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Equaçoes diferenciais, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

Equaçoes diferencias

Tipologia: Notas de estudo

Antes de 2010

Compartilhado em 29/08/2009

sandor-dangelo-4
sandor-dangelo-4 🇧🇷

4.6

(74)

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Baixe Equaçoes diferenciais e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity! EDO Equações Diferenciais Ordinárias São José dos Campos Maio 2009 1 Caro aluno Este material não tem a finalidade de suprir todo o conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias, mas sim auxiliá-lo em seus estudos e pesquisa. Saliento também a necessidade de sua persistência nos estudos diários, não perca tempo, use-o para seu bem. Para aprender a andar de bicicleta só existe um modo: andando de bicicleta. Com a Área de Exatas é a mesma coisa. É preciso FAZER, e se FAZ fazendo os exercícios. Muitos deles podem ser sutis (e, por isto mesmo, estimulante). Em apenas uma noite em meio aos livros, um dia antes da prova (como alguns faziam no Ensino Médio), NÃO será o suficiente para decifrá-los e assimilá-los, mesmo para os mais talentosos. Embora o trabalho individual seja vital (ninguém pode aprender por você!), recomendo fortemente o estudo em grupos: não é incomum que alguém tenha entendido melhor algum exercício e esteja disposto a mostrar e discutir a solução dele com outros. Pense nos exercícios como um desafio. Faça muitos exercícios, não só aqueles sugeridos por mim. Há dezenas de livros na biblioteca da ETEP – Faculdades entre eles THOMAS, G. B.. Cálculo. 10ª edição. V2. São Paulo: Addison Wesley, 2003., BOYCE, W. E., DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 8ª edição. São Paulo: LTC, 2006., ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. 6ª edição. V2. Porto Alegre: Bookman, 2000. com exercícios interessantes. Tente (realmente) fazer os exercícios mais abstratos, envolvendo demonstrações e conceitos: eles são o verdadeiro coração do curso, e ignorá-los pode tornar este curso (para você) apenas uma longa e entediante memorização de algoritmos para resolução dos exercícios que envolvem apenas “calculeira”. Participe dos atendimentos e das aulas: faça perguntas !!! Discuta sua solução com seus colegas!! Tente garantir a sua nota já na primeira prova. Nada de tentar adiar o estudo. Mas se o mal já foi feito, não se desespere!!! Uma condição necessária para se recuperar é a persistência, não desista, lute até o fim!! Você foi aos atendimentos? Tirou suas dúvidas com o professor? Fez os exercícios e conferiu com os colegas se sua solução estava correta? Se você respondeu não a alguma destas perguntas, seria uma boa idéia reavaliar seus métodos de estudo. Existem DEZENAS de casos de alunos que foram muito mal na primeira prova, mas que conseguiram se recuperar muito bem e ficar com uma ótima nota no final do curso via MUITO TRABALHO. As listas elaboradas e/ou sugeridas são mini, mais se espera que você faça mais exercícios de livros e outras fontes. A grande maioria dos tipos de exercícios das provas estará representada nas listas, porém SEMPRE haverá questões mais originais, que exigirão uma melhor preparação. A interatividade com o professor durante a aula é a parte mais essencial e interessante de todo o processo, sem isto o que resta é professor falando tediosamente durante 4 aulas. Ele não é um ator que necessariamente recita um monólogo. Se por uma