Resolução dos exercicios do Halliday

Resolução dos exercicios do Halliday

(Parte 1 de 2)

Versão preliminar 6 de setembro de 2002

02. VETORES E ESCALARES2
UM POUCO DE TRIGONOMETRIA2
MÉTODO GEOMÉTRICO2
MÉTODO ANALÍTICO3
MULTIPLICAÇÃO DE VETORES3
Multiplicação de um vetor por um escalar4
Produto escalar4
Produto vetorial5
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS7
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Prof. Romero Tavares da Silva

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02. Vetores e escalares

Algumas grandezas físicas ficam completamente definidas quando informamos um número e uma unidade. Quando dizemos que a temperatura de uma pessoa é 370C a informação está completa. A temperatura é uma grandeza escalar. Se dissermos que a velocidade de um automóvel é de 50km/h não definimos completamente a informação. Não foi dito em que direção e sentido esse corpo se movimentava. A necessidade dessa informação complementar - direção e sentido - caracteriza a velocidade como um vetor.

Os vetores são representados por setas, e costuma-se representar um vetor com módulo maior que outro por uma seta de tamanho maior. Usamos basicamente de dois modos de representar os vetores, o método geométrico e o método analítico.

Um pouco de trigonometria

Vamos considerar um triângulo retângulo com hipotenusa a e catetos b e c respectivamente. O teorema de Pitágoras diz que: a2 = b2 + c2

As funções seno e cosseno são definidas como:

αθ cossen == a αθ sencos == a

E do Teorema de Pitágoras, encontramos que: 1cossen 2 =+θ α ααθθθ sen coscottancos

ca

θ b

Método geométrico

A força é uma grandeza vetorial.

No método geométrico, a visualização dos vetores fica mais óbvia, mas não é adequado para a operações com diversos vetores.

Quando consideramos duas forças atuando sobre um dado corpo, o efeito resultante será igual à atuação de uma única força que seja a soma vetorial das duas forças mencionadas.

A soma desses dois vetores pode ser efetuada usando-se a regra do paralelogramo.

Método geométrico

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Método analítico

O método analítico consiste basicamente em definir um sistema de coordenadas cartesianas e decompor os vetores segundo as suas componentes nestes eixos.

Vamos considerar um sistema de coordenadas bidimensional, definido pelos eixos x e y , como mostrados na figura ao lado. O vetor a! tem compo- nentes cartesianas ax e ay que tem a forma:

ax = a . cosθ ay = a . senθ

Ou de maneira inversa:

xya a =θtan ay θ

axx

Uma maneira de representar vetores é através de suas componentes num dado sistema de coordenadas, como foi antecipado na figura anterior. Desse modo:

onde jei são vetores unitários (ou versores) que apontam nas direções dos eixos x e y respectivamente e têm módulos iguais a um.

A soma de dois vetores será então definida como:

() () yx yx yx bajbaic bjbib e ajaia ondebac +++=⇒ yx bac e bac ondecjcic !

Multiplicação de vetores

As operações com vetores são utilizadas de maneira muito ampla na Física, para expressar as relações que existem entre as diversas grandezas.

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Multiplicação de um vetor por um escalar

Sejam dois vetores a! e b! e um escalar k. Defi- nimos a multiplicação mencionada como:

O vetor ak! tem a mesma direção do vetor a! . Terá mesmo sentido se k for positivo e sentido contrário se k for negativo.

a! ak

Define-se o produto escalar de dois vetores a!

Produto escalar e b! como a operação:

onde ϕ é o ângulo formado pelos dois vetores.

Podemos dizer que o produto escalar de dois vetores é igual ao módulo do primeiro vezes a componente do segundo no eixo determinado pelo primeiro, ou vice-versa. Isso pode-se resumir na propriedade :

Uma aplicação do produto escalar é a definição de trabalho W executado por uma força constante que atua ao longo de um percurso d:

Usando o conceito de vetor unitário encontramos que:

e de modo equivalente:

ij y
x

Podemos utilizar a decomposição de um vetor segundo as suas componentes cartesianas e definir o produto escalar:

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Cap 02 romero@fisica.ufpb.br 5 e portanto:

zyx babababa ++=⋅ !!

Fica fácil perceber que:

Como ϕcosbaba=⋅ !! , temos que

.cos=ϕ , e assim poderemos calcular o ângulo entre os dois vetores, em função de suas componentes cartesianas:

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