Baixe Caculo - de - Vigas e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 1 3 – Cálculo das Vigas 3.1 Introdução Dando seqüência ao projeto do edifício exemplo, partiremos agora para o cálculo e dimensionamento das vigas. 3.1.1 Ações As ações geram solicitações nas estruturas. Estas solicitações são determinadas através de teorias de cálculo estrutural. No caso geral, tem-se: F = Fk → Fd = γf Fk → Sd ou, em estruturas de comportamento linear, F = Fk → Sk → Sd = γf Sk . No caso da flexão simples, tem-se: Fd → Md. 3.1.2 Resistências As resistências são determinadas através de teorias apropriadas, a partir dos dados da seção transversal e das características mecânicas dos materiais. No caso da flexão simples tem-se, como dados: fck (resistência do concreto); fyk (resistência da armadura); e dimensões relativas da seção transversal (concreto e armadura). Através de teoria apropriada determina-se o momento resistente último, Mu 3.1.3 Verificações de Segurança Existe segurança adequada quando é verificada a condição: Md ≤ Mu. Por razões de economia, faz-se Md = Mu. ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 2 3.1.4 Tipos de Ruptura na Flexão Em geral, tem-se o seguinte tipo de ruptura: se As = 0, ou muito pequena ⇒ ruptura frágil (brusca) por tração no concreto; se As for muito grande (pequena deformação εs)⇒ ruptura frágil (brusca) por esmagamento do concreto comprimido; e se As for “adequada” ⇒ ruptura dúctil (com aviso), com escoamento da armadura e acompanhada de intensa fissuração da zona tracionada 3.2 Hipóteses de Cálculo na Flexão Para o dimensionamento usual das vigas em concreto armado, deve-se respeitar as seguintes hipóteses de cálculo: a) Manutenção da seção plana ; As seções A e B passam para A’ e B’, quando fletidas, permanecendo planas conforme a figura a seguir: b) Aderência perfeita entre concreto e armadura; Inexiste qualquer escorregamento entre os materiais, em outras palavras, a deformação da armadura εs é admitida igual à deformação da fibra de concreto εc , junto a esta armadura. c) Tensão no concreto nula na região da seção transversal sujeita a deformação de alongamento; d) Diagramas tensão-deformação (de cálculo) no aço aço de dureza natural: este aço apresenta patamar de escoamento conforme a figura d1. ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 5 Sendo: d = altura útil da seção = distância do CG da armadura à borda comprimida x = altura da zona comprimida (medida a partir da borda comprimida) Diz-se que o diagrama de deformação do tipo 2 está no domínio de deformação 2 quando a altura da zona comprimida obedece à condição: x ≤ x23 = 0,0035 d / (0,0035 + 0,010) = 0,259 d Por sua vez, o diagrama de deformação encontra-se no domínio 3 de deformação quando a altura da zona comprimida obedece à condição: x23 ≤ x ≤ x34 = 0,0035 d / (0,0035 + εyd) Analogamente, o diagrama de deformação está no domínio 4 quando: x34 ≤ x ≤ d. A seção que atinge o ELUlt. nos domínios D2 e D3 é dita sub-armada ou normalmente armada. Quando o ELUlt. é atingido no D4, a seção é dita superarmada. Trata-se de situação antieconômica, pois a armadura não é explorada na sua plenitude. Procura-se evitar o dimensionamento neste domínio. 3.3 Dimensionamento à Flexão 3.3.1 Seção Retangular à Flexão A seção retangular com armadura simples é caracterizada da seguinte forma: a zona comprimida da seção sujeita a flexão tem forma retangular; a barras que constituem a armadura está agrupada junto à borda tracionada e pode ser imaginada concentrada no seu centro de gravidade Resultantes das tensões: no concreto: Rcd = 0,85⋅fcd⋅b⋅0,8⋅x = 0,68⋅b⋅x⋅fcd na armadura: Rsd = As⋅σsd h d b x 0,8x 0,85fcd Rc Rsd 0,4 d - 0,4x Mud As εu σsd ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 6 Equações de equilíbrio: Força: Rcd = Rsd ou 0,68⋅b⋅x⋅fcd = As⋅σsd (1) Momento: Mud = Rcd ⋅ (d-0,4⋅x) ou Mud = Rsd ⋅ (d - 0,4⋅x) Substituindo o valor das resultantes de tensão, vem: Mud = 0,68⋅b⋅x⋅fcd⋅(d - 0,4⋅x) (2) Ou Mud = As⋅σsd⋅(d - 0,4⋅x) (3) Nos casos usuais de dimensionamento, tem-se b, fcd e faz-se Mud = Md (momento fletor solicitante em valor de cálculo). Normalmente, pode-se adotar d ≅ 0,9 h. Dessa forma, a equação (2) nos fornece o valor de x: x d M bd f d cd = − −      1 25 1 1 0 425 2 , , Com o valor de x, tem-se o domínio de deformação correspondente, podendo ocorrer as seguintes situações: I) domínio 2, onde x≤ x23 = 0,259 d; e σsd = fyd II) domínio 3, onde x23 ≤ x ≤x34 = 0,0035 d / (0,0035 + εyd); e σsd = fyd III) domínio 4, se x ≥ x34; neste caso, convém alterar a seção para se evitar a peça superarmada; esta alteração pode ser obtida da seguinte forma: ⇒ aumentando-se h (normalmente, b é fixo pois depende da espessura da parede onde a viga é embutida); ⇒ adotando-se armadura dupla. Obs.: o aumento da resistência do concreto (fck), também permitiria fugir do domínio 4. Para a situação adequada de peça sub-armada tem-se, σsd = fyd . Assim, a equação (3) nos fornece )x4,0d(f M )x4,0d( MA yd d sd d s − = −σ = 3.3.2 Seção “T” Para o cálculo de uma viga de seção “T,” deve-se inicialmente determinar uma largura que contribui para resistir ao esforço solicitante. Esta largura de contribuição da mesa, bf, mostrada na figura a seguir. ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 7 Figura 3.3.2.1 Onde:      ≤ /2b a/10 balanco) em laje para (6h h 8 b 2 ff 1 onde      = contínua viga de interno vao em 0,6 contínua viga de extremo vao em 0,75 isostatica viga em a l l l sendo l o vão correspondente da viga. Se a altura comprimida (0,8 x) for menor ou igual à espessura da laje (hf), tem-se uma seção retangular com armadura simples, já vista. Quando x for maior do que hf, a forma da zona comprimida (sujeita à tensão 0,85fcd) tem a forma de um “T”. A análise da seção pode ser feita como se indica a seguir. Figura 3.3.2.2 O problema pode ser equacionado subdividindo a zona comprimida em retângulos (1 e 2). As resultantes de tensão sobre as partes 1 e 2 valem: Resultante do concreto na aba colaborante: Rcfd = 0,85 fcd (bf - bw) hf (1) Resultante do concreto na alma: Rcwd = 0,85 fcd bw (0,8 x) (2) bf bw Rsd d hf Mud 1 1 2 x 0,8x 0,85fcd Rcfd Rcwd εu As As bf b1 bw hf 0,8 εu 0,85fc0,85fcd Mud ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 10 Com x = x, tem-se, no domínio 3, εc = 0,0035 e no domínio 2: εc = 0,010 x / (d – x) (por semelhança de triângulos). Logo: ε’s = εc (x - d’) / x que permite obter σ’sd (no diagrama σ x ε da armadura). Finalmente: A’s = R’sd / σ’sd e As = As1 + As2. 3.4 Dimensionamento ao Cisalhamento 3.4.1 Modelo Simplificado para o Comportamento da viga (treliça básica de Mörsch) O panorama de fissuração, que se implanta na viga por ocasião da ruptura, sugere um modelo em forma de treliça para o seu esquema resistente (fig. 3.4.1.1). Esta treliça é constituída de banzos paralelos ao eixo da viga (banzo superior comprimido de concreto, e banzo inferior tracionado correspondente à armadura longitudinal de flexão), diagonais comprimidas de concreto inclinadas de 45o (bielas diagonais) e pendurais correspondentes à armadura transversal. Esta armadura é, em geral, constituída de estribos distanciados de s e posicionados ao longo da viga, perpendicularmente ao seu eixo. As cargas atuantes na viga são substituídas por forças concentradas equivalentes aplicadas aos “nós” da treliça. viga real modelo Figura 3.4.1.1 s s 45 z Rcd Rsd pd pd . s ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 11 Os esforços na treliça múltipla podem ser estimados através de uma treliça mais simples, isostática, fig. 3.4.1.2, dita treliça clássica ou treliça de Mörsch. Cada pendural nesta treliça representa (z/s) estribos, da treliça original, o mesmo ocorrendo com a diagonal comprimida. Figura 3.4.1.2 Do equilíbrio do ponto J, fig. 3.4.1.3, tem-se: Rswd = Vd e R Vcwd d= 2 Figura 3.4.1.3 a) Tensão média na diagonal comprimida (biela comprimida de concreto) Figura 3.4.1.4 z J Rsd1 Rsd Rswd=Vd Rcw Rcd Rcw Vd Rsd Rcw Rswd=Vd Rsd1 Rsd z 45 z=d/1,1 Rcd Rsd z z bw h1 ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 12 Conforme a figura acima (Figura 3.4.1.4), pode-se escrever que a tensão média na biela comprimida é dada através de: σ τcwd cwd w d w d w o R b h V b z V b z = = = = 1 2 2 2 2 , sendo τo d w V b z = . Como z ≅ d/1,15, tem-se, também: σ τcwd cwd w d w d w d w d w wd R b h V b z V b z V b d V b d = = = ≅ = = 1 2 2 2 2 115 2 3 2 3 , , , onde τ wd d w V b d = . b) Tensão média no estribo Figura 3.4.1.5 Sendo Asw a área total correspondente a um estribo, tem-se para o estribo usual de 2 ramos: Asw = 2 As1 (As1 = área da seção da armadura do estribo). Conforme a fig. 3.4.1.5, tem-se: σ τ ρswd swd sw d sw w w d w sw w o w R z s A V z A s b b V b z A b s = = ⋅ = ⋅ = ou σ τ ρ swd swd sw d sw d sw d sw w w d w sw w wd w R z s A V d A s V d A s V d A s b b V b d A b s = ≅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = 115 115 115 115 115 , , , , , z z s φt As1 estrib ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 15 Fig. 3.4.3.1 Seções próximas aos apoios Nas proximidades dos apoios, a quantidade de armadura de cisalhamento pode ser menor do que aquele indicado pelo cálculo usual. Este fato ocorre porque parte da carga (próxima aos apoios) pode se dirigir diretamente aos apoios, portanto, sem solicitar a armadura transversal. A NBR-6118 propõe as regras seguintes para o cálculo da armadura transversal, quando a carga e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas da peça, comprimindo-a: no trecho entre o apoio e a seção situada à distância h/2 da face deste apoio, a força cortante oriunda de carga distribuída poderá ser considerada constante e igual à desta seção (fig. 3.4.3.2); Figura 3.4.3.2 h/2 h/2 h/2 h diagrama de V diagrama de V “corrigido” p V* V* trecho com ρwmin ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 16 a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a (a ≤ 2 h) do centro do apoio poderá, neste trecho de comprimento a, ser reduzida multiplicando-se por a h2 ⋅     , fig. 3.4.3.3. Figura 3.4.3.3 Convém frisar que estas reduções só podem ser feitas para o cálculo da armadura transversal. A verificação do concreto (τwd) deve ser feita com os valores originais, sem redução. 