para a velocidade da onda sonora onde: γ = Cp CV e a razao entre o calor especıfico do gas, a pressao con- stante, e o seu calor especifico, a volume constante ( para o ar γ ∼= 1,402). M – massa molecular ( para o ar M = 29,0 × 10−3 kg/mol).

R – Cte. universal dos gases ( R= 8,31 J/mol. K ) T – Temperatura absoluta.

Com base na Eq.(16) encontramos que a velocidade do som no ar, a 0o C e, aproximadamente, 331,5 m/s.

A Eq.(16) nos mostra que a volocidade do som, em qualquer gas, e diretamente proporcional a raiz quadrada da temperatura absoluta. Assim, se conhecermos a velocidade do som a temperatura T1, poderemos determinar a sua velocidade, a outra temperatura T2, atraves da equacao

Experiencia 1 - Velocidade do som no ar[1],[5] I.1 - INTRODUC AO

Na experiencia, usaremos um tubo de vidro que encerra uma coluna de ar a temperatura ambiente, limitada na parte inferior por uma coluna de agua que se comunica com um reservatorio de agua. Dessa forma, o comprimento “L”da coluna de ar pode ser variada pelo movimento ( para cima e para baixo ) do reservatorio, como mostra a Fig.(3).

Ondas sonoras, constituıdas de compressoes e rarefacoes sucessivas, sao enviadas para o interior do tubo, atraves de um alto-falante acoplado a um gerador de audio, de frequencia conhecida.

As ondas percorrem a coluna de ar, sendo refletidas no nıvel da agua (extremidade fechada do tubo), com uma defasagem de 180o, retornando a extremidade aberta, onde sao novamente refletidas, porem, sem inversao de fase. A interferencia dessas ondas da origem a ondas estacionarias, sempre que a coluna de ar, de comprimento L, satisfizer a condicao de ressonancia, isto e, vibrar com a mesma frequencia do gerador.

Para um tubo com uma extremidade aberta e outra fechada, a condicao e:

Gerador de audio

Amplificador

onde n = 1, 2, 3,representa o no de ventres.

Figura 3: Esquema do experimento.

A Eq.(18) nos mostra que so estarao presentes os harmonicos de ordem ımpar e a configuracao da onda estacionaria ( de deslocamento), consiste de um nodo na superfıcie da agua e de um antinodo proximo a extremidade aberta, como mostra a Fig.(4).

Figura 4: Tubos com uma extremidade fechada - Ondas de deslocamento.

Na pratica, os antinodos de pressao (nodos de deslocamento ) sao percebidos pelo aumento da intensidade do som. Assim, se medirmos a distancia entre dois antinodos sucessivos, que equivale a meio comprimento de onda ( λ/2 ), e conhecendo-se a frequencia ( f ) do gerador, podemos determinar a velocidade do som, a temperatura ambiente, atraves da Eq.(19).

v = λf (19) I.2 - PARTE EXPERIMENTAL

I.2.1 - OBJETIVOS

• Gerar ondas estacionarias no ar contido em um tubo.

• Determinar a velocidade do som, a temperatura ambiente, a partir de medidas do comprimento de onda, para uma dada frequencia.

• Determinar a velocidade do som a 0o C.

I.2.2 - MATERIAL UTILIZADO

Gerador de audio, amplificador, alto-falante, tubo de vidro, dipositivo para variacao da coluna de ar, trena, termometro.

I.2.3 - PROCEDIMENTO

01 - Ligue o gerador de audio, o amplificador e escolha uma frequencia entre 700 a 1 0 Hz. 02 - Com o auxılio do reservatorio, eleve o nıvel da agua no tubo, ate proximo ao topo. Lentamente, va abaixando o nıvel da agua, procurando identificar os antinodos de pressao ( nodos de deslocamento ), atraves do aumento da intensidade do som nesses pontos. Com uma caneta ou giz, marque a posicao desses pontos, no tubo.

Obs.: Procure precisar, o melhor possıvel, a posicao dos antinodos, elevando e abaixando o nıvel da agua, varias vezes.

03 - Com a trena, meca a distancia entre cada par de antinodos consecutivos (λ/2 ) e anote na tabela(4).

Tabela 4: Medidas do comprimento de onda para diferentes frequencias. f1 ( ± )(Hz) f2 ( ± )(Hz) f3 ( ± )(Hz)

04 - Repita os procedimentos (02) e (03) para mais duas frequencias e anote na tabela.

05 - Anote a temperatura ambiente. I.2.4 - QUESTOES

01 - Complete a tabela(4), calculando, em cada caso, o valor medio do comprimento de onda (λ). 02 - Usando a Eq.(19), encontre a velocidade ( v ) do som, a temperatura ambiente, para cada uma das frequencias utilizadas. 03 - Com o auxılio da Eq.(17), encontre tambem a velocidade do som a 0o C. 04 - Comparando os resultados da questao ( 03 ) com o valor tabelado (v=331,5 m/s ), escolha a melhor determinacao, para a velocidade do som, a temperatura ambiente. 05 - Usando a mesma Eq.(18), mostre que, a distancia entre dois antinodos sucessivos, vale (λ/2). 06 - Faca figuras equivalentes as da Fig.(4), considerando, agora, uma onda de pressao. A Eq.(18) continua valida, neste caso ? 07 - A velocidade do som no ar varia com a pressao barometrica ? Explique. 08 - A partir da Eq.(17), e fazendo um desenvolvimento em serie, mostre que a velocidade do som no ar, a temperatura t oC, e dada, aproximadamente por: v = (331,5 + 0,61 t)m/s. (20)

(Parte 1 de 4)

Comentários