Apostila sobre números complexos

Apostila sobre números complexos

ELETROTECNICA Impedancia

1N umeros complexos

As equacoes algebricas do tipo x2 =- 3n ao possuem solucoes no campo dos numeros reais. Tais equacoes podem ser resolvidas somente com a introducao de uma unidade imaginaria ou operador imaginario, que representamos pelo sımbolo j. Por definicao j = p−1. O produto de um numero real por um operador imaginaria e chamado de numero imaginario e a soma de um numero real e um numero imaginario e chamada numero complexo. Assim, um numero com a forma a+ jb, onde a e b sao numeros reais, eu m numero complexo. O numero complexo e representado por:

O numero complexo A e descrito como tendo uma componente real a e uma componente imaginaria b, que podem ser representadas por:

A componente imaginaria de A nao e jb. Por definicao, a componente imaginaria eu m numero real. Como qualquer numero complexo e completamente caracterizado por um par de numeros reais, podemos representa-lo num sistema de coordenadas cartesianas como mostra a Figura 1.

Eixo imaginário j4 j3 j2 j1

-j1 -j2

-j3

-j4

Plano complexo A(3,1)

B(2,3) Figura 1 - Representação de números complexos

ou

diagrama de Argand

2F ASORES 2

1.1 Formas de representacao dos numeros complexos Existem quatro formas de representacao dos numeros complexos:

1. Forma retangular ou cartesiana 2. Forma exponencial 3. Forma polar 4. Forma trigonometrica

Os numeros complexos representados pela Equacao 1 estao na forma retangular ou cartesiana. Para representar na forma exponencial utilizamos a identidade de Euler,o u seja:

ejθ = cosθ + jsenθ (4) Multiplicando ambos os membros da identidade de Euler pelo numero real, A temos:

Aejθ = Acosθ + jAsenθ (5) Comparando a Equacao 5 com a Equacao 1 temos:

Asenθ = b (7) Elevando as Equacoes 6 e 7 ao quadrado e somando, temos:

Dividindo a Equacao 7p elaE quacao 6:

A representacaode um numero complexo na forma polar e essencialmente a mesma da forma exponencial, exceto por uma pequena diferenca de simbologia, ou seja:

A = A6 θ (12) O segundo membro da Equacao 5 eap ropria representacao na forma trigonometrica.

2 Fasores Sejam:

A representacao grafica das Equacoes 13 e 14 e dada na Figura 2, e conforme vimos no topico anterior

(Circuitos RC e RL series) trata-se de um circuito RL, que passaremos a chama-lo de circuito indutivo.

Aa nalise de um circuito de corrente alternada seria muito trabalhosa se tivessemos que recorrer sempre a este tipo de grafico. Assim, o metodo fasorial vem facilitar bastante a analise. Sabemos que:

2F ASORES 3 v, i i v

Figura 2 - Tensão e corrente instantâneas num circuito indutivo e, por definicao: <e[Aejθ]= Acosθ (16)

=m[Aejθ]= Asenθ (17) A partir destas definicoes a Equacao 13 pode ser reescrita por:

Da mesma maneira, a Equacao 14 pode ser escrita sob a forma:

As quantidades Vp2 e Ip2 e−jϕ sao definidas respectivamente por fasor de tensao e fasor de corrente.

Portanto:

Entao, a representacao por diagrama fasorial ed adan aF igura 3.

Figura 3 - Diagrama fasorial de um circuito indutivo

Considerando a tensao como referencia e efetuando um desenvolvimento analogo para um circuito RC (circuito capacitivo)o btem-se o fasor da corrente dado pela Equacao 24:

cujo diagrama fasorial e mostrado na Figura 4.

Figura 4 - Diagrama fasorial de um circuito capacitivo

Vale ressaltar que:

om etodo fasorial soe aplicavel as funcoes senoidais; os modulos dos fasores V e I sao valores eficazes ( Vef e Ief); todas as propriedades dos vetores sao aplicaveis nos fasores.

3 Impedancia

A funcao impedancia, ou simplesmente impedancia,ear elacao entre os fasores da tensao e da corrente. Portanto:

Para um circuito indutivo, teremos:

AE quacao 27 representa a impedancia na forma exponencial. As representacoes nas outras formas sao dadas a seguir:

Z = Zcosϕ + jZsenϕ (29) Considerando:

XL = Zsenϕ (31) A representacao na forma retangular e dada por:

onde R e a resistencia e XL ea reatancia indutiva. O valor da reatancia indutiva XL depende da frequencia e da indutancia, assim:

Um desenvolvimento analogo para um circuito capacitivo resulta a funcao impedancia dada pela Equacao 34:

que colocadas nas outras formas teremos: Z = Z6 − ϕ (35)

Z = R −jXC (37) XC representa a indutancia capacitiva e depende da frequencia e da capacitancia, assim:

AE quacao 38 e aplicavel quando a capacitancia C ed adae m Farad. Para C em µFarad temos:

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