Derivadas direcionais

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Derivadas Direcionais

Definição ( Derivada Direcional)

A derivada de fem ),(000yxP na direção do versor juiuu21+= é o número yxfsuysuxf

s Pu desde que o limite exista. (Obs. o parâmetro s mede o comprimento de arco a partir de 0Pna direção de u.)

A derivada direcional é denotada também por )(PufD.

O vetor gradiente(gradiente) de ),(yxf no ponto ),(000yxPé o vetor

Definição (Vetor Gradiente) f,

Obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de f em 0P. Na prática calculamos uma derivada direcional, usando o seguinte:

Teorema (A Derivada Direcional é um Produto Escalar) Se ),(yxf for diferenciável em ),(000yxP, então

uf ds

P Pu

Ou seja, )(PufDé o produto escalar do gradiente de f em 0P e u.

Propriedades Da Derivada Direcional

Lembre-se que o produto escalar de dois vetores u e v pode ser dado pela fórmula θcos||||||||2121⋅⋅=⋅u e que no cálculo da derivada direcional temos 1||||=u, pois u é um vetor unitário (versor). Usando esta fórmula, o cálculo do produto escalar =

)(PufDθθcos||||cos||||||||)(⋅∇=⋅∇=⋅∇fufuf, onde θ é o ângulo entre os vetores u e f∇, revela as propriedades a seguir.

1. A cada ponto P do seu domínio função faumenta mais rapidamente na direção e no sentido do vetor gradiente f∇em P. 2. fdecresce mais rapidamente na direção e no sentido do oposto ao vetor gradiente f∇em P.

f	Pois, neste caso, θ é igual a 2pi

3. Qualquer direção u ortogonal ao gradiente é uma direção de variação zero em .

Direção do aumento de s

Reta

Reta tangente Superfície S:

Figura 2. O coeficiente angular da curva C em 0P é )(PufD

Figura 1. A taxa de variação de fna direção de u no ponto 0P é a taxa com que f varia ao longo dessa reta em0P.

Vetor Gradiente e Reta Tangente a uma Curva de Nível Em todo ponto ),(00yx no domínio de ),(yxf, o gradiente de fé normal à curva de nível por ),(00yx.

A equação da reta tangente à um curva de nível ( reta normal ao vetor gradiente) no ponto ),(00yx. É 0))(,())(,( 0 =−+− yyyxfxxyxf yx .

Estimando a Variação de uma função de f em uma direção u.

Para estimar a variação do valor de uma função f quando nos movemos uma pequena distância ds a partir de um ponto 0P em uma direção específica u, use a fórmula ( ) dsufdf P ⋅⋅∇= )(

Funções de Três Variáveis

Para uma função diferenciável ),,(zyxf e um versor kujuiuu321++= ou seja, ),,(321uuuu= , no espaço, temos

Obtemos fórmulas para funções de três variáveis adicionando os termos em z às fórmulas para a função de duas variáveis.

∂ ∂=∇ zfyfx fkz fjy fix

f,,

e

f u f u

x fuffDu ⋅ ∂

A derivada direcional pode ser escrita novamente na forma

θθ cos||||cos|||||||| ⋅∇=⋅∇=⋅∇= fufuffDu , assim as propriedades relacionadas anteriormente para funções de duas variáveis continuam valendo.

Planos Tangentes e Retas Normais

Definições ( Plano Tangente e Reta Normal) O plano tangente no ponto ),,(0000zyxPna superfície de nível czyxf=),,( é o plano que passa por 0P e é normal a|Pf∇. Este plano tem equação

A reta normal à superfície em 0P é a reta que passa por 0P e é paralela a |Pf∇. Pode-se mostrar que as equações paramétricas desta reta são

tPfzz tPfyy tPfxx y x

A curva

Figura 3. O gradiente de uma função diferenciável de duas variáveis em um ponto é sempre normal à curva de nível da função naquele ponto.

Plano tangente em P

Superfície de nível f(x,y,z) = c

Figura 4. O gradiente de uma função diferenciável de três variáveis em um ponto é normal à superfície de nível da função naquele ponto. E portanto, paralelo a reta normal ao plano tangente em 0P.

Plano Tangente a uma superfície ),(yxfz= em )),(,,(0000yxfyx

Exercícios

1. Encontre o gradiente da função no ponto dado. Depois, esboce o gradiente junto com a curva de nível que passa pelo ponto.

3. Encontre a derivada da função em 0Pna direção de A. a) 232),(yxyyxf−=,)5,5(0=P, jiA34+=

4. Encontre as direções nas quais as funções crescem e decrescem mais rapidamente em 0P. Depois encontre as derivadas das funções nessas direções.

b) xzyzxyzyxflnlnln),,(++=, )1,1,1(0P 5. Em cerca de quanto variará yysenzzxxzyxf+−+=cos),,( quando se o ponto ),,(zyxP se deslocar de

)0,1,2(0−=Puma distância 2,0=dsunidade em direção ao ponto )2,1,0(1=P? 6. Em cada caso, encontre equações para: (i) O plano tangente; (i) A reta normal no ponto 0Pna superfície dada.

7. Encontre uma equação para o plano tangente que seja tangente à superfície xyz−= no ponto )1,2,1(0=P.

8. Seja 2),(yxyxfz+==. Esboce a curva 42=+yx junto com o f∇e a reta tangente no ponto

)2,2(. Depois escreva uma equação para a reta tangente.

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