Equaçoes diferenciais

Equaçoes diferenciais

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EDO Equações Diferenciais Ordinárias

São José dos Campos Maio 2009

Caro aluno

Este material não tem a finalidade de suprir todo o conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias, mas sim auxiliá-lo em seus estudos e pesquisa.

Saliento também a necessidade de sua persistência nos estudos diários, não perca tempo, use-o para seu bem.

Para aprender a andar de bicicleta só existe um modo: andando de bicicleta. Com a Área de Exatas é a mesma coisa. É preciso FAZER, e se FAZ fazendo os exercícios. Muitos deles podem ser sutis (e, por isto mesmo, estimulante). Em apenas uma noite em meio aos livros, um dia antes da prova (como alguns faziam no Ensino Médio), NÃO será o suficiente para decifrá-los e assimilá-los, mesmo para os mais talentosos. Embora o trabalho individual seja vital (ninguém pode aprender por você!), recomendo fortemente o estudo em grupos: não é incomum que alguém tenha entendido melhor algum exercício e esteja disposto a mostrar e discutir a solução dele com outros. Pense nos exercícios como um desafio.

Faça muitos exercícios, não só aqueles sugeridos por mim. Há dezenas de livros na biblioteca da ETEP – Faculdades entre eles THOMAS, G. B.. Cálculo. 10ª edição. V2. São Paulo: Addison Wesley, 2003., BOYCE, W. E., DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 8ª edição. São Paulo: LTC, 2006., ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. 6ª edição. V2. Porto Alegre: Bookman, 2000. com exercícios interessantes. Tente (realmente) fazer os exercícios mais abstratos, envolvendo demonstrações e conceitos: eles são o verdadeiro coração do curso, e ignorá-los pode tornar este curso (para você) apenas uma longa e entediante memorização de algoritmos para resolução dos exercícios que envolvem apenas “calculeira”. Participe dos atendimentos e das aulas: faça perguntas !!! Discuta sua solução com seus colegas!!

Tente garantir a sua nota já na primeira prova. Nada de tentar adiar o estudo. Mas se o mal já foi feito, não se desespere!!! Uma condição necessária para se recuperar é a persistência, não desista, lute até o fim!! Você foi aos atendimentos? Tirou suas dúvidas com o professor? Fez os exercícios e conferiu com os colegas se sua solução estava correta? Se você respondeu não a alguma destas perguntas, seria uma boa idéia reavaliar seus métodos de estudo. Existem DEZENAS de casos de alunos que foram muito mal na primeira prova, mas que conseguiram se recuperar muito bem e ficar com uma ótima nota no final do curso via MUITO TRABALHO.

As listas elaboradas e/ou sugeridas são mini, mais se espera que você faça mais exercícios de livros e outras fontes. A grande maioria dos tipos de exercícios das provas estará representada nas listas, porém SEMPRE haverá questões mais originais, que exigirão uma melhor preparação.

A interatividade com o professor durante a aula é a parte mais essencial e interessante de todo o processo, sem isto o que resta é professor falando tediosamente durante 4 aulas. Ele não é um ator que necessariamente recita um monólogo.

Se por uma distração eu cometer um erro no quadro faça deste erro um bom motivo para que vocês fiquem atentos e participem da aula, corrijam quando necessário (e vai ser muito necessário!!!! ).

Estou disposto a ajudá-lo em sua jornada acadêmica, venha motivado para a aula.

Seja bem vindo!! Professor Áureo Melo

SEÇÃO 1

A) EQUAÇÃO DIFERENCIAL Uma Equação Diferencial é uma relação que envolve como incógnita, uma função e suas derivadas ou diferenciais. “EQUAÇÃO DIFERENCIAL É UMA EQUAÇÃO QUE CONTÊM DERIVADAS” 1) Quanto ao tipo a) Equação Diferencial Ordinária - EDO Contém somente uma variável independente.

Exemplo:

dx x=+5 (variável x) b) Equação Diferencial Parcial – EDP Contêm mais de uma variável independente.

Exemplo: yx'y"y2+=+ ou yx yux

2) Quanto à ordem É a ordem da derivada mais alta que ela contém.

Exemplo:

2x yux

d y dx

3) Quanto ao grau É obtido considerando o grau da derivada de mais alta ordem como sendo o grau da equação, como se faz no caso dos polinômios. Exemplo:

yuxu ∂∂∂∂ - primeiro grau.

dy dx yd - segundo grau.

4) Quanto ao tipo de solução: a) Solução Geral É a primitiva desta equação.

Exemplo:

yAxBxC=++2 é a solução geral da equação diferencial d y dx3 30=, pois, integrando d y dx3 30= três vezes, tem-se:

A dx ydd dx ydd dx dxd dx

BAdx dx dydAdx dx dydA dx dx dA dx

( ) ( ) CdxBAxdydxBAxdyBAx dx e a solução geral será:

b) Solução Particular É a primitiva da Equação Diferencial, mas com valores definidos para as constantes arbitrárias por ela contida. Exemplo:

yAxBxC=++2 é a solução geral ou a primitiva da equação diferencial d y

São soluções particulares desta mesma equação. Caso as condições iniciais forem, por exemplo:

dy , isto é, 0= dy no ponto 0=x,

=x dx yd no ponto 0=x, donde

A dx

BAx dx

, isto é, 2=C e c) Solução Singular É uma solução da equação diferencial que não pode ser obtida por combinação das constantes arbitrárias, isto é, a partir da primitiva desta. Exemplo:

0y dx dy x

onde 2CAxy+= é a solução geral ou a primitiva da equação diferencial, mas

dx dyxy 4 yd satisfaz a equação, pois =

1 2 ≡−=+−=x, donde 0y8x2=+ é uma solução da equação diferencial, e tal solução

é denominada solução singular.

d) Solução explícita

É a solução na forma ()xfy=, isto é, a variável dependente (função) y pode ser isolada e igualada a uma expressão, a qual é função apenas da variável independente x (não ambígua). Exemplo:

na solução explícita 2x

e) Solução implícita Assim, a solução de uma equação diferencial de ordem n é a determinação de uma relação entre as variáveis, envolvendo n constantes arbitrárias independentes, que, juntamente com as derivadas dela obtidas, satisfaz à equação diferencial, isto é, o problema das equações diferenciais é essencialmente descobrir a primitiva que deu origem à equação. Exemplo:

Foi a primitiva yAxBxC=++2 que deu origem à equação diferencial d y dx3 30=, e portanto, yAxBxC=++2 é a solução desta equação diferencial.

A solução é da forma ()0,=yxf, isto é, a variável dependente (função) y não pode ser isolada e igualada a uma expressão que dependa apenas da variável independente x, ou quando isto for possível (será ambígua). Exemplos:

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