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1. Números Reais e Funções

Números Reais O sistema numérico real consiste em um conjunto de elementos chamados de números reais e duas operações denominadas adição (+) e multiplicação ( . ).

O sistema numérico real pode ser inteiramente descrito por um conjunto de axiomas. Com esses axiomas podemos deduzir as propriedades dos números reais, das quais seguem as operações algébricas de adição, multiplicação, subtração e divisão, bem como os conceitos algébricos de resolução de equações, fatoração e assim por diante.

Um número real é positivo, negativo ou zero e qualquer número real pode ser classificado como racional ou irracional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como uma razão de dois inteiros. Isto é, um número racional é da forma p/q, onde p e q são inteiros e q é diferente de zero. Os números racionais consistem em: i) Números Inteiros, positivos, negativos e zero: … -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … i) Frações positivas e negativas, como:

i) Números decimais exatos, positivos e negativos,como:

iv) Números decimais não-exatos, mas com repetição periódica, como:

Os números reais que não são racionais são chamados de números irracionais. Esses são os decimais não-exatos que não apresentam repetição periódica. Como por exemplo:

Propriedades dos números Reais

O conjunto dos números reais, representado por , admite duas operações, denominadas soma (+) e multiplicação (.). A partir dessas operações, as seguintes propriedades são válidas.

i)Comutativa: e..abbaabba+=+= vii) Elemento Recíproco: Todo número real c, diferente de 0, tem um recíproco, isto é, um número real denotado por 1 ou c − que

Ordenação dos Números Reais Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está à direita na reta numerada. Observe que a abertura dos sinais > e < fica voltada para o número maior. Por exemplo, 0 < 7 e (-7) < 0.

As duas temperaturas -5°C e +5°C são igualmente distantes do ponto 0°C na escala de temperatura. Para expressarmos este fato, dizemos que ambas as temperaturas têm o mesmo valor absoluto. Mais precisamente, o valor absoluto de um número positivo é o próprio número enquanto o valor absoluto de um número negativo é o número oposto. Então, para o valor absoluto escrevemos: 5+= e nem negativo, assim, definimos 0=. De modo mais claro, quanto maior a distância de 0 maior é o valor absoluto. Dessa forma,

Módulo ou Valor Absoluto de um Número Real O módulo (valor absoluto) de um número real x, é definido como sendo o maior valor entre x e -x, e é indicado por x, isto é:

Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi 2 x x

, Rx∈

Sejam a e b dois números reais quaisquer. Dizemos que a é menor que b e escrevemos ab<, quando ba− é positivo. Geometricamente, isto significa que o número a está à esquerda do número b na reta numerada. Equivalentemente, dizemos que b é maior que a e escrevemos ba>.

Neste sentido dizemos que o conjunto dos números reais é ordenado. O símbolo ab≤, lê-se a é menor ou igual a b, (ou ba≥, lê-se b é maior ou igual a a) significa que ou a < b ou a = b (ba>ou ba=).

Se a, b e c são números reais, podemos demonstrar que:

(i) Se ab< e bc<então ac<.

(vi) Se 0ab<< então 11ba <.

Regras análogas valem para a relação maior que.

Desigualdades Toda relação que usa os sinais > ou < é chamada

uma desigualdade. A expressão 05x<<, com

Rx∈indica que x é um número real compreendido entre 0 e 5. Neste caso, 0 é uma cota inferior de x e 5 é uma cota superior. Para indicar que um número y é indiferentemente maior ou menor que x, mas não igual a x usamos yx≠ (y é diferente de x). Se uma variável puder assumir o valor de sua cota inferior a ou de sua cota superior b, escrevemos ayb≤≤. Dizemos que “y é maior ou igual a a” e “y é menor ou igual a b. As desigualdades ocorrem geralmente em problemas de classificação.