distração eu cometer um erro no quadro faça deste erro um bom motivo para que vocês fiquem atentos e participem da aula, corrijam quando necessário (e vai ser muito necessário!!!! ). Estou disposto a ajudá-lo em sua jornada acadêmica, venha motivado para a aula. Seja bem vindo!! Professor Áureo Melo 4 donde A dx yd = 2 2 no ponto ⇒= 0x A dx yd x == = 1 0 2 2 , isto é, 1=A , BAx dx dy += no ponto ⇒= 0x ( ) BA dx dy x +== = 00 0 , isto é, 0=B , CBxAxy ++= 2 no ponto ⇒= 0x ( ) ( ) 200 2 0 =++= = CBAy x , isto é, 2=C e ( ) ( ) ( ) 2201 222 +=++=⇒++= xxxyCBxAxy e a solução particular será 22 += xy . c) Solução Singular É uma solução da equação diferencial que não pode ser obtida por combinação das constantes arbitrárias, isto é, a partir da primitiva desta. Exemplo: 0y dx dy x dx dy 2 2 =−+      onde 2CAxy += é a solução geral ou a primitiva da equação diferencial, mas x dx dy xy 4 1 , 8 1 2 −=−= e 4 1 2 2 −= dx yd satisfaz a equação, pois =      −−      −+      − 2 2 8 1 4 1 4 1 2 xxxx 0 4 1 4 1 8 1 4 1 8 1 22222 ≡−=+−= xxxxx , donde 0y8x 2 =+ é uma solução da equação diferencial, e tal solução é denominada solução singular. d) Solução explícita É a solução na forma ( )xfy = , isto é, a variável dependente (função) y pode ser isolada e igualada a uma expressão, a qual é função apenas da variável independente x (não ambígua). Exemplo: ⇒=+ 0 1 y dx dy x na solução explícita 2 2x Cey − = . 5 e) Solução implícita Assim, a solução de uma equação diferencial de ordem n é a determinação de uma relação entre as variáveis, envolvendo n constantes arbitrárias independentes, que, juntamente com as derivadas dela obtidas, satisfaz à equação diferencial, isto é, o problema das equações diferenciais é essencialmente descobrir a primitiva que deu origem à equação. Exemplo: Foi a primitiva y Ax Bx C= + +2 que deu origem à equação diferencial d y dx 3 3 0= , e portanto, y Ax Bx C= + +2 é a solução desta equação diferencial. A solução é da forma ( ) 0, =yxf , isto é, a variável dependente (função) y não pode ser isolada e igualada a uma expressão que dependa apenas da variável independente x , ou quando isto for possível (será ambígua). Exemplos: a) ⇒=+ 0 dx dy yx na solução implícita 22222 xCyCxy −±⇒=+ onde a solução na forma explicita não é considerado função pois possui duas soluções para cada Cx < b) ⇒=++− 0 dx dy )1y(xy)1x( 22 Cx)x(n2x)y(ny 1 +++−=+ −ll , solução implícita. Como identificar se uma solução proposta é solução da equação diferencial? Para identificar se uma solução proposta é solução de uma equação diferencial, basta substitui a solução encontrada no lugar onde a variável dependente (função) aparece na equação, e se após os cálculos feitos, a equação se transformar em uma identidade, então a função encontrada é solução da equação diferencial. Exemplos: 1) Verificar se 23 x ey − = ou 2 2 3 x ey − = é solução da equação diferencial 0=+ xy dx dy . 6 Solução: a) Substituir y por 23 x e − na equação 0=+ xy dx dy , isto é, 0 2 1 33 2 1 3333 3 222222 2 ≠      −=+−=+        =        +         −−−−−− − xexeexee dx d ex dx ed xxxxxx x , Como não surgiu uma identidade, então 23 x ey − = não é solução. b) Substituir y por 2 2 3 x e − na equação 0=+ xy dx dy , isto é, 0333 2 2 3333 3 222 2 222 2 2 222 2 ≡+−=+           −=+         =         +         −−− − −−− − xxx x xxx x xexexe xe xee dx d ex dx ed , como surgiu uma identidade, então 2 2 3 x ey − = é solução. 