3.4.4 Armadura de Costura nas Abas das Seções Transversais Normalmente, as abas das seções transversais estão submetidas a solicitações tangenciais. Junto à ligação (aba-alma) das seções das vigas esta solicitação atinge o valor máximo. Esta solicitação exige, no concreto armado, uma armadura de costura. Em vigas usuais de edifícios, podem ocorrer duas situações onde estas armaduras são necessárias, fig. 3.4.4.1. A primeira situação corresponde às seções dos vãos com abas comprimidas de seções T (flexão nos vãos das vigas normais) e, a outra, às seções de apoios internos das vigas contínuas, onde a armadura de flexão é distribuída também nas lajes (abas tracionadas). Figura 3.4.4.1 - Situações usuais bf armaduras área comprimida na flexão Seção 1 - Vão área comprimida na flexão armaduras de flexão Seção 2 - Apoio Seção 1 - Vão Seção 2 - Apoio p P a h V Vred = V [a / (2 h)] ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 17 a) Aba comprimida A fig. 3.4.4.2 apresenta a situação típica correspondente à seção T submetida à flexão. Fig. 3.4.4.2 - Aba comprimida Considere-se a aba lateral de dimensão b’, fig. 3.4.4.3. Figura 3.4.4.3 A força cortante para determinação da armadura transversal da aba necessária é dada por: V b b Vfd f d= ′ Da expressão de cisalhamento, tem-se que: τ fo f d f fd f fd f b b V h z V h z V h d = ′ = = 115, (a) bf d ε Rcd Rsd z x 0,85 fcd As b’ bf b’ Rcd Rcd+dRc Rfd Rfd+dRfd τfo hf ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 20 ρ τf fo ywdf = onde ρ f sf f A h = sendo A sf a área total de armadura transversal da aba (armadura de costura) por unidade de comprimento. Normalmente, adota-se a armadura obtida desta maneira, como sendo suficiente para garantir a segurança da ligação entre a aba e a alma da viga. Deve-se, também, verificar 1) V h d ffd f cd≤ 0 3, (verificação da compressão na biela diagonal) e 2) ρf ≥ 0,14% (taxa mínima de armadura transversal para o CA50/60). 3.4.5 Armadura de Suspensão Normalmente, os apoios das vigas são constituídos pelos pilares. Neste caso, diz-se que os apoios são do tipo direto. Algumas vezes as vigas se apóiam em outras vigas; constituem os apoios do tipo indireto. Quando as reações são aplicadas junto à face superior da viga de apoio, não existe a necessidade de armadura de suspensão. Esta situação é ilustrada na 3.4.5.1. Figura 3.4.5.1 - Viga de pequena altura apoiada sobre uma viga de grande altura A fig. 3.4.5.2 mostra, para o caso de viga de altura (h) maior do que a da viga de apoio (ha), a necessidade de armadura de suspensão para a reação total, isto é, Zd = Rd. ha h viga de viga i d ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 21 Figura 3.4.5.2 - Vigas altas. Numa situação intermediária, ilustrada na fig. 3.4.5.3, observa-se à necessidade de suspender apenas parte da reação, uma vez que o restante pode ser transferido para a treliça, que simula a viga de apoio, através do esquema usual. Figura 3.4.5.3 - Vigas de altura intermediária Sendo Rd a reação de apoio, a força de suspensão pode ser estimada em Zd = Rd (h / ha) ≤ Rd Onde: h = altura da viga apoiada ha = altura da viga de apoio. A armadura de suspensão será dada por Asusp = Zd / fywd. A armadura de suspensão Asusp pode ser distribuída na zona de suspensão, junto ao cruzamento das vigas, conforme a figura 3.4.5.4. ha h viga de apoio viga ha h ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 22 Figura 3.4.5.4 - Zona de suspensão Deve-se observar que a zona de suspensão já contém alguns estribos normais das vigas. Estes estribos podem ser contados na armadura de suspensão. 3.5 Dimensionamento à Torção 3.5.1 Torção de Equilíbrio e Torção de Compatibilidade O momento torçor em vigas usuais de edifícios pode ser classificado em dois grupos: momento torçor de equilíbrio (fig. 3.5.1.1) e momento torçor de compatibilidade (fig. 3.5.1.2). Figura 3.5.1.1 - Torção de equilíbrio ha / 2 ha / 2 viga de apoio h / 2 viga apoiada a b l = a+b A B P c P P.c TA=P.c.b / l TB=P.c.a / l l A B c TA=m l / 2 TB=m.l / 2 p m=p.c2/2 ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 25 c) Armadura longitudinal yde d yd ds fA2 T fu A = φ =l 3.6 Verificação em Serviço Todos os cálculos e verificações dos estados limites de serviço devem ser efetuados no Estádio II. Portanto, faz-se necessário determinar o produto de rigidez como também o momento de inércia nesse Estádio, conforme é apresentado a seguir: a) Seção Retangular com Armadura Simples Seja : c s e E E =α , Onde o módulo de deformação do aço (Es) fixado em 210.000 Mpa e o módulo de deformação do concreto tomado através da expressão a seguir: )MPa(5,3f66009,0E ckc +×= . A posição da linha neutra resultante é calculada através de: x A b bd A s e s e = ⋅ − + +       α α 1 1 2 Em seções retangulares com armadura simples, o produto de rigidez EIII é calculado através de: E I A E d x zc II s s= −( ) Onde z = d - 3 x , de acordo com a figura a seguir: b h d Rc Rs x σc σs εc εs As M x/3 z=d-x/3 Figura 3.6.1 ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 26 Dividindo ambos os termos por Ec, tem-se que: )3/xd)(xd(AI esII −−α⋅= b) Seção Retangular com Armadura Dupla Na condição de armadura dupla, tem-se o seguinte panorama mostrado na figura a seguir: b h d Rc Rs x σc σs εc εs As M x/3 z=d-x/3 A's d' ε's R's Figura 3.6.2 A posição da linha neutra é determinada através de: ( )x d d d onde A bde d d e d d d d d d d s= ⋅ + − + + +       + +                   =α ρ ρ α ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ' ' ' ' ' ' ' 1 1 2 1 Com ela, obtém-se as seguintes expressões: Produto de rigidez à flexão no Estádio II: E I A E d x d x A E x d x dc II s s s s= − − + − −( )( / ) ' ( / ' )( ' )3 3 Momento de Inércia no Estádio II: I bx A d x A x dII s e s e= + − + ′ − ′ 3 2 2 3 α α( ) ( ) c) Seção “T” com Armadura Simples A equação de equilíbrio nos leva à seguinte expressão da posição da linha neutra: [ ]b x b b h A x b b h A dw f w f s e f w f s e 2 2 2 2 0+ − + − − − =( ) ( )α α ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 27 Com ela, podemos também determinar o momento de inércia no Estádio II, através de: I b x b b x h A d