teorema de euler

Vasco Simões ISIG 2002

Funções Homogéneas – Teorema de Euler

1. Definição

Considere-se a função ),,...(1nxxf : RRna. Diz-se que f é Homogénea de grau p se

Uma propriedade importante das funções homogéneas é o facto de que se conhecermos o valor da função num ponto P, então conhecemos o valor da função em qualquer ponto P’ que tenha

2. Teorema de Euler para funções homogéneas

Outra propriedade importante das funções homogéneas é a que vamos expor de seguida. Seja então RRfna: homogénea de grau p. Então

Vasco Simões ISIG 2002 p n

i i xxfpx e como esta relação deve ser válida para qualquer l real, se 1=l fica

i i xxfpx x

Acabámos assim de demonstrar o chamado Teorema de Euler para funções homogéneas:

i i xxfpx x

Podemos agora estudar a homogeneidade das derivadas de f. Para tal vamos derivar em ordem a jx a expressão anterior:

xxfx xf x ¶ j n i i jijjj x f px x fx f x

j n i i jijj x f px x fx f x j n i i jijjj x f px xf xxf x ¶ jn i i ij x f px xf x ¶ que é a expressão do Teorema de Euler para a função jxf¶

¶ , e portanto pode concluir-se que se f é

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2. Consequências do Teorema de Euler

2.1. Expoente simbólico

Chama-se “Expoente Simbólico” [ e indica-se entre parêntesis ] ao operador que quando aplicado a uma função, funciona como um expoente vulgar para escalares, mas funciona como operador de derivação para funções e suas derivadas. Por exemplo

fd x

fd x

e ÷ łö ç Łæ ¶ f y f x f y f x f y yfx f xy f x f y f x f y f x f y f x

e:

f y f xy f x f y f x f y f x f y f x onde se usou o símbolo à para distinguir a operação efectuada do produto usual.

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2.2. Operadores

Chama-se Operador, a uma regra operatória. Por exemplo, dx d é o operador de derivação. Por si só não tem qualquer significado, mas quando aplicado a uma função )(xf, transforma-a na sua derivada. Outro exemplo de operador é o Gradiente

¶ dyfx f f dyx yxf

dyx quando aplicado á função f transforma-a num vector cujas componentes são as derivadas parciais de f, vector esse que se chama gradiente de f.

i i x xE 1

Então, se f : RRna for homogénea de grau p, tem-se, pelo Teorema de Euler fpfE= Vejamos agora o que sucede se aplicarmos duas vezes o operador E.

== fEfEE 2 fxxx x i i i

i i j j j i n i i i i i x x fx x fxxx

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¶= ni nj ni j i iji jijjii x fxxf x fxxx fxxx

j i ji ji x f x f x f x j i ji i i x x fxxx repare-se agora que o primeiro somatório é o operador de Euler aplicado á função f, e o segundo somatório é o expoente simbólico (2) de fE, temos portanto que

fp y f y f xfE = e tornando a aplicar o operador E em ambos os membros fica: fEpfEE= isto é:

fpp y f y f x f y f xy

Poderíamos continuar a aplicar o operador E, e um raciocínio semelhante mas cada vez mais trabalhoso levaria ao seguinte resultado

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· Se RRfna: é homogénea de grau p, então

fNppp x f x

N n

N factores