2) Verificar se )sec(xy = é solução da equação diferencial )(xytg dx dy = Substituir y por )xsec( na equação )(xytg dx dy = , isto é, ( ) ( ) ( )( ) ( )       −−=−−=⇒= −−− )x(cos )xsen( )x(cos)xsen()x(cos)x(cos dx d )xtan()xsec( dx )xsec(d 121 , ( ) ( ) ( )( ) )()sec()()sec( )(cos )( )(cos)(cos 11 xtgxxtgx x xsen xx dx d ≡=      = −− , Como surgiu uma identidade, então )sec(xy = é solução. 3) Verificar se ( ) 444 Cxxlnx4y += é solução da equação diferencial ( ) 0344 =−+ dyxydxyx . ( ) ( ) 3 44 443344 xy yx dx dy dxyxdyxy0dyxydxyx + =⇒+=⇒=−+ Então a equação será: 3 44 xy yx dx dy + = , e a derivada da solução proposta: 9 10 11 14 1 22 22 =− xy . d) )(sen2 2 x dx dy y ω= (ω é uma constante) para 1)0( =y . 0 222 )(sen2)(sen2)(sen2 cdxxydydxxydyx dx dy y +=⇒=⇒= ∫∫ ωωω ( ) a axx dxax 4 2sen 2 )(sen 2 −=∫ ( ) 0 2 0 2 4 2sen 22 2 )(sen2 c xxy cdxxydy +−=⇒+= ∫∫ ω ω ω ( ) ( ) 1 4 2sen 2 1001 4 2sen 2 2 000 2 +−=⇒=⇒+−=⇒+−= ω ω ω ω xx yccc xx y 15 EXERCÍCIOS 1) Determinar a solução geral das Equações Diferenciais, dadas a seguir, pelo método da separação de variáveis: a) y dy dx x2 2 0+ = Resposta: cxy =+ 33 b) x dy dx y= −2 1 Resposta: cxln1y2 2 =−− ou cxln1y =−− c) 0 2 =+ s x dx ds Resposta: cx s =+ 2 2 2 d) 21 yy te dt dy t + = Resposta: ( )[ ] 13 3 2 2 ++−− cetey tt 16 ESTUDO DIRIGIDO 2ª ATIVIDADE 1) Obtenha a solução geral das equações diferenciais pelo método da separação das variáveis. a) ( ) 0ay xd yd x 2 =−− b) 0y1 td yd t1 22 =−−− c) ( ) 0txx td xd xtt 2222 =++− 19 c) ( )xfypara0dy)x1(dx ==+− , então: Resolução: Portanto, a equação diferencial não é exata. d) ( ) ( ) ( )xfyparadyxxdxxy ==−+− 0212 2 , então: Resolução: Portanto, a equação diferencial é exata. d) 1 dx dy xy x −= + Resolução: Portanto, a equação diferencial é exata. e) xy xy dx dy − − = 2 9 2 Resolução: Portanto, a equação diferencial é exata. 20 f) ( ) 0535 =++ xdydxy Resolução: Portanto, a equação diferencial é exata. g) ( ) ( ) 022 =−++ dyyxdxyx Resolução: Portanto, a equação diferencial é exata. 2) Verifique se o seguinte problema de valor de contorno ( ) ( ) 0432 2 =++− dyyxdxxy para ( ) 21 =y é representado por uma equação diferencial exata. Resolução: Portanto, a equação diferencial é exata. 21 3) Determine o valor de A para que a equação se torne exata para que o seguinte problema de valor inicial ( ) ( ) 0dyy4Axdxxy3x 22 =+++ para ( ) 10 =y se torne um problema dado por uma equação diferencial exata. Resolução: Portanto, 2 3 =A para que a equação seja exata. 24 EXERCÍCIOS 1) Verifique se as equações diferenciais abaixo são exatas e resolva-as. a) ( ) 0dxx1dy =+− Resposta: 2 x xcy 2 −−= . b) 0dy)x1(dx =+− Resposta: Não é exata c) ( ) ( ) 0dyx2xdx1xy2 2 =−+− Resposta: x2x c y 2 − = . d) 1 dx dy xy x −= + Resposta: 2 x x c y −= . e) xy xy dx dy − − = 2 9 2 Resposta: cx3xyy 32 =+− . f) ( ) 0xdy5dx3y5 =++ para ( ) 5 3 2 −=y Resposta: x5 x1524 y − = . g) ( ) ( ) 022 =−++ dyyxdxyx para ( ) 21 =y Resposta: 3 5 3 2 3 −=−+ yyx x . h) ( ) ( ) 0432 2 =++− dyyxdxxy para ( ) 21 =y Resposta: 723 22 =+− yxyx . i) ( ) ( ) 043 22 =+++ dyyAxdxxyx para ( ) 10 =y Resposta: 22 2 3 3 2 23 =++ y yxx . 