Calculo Vetorial e Geometria Analitica

Calculo Vetorial e Geometria Analitica

(Parte 1 de 3)

Prof. José Carlos Morilla

Cálculo Vetorial e Geometria Analítica

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1 CÁLCULO VETORIAL4
1.1 Segmentos Orientados4
1.2 Vetores4
1.2.1 Soma de um ponto com um vetor5
1.2.2 Adição de vetores5
1.2.3 Diferença de vetores6
1.2.4 Módulo, Direção e Sentido6
1.2.5 Produto de um número real por um vetor6
1.2.6 Espaço vetorial7
1.2.7 Exercícios7
1.3 Dependência e Independência Linear8
1.3.1 Definições8
1.3.2 Exercícios9
1.4 Base9
1.4.1 Adição entre vetores10
1.4.2 Multiplicação por um escalar1
1.4.3 Exercícios1
1.4.4 Ortogonalidade12
1.4.5 Exercícios13
1.5 Mudança de Base13
1.5.1 Mudança de Base Ortornormal14
1.5.2 Exercícios14
2 PRODUTOS ENTRE VETORES E ESCALARES15
2.1 Ângulo entre dois vetores15
2.2 Produto Escalar16
2.2.1 Cossenos diretores16
2.2.2 Projeção de um vetor17
2.2.3 Propriedades do Produto Escalar17
2.2.4 Exercícios18

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19
2.4 Produto Vetorial19
2.4.1 Vetores Canônicos21
2.4.2 Exercícios23
2.5 Produto Misto23
2.5.2 Exercícios25
2.6 Duplo produto vetorial26
2.6.1 Exercícios26
3 GEOMETRIA ANALÍTICA27
3.1 Sistemas de Coordenadas Cartesianas27
3.1.1 Exercícios27
3.2 Retas e Planos28
3.2.1 Estudo da Reta28
3.2.1.1 Equações Paramétricas da Reta28
3.2.1.2 Exercícios29
3.2.2 Equações do Plano29
3.2.2.1 Equações Paramétricas do Plano32
3.2.2.2 Exercícios34
3.3 Posição relativa de retas e planos35
3.3.1 Posição relativa entre duas retas35
3.3.2 Exercícios36
3.4 Posição relativa entre uma reta e um plano37
3.4.1 Exercícios39
3.4.2 Posição relativa entre planos40

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1 CÁLCULO VETORIAL

1.1 Segmentos Orientados

Chamamos de segmento orientado a um segmento de reta que possui sua origem em um ponto e sua extremidade em outro.

Tome-se, por exemplo, o segmento mostrado na figura 1.

Figura 1- Segmento de reta orientado

Na figura 1 o segmento de reta representado tem sua origem no ponto A e sua extremidade no ponto B.

Dizemos que um seguimento é nulo quando sua origem coincide com sua extremidade (A≡B).

Dado um segmento AB, diz-se que o segmento BA é o seu oposto.

Figura 2- Segmentos Opostos

Dados dois segmentos orientados AB e CD, como os mostrados na figura 3, dizemos que eles têm a mesma direção quando os segmentos AB e CD são paralelos ou coincidentes.

Com relação ao seu sentido, dizemos que dois segmentos possuem o mesmo sentido quando, além de terem a mesma direção possuem a mesma orientação. Quando a orientação é oposta, dizemos que os segmentos são opostos.

Figura 3- Segmentos Opostos

Dizemos que dois segmentos são equipolentes quando eles possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido.

Figura 4 - Segmentos Equipolentes

1.2 Vetores

Chama-se de vetor ao segmento de reta orientado que possui sua origem em um ponto e extremidade em outro. Na figura 5, o segmento AB é chamado de

Sempre que designarmos um vetor este terá em sua designação uma seta, orientada para a direita, sobre o símbolo de sua designação.