Intervalos Reais Comumente nos referimos a certos conjuntos numéricos chamados intervalos que correspondem, geometricamente, a segmentos de reta (ou semiretas). Por exemplo, se a < b, o intervalo aberto, denotado por (a, b), é constituído por todos os números reais que estão entre a e b. As possíveis situações de intervalos reais são mostradas abaixo:

ab b) Intervalo fechado: [,]ab ou ab c) Intervalo aberto à esquerda: (,]ab ou ab d) Intervalo aberto à direita: [,)ab ou

Note que o símbolo ∞ não representa um número: a notação (,)a∞ define o conjunto de todos os números maiores que A e o símbolo ∞ indica somente que o intervalo se prolonga indefinidamente, a partir de A, na direção positiva da reta numerada (para a direita do número A).

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2. Funções

Um dos mais importantes conceitos em todo o Cálculo é o de Função. As funções são utilizadas para descrever as relações entre as quantidades variáveis. O uso de determinados modelos matemáticos os quais podem resultar em funções são, muitas vezes, utilizados para prever acontecimentos futuros. A representação de uma função é usualmente feita de quatro maneiras:

• Verbalmente: descrevendo-a com palavras;

• Numericamente: por meio de tabelas de valores;

• Geometricamente: por meio de gráficos;

• Algebricamente: usando uma fórmula explícita.

Utilizando funções para solucionar problemas Muitas vezes é possível encontrar um modelo matemático que descreva o comportamento dos dados. Estes modelos podem ser funções, cuja análise pode nos auxiliar na compreensão e solução do problema em questão. Entretanto salientamos que para encontrar estes modelos é necessário um bom conhecimento matemático.

Exemplo 1 (Ferruzzi, 2003): Consumo de energia elétrica no Paraná A Tabela 1 nos apresenta o consumo de energia elétrica no estado do Paraná no período de 1992 à 1999. Os dados constantes nesta tabela foram fornecidos pela Copel. Com base nestes dados, é possível prever o consumo de energia elétrica neste estado no ano de 2004?

Tabela 1: Consumo de Energia no Paraná no tempo t n Cn em TWh 0 1992 10,696643

Resolução: Para fazer esta previsão necessitamos de um modelo matemático o qual descreva o comportamento destes dados. Utilizando a planilha de cálculo Excel, podemos obter a curva de tendência destes dados. Esta curva e o modelo encontrado estão representados na Figura 1 e 2.

Consumo de energia elétrica no Paraná c o ns u mo TW

Figura 1

Figura 2

Podemos observar que se essa tendência permanecer, o consumo de energia elétrica no estado do Paraná tende a estabilizar-se. Considerando algumas hipóteses, um possível modelo para o consumo no decorrer do tempo

Com este modelo podemos estimar o consumo de energia para qualquer tempo. Assim, para o ano de 2004, o modelo estima um consumo de de 19.8 TWh.

O Conceito de Função Se uma variável y depende de uma variável x de tal modo que cada valor de x determina exatamente um valor de y, então dizemos que y é uma função de x, e escrevemos y = f(x).

Segue uma definição mais formal de uma função real.

Definição: Sejam A e B subconjuntos de R. Uma função f definida em A é uma regra, ou lei de correspondência, que atribui um único elemento de B a cada elemento x de A. O conjunto A é chamado domínio de f e B é chamado contradomínio de f.

Escrevemos: : () f AB

Costuma-se chamar x de variável independente, porque ela é livre para assumir qualquer valor

Adriana Borssoi, Devanil Francisco e ElaineFerruzzi 4 do domínio A, e chamar y de variável dependente, porque seu valor numérico depende da escolha de x.

Exemplo 2: Deve-se construir um tanque de aço, para armazenagem de gás propano, na forma de um cilindro circular reto de 3m de comprimento, com hemisférios iguais em cada extremidade (Figura 3). O raio r deve ser determinado. Expresse o volume V do tanque como função de r.

Figura 3

Solução: Recorrendo as noções básicas de geometria, expressamos o volume do tanque por:

Neste exemplo, V é a variável dependente e r a variável independente. Ou seja, o volume do tanque depende da escolha do raio.

Domínio, Contradomínio e Imagem Considere a função BA:f→ , representada

pelo diagrama:

Definimos: Domínio: Conjunto de todos os elementos pertencentes ao conjunto A. Indicamos esse conjunto por ()Dmf.