xII f f w f s e= − − − + − 3 3 2 3 3 ( )( ) ( )α 3.6.1 Verificação das Flechas a) Flecha de carga de curta duração (aq) q* = 0,7 q Por exemplo, para carga distribuída uniforme, a flecha no meio do vão é dada por: IIc 4 q IE *q 384 5a l= Em demais situações (carga concentrada, estrutura em balanço, etc.) podem ser obtidas através das referências bibliográficas adotadas neste curso, lembrando que o produto de rigidez deve ser aquele calculado no Estádio II. O mesmo deve ser considerado constante em todo o vão, e igual ao valor correspondente no ponto de momento fletor máximo. b) Flecha de carga de longa duração (ag) )21(aa gog ξ+= , com ago igual à flecha imediata para a carga g calculada conforme escrito acima, e d x=ξ . As flechas, assim determinadas, devem ser limitadas a: aq ≤ l / 500; ag + aq ≤ l / 300. Conforme a NBR-6118, para as vigas usuais de edifícios de seção retangular e T, consideram-se atendidas as verificações de flecha quando d ≥ ⋅ l ψ ψ2 3 (altura útil) onde ψ2 = 1,0 nas vigas biapoiadas, 1,2 nas vigas contínuas, 1,7 nos vãos biengastados, 0,5 nos balanços. ψ3 = 17 para o aço CA50, 25 para o aço CA25. ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 30 Figura 2.1 A tensão última de aderência τ bu é função da posição da armadura ao longo da altura de concretagem da peça; da inclinação desta armadura; da sua conformação superficial (barras lisas e barras de alta aderência com mossas e saliências); e da resistência do concreto (fck). A consideração das duas primeiras variáveis é feita através do conceito de zonas de aderência: zona de boa aderência (zona I) e zona de aderência prejudicada (zona II). 3.7.1.2.1 Zonas de aderência A figura 2.2 apresenta as situações correspondentes às zonas I e II. Figura 2.2 α > 45o h ≤ 30 cm h 30 cm h > 30 cm h ≤ 60 30 cm h > 60 Zona I Zona II lb1 Zd = As fyd τbu ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 31 A aderência depende, principalmente, de um bom envolvimento da armadura pelo concreto. A vibração do concreto provoca a movimentação da água, em excesso na mistura, para as partes superiores da peça. Esta água tende a ficar presa, em forma de gotículas, junto às faces inferiores das armaduras (partes sólidas em geral). Com o tempo aparecem no seu lugar vazios que diminuem a área de contato da barra com o concreto. Isto justifica o fato das barras horizontais posicionadas nas partes superiores das peças estarem em condições prejudicadas de aderência (zona II, ou de aderência prejudicada); em contraposição, as partes inferiores das peças constituem zonas de boa aderência (zona I). Quando a espessura da peça é pequena (h ≤ 30 cm, para finalidade prática) a quantidade de água de exudação é pequena, e não chega a reduzir em demasia a aderência. Figura 2.3 3.7.1.2.2. Valores de τ bu a) Zona I (de boa aderência) - barras lisas: τ bu cdf MPa= 0 28, ( ) - barras de alta aderência: τ bu cdf MPa= 0 42 23, ( ) Alguns valores de lb1: fck (MPa) CA25 (lisa) CA50 (a. ader.) 13,5 63 φ 58 φ 15 59 φ 54 φ 18 55 φ 47 φ 20 ### 44 φ b) Zona II (zona de aderência prejudicada) Estimam-se os comprimentos de ancoragem para a zona II como sendo 50% superiores aos correspondentes à zona I. armadur gotas de água acumuladas vazio deixado pelas gotas d á ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 32 Nota 1: normalmente, a armadura efetivamente utilizada (As,ef) é maior do que a calculada (As,calc ou simplesmente, As). Neste caso, o comprimento de ancoragem pode ser reduzido como se indica a seguir: l l l b b s calc s ef bA A cm = ≥      1 1 3 10 10 , , / φ Nota 2: nas barras comprimidas, o comprimento mínimo de ancoragem lb c1 pode ser estimado através da expressão adotada para as barras tracionadas; para este cálculo, deve-se utilizar a tensão efetiva de compressão. O valor obtido deve, ainda, obedecer às seguintes condições: l l b c b cm 1 10 6 10 15 ≥ ⋅     , φ 3.7.1.3 Utilização de ganchos padronizados nas extremidades da barra tracionada Os ganchos permitem reduzir o comprimento de ancoragem. Pode-se adotar as seguintes reduções sobre os valores de lb1 (sem ganchos): a) barras lisas: 15 φ → l lb c gancho b1 1 15, / = − φ b) barras de alta aderência:10 φ → l lb c gancho b1 1 10, / = − φ . Figura 3.1 Nota 1: as barras lisas tracionadas de diâmetro φ > 6,3 mm devem ser utilizadas sempre com ganchos de extremidade. Nota 2: as barras comprimidas devem ser utilizadas sem ganchos de extremidade. 3.7.1.4 Comprimentos de ancoragem de feixes de barras As armaduras de concreto armado podem ser agrupadas em feixes de 2 ou 3 barras. Pode-se estimar o comprimento de ancoragem de um feixe de barras, com base nas expressão utilizada para barras isoladas, substituindo-se o diâmetro da barra pelo diâmetro equivalente do feixe (φe). O valor obtido deve ser aumentado de 20% no caso de feixe de duas barras e, de 33% para mais de duas barras. lb1 lb1 - 15 φ - bar. lisas lb1 - 10 φ - bar. de alta ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 35 Valores de ψ5: ψ5 Distância transversal Proporção de barras emendadas na mesma seção transversal entre emendas (a) ≤ 1/5 > 1/5 ≤ 1/4 > 1/4 ≤ 1/3 > 1/3 ≤ 1/2 > 1/2 a ≤ 10 φ a > 10 φ 1,2 1,0 1,4 1,1 1,6 1,2 1,8 1,3 2,0 1,4 Proporção de barras emendadas na mesma seção Bitola Sgk > Sqk Sgk ≤ Sqk φ ηb ≥ 1,5 ηb < 1,5 ηb ≥ 1,5 ηb < 1,5 ≤ 12,5 todas 1/2 1/2 1/4 > 12,5 todas (*) 1/2 (**) 1/4 1/2 1/4 (*) - Se houver só uma camada de armadura (**) - Se houver mais de uma camada de armadura As barras comprimidas podem todas ser emendadas na mesma seção. 