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Figura 7- Vetores Opostos

1.2.1 Soma de um ponto com um vetor

Dado um ponto A e um vetor v , existe um único ponto B tal que

As propriedades abaixo são imediatas:

1.2.2 Adição de vetores obtemos um segundo ponto, que aqui vamos chamar de B. Quando se soma ao ponto B o vetor v , encontramos um terceiro ponto, que chamaremos de C. Podemos dizer que existe um terceiro

Figura 8– Soma de vetores

Graficamente, podemos usar a regra do paralelogramo:

Figura 9– Regra do Paralelogramo Na figura 10, o vetor AD

Figura 10– Soma entre vetores A

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Na figura 1, quando se toma o ponto A e a ele se soma o vetor u , obtemos o ponto B. Quando se soma ao ponto A o vetor v , encontramos um terceiro ponto, que chamaremos de D.

Figura 1– Diferença entre vetores

Observa-se, então, que existe um

1.2.4 Módulo, Direção e Sentido

Dado um vetor u , todos os seus representantes têm o mesmo comprimento; assim, o comprimento de qualquer representante de u é chamado de módulo do vetor u e é indicado por |u |. O módulo de um vetor depende da unidade de comprimento utilizada.

O módulo de um vetor, também, é chamado de Norma do vetor.

Dizemos que um vetor é unitário quando seu módulo for igual a um.

De maneira análoga, a direção e o sentido do vetor u são, por definição, a direção e o sentido de qualquer dos

Dois vetores são ditos paralelos quando estes possuem a mesma direção.

1.2.5 Produto de um número real por um vetor. Chamamos de produto de um número real, diferente de zero, por vetor

• Se a = 0 ou v for nulo, o resultado é um vetor nulo.

Figura 12– Produto de um número real por um vetor

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1.2.6 Espaço vetorial.

Chama-se espaço vetorial ao conjunto de vetores munidos de pelo menos duas operações que respeitam as propriedades da adição e do produto de um número real por um vetor. Os espaços vetoriais são estudados na Álgebra Linear.

OBS:- É comum se usar o termo escalar para designar um número real, em contraposição a um vetor. Assim, quando se multiplica um vetor por um número real é comum ser dito que este vetor será multiplicado por um escalar. Não se deve confundir este produto com Produto Escalar que será visto mais à frente.

DC= 2AD ,

1. Para a figura 13, onde exprimir D – B em função de A – B e C – B.

Figura 13

2. Para a figura 14, AD é a bissetriz do ângulo A. Exprimir D – A em função de B – A e C – A.

Figura 14

Figura 15

4. Determine a soma dos vetores indicados na figura 16.

(d) Figura 16

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O vetor resultante do produto de u por um escalar igual a -5/3.

Figura 17 vetor unitário (versor de v )

1.3 Dependência e Independência Linear.

v1, v2,, vn
(n≥1) e a1,a2,,an números reais.

Sejam n vetores Chama-se combinação linear dos

v1, v2,, vn ao vetor:

vetores

vetores v 1, v 2,, v n, diz-se, também,

Se u é combinação linear dos que u é gerado por estes vetores.

Dados n vetores v 1, v 2,, v n

(n≥1), dizemos que eles são linearmente dependentes (LD) se existem escalares

a1,a2,,an, não todos nulos, tais que:

ou seja,

v1, v2,, vn

Quando os vetores não são linearmente dependentes, dizemos que eles são linearmente independentes (LI).

vetores v1, v2,, vn, são linearmente

Pode-se, então, verificar que os dependentes quando o vetor resultante de sua combinação linear for nulo.

os vetores v1, v2,, vn, se um deles é

Pode-se dizer, ainda que; dados combinação linear dos outros, então eles são linearmente dependentes.

