Números complexos

Números complexos

(Parte 1 de 7)

Variaveis Complexas

1.1 Motivacao Resolver a equacao vemos que nao existe nenhum x = r ∈ R que satisfaca a equacao. Portanto se faz necessario estender o conjunto dos reais a um conjunto maior na qual a equacao anterior tenha solucao. Assumindo que podemos aplicar raiz quadrada em (1.1) obtemos que x =±√−1 a qual nao faz sentido no conjunto dos numeros reais, portanto extenderemos este conjunto a um conjunto maior a equacao (1.1) tenha solucao. Desta forma introduzimos um novo elemento, que denotaremos por i chamada de unidade imaginaria satisfazendo i2 = −1 (informalmente podemos considerar i = √−1). Assim a equacao (1.1) tem solucoes x = ±i. O novo conjunto que contem os numeros reais e a unidade imaginaria sera denotado por C a qual sera chamado de o conjunto dos numeros complexos. E necessario que este conjunto preserve as propriedades aritmeticas dos numeros reais, isto e produto e soma de dois elementos de C tambem deverao pertencer a C, assim a extensao natural dos numeros reais sera

b = Im(z) : parte imaginaria de z

Claramente os numeros reais r pertencem a C pois r = r + 0i, tambem vejamos que as potencias da unidade imaginaria pertencem a C:

1.2 Operacoes aritmeticas

Portanto podemos estender essas operacoes definindo

Pode-se verificar que estas operacoes possuim as propriedades associativa, comutativa e distributiva. Os elementos neutros aditivo e multiplicativo sao 0 e 1 respectivamente, o inverso aditivo de z = a + ib e −z = −a − ib e o inverso multiplicativo (desde que z 6= 0) e um numero complexo w tal que zw = wz = 1, assim w pode ser denotada por w = z−1 = 1/z. Se w = c + id para que zw = 1 as contantes c e d devem satisfazer

Tambem podemos chegar a este mesmo resultado procedendo informalmente, isto e,

O plano Complexo: Como para determinar um numero complexo e necessario de dois numero reais podemos identificar numeros complexos com pares ordenados reais atraves do isomorfismo z = a + ib 7→ (a,b) entre C e R2. Assim podemos considerar os numeros complexos como pontos do plano.

bi Eixo real

Eixo imaginario rz = a + ib

Para z = a + ib definimos os seguintes operacoes

Algumas propriedades destas operacoes:

Prova da desigualdade triangular:

⇔Re

1.3 Forma polar dos complexos

θ : angulo que z forma com o semieixo real positivo

Entao temos as seguintes identidades

Desta forma z pode ser escrito da seguinte forma

O angulo θ e chamado argumento de z e denotado arg(z) := θ. Como coseno e seno sao funcoes periodicas de periodo 2pi, isto e

Assim podemos representar z com varios angulos diferentes, isto e, z = r[cos(θ + 2kpi) + isin(θ + 2kpi)]

De esta forma arg(z) e uma funcao multivaluada. Se restringimos o valor de arg(z) a um intervalo semiaberto de cumprimento 2pi evidentemente sera univocamente determinado. Em particular os valor de arg(z) restrito ao intervalo ]−pi,pi] sera chamado valor principal do argumento de z e denotado por argp(z), isto e

e uma funcao univocamente determinada.

Exemplo: Escreva z = √ 3 + i na sua forma polar. Fazendo os calculos encontramos

dai segue que θ = pi

Assim

zn = rn(cos(nθ) + isin(nθ)) para n ∈ N

de onde obtemos a formula de Moivre:(

Denotemos por vemos que a formula de Mouvre pode ser escrita da seguinte forma

Tambem pode ser mostrado que as propriedades da funcao exponencial se preservam

De esta forma polar de um numero complexo z pode ser escrito como z = reiθ

Exemplo Encontre todas as solucoes de zn + α = 0, onde α > 0. z = reiθ

por tanto as solucoes sao

n k ∈ Z para determinar unicamente o angulo de z temos que determinar k ∈ Z tal que −pi < θk ≤ pi. Exemplo Solucoes de z2 + 2 = 0

Exemplo Seja w ∈ C, encontre as raizes n-esimas w1/n. Para z ser uma reaiz n-esima de w deve se ter zn = w. Se z = reiθ e w = ρeiφ entao

por tanto as raizes n-esimas de w sao

n k ∈ Z para determinar unicamente o angulo de z temos que determinar k ∈ Z tal que −pi < θk ≤ pi. Exemplo Raizes n-esimas da unidade.

1.3.1 Exemplos de conjuntos do plano complexo:

1. Sejam z,w ∈ C e ρ ∈ R. Encontre a parte real e imaginaria dos seguintes numeros complexos

2. Mostre que

3. Seja z ∈ C e n,m dois numeros inteiros, mostre que ∣∣zn zm

8. Determine o valor principal do argumento dos seguintes numeros complexos

9. Usando a forma polar de um numero complexo mostre que os valores de sao:

10. Prove que a multiplicacao de um numero complexo por i corresponde a uma rotacao no sentido antihorario de um angulo de comprimento pi/2 do vetor correspondente.

1. Determine as solucoes de

2 (raizes quadradas de 1

12. Mostre que se a,b ∈ C as solucoes de

2 (Dica: Complete quadrados)

14. Faca um grafico do conjunto de pontos z ∈ C tal que

2 Funcoes de variavel complexa

(Parte 1 de 7)

Comentários