3.7.2 Alojamento das Armaduras A área As da armadura necessária para resistir a um momento fletor M, numa dada seção de viga, é conseguida agrupando-se barras conforme as bitolas comerciais disponíveis. Geralmente, adotam-se barras de mesmo diâmetro φ. Uma das hipóteses básicas do dimensionamento de peças submetidas a solicitações normais é a da aderência perfeita. Para a garantia desta aderência é fundamental que as barras sejam perfeitamente envolvidas pelo concreto; por outro lado, a armadura deve ser protegida contra a sua corrosão; para isso adota-se um cobrimento mínimo de concreto para estas armaduras. A figura 3.7.2.1. mostra a disposição usual com armaduras isoladas entre si. Eventualmente, pode-se adotar armadura formada por feixes de 2 ou 3 barras. a ≥ φ ≥ 2 φ ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 36 Figura 3.7.2.1 A tabela 3.7.2.1 apresenta as bitolas usuais de armaduras de concreto armado. Tabela 3.7.2.1 φ = diâmetro nominal (mm) As1 = área nominal da seção transversal de uma barra em cm2 Os valores de cobrimento mínimo recomendado pela NBR-6118 são os seguintes: a) concreto revestido com argamassa de pelo menos 1 cm de espessura: c(cm) elemento estrutural 0,5 lajes no interior de edifícios 1,0 paredes no interior de edifícios 1,5 pilares e vigas no interior de edifícios 1,5 lajes e paredes ao ar livre 2,0 pilares e vigas ao ar livre φ (mm) 3,2 4 5 6,3 8 10 12,5 16 20 25 32 As1(cm2) 0,08 0,125 0,2 0,315 0,5 0,8 1,25 2,0 3,15 5,0 8,0 As 3a camada 2a estribo armaduras de pele porta estribos c φt eh ev c φ c = cobrimento mínimo da armadura ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 37 b) concreto aparente c(cm) elemento estrutural 2,0 interior de edifícios 2,5 ao ar livre c) concreto em contato com o solo: c = 3 cm Nota: em solo não rochoso recomenda-se um lastro (camada adicional em contato com o solo) de pelo menos 5 cm de espessura com consumo de 250 kg de cimento por m3. d) peça de concreto em ambiente fortemente agressivo: c = 4 cm. e) quando, por qualquer razão, c > 6 cm, deve-se utilizar uma rede complementar dentro dos limites anteriormente indicados. Para alojamento das armaduras, sem emendas, deve-se procurar proceder conforme indicado abaixo: e cmh agr ≥      φ φ 2 1 2, ; e cmv agr ≥      φ φ 2 0 5, onde φ = diâmetro da barra φagr = diâmetro máximo do agregado Figura 3.7.2.2 Brita φagr brita 1 9,5 a 19 mm brita 2 19 a 25 mm bw c φt bs φt c φ ev eh c ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 40 3.7.3 Decalagem Devido à fissuração diagonal, existe, então, uma translação (decalagem) para o lado desfavorável. Em particular, na seção sobre o apoio extremo, fica evidenciada a presença de força de tração na armadura, apesar de ser nulo o momento fletor. Este efeito explica a possibilidade de ocorrência de ruptura por escorregamento da armadura sobre os apoios extremos da viga. A figura a seguir nos fornece um exemplo de um diagrama decalado. Figura 3.7.3.1 A NBR6118 usa a seguinte expressão: al (1,5 –1,2η)x d ≥ 0,5x d onde η é a “taxa de cobertura”; η = 1 - d0 c τ τ = 1 - wd c 15,1 τ τ Na prática, em vigas, podemos adotar al = 0,75 d 3.7.4 Ancoragem nos Apoios Admite-se que a segurança esteja garantida pela verificação das duas condições seguintes: a) A armadura deve estar devidamente ancorada para garantir, junto à face interna do apoio, a resultante de tração igual a: R + 5,5 φ ≥ 6cm Rs,apo,d Vd Md/z diagrama de força resultante no banzo i d pd al al al Rs,apo,d = Vd (al / d) ≥ Vd / 2; ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 41 b) Na ocasião de gancho de extremidade as barras devem estender-se, a partir da face interna do apoio, por um comprimento igual a (r + 5,5 φ) ≥ 6 cm, onde φ é o diâmetro da barra e r o seu raio de dobramento padronizado (para o aço CA50: r = 2,5 φ quando φ <20; e r = 4 φ para φ ≥ 20); neste caso, quando o cobrimento lateral das barras na região do apoio for maior ou igual a 7 cm e a carga acidental q não for freqüente, é suficiente verificar apenas esta condição. 3.7.5 Cobertura do Diagrama de Md Transladado O trecho da extremidade da barra de tração, considerado como de ancoragem, tem início na seção teórica onde sua tensão σs começa a diminuir (o esforço da armadura começa a ser transferido para o concreto). Deve prolongar-se pelo menos 10φ além do ponto teórico de tensão σs nula, não podendo em nenhum caso ser inferior ao comprimento necessário estipulado no capítulo referente à ancoragem das barras. Assim, na armadura longitudinal de tração das peças solicitadas por flexão simples, o trecho de ancoragem da barra tem início no ponto A (figura 3.7.5.1) do diagrama de forças Rst = M / Z, deslocado do comprimento al. Se a barra não for dobrada, o trecho de ancoragem deve prolongar-se além de B, no mínimo 10φ. Se a barra for dobrada, o início do dobramento pode coincidir com o ponto B. (ver figura 3.7.51). Figura 3.7.5.1 ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 42 3.8 Esquemas Estruturais 3.8.1 Esforços Finais de Dimensionamento em Vigas de Edifícios Os esforços finais de dimensionamento devem conter as envoltórias de solicitações. A “distância” entre as envoltórias, máxima e mínima, depende, basicamente, do valor relativo da carga acidental. Em vigas de edifícios, normalmente, a parcela variável das cargas representa menos de 30 % do total. Nestas condições, em geral, não há necessidade de se determinar às envoltórias de solicitações porque seus valores se aproximam daqueles obtidos para a carga total; é suficiente, pois, a determinação dos diagramas de estado correspondente à carga total atuante na viga. Por outro lado, como se admite o comportamento elástico linear, pode-se determinar primeiro as solicitações correspondentes aos valores característicos das cargas, que multiplicados pelos coeficientes de ponderação das ações (γf ) permitem definir as solicitações em valores de cálculo utilizadas nos dimensionamentos e nas verificações. 