Probabilidade

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Probabilidade

6.1 Introdução

A teoria da probabilidade é a parte da matemática que estuda os fenômenos aleatórios. Todo fato ou acontecimento passível de observação é chamado de fenômeno, e os seus possíveis resultados são determinísticos ou aleatórios. Qualquer ensaio ou experiência destinado à verificação de um fenômeno é chamado de experimento. Diz-se que um fenômeno é determinístico quando apresenta um só resultado sob as mesmas condições de experimentação, isto é, se a experiência não se altera o seu resultado é sempre o mesmo. Já os fenômenos aleatórios, ainda que repetidos sob as mesmas condições iniciais, apresentam resultados distintos ou incertos, porque estão sujeitos às leis do acaso.

Tanto que quando se atira uma moeda para o alto a força da gravidade faz com que a sua queda seja certa, a velocidade da queda da moeda, desde que lançada sob as mesmas condições, será uma constante que se pode chamar de fenômeno determinístico. Mas a ocorrência de cara ou de coroa é imprevisível, pois alguém pode apostar em cara e dar coroa, ou vice-versa. É essa incerteza quanto aos resultados do acontecimento que denota o que se chama de fenômeno aleatório.

Neste contexto, a probabilidade é um número real que exprime quão provável é a chance de ocorrer um particular resultado do acontecimento aleatório.

De início a teoria da probabilidade era utilizada para prever resultados de jogos de azar, e daí a razão de tal vertente ser bastante explorada no estudo introdutório da matéria. Porém, com o passar do tempo, as aplicações de probabilidade se expandiram notavelmente, sobretudo em processos de tomada de decisão ligados a acontecimentos sujeitos aos efeitos do acaso, tais como: previsão meteorológica e de safras agrícolas; risco de apólices de seguro; cotação de ações em bolsa de valores; controle de qualidade; marketing, etc.

6.2 Experimento aleatório

Designa uma experiência em que os seus resultados são imprevisíveis, mesmo que seja repetida indefinidamente sob condições semelhantes, e é simbolizado pela letra E latina. Eis alguns exemplos de experimento aleatório:

E1: arremessar um dado e anotar o número do lado que cai para cima;

E2: lançar uma moeda e verificar a seqüência de cara e coroa;

E3: retirar cartas de um baralho e verificar as figuras;

E4: Conferir o número de peças defeituosas produzidas diariamente por uma máquina;

E5: Verificar a execução de uma tarefa e anotar o tempo gasto por cada trabalhador.

Embora os resultados dos experimentos retromencionados se pareçam absolutamente acidentais, verifica-se que na realidade eles tendem para uma estabilidade estatística quando a experiência é repetida um número relativamente grande de vezes. Esta regularidade é fundamental porque facilita a construção de modelos matemáticos para descrever o comportamento do fenômeno, possibilitando à previsibilidade de cada valor em particular, como se verá mais adiante.

6.3 Espaço amostral

O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral. Este é um conjunto S em que cada um de seus elementos está associado a um e somente um resultado possível do experimento. Eis, então, os seguintes exemplos:

a) lançamento de um dado: S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6};

b) lançamento de uma moeda: S2 = {cara, coroa};

c) retirada de uma carta de um baralho: S3 = {as 52 cartas};

d) Contagem diária das peças defeituosas produzidas por uma máquina, para controle do processo: ;

e) tempo que um grupo de trabalhadores gasta para executar uma tarefa que está a ser implantada: }.

Os exemplos vistos nas letras a, b, c e d são de espaços amostrais finitos numeráveis e o da letra e de espaço amostral infinito não-enumerável, cujo estudo será abstraído neste capítulo, por exigir aplicação de matemática avançada, em face de maior complexidade teórica.

6.4 Eventos

Qualquer subconjunto do espaço amostral S é chamado de evento. Se um evento tem apenas um elemento é chamado de evento simples, e de evento composto se tem mais de um elemento. Um evento é definido por uma sentença e tem como símbolo as letras maiúsculas do alfabeto. Os seus elementos são descritos por números arábicos, ou letras minúsculas quando não têm expressão numérica.

Eis que quando se lança uma moeda o espaço amostral é formado por dois eventos simples cara (c) e coroa (k), tal que S = {c, k}.

Agora quando se lançam duas moedas o espaço amostral corresponde a quatro seqüências de coroa/coroa (kk), coroa/cara (kc), cara/coroa (ck) e cara/cara (cc), de modo que se tem S = {kk, kc, ck, cc}, onde cada seqüência é um evento composto de S. E o evento relativo a pelo menos uma cara é definido pelo subconjunto A = {kc, ck, cc}.