25 2) Verifique se as Equações Diferenciais são exatas e determine a solução de cada uma delas de acordo com suas condições. a) 04 =+ ydyxdx para ( )xyy = Resposta: cy2 2 x 2 2 =+ b) ( )[ ] 0dsslntdt x y st3 32 =++      + para ( )tss = Resposta: ( ) csslns x yt st 3 =−++ c) ( ) ( ) 0dyxycosxdxxycosy =+ para ( )xyy = Resposta: c)xy(sen = d) 02 2 =+ xdydxy para ( )xyy = . Resposta: não é exata e) ( ) ( ) ( ) 0dss2sentln2dt t s2cos =− para ( )tss = . Resposta: )s2cos( c et = f) ( ) ( )[ ] ( )dstdttst cossencos =+ para ( ) 0=πs . Resposta: 0)tcos(s)t(sen =− g) ( )[ ] 0cos2 2 =++ dyyxxydx ππ , para ( ) 11 =y . Resposta: 1)y(senyx 2 =π+ h) ( ) ( ) 0319 =−+− dxxdyy para ( ) 03 =y . Resposta: 09y18y9x6x 22 =+−+− i) ( ) 012222 =++ ++ dsesdtte stst para ( ) 00 =s . Resposta: 1se 22s2t =++ 26 ESTUDO DIRIGIDO 3ª ATIVIDADE Verifique se as equações diferenciais ordinárias são exatas e encontre a solução particular da equação pelo método das exatas. a) y3x2 yx31 dx dy 3 + −− = para 2)0(y = b) ( ) ( ) 0dyy3xye2dxx4ey 22xy32xy2 =−++ para ( ) 10 =y . 29 SEÇÃO 3 A) MÉTODO DOS FATORES DE INTEGRAÇÃO Fatores de Integração Se uma Equação Diferencial do tipo: P x y dx Q x y dy( , ) ( , )+ = 0 , não é exata, ela pode, dependendo da equação, ser transformada em exata. Basta multiplicarmos a equação por uma função adequada F x y( , ) ≠ 0 , chamada de fator integrante da equação. Determinação dos fatores integrantes para alguns casos. 1° Caso: Se ( )xf x N y M N =      ∂ ∂ − ∂ ∂1 , uma função apenas de x, o fator integrante será ( )∫= dxxf exF )( . Exemplo: Resolver ( ) 0xydydxxyx 22 =+++ para ( )xfy = . Resolução: Resposta: C xyxx =++ 324 3224 30 2° Caso: Se ( )yg x N y M M −=      ∂ ∂ − ∂ ∂1 uma função apenas de y , o fator integrante será ( )∫= dyyg eyF )( . Exemplo: Resolver dyeyxdyydx y2=− para ( )xfy = . Resolução: Resposta: C x y −= 31 SEÇÃO 4 3° Caso: Se a equação é homogênea e 0≠+ NyMx , então ( ) NyMx yxF + = 1 , é fator integrante da equação. Observação: A equação ( ) ( ) 0dyy,xNdxy,xM =+ é dita homogênea se, somente se, ( ) ( )       =−= x y f y,xN y,xM dx dy . Exemplo: Resolver ( ) 0344 =−+ dyxydxyx . Resolução: Resposta: ( ) ( ) ( ) 444 4 4 14 4 ln4 4 1 ln 4 1 ln CxxxyC x y xC x y xu +=⇒=−⇒+−= 34 ESTUDO DIRIGIDO 4ª ATIVIDADE 1) Verifique se a equação diferencial ordinária abaixo são exatas, se não transforme-as em exatas e encontre a solução geral de cada equação pelo método das exatas, para ( )xfy = . a) ( ) 0xydy2dxyx 22 =++ b) ( ) 0xdydxxy2 3 =+− c) ( ) 0dyxdxyxy 2 =++ 35 36 39 SEÇÃO 6 A) EQUAÇÕES LINEARES DE 1a ORDEM Equação Diferencial de 1a Ordem Toda Equação Diferencial de 1a Ordem ( ) ( )M x y dx N x y dy, ,+ = 0 é dita linear se ela puder ser transformada na forma ( ) ( )xryxf dx dy =+ . Tipos de Equações Diferenciais Lineares 1) Equação diferencial linear homogênea Uma equação diferencial linear de 1a Ordem é homogênea se 0)x(r = , isto é, ( ) 0yxf dx dy =+ , assim pelo método da separação de variáveis, tem-se: ( ) ( ) ( )yxf dx dy 0yxf dx dy 0yxf dx dy −=⇒=+⇒=+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫−=⇒+−=⇒−= ∫ dxxfCeyCndxxfyndxxf y dy ll , isto é, hCey −= , onde ∫= dx)x(fh Exemplo: 0y dx dy x 1 =+ Resolução: Resposta: 2 2x Cey − = 40 2) Equação diferencial linear não homogênea Supondo a equação diferencial linear não homogênea de 1a Ordem. ( ) )x(ryxf dx dy =+ , então, ( ) ( ) ( )[ ])x(ryxf dx dy 0)x(ryxf dx dy )x(ryxf dx dy −−=⇒=−+⇒=+ ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) 0dyy,xNdxy,xM0dx)x(ryxfdydx)x(ryxfdy =+⇒=−+⇒−−= onde ( ) ( ) ( ) 1y,xNe)x(ryxfy,xM =−= , portanto, ( ) 0 x N exf y M = ∂ ∂ = ∂ ∂ , ou seja, é uma equação não exata, porém, como ( )xf x N y M N 1 =      ∂ ∂ − ∂ ∂ , então ( ) ( )dxxf exF ∫= é fator integrante da equação, e esta pode ser transformada em exata. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]dx)x(ryxfedyee)x(ryxf dx dy )x(ryxf dx dy dxxfdxxfdxxf −∫+∫⇒∫      =+⇒=+ ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxfdxxf ey,xNe)x(reyxfe)x(ryxfey,xM ∫=∫−∫=−∫= , portanto ( ) ( ) ( ) ( )dxxfdxxf exf x N eexf y M ∫∫ = ∂ ∂ = ∂ ∂ , ou seja, é uma equação exata, e sua solução será ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )∫∫∫ +∫+∫=+∂−∫= )y(kdx)x(redxxfey)y(kx)x(ryxfey,xu dxxfdxxfdxxf . Assim, a solução da Equação Diferencial será a função ( )y,xu ( ) ( ) ( ) ∫ +∫+∫= )y(kdx)x(reyey,xu dxxfdxxf onde para obter-se )y(k deriva-se ( )y,xu . ( ) ( ) )y(k dy d dx)x(re dy d ye dy d y u dxxfdxxf +    ∫+    ∫= ∂ ∂ ∫ ( ) N)y(k dy d e y u dxxf =+∫= ∂ ∂ ( ) ( )dxxfdxxf e)y(k dy d e ∫=+∫ ( ) ( ) 1 dxxfdxxf C)y(k0ee)y(k dy d =⇒=∫−∫= donde ( ) ( ) ( ) ∫ ++== ∫∫ 1 dxxfdxxf 0 Cdx)x(reyeCy,xu 41 ( ) ( ) ∫ += ∫∫ Cdx)x(reye dxxfdxxf ( ) ( ) ( ) ( )     +∫∫=    +∫ ∫ = ∫∫ − Cdx)x(reeCdx)x(re e 1 y dxxfdxxfdxxf dxxf isto é, { }∫ += − Cdx)x(reey hh , onde ( )dxxfh ∫= Exemplo: Determine a solução geral da equação diferencial: 2xey dx dy x 1 =+ . Resolução: Resposta: 2 2 2 x x eCey += 44 SEÇÃO 7 B) EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 2a ORDEM Uma equação diferencial é dita de 2a ordem quando ela puder ser escrita na forma: ( ) ( ) d y dx f x dy dx f x y r x 2 2 1 2+ + = ( ) . Métodos de resolução: 1) Quando a equação diferencial ordinária é linear e homogênea a coeficientes constante: Uma Equação Diferencial Ordinária de 2a Ordem linear e homogênea, a coeficientes constante, pode ser escrito na forma: d y dx a dy dx b y 2 2 0+ + = , onde ( )f x a1 = , ( )f x b2 = e ( )r x = 0 Então, a escolha para uma eventual solução é baseada na solução da Equação Diferencial linear e homogênea de 1a Ordem. Assim, supõe-se uma solução do tipo: ( )y x e x= λ , então derivando esta suposta solução duas vezes: dy dx e x= λ λ , d y dx e x 2 2 2= λ λ e substituindo as na equação, obtém-se: λ λλ λ λ2 0e a e bex x x+ + = ⇒ ( )λ λ λ2 0+ + =a b e x ∴ ( )λ λ2 0+ + =a b , denominada Equação Característica, e que tem como solução ( ) ( )     −−−=λ −+−=λ b4aa 2 1 b4aa 2 1 2 2 2 1 , Donde podemos analisar três Casos: Caso I: duas raízes reais distintas, isto é, λ λ1 2≠ ∈R Caso II: duas raízes reais iguais, isto é, λ λ1 2= ∈R Caso III: duas raízes Complexas distintas, isto é, λ λ1 2≠ ∈Z 45 Caso I: Quando a Equação Característica possui duas raízes reais distintas, isto é, λ λ1 2≠ ∈R a solução da Equação Diferencial de 2a Ordem é linear e homogênea, a coeficientes constante, será do tipo: ( )y x c e c ex x= +1 21 2 λ λ . Exemplo: ( ) 3 dx dy e30ypara0y2 dx dy dx yd 0x 2 2 ===−+ = Resolução: Resposta: ( )y x e ex x= + −2 2 46 Caso II: Quando a Equação Característica possui duas raízes reais iguais, isto é, R∈== λλλ 21 a solução da Equação Diferencial de 2a Ordem é linear e homogênea, a coeficientes constante, será do tipo: ( ) xexccxy λ)( 21 += . Exemplo: ( ) 4 dx dy e10ypara0y16 dx dy 8 dx yd 0x 2 2 ===++ = Resolução: Resposta: ( ) xexxy 4)81( −+= 49 SEÇÃO 8 2) Quando a equação diferencial ordinária linear, de 2a ordem a coeficientes constante, é não homogênea: Uma equação diferencial ordinária linear, de 2a Ordem a coeficientes constantes, não homogênea, pode ser escrita na forma: ( )xryb dx dy a dx yd =++ 2 2 , onde ( )f x a1 = e ( )f x b2 = Então, o método dos coeficientes a determinar é o método normalmente empregado para obter a solução é baseada na solução. A vantagem deste método é que ele é mais simples que o método geral e a desvantagem é que