3.8.2 Vãos Teóricos da Viga Os vãos teóricos são utilizados no cálculo dos esforços solicitantes. Quando as larguras dos pilares de apoio forem menores do que PD / 5 (PD = pé direito), o vão teórico pode ser tomado como a distância entre os centros dos apoios, não sendo necessário adotar valores maiores que: a) em viga isolada: 1,05 lo ; b) em vão extremo de viga contínua: o vão livre acrescido da semi-largura do apoio interno e de 0,03 lo , Sendo lo o vão livre (distância entre as faces internas dos apoios). Quando a largura do pilar de apoio for maior do que PD/5 pode-se engastar o vão, num ponto interno ao pilar, à distância h/2 ≥ 10 cm da face. Nas vigas em balanço, o vão teórico é o comprimento que vai da extremidade até o centro do apoio, não sendo necessário considerar valores superiores a 1,03 vezes o comprimento livre. 3.8.3 Efeito do Pilar de extremidade – Aproximações permitidas pela NBR-6118 O efeito do pilar de extremidade pode ser estimado através do modelo constituído de três barras convergentes (vão de extremidade da viga e lances adjacentes, superior e inferior, do pilar) considerados todos eles engastados nas extremidades opostas. ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 45 3.9 Aplicação ao Edifício Exemplo 3.9.1 Cálculo da V1 3.9.1.1. Esquema Estrutural 0.2750 0.2750 4.7754.785 2.7500 2.7500 ( 2 ) 3 2 ( 1 ) 1 ( 7 ) 10 ( 4 ) ( 9 )( 8 ) ( 3 ) ( 10 ) ( 6 ) ( 5 ) 6 5 4 7 8 9 11 Barra A (m2) I (m4) 1 0,1235 3,715E-4 2 0,1235 3,715E-4 3 0,2090 2,107E-4 4 0,2090 2,107E-4 5 0,0800 2,667E-4 6 0,0800 2,667E-4 7 0,1404 4,000E-3 8 10,000 10,000 9 10,000 10,000 10 0,1403 4,000E-3 Cálculo da mesa colaborante: - V1a: 3,589m 4,785x 4 3 l 4 3 a === b1 < 0,10 a = 0,359m 8 hf = 8 x 0,10 = 0,80m 0,5 b2 = 0,5 x 4,32 = 2,16m Portanto, b1 = 0,359m ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 46 - V1b: 3,581m 4,775x 4 3 l 4 3 a === b1 < 0,10 a = 0,358m 8 hf = 8 x 0,10 = 0,80m 0,5 b2 = 0,5 x 5,645 = 2,823m Portanto, b1 = 0,358m 3.9.1.2. Carregamentos Verticais 1.52 kN/m 15.12 kN/m 14.68 kN/m 1.26 kN/m 3.9.1.3. Esforços devido ao Vento +36.42 kN.m +47.725 kN.m +44.859 kN.m +31.201 kN.m 3.9.1.4. Envoltória de Esforços Para a envoltória de esforços, consideramos a seguinte combinação: Fd = 1,4 Fg + 1,4 Fq + 1,4*0,8*Fvento ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 47 Viga V1 x Mperm Mvar Mvto1 Mvto2 Mcomb1 Mcomb2 Vperm Vvar Vvto 1 Vcomb1 Vcomb2 0,000 -7,100 -0,700 -36,420 36,420 -51,710 29,870 29,400 3,000 15,610 62,843 27,877 0,479 5,200 0,500 -28,463 28,463 -23,898 39,858 22,200 2,200 15,610 51,643 16,677 0,957 14,100 1,400 -20,506 20,506 -1,266 44,666 14,900 1,500 15,610 40,443 5,477 1,436 19,500 2,000 -12,548 12,548 16,046 44,154 7,700 0,800 15,610 29,383 -5,583 1,914 21,500 2,200 -4,591 4,591 28,038 38,322 0,500 0,100 15,610 18,323 -16,643 2,393 19,900 2,000 3,366 -3,366 34,430 26,890 -6,800 -0,700 15,610 6,983 -27,983 2,871 15,000 1,500 11,323 -11,323 35,782 10,418 -14,000 -1,400 15,610 -4,077 -39,043 3,350 6,500 0,700 19,280 -19,280 31,674 -11,514 -21,200 -2,100 15,610 -15,137 -50,103 3,828 -5,400 -0,500 27,238 -27,238 22,246 -38,766 -28,500 -2,900 15,610 -26,477 -61,443 4,307 -20,700 -2,100 35,195 -35,195 7,498 -71,338 -35,700 -3,600 15,610 -37,537 -72,503 4,785 -39,500 -3,900 43,152 -43,152 -12,430 -109,090 -42,900 -4,300 15,610 -48,597 -83,563 5,060 -51,900 -5,200 47,725 -47,725 -26,488 -133,392 -47,100 -4,700 15,610 -55,037 -90,003 5,060 -51,300 -4,400 -44,859 44,859 -128,222 -27,738 46,200 4,000 14,214 86,200 54,360 5,335 -39,200 -3,400 -40,717 40,717 -105,243 -14,037 42,100 3,600 14,214 79,900 48,060 5,813 -20,700 -1,800 -33,525 33,525 -69,048 6,048 35,100 3,000 14,214 69,260 37,420 6,290 -5,600 -0,500 -26,333 26,333 -38,034 20,954 28,100 2,400 14,214 58,620 26,780 6,768 6,200 0,500 -19,142 19,142 -12,059 30,819 21,100 1,800 14,214 47,980 16,140 7,245 14,600 1,200 -11,950 11,950 8,736 35,504 14,100 1,200 14,214 37,340 5,500 7,723 19,600 1,700 -4,758 4,758 24,491 35,149 7,100 0,600 14,214 26,700 -5,140 8,200 21,300 1,800 2,434 -2,434 35,066 29,614 0,100 0,000 14,214 16,060 -15,780 8,678 19,700 1,700 9,626 -9,626 40,741 19,179 -6,900 -0,600 14,214 5,420 -26,420 9,155 14,700 1,300 16,817 -16,817 41,235 3,565 -13,900 -1,200 14,214 -5,220 -37,060 9,633 6,400 0,500 24,009 -24,009 36,550 -17,230 -20,900 -1,800 14,214 -15,860 -47,700 10,110 -5,300 -0,400 31,201 -31,201 26,965 -42,925 -28,000 -2,400 14,214 -26,640 -58,480 3.9.1.5. Dimensionamento à Flexão a) Md = -51,710 kNm bw = 19 cm d = 51 cm fck = 20 MPa x = 5,75 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm As = 2,44 cm2 (4Φ10) lb = 34 Φ = 34 cm OBS: O cálculo de lb será mostrado adiante. b) Md = -133,392 kNm bw = 19 cm d = 51 cm fck = 20 MPa x = 16,24 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm As = 6,89 cm2 (4Φ16) lb = 38 Φ = 61 cm ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 