Introdução ao Cálculo Diferencial

Introdução ao Cálculo Diferencial

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Cálculo Diferencial e Integral B

APOSTILA 1 Introdução a Diferenciais

MUNEM, M. A. & FOULIS, D. J. Cálculo. vols. 1 e 2. 1. ed. Rio de Janeiro: Guanabara, 1982. LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. vols. 1 e 2. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994. FINNEY, R. L.; WEIR, M. D. & GIORDANO, F. R. Cálculo, vols. 1 e 2. 10. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2002.

PISKOUNOV, N. Cálculo diferencial e integral. Vols. 1 e 2. 4. ed. São Paulo: Martins Fontes, 1993. ROCHA, L. M. Cálculo. Vols. 1 e 2. 2. ed. São Paulo: Editora Atlas, 1995. SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1 e 2. 2. ed. São Paulo: Makron Books do Brasil,1994. COURANT, R. Cálculo diferencial e integral. Vols. 1 e 2. 1. ed. São Paulo: Editora Globo, 1955. BOULOS, P. Cálculo diferencial e integral. Vols. 1 e 2. 1. ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1999.

As notações de derivadas mais usadas para representar a derivada de uma função )(xfy=são:

dxdydx xdf xf onde a derivada, por definição é:

Uma das fórmulas mais usadas em derivadas é a da derivada de funções do tipo variável elevada a expoente, ou seja, nxy= que tem por derivada 1−=′nnxy, pois se xxxnxxx n xnxx

x xxxdx xdf n limlim L ,

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Prof. Hans-Ulrich Pilchowski 1a xxnxxx n xnx

dx xdf n ∆ lim L , lim n xxnxxx n nx xdf L,

n nx xdf L,

dy ynx xdf .

e o expoente n pode ser qualquer número positivo, negativo, inteiro ou fracionário. Quando y ao invés de nx, é nuy= onde )(xuu= tem-se que a derivada de y será:

unu dx onde dx du u=′, ou seja, é a derivada de uem relação a x.

Exemplos de uso dessa fórmula:

dx kddx dy ky ( derivada da constante k em relação a x)

dx xddx dy xy ( derivada de x em relação a x)

dx xxddx dy xy

dx xddx dy xxy

x dx xddx

f) n nmn m n nm n m x m x nm dx

trigonométrica, etc

Outros tipos de derivadas de funções são as de funções do tipo exponencial, logarítmica, Exemplo:

a) Função Exponencial, uey= , onde ()xuu= uey= e sua derivada é ue dx dyu′⋅= dy ey b) Função Exponencial de base qualquer (“a”).

uay= e sua derivada é ()uaanu dx dy⋅′=l dy yl c) Função Logarítmica ()unyl= ( logaritmo natural)

()unyl= e sua derivada é uudx

Exemplo: () x xdx dy xxny

d) Outras fórmulas sem exemplos com funções.

O logaritmo não natural, de base (“a”), uogyal= e sua derivada é ( )anu udxdy l

Por exemplo o decimal uogy10l= e sua derivada é ( )10nu udxdy l

()uysen=e sua derivada é ()u

e) Algumas funções trigonométricas e as fórmulas de suas derivadas: dx dy′=cos

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()uycos=e sua derivada é ()u
()uytan=e sua derivada é ()u
()uycsc=e sua derivada é ()()u

dx dy′−=cotcsc

()uysec=e sua derivada é ()()u

dx dy′=tansec

()uycot=e sua derivada é ()u

()uyarcsen= e sua derivada é 21 uudxdy −

()uyarccos= e sua derivada é 21 uudxdy −

()uyarctan= e sua derivada é 21 uudxdy +

()uysecarccos= e sua derivada é 12 − u udx

()uyarccos= e sua derivada é 12 − u udx

()uyarctan= e sua derivada é 21 uudxdy +

Observação: As demais funções seguem esse mesmo método de derivação e portanto não serão tratadas nesta revisão.

DIFERENCIAIS Diferencial

Seja )(xf uma função e sejam xe y, variáveis e relacionadas por )(xfy=. Então, a diferencial dxé um valor qualquer do domínio de )(xfpara o qual a derivada ( )dx xdf existe , e a diferencial de dy é definida por fd dx xfd

Exemplo: Se 123)(2+−==xxxfy, obter a diferencial dy. Solução:

1o passo: obtém-se a derivada dx yd , isto é,

dx xxddx yd .

2o passo: obtém-se a diferencial dy, sabendo que esta é igual à derivada yd multiplicada pela diferencial xd, ou seja,

dx xxddx xfddx

Deve observar-se a diferença entre a diferencial dxda variável independente xe a diferencial dyda variável dependente y. Pois, dx pode assumir qualquer valor, mas o valor de dydepende de x,dx e )(xf; e por tanto, de ( )dx xdf .

A Figura 1 mostra a interpretação geométrica de dycomparando-o a y∆. Aqui, supõe-se que )(xfé diferenciável em 1xe toma-se xdx∆=, representa-se x∆ como um incremento no valor 1xaté 1x∆+ e y∆será variação correspondente em 1y, isto é, y∆+=12. Entretanto, desde que ( )dx xdf é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de )(xfem())(,1xfx, isto é, ()1,yx,segue-se que

xdf dy=será o incremento correspondente no valor de y, seguindo–se a direção da tangente.

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