Análise Complexa

Análise Complexa

(Parte 1 de 11)

Uma introducao a Analise Complexa

Airton Von Sohstein de Medeiros Leonardo Meireles Camara Versao prelimiar de 08 de julho de 2007

Resumo

Estas notas se dedicam ao estudo geometrico das funcoes complexas, introduzindo de forma elementar e natural alguns conceitos fundamentais em matematica tais como o conceito de superfıcie de Riemann, homolologia, ındice de rotacao (winding number), monodromia etc, em exemplos simples — que motivaram de fato a criacao de tais conceitos — buscando com isso tornar claro os pontos geometricos fundamentais no estudo de tais funcoes e da sua relacao com seus domınios de definicao naturais. Apesar de introduzir conceitos mais adiantados em Matematica, de forma alguma ele compromete a clareza da leitura do texto, podendo ser aplicado tanto para estudantes no final de um curso de graduacao quanto no inıcio de um curso de mestrado em Matematica, sendo tambem util para estudantes do curso de Fısica ou Engenharia que queiram tomar conhecimento de tais assuntos de maneira nao traumatica.

Nele desenvolve-se inicialmente as funcoes elementares mais basicas para depois tratar da Teoria de Integracao de Cauchy. Finalmente trata-se da Teoria de funcoes do ponto de vista de Weierstrass ou seja da convergencia de series e continuacao analıtica.

A motivacao natural destas notas, a despeito de varios textos classicos sobre o assunto, e prover uma texto em portugues que levasse o leitor ao conhecimento nao apenas de uma forma de obter os resultados nele contidos mas de faze-lo de maneira geometrica, explicitando os argumentos topologicos que fundamentam os resultado, da forma mais natural possıvel.

Este texto e baseado em notas de aula do primeiro autor elaboradas enquanto professor do curso de analise complexa ministrados no Mestrado em Matematica do IM-UFRJ e desenvolvido paralelamente nos cursos de variaveis complexas ministrado na Graduacao dos Cursos de Matematica e Fısica do CCE-UFES.

Sumario

1.1 Numeros complexos3
1.1.1 O Corpo dos numeros complexos3
1.1.2 Representacao polar5
1.1.3 Retas e semi-planos7
1.1.4 Exercıcios8
1.2 Funcoes de uma variavel complexa: Limite e continuidade9
1.3 Funcoes holomorfas10
1.3.1 Revisao de diferenciabilidade1
1.3.2 Caminhos13
1.3.3 Matriz Jacobiana14
1.3.4 Holomorfia versus diferenciabilidade: Transformacoes C-lineares15
1.4 Consequencias das equacoes de Cauchy-Riemann17
1.4.1 A conjugada harmonica17
1.4.2 Exemplo de nao existencia19
1.4.3 Uma interpretacao em termos de primitivas20
1.4.4 As variaveis z e z: diferenciais21
1.4.5 Transformacoes conformes23
1.4.6 Exercıcios25
1.5 Funcoes elementares25
1.5.1 A funcao exponencial25
1.5.2 Interpretacao geometrica de exp(z)27
1.5.3 As funcoes trigonometricas28
1.5.4 Logaritmos de um numero complexo29
1.5.5 Ramos de logaritmo30
1.5.6 Ramos de argumento31
1.5.7 Ramos de logaritmo × primitivas32
1.5.8 Das propriedades de Log(z)3
1.5.9 Ramos de raiz34
1.5.10 Potencias com expoentes arbitrarios: Ramos de potencia35
1.5.1 Exercıcios38

1 Funcoes complexas 3

2.1 Primitivas e formas diferenciais40
2.1.1 O problema central40
2.1.2 Formulando o problema em termos de diferenciais41
2.1.3 1-formas diferenciais41
2.1.4 Integracao em caminhos42
2.1.5 Integracao de 1-formas43

2 Teoria da integracao complexa de Cauchy 40 1

2.1.7 Primitivas em um disco aberto46
2.1.8 Exercıcios51
2.2 Consequencias do Teorema de Cauchy-Goursat51
2.2.1 Formula integral de Cauchy e derivadas de ordem superior52
2.2.2 Consequencias da formula integral de Cauchy53
de Cauchy5
2.2.4 Exercıcios58
2.3 Estrutura local das singularidades isoladas60
2.3.1 Singularidades isoladas61
2.3.2 Zeros de funcoes holomorfas63
2.3.3 Polos65
2.3.4 Singularidades essenciais6
2.4 Funcoes holomorfas na esfera de Riemann6
2.4.1 Singularidades no infinito6
2.4.2 O plano estendido67
2.4.3 Funcoes inteiras:70
2.4.4 Exercıcio (pontos singulares)72
2.5 Derivada logaritmica e princıpio do argumento72
2.5.1 Princıpio do argumento72
2.5.2 Numero de solucoes da equacao f(z) = b74
2.5.3 Estrutura local da funcoes holomorfas76
2.5.4 Princıpio do argumento para funcoes meromorfas7
2.5.5 O Teorema de Rouche78
2.5.6 Exercicios79
3.1 Uma revisao de conexidade80
3.1.1 Definicao e exemplos80
3.1.2 O caso particular M = Rn83
3.2 Primitivas de formas diferenciais fechadas83
3.2.1 Cadeias e ciclos83
3.2.2 Domınios multiplamente conexos90
3.2.3 Polos e resıduos91
3.2.4 Uma breve digressao sobre homotopia e homologia93
3.2.5 Uma breve digresao sobrre homotopia e homologia94
3.2.6 Domınios multiplamente conexos94
3.2.7 Resıduos94

3 Primitivas e Homologia 80 2

Capıtulo 1 Funcoes complexas

Iremos introduzir alguns aspectos preliminares ao estudo das funcoes complexas, abordando suas propriedades basicas de continuidade e diferenciabilidade.

