medidas de separatrizes

medidas de separatrizes

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MEDIDAS SEPARATRIZES

Introdução

As medidas separatrizes são medidas de posição e têm por finalidade dividir um conjunto numérico, relativo a um fenômeno, em K partes iguais. (K = 1, 2, 3, 4, ...).

Por outro lado você pode dividir um conjunto em partes iguais ou não mas em todas você sempre usará uma medida para generalizar a amplitude de cada parte.

Você poderá dividir um conjunto em três partes de tal forma que a primeira envolva 15% do universo; a segunda envolva 25% do universo e a terceira parte 60%. Em todas, você usará os percentis para facilitar os seus cálculos.

A primeira parte será definida entre o P0 e o P15; a segunda parte será definida entre o P15 e o P40 e a terceira parte do P40 ao P100.

As medidas separatrizes são:

  • Mediana;

  • Quartil;

  • Decil;

  • Percentil.

Mediana

Se estivermos interessados em dividir um conjunto numérico em duas partes iguais, devemos recorrer à mediana. Por exemplo, podemos dividir um conjunto salarial de uma Empresa em duas partes iguais: salário bom e salário ótimo e a mediana será o divisor destes salários.

 Quartil

Por extensão do conceito da mediana, podemos dividir um conjunto em 4 partes iguais. Cada parte representará 25% do conjunto, surgindo assim a designação de quartil.

Veja a figura abaixo:

Na figura, visualiza-se com facilidade que:

  • O primeiro quartil: o Q1 é um número onde abaixo dele se situam 25% dos casos e acima, é óbvio, se situam 75%.

  • O segundo quartil: o Q2 = Md, pois abaixo ou acima dele se situam 50% dos casos.

  • O terceiro quartil: o Q3 é um número onde abaixo dele se situam 75% dos casos e acima 25%.

Para calcular os três quartis: Q1, Q2 e Q3 de dados não agrupados, o método mais prático é o de utilizar o princípio do cálculo da mediana para os três quartis. Na realidade serão calculadas "três medianas" em uma mesma série ordenada.

Aplicação Conceitual 001

Calcule os quartis da série: {5, 2, 6, 9, 10, 13, 15}

O primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores:{2, 5, 6, 9, 10, 13, 15}

Se n for ímpar, a Md é o valor central do rol: 4º número

O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9 que será = Q2.

Temos agora {2, 5, 6} e {10, 13, 15} como sendo os dois grupos de valores iguais. Para o cálculo do primeiro quartil e do terceiro quartil, basta calcular as medianas de cada uma das partes.

Em {2, 5, 6} a mediana é 5, ou seja: Q1 = 5 e em {10, 13, 15 } a mediana é 13 ou seja: Q3 = 13.

Aplicação Conceitual 002

Calcule os quartis da série: {1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13}

A série já está ordenada, então calcularemos o Quartil 2:     Q2 = Md = (5 + 6) / 2 = 5,5

O primeiro quartil será a mediana da série à esquerda de Md:      {1, 1, 2, 3, 5, 5} => Q1 = (2 + 3) / 2 = 2,5

O terceiro quartil será a mediana da série à direita de Md:     {6, 7, 9, 9, 10, 13} => Q3 = (9 + 9) / 2 = 9

Aplicação Conceitual 003

Calcule os quartis da série: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 ,24, 25 28}

A série já está ordenada e n é par. Se n for par, a Md será a média dos dois valores centrais. Calculando a média entre o oitavo valor e o nono valor teremos a Md. Calculando a mediana ou o Q2:

     Q2 = Md = (10 + 12) / 2 = 11

A mediana dividiu os valores desta variável em dois conjuntos com os mesmos números de elementos.

     A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}

     B = {12, 14, 16, 18, 20, 24, 25, 28}

A mediana do primeiro conjunto define o primeiro quartil da variável X e a mediana do segundo conjunto define o terceiro quartil desta variável.

O primeiro quartil é a Md da série à esquerda de Md: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}. Observe que n é par, logo a Md será a média dos dois valores centrais, então:

     Q1 = (4 + 5) / 2 = 4,5

O terceiro quartil é a Md da série à direita de Md: {12, 14, 16, 18, 20, 24, 25, 28}. Se n é par, logo a Md será a média dos dois valores centrais, então:

     Q3 = (18 + 20) / 2 = 19

Decil

Podemos dividir um conjunto em 10 partes iguais. Cada parte conterá 10% do conjunto, surgindo assim os decis.

Na figura anterior, verifica-se que o D1 será um número onde abaixo dele se situam 10% dos casos. Já sabemos que Q2 = Md = D5, pois o D5 é um número onde abaixo dele encontra-se 50% das observações.

Percentil

Todas as medidas separatrizes poderão ser calculadas através dos Percentis, isto é, da divisão do conjunto em 100 partes iguais.

Por exemplo, se desejamos dividir uma produção em 5 partes iguais: Ruim, Boa, Muito Boa, Ótima e Excelente, devemos recorrer aos percentis P20 , P40 , P60 e P80.

Observe a figura abaixo:

Percebe-se que a produção Ruim envolverá valores de P0 a P20. A produção Boa envolverá valores de P20 a P40. A produção Muito Boa envolverá valores de P40 a P60. A produção Ótima de P60 a P80 e a produção Excelente de P80 a P100.

Uma produção será classificada como ótima se seu valor estiver compreendido entre P60 e P80 e será considerada excelente toda produção cujo valor for acima de P80.

Quando os dados estiverem em uma distribuição de freqüências, podemos generalizar o cálculo das medidas separatrizes através dos percentis, usando a fórmula para o cálculo da mediana, com as correções necessárias, em virtude da posição do valor calculado. Na fórmula da mediana:

Usamos 50% dos casos porque estamos interessados em determinar a mediana: valor que divide o conjunto de observações em duas partes iguais.

Dividindo o conjunto em cinco partes iguais, usaremos no lugar de 50% de n, os valores 20%, 40%, 60%, 80%.

Aplicação Conceitual 004

Vendas diárias realizadas pela Empresa X

1º Trimestre 2004 – BH – Mil reais

Vendas

F

Fac

200 300

8

8

300 400

9

17

400 500

16

33

500 600

20

53

600 700

13

66

700 800

7

73

800 900

5

78

900 1000

2

80

Total

80

 

 

Fonte: Empresa X

O diretor da Empresa X deseja classificar as suas vendas diárias, para uma análise constante de suas vendas, em quatro conceitos básicos: Vendas regulares, Boas Vendas, Ótimas Vendas e Vendas Excelentes.

Dividir as vendas em 4 grupos iguais representa: (100 / 4 = 25) usar quatro grupos de 25% das vendas. Para identificar os quatro grupos, calculamos P25, P50 e o P75.

  1. O 1º grupo englobará as vendas abaixo de P25;

  2. O 2º grupo englobará as vendas entre os P25 e P50;

  3. O 3º grupo envolverá vendas entre os P50 a P75;

  4. O 4º grupo envolverá vendas iguais ou superiores à P75.

Realizando os cálculos:

a) Cálculo do P25

Em 1º lugar, calcular 25%:     n = 25 x 80 / 100 = 20

Em 2º lugar, localizar a classe que contém o P20. Qual será a primeira classe cuja freqüência acumulada crescente contém 20 observações: é a 3ª classe. Nesta classe, temos:

  • lir = 400

  • f = 16

  • h = 100

  • faca = 17

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