Contradomínio: é o conjunto de todos os elementos pertencentes ao conjunto B. Indicamos esse conjunto por ()CDmf.

Imagem: É o conjunto formado pelos elementos de B que são correspondentes dos elementos do domínio. Indicamos esse conjunto por ()Imf.

determine os seguintes valores numéricos da função: a) (0)f= determine os seguintes valores numéricos da função: a) (0)f=

Determinação analítica do domínio de uma função

Veremos alguns exemplos onde poderemos identificar o domínio de uma função:

()nfx g x

=, com n par, então

Obs: Nos próximos capítulos a expressão “ f é uma função” indica que o domínio e o contradomínio de f são conjuntos de números reais.

Usualmente definimos uma função f enunciando uma fórmula ou regra para achar no domínio, dizemos que f é definida em x, ou que f(x) existe. Se S é um subconjunto do domínio, então f é definida em S. A expressão f não é definida em x significa que x não está no domínio de f.

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Exercícios: Determine o domínio das seguintes funções:

Gráfico de Funções Definição: Seja f uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, f(x)) de um plano coordenado, onde x pertence ao domínio de f.

Segundo a definição de função, a cada x do domínio é associado um único y como imagem. Portanto, toda reta paralela ao eixo y deverá interceptar o gráfico da função em no máximo um ponto.

Determinação do Domínio e da Imagem de uma função por meio do Gráfico Considere a função representada pelo gráfico abaixo.

Figura 4

Dado o gráfico de uma função f: Domínio é o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f, ou seja, ()(2,5]Dmf=.

Crescimento e Decrescimento de Funções Função Crescente: Uma função f é crescente num intervalo ()IDmf⊂ se para quaisquer x1

Função Decrescente: Uma função f é crescente num intervalo ()IDmf⊂ se para

Uma função pode ser estritamente crescente ou decrescente em todo seu domínio. Entretanto, é possível que ela seja crescente em um ou mais intervalos de seu domínio e crescente em outros.

Exercícios

E01: Analise se os seguintes gráficos representam ou não funções justificando sua

a)b)
c)d)

resposta:

E02: Determine o domínio e a imagem das seguintes funções:

a)b)
c)d)

y x y x y xy x y xy x

Domínio

6
x 25

Conjunto imagem

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e)f)

E03: Determine o domínio das seguintes funções

x2=d)y
3x=f(x) b)4x-6=f(x) a)

E04: Analise o gráfico abaixo e responda as seguintes questões:

a) O domínio da função. b) A imagem da função. c) O valor de f(1). d) O intervalo em que a função é crescente. e) O intervalo em que a função é constante. f) O intervalo em que a função é decrescente.

E05: Encontre o domínio das seguintes funções:

3x)x(f)d
2x)x(f)b
2)x(f)hx37)x(f)g
x8x)x(f)f
5)x(f)j6x5x)x(f)i2
36x2)x(f)l
a)f(3)b)f(-4)
c)f(1/2)d)f(x+h)

E06: Dada a função f(x) = 2x-3, obtenha: e)o valor de x, tal que f(x) = 49 f)o zero da função a) f(a) b) f(a+h) c) f(a+h)-f(a)

a)f(0)b)f(-2)
c))2(fd))31(f+

Respostas

Não são funções: b e d pois alguns pontos

E01: São funções: letras a e c do domínio possuem mais de uma imagem.

,01- :Im,2:Domf)
2 y e 1- y:Im 3,3:Dome)
:Im:Dom)d
2,- : Im0:Dom)c
1,- :Im:Dom)b
1,3- :Im3,3:Dom)a
7x3uo 3x7)f≤<−<≤−

-1 - y xy x

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E07: a)f(3) = 3 b)f(-4)= -1

c)f(1/2)= -2 d)f(x+h) = 2x + 2h -3 e)26

a)a a b)a 2ah h a h c)2ah h

b)f(-2)= 24

E11: x = 1 e x = 3

i) Divisão de Funções:

Para as funções fg+, fg− e .fg, definimos o

domínio como sendo a intersecção dos domínios de f e g; para a função f/g, definimos o domínio como sendo a intersecção dos domínios de f e g, excluídos os pontos onde ()0gx=(para evitar a divisão por zero).