50 3.9.1.7. Cobertura do Diagrama de Momento Transladado al = 0,75 d = 0,75 x 51 = 38,25 cm efs, cals, bu yd b A Af l τ φ = 4 2,47MPaf , cdbu ==τ 3 2420 435MPa , fyd == 151 500 sef scal b A A l φ= 44 4 Ø 16 4 Ø 10 3 Ø 10 3 Ø 10 3 Ø 10 ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 51 3.9.1.8. Detalhamento ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 52 ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 55 3.9.2.4. Envoltória de Esforços Para a envoltória de esforços, consideramos a seguinte combinação: Fd = 1,4 Fg + 1,4 Fq + 1,4*0,8*Fvento Viga V1 X Mperm Mvar Mvto1 Mvto2 Mcomb1 Mcomb2 Vperm Vvar Vvto 1 Vcomb1 Vcomb2 0 -16,00 -3,40 41,70 -41,70 19,54 -73,86 48,20 10,10 -15,10 64,71 98,53 0,45 2,90 0,70 33,16 -33,16 42,18 -32,10 36,77 7,70 -15,10 45,35 79,17 0,9 17,10 3,60 24,62 -24,62 56,55 1,41 25,34 5,30 -15,10 25,98 59,81 1,35 27,60 5,50 16,08 -16,08 64,35 28,33 13,91 2,90 -15,10 6,62 40,45 1,8 29,50 6,20 7,54 -7,54 58,42 41,54 2,48 0,50 -15,10 -12,74 21,08 2,25 28,10 5,90 -1,00 1,00 46,48 48,72 -8,95 -1,90 -15,10 -32,10 1,72 2,7 21,50 4,50 -9,54 9,54 25,72 47,08 -20,38 -4,30 -15,10 -51,46 -17,64 3,15 9,60 2,10 -18,08 18,08 -3,87 36,63 -31,81 -6,70 -15,10 -70,83 -37,00 3,6 -7,30 -1,50 -26,62 26,62 -42,13 17,49 -43,24 -9,10 -15,10 -90,19 -56,36 4,05 -27,40 -4,63 -35,16 35,16 -84,22 -5,46 -54,67 -11,50 -15,10 -109,55 -75,73 4,5 -53,40 -8,11 -43,70 43,70 -135,06 -37,17 -66,10 -13,90 -15,10 -128,91 -95,09 3.9.2.5. Dimensionamento à Flexão a) Md = -73,86 kNm bw = 12 cm d = 51 cm fck = 20 MPa x = 13,95 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm As = 3,74 cm2 (3Φ12,5) lb = 44 Φ = 55 cm b) Md = 19,54 kNm bw = 12 cm d = 51 cm bf = 79,5cm hf = 10 cm fck = 20 MPa x = 0,49 cm < hf As = 0,97 cm2 c) Md = 64,35 kNm bw = 12 cm d = 51 cm bf = 79,5cm hf = 10 cm fck = 20 MPa x = 1,65 cm < hf As = 2,94 cm2 (4Φ10) ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 56 lb = 40 Φ = 40 cm d) Md = 48,72 kNm bw = 12 cm d = 51 cm bf = 79,5 cm hf = 10 cm fck = 20 MPa x = 1,25 cm < hf As = 2,22 cm2 (3Φ10) lb = 31 Φ = 31 cm e) Md = - 135,06 kNm bw = 12 cm d = 51 cm fck = 20 MPa x = 29,58 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm As = 7,93 cm2 (4Φ16) lb = 44 Φ = 70 cm Md(kNm) bw(cm) d(cm) bf (cm) hf (cm) x (cm) As(cm2) lb (cm) -73,86 12 51 0 0 13,95 3,74 55 19,54 12 51 80 10 0,45 0,97 40 64,35 12 51 80 10 1,44 2,94 40 48,72 12 51 80 10 1,25 2,22 31 -135,06 12 51 0 0 29,58 7,93 70 3.9.2.6. Dimensionamento ao Cisalhamento a) Vd = 128,91 kN bw = 12 cm Ast = 5,73 cm2 / m (Φ6,3 c/11) Astmín = 1,68 cm2 / m (Φ5 c/20) b) Força cortante de cálculo correspondente à armadura mínima: V*= KN 648 611 x (f db c min wywd w , , ) = τ+ρ c) Vd = 98,53 kN bw = 12 cm Ast = 4,15 cm2 / m (Φ6,3 c/15) ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 57 Resumo Vd (kN) bw (cm) Ast (cm2/m) Ast mín (cm2/m) 128,91 12 5,73 1,68 98,53 12 4,15 1,68 3.9.2.7. Cobertura do Diagrama de Momento Transladado al = 0,75 d = 0,75 x 51 = 38,25 cm 3.9.2.8. Detalhamento 4φ16 4φ10 3φ10 3φ12,5 ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 60 3.9.4 Cálculo da V4 3.9.4.1. Esquema Estrutural Barra A (m2) I (m4) 1 0,1596 4,50E-3 2 0,1762 3,80E-3 Cálculo da mesa colaborante: - V4a: m 5,51 l a == b1 < 0,10 a = 0,551m 8 hf = 8 x 0,10 = 0,80m 0,5 b2 = 0,5 x 4,32 = 2,16m Portanto, b1 = 0,551m - V4b: 5,51m l a == b1 < 0,10 a = 0,551m 8 hf = 8 x 0,10 = 0,80m 0,5 b2 = 2,16m Portanto, b1 = 0,551m Barra 1 Barra 2 ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 61 b1 < 0,10 a = 0,551m 8 hf = 8 x 0,10 = 0,80m 0,5 b2 = 1,365m Portanto, b1 = 0,551m 3.9.4.2. Carregamentos Verticais 3.9.4.3. Esforços devido ao Vento +14.31 kN.m +15.17 kN.m Var: 1,52 KN/m Per: 15,12 Kn/m Var: 2,77 KN/m Per: 15,32 KN/m Var: 0,8 KN Per: 10,4 KN ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 62 3.9.4.4. Envoltória de Esforços Viga V4 x Mperm Mvar Mvto1 Mvto2 Mcomb1 Mcomb2 Vperm Vvar Vvto 1 Vcomb1 Vcomb2 0,000 -16,900 -2,100 14,310 -14,310 -10,573 -42,627 46,800 5,400 5,362 79,085 67,021 0,280 -4,400 -0,700 12,812 -12,812 7,209 -21,489 42,500 4,900 5,362 72,365 61,001 0,560 6,900 0,600 11,314 -11,314 23,172 -2,172 38,300 4,500 5,362 65,925 55,121 0,840 17,000 1,900 9,816 -9,816 37,454 15,466 34,100 4,100 5,362 59,485 49,241 1,120 26,000 2,900 8,318 -8,318 49,776 31,144 29,800 3,700 5,362 52,905 43,221 1,400 33,800 3,900 6,820 -6,820 60,418 45,142 25,600 3,200 5,362 46,325 37,341 1,680 40,300 4,700 5,322 -5,322 68,960 57,040 21,400 2,800 5,362 39,885 31,461 1,960 45,700 5,500 3,823 -3,823 75,962 67,398 17,100 2,400 5,362 33,305 25,441 2,240 49,900 6,100 2,325 -2,325 81,004 75,796 12,900 2,000 5,362 26,865 19,561 2,520 52,900 6,600 0,827 -0,827 84,227 82,373 8,700 1,500 5,362 20,285 13,681 2,800 54,800 6,900 -0,671 0,671 85,629 87,131 4,400 1,100 5,362 13,705 7,661 2,8 54,800 6,900 -0,671 0,671 85,629 87,131 -6,000 0,300 5,362 -1,975 -6,899 3,071 52,600 6,900 -2,121 2,121 80,925 85,675 -10,100 -0,400 5,362 -8,695 -12,639 3,342 49,300 6,700 -3,571 3,571 74,401 82,399 -14,300 -1,200 5,362 -15,695 -18,519 3,613 44,900 6,300 -5,021 5,021 66,057 77,303 -18,400 -1,900 5,362 -22,415 -24,259 3,884 39,300 5,600 -6,470 6,470 55,613 70,107 -22,600 -2,700 5,362 -29,415 -30,139 4,155 32,600 4,800 -7,920 7,920 43,489 61,231 -26,700 -3,400 5,362 -36,135 -35,879 4,426 24,800 3,800 -9,370 9,370 29,545 50,535 -30,900 -4,200 5,362 -43,135 -41,759 4,697 15,900 2,500 -10,820 10,820 13,641 37,879 -35,000 -4,900 5,362 -49,855 -47,499 4,968 5,800 1,100 -12,270 12,270 -4,083 23,403 -39,200 -5,700 5,362 -56,855 -53,379 5,239 -5,400 -0,600 -13,720 13,720 -23,766 6,966 -43,300 -6,500 5,362 -63,715 -59,119 5,510 -17,700 -2,400 -15,170 15,170 -45,130 -11,150 -47,500 -7,200 5,362 -70,575 -64,999 3.9.4.5. Dimensionamento à Flexão a) Md = 87,131 kNm bw = 12 cm d = 51 cm bf = 74,1 cm hf = 10 cm fck = 20 MPa x = 2,42 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm As = 4,00 cm2 (2Φ16) lb = 44 Φ = 70 cm Asmín = 1,57 cm2 b) Md = -45,13 kNm bw = 12 cm d = 51 cm fck = 20 MPa x = 8,11 cm < x34 = 0,628 x 51 = 32,03 cm ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 65 3.9.4.9. Flecha Estádio II: - esforço solicitante = g + 0,7 q M = 54,8 + 0,7 (6,90 + 0,67) = 60,1 kNm Para o trecho a, temos: - posição da linha neutra MPa 28795 3,5f * 6600 * 0,9E ckc =+= 297 28795 210000 , E E c s e ===α 00110 5174,1x 4,00 d b A sd ,===ρ f def es h cm925 2 1 1- b A x ≤=         ρα ++ α = , - tensão máxima de compressão no concreto ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 66 2 f c kN/cm560 3 5,92 - 51 x 5,92 x 74,1 6010 x 2 3 x - d x b M 2 ,=       =       =σ - tensão na armadura 2 s s 30,65kN/cm 3 5,92 - 51 4 6010 3 x - d A M =       =       =σ - produto de rigidez a flexão no estádio II Ec III = AsEs(d – x)(d-x/3) = 4x21000x(51-5,92)x(51 – 5,92/3)=18565,03x104 kN cm2 = 18,57 x107 kN cm2 - para os dados adotados tem-se: Ic = 4,5 x 10-3 m4 = 4,5 x 105 cm4 Ec Ic = 4,5 x 105 x 28,8 x 102 = 129,6 x 107 kN cm2 Ec III = 0,143 Ec Ic Para o trecho b, temos: - posição da linha neutra MPa 28795 3,5f * 6600 * 0,9E ckc =+= 297 28795 210000 , E E c s e ===α 000640 51122,2x 4,00 d b A sd ,===ρ f def es h cm704 2 1 1- b A x ≤=         ρα ++ α = , - tensão máxima de compressão no concreto 2 f c kN/cm 420 3 4,70 - 51 x 4,70 x 122,2 6010 x 2 3 x - d x b M 2 ,=       =       =σ - tensão na armadura 2 s s kN/cm 3903 3 4,7 - 51 4,0 6010 3 x - d A M ,=       =       =σ - produto de rigidez a flexão no estádio II Ec III= AsEs(d – x)(d-x/3)= 4,0x21000x(51-4,7)x (51 – 4,7/3)= 19,23x107 kN cm2 - para os dados adotados tem-se: Ic = 3,8 x 10-3 m4 = 3,8 x 105 cm4 Ec Ic = 3,8 x 105 x 28,8 x 102 = 109,44 x 107 kN cm2 ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 67 Ec III = 0,18 Ec Ic a) flecha de carga de curta duração (aq) q* = 0,7 q q* = 0,7 x 1,52 = 1,064 kN/m (trecho a) q* = 0,7 x 2,77 = 1,939 kN/m (trecho b) Q* = 0,7 x 0,8 = 0,56 kN Ec III = 18,57 x 107 kN cm2 (trecho a) III = 0,6448 x 105 cm4 = 0,6448 x 10-3 m4 Ec III = 19,23 x 107 kN cm2 (trecho b) III = 0,6677 x 105 cm4 = 0,6677 x 10-3 m4 Utilizando o ftool, temos: aq = 0,2 mm = 0,0002 m < )(OK! 0,0110m500 5,51 500 l == b) flecha de carga de longa duração (ag) ago = 1,5 mm = 0,0015 m ( ) 0,001847m 51 5,921 0,00152ξ1 aa gog =      +=+= ag + aq = 0,001847 + 0,0002 = 0,002047 m < )(OK! 0,018m300 l = 3.9.4.10. Fissuração Considerando ηb = 1,5, c = 2,5 cm, φt = 6,3 mm e Wlim = 0,3 mm. a) determinação da tensão σs: 001060 5174,1x 4,00 d b A sd ,===ρ Portanto, no estádio II: f es f f es h cm 5,9 A d2b 1 1- b A x ≤=         α ++ α = 2 s s kN/cm 30,6 3 5,9 - 51 4,00 6010 3 x - d A M =       =       =σ ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 70 Armadura Mínima de Tração )(.30,0 .3,1 ..8,0 3/2 sup, sup,0min, MPaff ff fWM ckctm ctmctk ctkd = = = Seção Retangular: cdc yds fA fA w . . 0035,0 == Seção T: cdc yds fA fA w . . 0024,0 == faceporAA almacpeles ,, %.10,0= Espaçamento < 20 cm Para ∅ < 8,0mm(aço liso) adotar o dobro da armadura Armadura de Cisalhamento Modelo de Cálculo I: a) Verificação da compressão diagonal do concreto )( 250 1 ....27,02 2 MPaf dbwfV VV ck V cdVRd Rdsd       −= = ≤ α α b) Cálculo da armadura 4,1 .30,0.7,0 .7,0 .3,1 30,0 ...6,0 3/2 inf, sup, 3/2 3 ck ctd ctmctk ctmctk ckctm ctdc swcRdsd ff ff ff ff dbwfV VVVV = = = = = +=≤ ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 71 o90/..9,0. == αapdf s AV ywdswsw c) Decalagem )(2 cot)cot1( ).(2 cd d cd d VV Vdal gg VV Vdal − =       −+ − = αα Modelo de Cálculo II: oo 4530 ≤≤ θ a) Verificação da compressão diagonal do concreto θθα θθα sen.cos.....54,0 sen.cot.....54,0 2 2 2 2 dbwfV gdbwfV VV cdVRd cdVRd Rdsd = = ≤ b) Cálculo da armadura 4,1 .30,0.7,0 .7,0 .3,1 30,0 ...6,0 3/2 inf, sup, 3/2 3 ck ctd ctmctk ctmctk ckctm ctdc swcRdsd ff ff ff ff dbwfV VVVV = = = = = +=≤ θgdf s AV ywdswsw cot...9,0.= c) Decalagem θgdal cot..5,0= Armadura mínima de cisalhamento: yk ctmsw sw f f sbw A .2,0 .min, ≥=ρ ES-013 – Exemplo de um projeto completo de edifício de concreto armado data:set/2001 fl. 72 Determinação de Deslocamentos Combinação Quase-Permanente: ∑ ∑+= i j qikjgikd FFF 2ψ →= 2,02ψ Em locais sem cargas de equipamentos ou grandes concentrações de pessoas →= 4,02ψ Em locais com cargas de equipamentos ou grandes concentrações de pessoas →= 6,02ψ Bibliotecas, garagens, etc. Flecha Imediata: ocII a r o a r ceq IEIM MI M MEEI ≤                       −+      = 33 1)( =rM Momento de fissuração 3/2.30,0 . ckctm ctmr ff WfM = = =W Módulo de resistência relativo à fibra mais tracionada =aM Momento fletor na seção crítica do vão =oI Momento de inércia da seção bruta =III Momento de inércia do Estádio II puro Flecha Diferida: Flecha Diferida = αf. Flecha Imediata '.501 ρ ξα + ∆ =f db A s . ' '=ρ onde sA' = Armadura de compressão no trecho considerado )()( ott ξξξ −=∆ t = tempo em meses na data em que se calcula a flecha to = tempo em meses na data do carregamento