1.1 Numeros complexos

Nesta secao iremos recordar o conceito de numero complexo e algumas de suas propriedades algebricas e geometricas mais basiscas.

1.1.1 O Corpo dos numeros complexos

Sendo R o corpo dos numeros reais, entao denotaremos por C a extensao de R dada pela adjuncao ao mesmo das solucoes da equacao x2 + 1 = 0, ou seja

Notacao 1.1.1 Sendo z = x + iy entao chamamos x de parte real e y de parte imaginaria de z, denotando-os por: x = Re(z) e y = Im(z), respectivamente.

Observacao 1.1.2 Por vezes ao inves de notarmos o produto por z1·z2, iremos faze-lo tao somente por z1z2.

Deixaremos como exercıcio para o leitor, a verificacao de que com tais operacoes o conjunto dos numeros complexos e de fato um corpo ou seja:

3. Sendo 1 = 1 + i0, entao z · 1 = 1 · z = z para todo z ∈ C (existencia de elemento neutro da multiplicacao);

(existencia de inversa);

Claramente, tal corpo e isomorfo, como espaco vetorial, a R2, atraves da aplicacao x + iy → (x,y). De tal isomorfismo obteremos uma descricao geometrica das propriedades de C. Em par-

unidade imaginaria.

Observacao 1.1.5 Nos numeros reais se introduz o conceito de raiz quadrada de um numero nao negativo a ∈ R≥0 como sendo o numero nao negativo x = √a ∈ R≥0 satisfazendo a equacao algebrica x2 + a = 0. Em alguns livros se usa a notacao i = √−1, pelo fato de atender a equacao

Sendo z = x + iy entao denotamos por z := x − iy o complexo conjugado de z.

Novamente deixamos para o leitor a verificacao das seguintes propriedades da operacao de conjugacao.

Por outro lado, C herda a norma euclidiana de R2: |z = x + iy| = √ x2 + y2, que satisfaz as seguintes propriedades

1.1.2 Representacao polar

Vamos agora nos utilizar da identificacao entre o corpo dos numeros complexos e do plano real utilizando assim as coordenadas polares de R2−{(0,0)} para descrever geometricamente os elementos

Tal representacao nos permite por exemplo descrever geometricamente o produto ente dois numeros complexos. De fato, sendo zj = rj(cosθj + isenθj), j = 1,2, entao pela lei dos senos e dos cosenos, temos

Observacao 1.1.8 Note que se |a| = 1, entao a aplicacao z 7−→ az e de fato uma rotacao. Quando |a| 6= 1, temos entao uma rotacao seguida de uma homotetia

Uma consequencia imediata da equacao (1.1) e a chamada lei de Moivre: (cosθ +isenθ)n = cos(nθ) + isen(nθ), ou mais apropriadamente zn = rn(cos(nθ) + isen(nθ)).

Definicao 1.1.9 Chamamos de argumento de um numero complexo z ∈ C∗, denotado por arg(z), a qualquer numero real θ tal que z = r(cosθ+isenθ). Em particular, se arg1(z) e arg2(z) sao dois argumentos distintos de z 6= 0, entaoarg1(z) − arg2(z) = 2npi, n ∈ Z. Finalmente chamamos de valor principal do argumento de z, denotando-o por Arg(z), ao argumento de z que satisfaz

Deixamos como exercıcio a prova das seguintes propriedades do argumento:

Note que a definicao do corpo dos numeros complexos e feita de tal forma a permitir a solucao da equacao algebrica z2+1 = 0. Desta forma, torna-se natural identificar as solucoes das equacoes algebricas da forma zn − a = 0.

Proposicao 1.1.1 Sendo a ∈ C, entao as solucoes da equacao algebrica zn −a = 0 sao dadas por

ρn(cosnϕ + isennϕ) = r(cosθ + isenθ) de onde segue que {

Raızes oitavas da unidade

Em particular para o caso em que a = 1 as solucoes serao chamadas de raızes da unidade e dadas por zk = ωkn, k = 0···n − 1, onde ωn = cos(2pin ) + isen(2pin ) e chamada de a n-esima raiz primitiva da unidade.

Corolario 1.1.12 Sendo a ∈ C e z0 uma das solucoes da equacao zn − a = 0. Entao as solucoes sao da forma

Prova. De fato, αn = a se, e somente se, ( α

= 1. Temos portanto que α z = ωk, para

1.1.3 Retas e semi-planos

Iremos agora descrever em termos de numeros complexos os semiplanos determinados por uma reta real no mesmo. Da geometria analıtica, sabemos que uma reta real que passa por um ponto a ∈ R2 paralela-

Uma reta passando por a paralelamente ao vetor b

Iremos agora descrever em termos de numeros complexos as distintas parametrizacoes de uma reta em C.

Lema 1.1.13 Duas retas Ra,b,Rc,d ⊂ C coincidem se, e somente se, a−c e d sao multiplos reais de b.

Prova. Primeiramente consideremos as parametrizacoes z(t) = a + bt e w(s) = c + ds para

Ra,b e Rc,d respectivamente. Suponhamos inicialmente que as retas coincidam. Temos portanto que

(Parte 1 de 11)

Comentários