Composição de Funções Definição: Dadas as funções f e g, a composição de f e g, denotada por fgοé a função definida por

()()(())fogxfgx=. Por definição, o domínio de fgο consiste em todo x no domínio de g para o qual ()gx está no domínio de f.

funções.

Translações, Reflexões, Alongamentos e Compressões de Gráficos de funções

Translação Vertical Sejam ()yfx= e k∈ a transformação i)()fxk+ translada o gráfico em k unidades para cima, se k >0; i) ()fxk+ translada o gráfico k unidades para baixo, se k<0

Translação Horizontal Sejam ()yfx= e Rh∈a transformação i) ()fxh+ translada o gráfico em h unidades para a esquerda, se h>0 i) ()fxh+ translada o gráfico em h unidades para a direita, se h<0

Veja representação gráfica das translações verticais e horizontais, respectivamente, na Figura 5.

Figura 5

Reflexões Seja()yfx=uma função real.

i) ()fx− reflete o gráfico de f em relação ao eixo x. i) ()fx− reflete o gráfico de f em relação ao eixo y. Veja Figura 6

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Figura 6

Alongamentos Sejam ()yfx= e Rc∈.

i) ()ycfx= alonga o gráfico de f verticalmente

por um fator de c, se 1c>; i) ()yfcx= alonga o gráfico de f horizontalmente

por um fator de 1/c, se 01c<<;

Figura 7

Compressões i) ()ycfx= comprime o gráfico de f verticalmente por um fator de 1/c, se 01c<<; i) ()yfcx= comprime o gráfico de f horizontalmente por um fator de c, se 1c>.

Figura 8

Funções Pares e Ímpares Definição: Uma função y=f(x) é definida i) uma função par de x se f(-x) = f(x) i) uma função ímpar de x se f(-x) = - f(x) para qualquer x dentro do domínio da função.

Os gráficos de funções pares e ímpares têm propriedades de simetria características. i) O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y. i) O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.

Figura 9 f é uma função par.

Para a função g temos que ()RDmg= e

Funções Definidas por Partes Definição: São funções definidas por várias sentenças (leis, equações) matemáticas, para intervalos do seu domínio.

c x bse g(x)
b x ase f(x)

Gráfico: Para o traçado do gráfico, consideramos separadamente as várias sentenças matemáticas com seus intervalos do seu domínio. Depois, num mesmo sistema de eixos, traçamos o gráfico relativo a cada sentença, obedecendo a seu intervalo de variação.

Exemplo: Esboce o gráfico de

1xse 3x
1xse 1x

Resolução: Primeiro desenhamos pontilhadas, as retas y = x + 1 e y = − x + 3, veja Figura 10

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Figura 10

Em seguida, marcamos, com traço firme, a parte que interessa de cada uma, como na Figura 1

Figura 1

Função Modular

Definição: Função modular é a função de ℜ em ℜ, definida por:

0xse x
0xse x

O gráfico da função modular é equivalente à reunião dos gráficos das sentenças que a definem, como mostra a Figura 12

Figura 12

1xse 3x
1xse 1x

Figura 13

Funções Polinomiais Definição: Função polinomial é a funçãoℜ→ℜ:f definida por:

12 1( )n
e os coeficientes 12, , ,onaaaa, são números

reais e os expoentes são inteiro positivo,

Se 0na≠ então f é de grau n.

Exemplos: a) A função constante ()fxk= é uma função polinomial de grau zero; b)A função ()fxaxb=+, a ≠ 0, é uma função polinomial do primeiro grau; polinomial, chamada função cúbica, cujo gráfico está representado na Figura 14:

Figura 14 uma unidade para a direita, como verificamos na Figura 15.

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Figura 15

Figura 16

Funções Racionais Definição: Função racional é aquela definida como o quociente de duas funções polinomiais, isto é,

O domínio da função racional é o conjunto dos números reais, excluindo aqueles x tais que ()0qx≠.

representada graficamente na Figura 17:

Figura 17

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