execícios integrais duplas, triplas e corden. polares

execícios integrais duplas, triplas e corden. polares

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3. INTEGRAIS MULTIPLAS

Integrais duplas: Objetivos:

Ao final do capıtulo espera-se que o aluno seja capaz de: 1. Encontrarov alord eu ma integral dupla; 2. Interpretar geometricamente uma integral dupla;

3. Dada uma regiao delimitada por funcoes, encontrar os limitantes que permitem calcular o valor da integral dupla;

4. Calcular integrais duplas em coordenadas polares; 5. Resolver exercıcios usando o Maple Integrais triplas: Objetivos: Ao final do capıtulo espera-se que o aluno seja capaz de: 1. Encontrarov alord eu ma integral tripla; 2. Interpretar geometrica e fisicamente uma integral tripla; 3. Calcular integrais triplas em coordenadas retangulares; 4. Calcular integrais triplas em coordenadas cilındricas; 5. Calcular integrais triplas em coordenadas esfericas; 6. Mudar os limitantes de uma integral em coordenadas retangulares para cilindricas e de cilindricas para retangulares;

7. Mudar os limitantes de uma integral em coordenadas retangulares para esfericas ed e sfericas para retangulares; 8. Calcular a area de uma superfıcie;

9. Fazeram aqueted eu ma figura delimitada por superfıcies e encontrar seu volume.

10. Resolver exercıcios usando o Maple.

Ap rova sera composta por questoes que possibilitam verificar se os objetivos foram atingidos. Portanto, esse e o roteiro para orientacoes de seus estudos. O modelo de formulacao das questoes e o modelo adotado na formulacao dos exercıcios e desenvolvimento teorico desse capıtulo, nessa apostila.

3.1. Introducao

No estudo das funcoes de varias variaveis, ao calcularmos derivadas parciais escolhiamos uma das variaves independentes para derivar i em relacao a ela e admitiamos que as demais eram constantes. O mesmo procedimento sera adotado para integracao multipla.

Antesd e studarmosai ntegracao multipla propriamente dita vamos ver alguns exemplos.

Solucao: Como foi dito, vamos admitir | como constante e integrar em relacao a {. Portanto,

Porem, nesse caso, a constante F eu ma funcao de |.P ode ser por exemplo, F (|)= d|3 + e|2 + f| + 3 e uma das primitivas de i ({>|)=1 2{2|3 sera

Solucao: Agora vamos admitir { como constante e integrar em relacao a |. Portanto,

Nesse caso, a constante N eu ma funcao de {.P ode ser por exemplo,

Exemplo 3.3. Encontrar o valor da expressao R {+1

Solucao: Aplicando o teorema fundamental do calculo vem:

Como podemos observar R {+1

Solucao: No exemplo anterior vimos que

Portanto, aplicando do teorema fundamental do calculo vem

Os exemplo 3.3 e 3.4 podem ser escritos como segue:

Dessa forma, obtemos um exemplo de integral dupla. Note que a variavel dependente eap rimeiraas er integradaeav ariavel independente a ultima. O processo de solucao e dado abaixo:

Vejamos outro exemplo.

Exemplo 3.5. Encontrarov alord ai ntegral R 40

Solucao: Aplicandoot eorema fundamentald oc alculo primeiro integrando em relacao a | e depois em relacao a {.

Portanto, o valor da integral R 40

Exercıcios

Nos problemas abaixo calcule a integral dupla

Figura 3.1:

3.2. Interpretacao Geometrica da Integral Dupla

Ad efinicao de integral dupla comporta uma interpretacao geometrica analoga ad efinicao de integral definida simples, associando-a ao problema de calculo de volume (ver figura 3.1 ) da mesma forma que a integral definida ea ssociada ao calculo de area. Assim, definicao formal da integral dupla envolve a soma de muitas areas elementares, isto e, diferenciais de area ,o us eja,,c om a finalidade de obter-se uma quantidade total apos esta operacao. Assim, pode usar-se a integral para resolver problemas concernentes a volumes e a areas.

Ao tentar resolver-se “o problema do volume” , sabe-se que se trata area da base vezes a altura et al quep arac adaarea elementar o valor de fica univocamente definido.

Consideremos uma funcao } = i ({>|) 0, definida numa regiao U do plano

{|. Nossa intensao e estimar o volume aproximado do solido delimitado por } = i ({>|) acima do plano } = 0 ep eloc ilindrod efinido pela curva fechada que delimita a regiao U. Para tanto, subdividimos U em q subregioes tracando linhas paralelas aos planos coordenados, conforme na figura 3.2 e 3.3.Assim, a integral seraov olumeo btidop ela soma de uma infinidade de volumes das colunas infinitesimais inscritas em forma de paralelepıpedos, como mostra a Figura 3.3. Figura 3.2:

Figura 3.3:

Entao {U1>U2>==Ul===Uq}e uma particao de U.S eja |S| o comprimento da maior de todas as diagonais dos Uq subretangulos.

Seja Dl aarea da subregiao Ul Para cada l escolhenos um ponto ({l>|l) 5 Ul. O produto Yl = i ({l>|l)Dl eov olume do l esimo paralelepıpedo de area Dl ea ltura i ({l>|l). Como ha q subdivisoes, ha q paralelepıpedos. Assim, o volume aproximado do solido delimitado superiormente por i ({>|) e inferiormente pela regiao U ed adop or

Yq = qX

A integral dupla de uma funcao i definida numa regiao U ed adap orZZ

Observacao 5. Se i ({>|)= 1 entao R

U g{g| e, geometricamente, a area da regiao U.

3.3. Calculo da Integral Dupla

Saberr econhecerod omınio de integracao ou regiao de integracao e fundamental para o calculo das integrais duplas. Outro ponto importante e o reconhecimento das curvas que delimitam a regiao de integracao. Muitas vezes e conveniente ter essas curvas escritas em funcao de {, isto e, | = i ({) e outras vezes ec onveniente ter { como funcao de |, isto e { = i (|). Essa conveniencia ed evidoa om aior ou menort rabalhoe xigido no processo do calculo do valor numerico. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 3.6. Calcular o valor da integral R

U 24{|g{g| sendo U ar egiao delimitada

Solucao: Primeiro vamos fazer o grafico da regiao e a tabela de limites dessa regiao.

Curvas funcoes curva ae squerda { =0 curva ad ireita { =1 curva inferior | = {2

Agora podemos efetuar os caculos. A curvas ae squerdae ad ireita sao os limites que integram o primeiro sımbolo de integracao ea sc urvasi nferior e superior o segundo. Assim,R

Oc alculo da integral no exemplo 3.6 foi feito tomando { como variavel independente. Vamos calcular a mesma integral tomando | como variavel independente.

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