ele não é aplicável para certas equações lineares a coeficientes não constantes. O método é freqüentemente aplicado à engenharia. Este método é adequado para equações lineares a coeficientes constantes, isto é, para equações do tipo: ( ) ( ) d y dx f x dy dx f x y r x 2 2 1 2+ + = ( ) , onde ( )f x a1 = , ( )f x b2 = e ( ) 0≠xr onde ( )xr é tal que a forma de uma solução particular ( )xyp da equação anterior pode ser prognosticada, por exemplo, ( )xr pode ser uma potência única de x , um polinômio, uma exponencial, um seno, um cosseno, ou uma soma de tais funções. O método consiste em imaginar para ( )xyp uma expressão semelhante à de ( )xr , contendo coeficientes incógnitos que são determinados substituindo ( )xyp e suas derivadas na equação original. Exemplos a) 124 2 2 =+ y dx yd Resolução: 50 Resposta: ( ) ( ) ( ) ( ) 32sen2cos ++=+= xBxAxyxyy ph . b) 2 2 2 84 xy dx yd =+ Resolução: Resposta: ( ) ( ) ( ) ( ) 142sen2cos 2 −++=+= xxBxAxyxyy ph . 51 EXERCÍCIOS: 1) Determinar a solução geral das Equações Diferenciais Lineares Homogêneas de 2a Ordem a coeficientes constantes (equação Característica), dadas a seguir, pelo método proposto para resolver este tipo de equações. a) d y dx y 2 2 36 0+ = Resposta: ( ) ( )xBxAy 6sen6cos += b) d y dx dy dx 2 2 0− = Resposta: y C C e x= +1 2 c) d y dx dy dx y 2 2 2 0+ − = Resposta: y C e C e x x= + −1 2 2 d) 0127 2 2 =+− y dx dy dx yd Resposta: xx eCeCy 42 3 1 += e) 044 2 2 =+− y dx dy dx yd Resposta: ( ) xexCCy 221 += f) 0102 2 2 =++ y dx dy dx yd Resposta: ( ) ( )[ ]x3Bsenx3cosAey x += − 3) Determinar a solução geral das Equações Diferenciais Lineares Não - Homogêneas de 2a Ordem a coeficientes constantes, dadas a seguir, pelo método proposto para resolver este tipo de equações. a) 25 2 2 +=− xy dx yd Resposta: 2521 −−+= − xeCeCy xx b) 14 2 2 +=− xy dx yd Resposta: 4 1x eCeCy x22 x2 1 + −+= − c) ( )xy dx dy dx yd 2sen82 2 2 =−+ Resposta: ( ) ( )[ ]xxeCeCy xx 2cos22sen6 5 12 21 +−+= − d) xy dx dy dx yd =+− 127 2 2 Resposta: 144 7124 2 3 1 + ++= x eCeCy xx e) ( )12 2 2 2 ≠=+− aeya dx dy a dx yd x Resposta: ( ) ( )221 1− ++= a e exCCy x ax f) xey dx dy dx yd 2 2 2 56 =++ Resposta: x2x52 x 1 e21 1 eCeCy ++= −− 54 55 SEÇÃO 9 APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS As Equações Diferenciais são aplicadas em: a) Problemas Geométricos Exemplo 1) Determine uma curva que seja definida pela condição de ter um todos os pontos )y;x( a inclinação dx dy igual ao dobro da soma das coordenadas do ponto. Se )x(yy = é a equação da curva, então, para resolver este problema devemos resolver a equação diferencial: )yx(2 dx dy += 2) Um funil com água possui um ângulo o60=θ , sua abertura possui 25,0 cm . No instante 0=t , a saída é aberta e a água escoa, segundo a lei de Torricelli: a velocidade com que a água escorre por um orifício ghv 26,0= , para 2/980 scmg = , onde g é o valor da aceleração média da gravidade na superfície da Terra e h a altura do líquido a cada instante. Determine o tempo em que o funil ficará vazio, supondo que o nível inicial da água é ( ) cmh 100 = . Resolução: ⇒ h∆ r 2 θ ( )th ( )th θ 56 Resposta: st 10≈ . 