Veja-se ainda, neste caso, que os elementos de S podem ser definidos como pontos de uma variável aleatória, quando se enuncia, por exemplo, que x é igual ao número de caras. Isso permite descrever o mesmo espaço amostral através de números, tal que S = {0, 1, 2} e o referido evento A pelo subconjunto numérico A = {1, 2}, como se vê no quadro abaixo.

Quadro 6.1 – Eventos relativos ao lançamento de duas moedas

Seqüências

x = número de caras

kk

0

kc, ck

1

cc

2

Outrossim, quando o experimento consiste no lançamento de um dado o número de casos possíveis é igual a seis, que corresponde à freqüência de cada uma das seis faces que pode cair voltada para cima, e é representado pelo conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Para um S finito ou infinito numerável, constituído de n elementos, existem subconjuntos ou eventos possíveis.

a) Evento impossível: É uma situação impossível de acontecer na realização de determinado experimento e se representa pelo símbolo. Eis que é impossível obter uma seqüência de três caras num único lançamento de duas moedas, ou dar número menor que a unidade no lançamento de um dado. Os conceitos de evento impossível e de conjunto vazio são equivalentes.

b) Evento certo: Quando envolve todos os resultados do experimento. Seja, por exemplo, o lançamento de um dado. O evento A = {ocorrer número natural entre 1 e 6} é um evento certo, pois os seus resultados possíveis coincidem com o do conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

6.4.1 Operações com eventos

Já é sabido que o espaço amostral S abrange todos os resultados possíveis do experimento aleatório ou todos os elementos de uma população de interesse. Isto equivale à noção de conjunto universo ou conjunto fundamental estudado na teoria dos conjuntos. Aqui a notação xA significa número x de elementos de S pertencentes ao evento A, ou xA número x de elementos de S não pertencentes a A.

Dados os eventos A e B, definidos em S, é possível obter novos eventos através das operações de união e interseção, ou complementação, da teoria dos conjuntos, como se vê a seguir:

a) União de eventos: Sejamos eventos A e Bcontidos em S. A união de A com B é dada pelos elementos de S que pertencem a A ou B (ou ambos), que se identifica pela notação (lê-se A união B), ou em símbolos AB = {xS/xA ou xB (ou ambos)}.

b) Interseção de eventos: Sejam A e B dois eventos definidos em S. A interseção de A com B é formada pelos x elementos de S que pertencem simultaneamente a A e B, que se representa pela notação (lê-se A inter B), ou pelo símbolo e .

c) Complementação de eventos: Seja um eventoA contido em S (). O complemento de A em relação S, é formado pelos x elementos de S que não pertencem a A, que se identifica pela notação ou (lê-se complemento de A), cujo símbolo é .

d) Inclusão de eventos: Sejam A e B dois eventos associados ao espaço amostral S. Diz-se que A está contido (ou incluído) em B, se todo elemento de A é também elemento de B, cuja notação é , ou ainda melhor .

O diagrama de Venn-Euller dá uma boa idéia dessa combinação de eventos, como se verifica nas áreas sombreadas da figura abaixo.

Figura 6.1 Diagramas de Venn-Euller

Se os eventos A e B não têm qualquer elemento em comum a união é formada pela soma dos seus elementos , e a interseção é um evento impossível tal que , como se nota na figura abaixo:

Figura 6.2 Diagrama de Venn para

Apresentam-se abaixo algumas propriedades decorrentes de complementação, união e interseção de eventos, úteis no estudo de probabilidade.

a) Absorção: e .

b) Associativa: e .

c) Complementares: ; ; ; e .

d) Comutativa: e .

e) Distributiva: e .

f) Idempotente: e .

g) Identidade: ; ; e .

h) Leis de Morgan: e .

Exemplo: É possível simular os eventos abaixo, com os números referentes ao jogo de um dado, cujo espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}:

a) A = {número par} = {2, 4, 6};

b) B = {número primo} = {2, 3, 5};

b) C = {número ímpar} = {1, 3, 5};

c) D = {n° inteiro positivo} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → D = S (evento certo);

d) E = {número menor que a unidade}→ (evento impossível);

e) {número par ou primo} = {2, 3, 4, 5, 6};

f) {número par e primo} = {2};

g) {número não par}= {1, 3, 5};

i) {nem par nem primo} = {1};

j) {n° que não seja par ou não primo} = {1, 3, 4, 5, 6};

l) {1, 3, 5}.

m) {número não ímpar} = {2, 4, 6};

n) ={inverso de um n° não ímpar}={número ímpar} = {1, 3, 5}.

6.5 Cálculo de probabilidades

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