59 nos seres vivos é a mesma que na atmosfera. Na atmosfera esta relação é estável há muitos anos; os organismos mortos, em processo de decomposição perdem 14C como resultado do decaimento radioativo e não o regeneram através da dieta. O azoto que a atmosfera ganha dos organismos em decomposição é transformado novamente em 14C pelos raios cósmicos, nas camadas superiores. Uma comparação do conteúdo de carbono 14 de um organismo morto, por exemplo, madeira obtida de uma árvore, com o conteúdo existente num organismo vivo da mesma espécie, permite determinar a data da morte do organismo, com uma boa precisão quando o tempo envolvido for da ordem de grandeza da meia-vida do carbono 14. e) Trajetórias ortogonais Uma equação da forma cyxf =),( onde c é uma constante, define uma família de curvas. As trajetórias ortogonais são outra família de curvas que intersectam a primeira família em forma ortogonal: em cada ponto de uma das curvas da primeira família passa uma curva da segunda família, formando um ângulo de 90°. Para encontrar a família de trajetórias ortogonais às curvas f(x,y) = c, começamos por encontrar uma equação diferencial cuja solução geral seja f(x,y) = c; essa equação encontra-se derivando implicitamente a equação anterior y f x f dx dy dx dy y f x f ∂ ∂ ∂ ∂ −=⇒= ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 A derivada dx dy representa em cada ponto o declive da curva que passa por esse ponto. O declive da curva ortogonal será o inverso, com sinal trocado x f y f dx dy ∂ ∂ ∂ ∂ = a solução geral desta equação é a família de trajetórias ortogonais. Exemplo: Encontre as trajetórias ortogonais da família de círculos com centro na origem. A equação dos círculos com centro na origem é 222 cyx =+ onde o parâmetro c pode ter qualquer valor positivo a equação diferencial cuja solução geral é essa família de círculos obtém-se por derivação implícita dy dx dx dy yyx −=⇒=+ 0'22 e a equação diferencial das trajetórias ortogonais é 60 x y dx dy = . A solução desta equação de variáveis separáveis é axy = que corresponde a uma família de retas que passam pela origem; a constante de integração é declive das retas. A figura ao lado mostra a família de curvas e as trajetórias ortogonais. Família de círculos com centro na origem e trajetórias ortogonais. f) Problemas de aquecimento e arrefecimento Outra aplicação das equações diferenciais de primeira ordem são os problemas de aquecimento e arrefecimento. Entre dois corpos em contacto existe transferência de calor por condução, do corpo mais quente para o mais frio. Se a temperatura do objeto em qualquer instante é T(t) e a temperatura do meio ambiente é M(t), o aumento da temperatura do objeto em qualquer instante será diretamente proporcional à diferença de temperatura com o meio ambiente )( TMk dt dT −= onde k é uma constante de condução térmica. Esta equação é uma equação linear que pode ser facilmente resolvida uma vez conhecida a temperatura do meio M(t). O caso mais simples é quando a temperatura do meio ambiente é constante; nesse caso a equação é de variáveis separáveis ∫∫ −−+=⇒+= − kteMTMTCkdt TM dT )( 0 onde 0T é a temperatura inicial. A temperatura do objeto aproxima-se assintoticamente à temperatura do meio. 61 g) Cinética química Consideremos uma reação química de primeira ordem na qual um composto A reage dando origem a outros dois compostos B e C CBA +→ . Cada molécula do composto A tem uma determinada probabilidade de reagir por unidade de tempo. Assim, o número de moléculas que reagem por unidade de tempo é diretamente proporcional ao número de moléculas existentes, e a velocidade da reação é diretamente proporcional à concentração [A] do composto A (admitindo um volume constante). A medida que o composto reage, a sua concentração diminui e a velocidade de reação também; em qualquer instante a taxa de diminuição de [A] é diretamente proporcional a [A] [ ] [ ]Ak dt Ad −= . Este tipo de reação designa-se de reação de primeira ordem. A equação anterior é a mesma equação obtida para o decaimento radioativo, já que o mecanismo das reações de primeira ordem e do decaimento radioativo são análogos, a nível atômico e nuclear. Consideremos agora uma reação na qual dois reagentes A e B combinam-se formando um composto C CBA →+ . Cada molécula de A tem uma determinada probabilidade c de reagir com uma molécula de B (por unidade de tempo); na presença NB moléculas do composto B, a probabilidade de reagir que tem cada molécula de A é cNB. Assim o número médio de reações por unidade de tempo é c NANB, sendo NA e NB o número de moléculas de A e B existentes nesse instante; este será também o aumento do numero de moléculas do composto C, NC, por unidade de tempo: BA C NcN dt dN = Em função das concentrações dos compostos A, B e C, a equação diferencial obtida é ))(( xbxak dt dx −−= onde x é a concentração do composto C e a e b as concentrações iniciais de A e de B. Este tipo de reações são de segunda ordem. Exemplo Problema de evaporação Uma esfera de naftaleno tem um raio inicial de 1 cm e depois de três meses observa-se que o raio diminuiu 64 Formulário Derivadas DERIVADAS )( xf )(' xf k 0 x 1 z v u −+ ' ' ' zvu −+ vu. vuvu '.'. + mxa. 1.. −mxma v u 2 '.'. v vuuv − ( ){ }xuv )(''. uvu mu 1.'. −mumu ua a ln.'. uau ualog eu u alog ' u sen u cos'.u u cos u '.senu− u tg u sec'. 2u u cot g u cos'. 2ecu u sec u .sec'. tguu u cosec u cot. cos'. guecu− usenarc 21 ' u u − usarc co 21 ' u u − − utgarc 21 ' u u + uarc cotg 21 ' u u + − uarc sec 1. ' 2 −uu u uarc secco 1. ' 2 − − uu u 65 Integrais 1) 1nc 1n u duu 1n n −≠+ + = + ∫ 2) ( ) ( ) cun dxdu 1 u du +=∫ l 3) ( ) ce dxdu 1 due uu +=∫ 4) ( ) ( ) 1ae0ac an a dxdu 1 dua u u ≠>+=∫ l 5) ( ) ( ) cxdxx +−=∫ ωω ω cos 1 sen 6) ( ) ( ) cxdxx +=∫ ωω ω sen 1 cos 7) ( ) ( ) cxaxlnxdxaxln +−=∫ 8) ( ) ( ) ( ) cxcosncxsecndxxtan +−=+=∫ ll 9) ( ) ( ) cxsenndxxcot +=∫ l 10) ( ) ( ) ( ) cxxndxx ++=∫ tansecsec l 11) ( ) ( ) ( ) cxcotxcscndxxcsc +−=∫ l (“ cot ” é a cotangente e “ csc ” é a cossecante) 12) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] cxxxcxxdxx +−=+−=∫ cossen2 1 4 2sen2 sen 2 13) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] cxcosxsenx 2 1 c 4 x2senx2 dxxcos 2 ++=+ + =∫ 14) ( ) ( ) cxxdxx +−=∫ tantan 2 15) ( ) ( ) cxxdxx +−−=∫ cotcot 2 16) ( ) ( ) cxdxx +=∫ tansec 2 17) ( ) ( ) cxdxx +−=∫ cotcsc 2 18) ( ) ( ) ( ) cxdxxx +=∫ sectansec 19) ( ) ( ) ( ) cxdxxx +−=∫ csccotcsc 20) ( ) ( ) cxa a dxxa +=∫ cosh 1 senh 66 21) ( ) ( ) cxa a dxxa +=∫ senh 1 cosh 22) ( ) ( ) cxndxx +=∫ coshtanh l 23) ( ) ( ) cxndxx +=∫ senhcoth l 24) ( ) ( )[ ] ( ) cecxdxxh x +=+=∫ arctan2tanharcsensec 25) ( ) ( ) cearccxndxxh x +=+      =∫ cot2 tanhsec l 26) c a x aax dx +      = +∫ arctan 1 22 27) 22 22 coth 1 2 1 axc a x arc a c ax ax n aax dx >+      −=+ + − = −∫ l 28) 22 22 arctan 1 2 1 ax a x h aax ax n axa dx <      = − + = −∫ l 29) c a x xa dx +      = − ∫ arcsen22 30) c a x hcaxxn ax dx +      =+++= + ∫ arcsen 22 22 l 31) caxxn ax dx +−+= − ∫ 22 22 l 32) c a x arc aaxx dx += − ∫ sec 1 22 33) c x axa n aaxx dx + ++ −= + ∫ 22 22 1 l 34) c x xaa n axax dx + −+ −= − ∫ 22 22 1 l 35) cxa a x xdx a x +−+      =      ∫ 22arcsenarcsen 36) cxa a x xdx a x +−−      =      ∫ 22arccosarccos
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