1.3.1 Definições

I. Um único vetor v é linearmente dependentes se eles forem paralelos a uma mesma reta.

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Se u e v são linearmente dependentes, então, existe escalares a e b tais que:

Desta forma, os dois vetores possuem a mesma direção, ou seja, eles são paralelos.

linearmente dependentes se eles forem paralelos a um mesmo plano.

dependentes, então, existe escalares a; b e c tais que:

au + bv+cw = 0 u = -

Devemos lembrar que o vetor resultante da soma entre dois vetores é coplanar com eles. Isto pode ser observado na figura 18.

u v

Figura 18

IV. Qualquer sequência de elementos com quatro, ou mais, vetores é linearmente dependente.

10. Prove que se o conjunto de

1. Prove que se o conjunto de vetores e3 Figura 19

Para todo vetor v , gerado a partir

Ou seja, o vetor v é combinação linear

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Podemos então escrever o vetor v como sendo:

Os escalares a1,a2,a3 são chamadas de componentes, ou

Reciprocamente, a uma terna a1,a2,a3 de números reais, existe um único vetor cujas coordenadas são meio da terna a1,a2,a3 ou ainda, por meio da matriz coluna:

Escrevemos, então:

Deste ponto em diante, o uso de coordenadas será muito freqüente; é conveniente, então, que as operações entre vetores sejam feitas diretamente em coordenadas, assim, faremos o estudo de algumas destas operações:

1.4.1 Adição entre vetores ou seja:

Quando se usa a notação matricial, podemos escrever:

OBS:- Quando se tem um vetor v em um plano, suas componentes podem ser definidas como as coordenadas (v1; v2) de um sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas. Assim, o vetor v será representado simplesmente por

A figura 20 mostra o vetor v e suas componentes.

Figura 20

Quando é feita a soma entre dois vetores no plano, o vetor resultante tem componentes iguais à soma entre as componentes em cada direção. A figura

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Figura 21

1.4.2 Multiplicação por um escalar. Se um vetor = multiplicado por um escalar λ, então:

De fato, se produto fica:

Quando se usa a notação matricial, podemos escrever:

Com estes conceitos é possível reexaminar o conceito de dependência e independência linear.

Os vetores = = são linearmente dependentes se e somente se forem proporcionais a

Os vetores = escalar. é

, então:

Quando se usa a notação

Com estes conceitos é possível reexaminar o conceito de dependência e e são linearmente dependentes se e somente se .

=, são linearmente independentes se e somente se:

1.4.3 Exercícios

13. Determine o vetor X, tal que 3 = 15(X - U).

14. Determine os vetores X e Y tais que:

15. Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor V =(3;0;-3), sabendo origem está no ponto P = (2

16. Quais são as coordenadas do ponto P’, simétrico do ponto P = (1;0;3) em relação ao ponto M = (1;2;-1)? (Sugestão: o ponto P’ é tal que o vetor

17. Verifique se o vetor U é combinação linear de V e W:

18. Verifique se o vetor U é combinação linear de V e W:

19. Quais dos seguintes vetores são paralelos?

U = (6,-4,-2)

1 linearmente independentes se e somente

Determine o vetor X, tal que 3X-2V Determine os vetores X e Y tais

Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor V sabendo-se que sua no ponto P = (2;3;-5).

Quais são as coordenadas do ponto P’, simétrico do ponto P = (1;0;3) em relação ao ponto M = 1)? (Sugestão: o ponto P’ é

Verifique se o vetor U é combinação linear de V e W:

Verifique se o vetor U é combinação linear de V e W:

W = (15,-10,5)

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1.4.4 Ortogonalidade.

O conceito de ortogonalidade de vetor, com retas e planos se define de modo natural, usando os mesmos conceitos para os segmentos orientados que representam o vetor. Desta forma é possível definir:

(ao plano pi) se existe um representante (A,B) de u tal que o segmento AB é ortogonal a r ( a pi).

I. Os vetores u e v são ortogonais se um deles é nulo, ou caso contrário, admitirem representantes perpendiculares.

somente se:

Para provar esta proposição basta lembrar o teorema de Pitágoras.

Tomando um ponto O qualquer, u e v são ortogonais se e somente se os pontos O;

O Figura 2

IV. Outra forma de mostrar a ortogonalidade é lembrando que, no

Assim a expressão:

Ao se efetuar o produto notável no lado esquerdo da igualdade e fazendo-se as simplificações possíveis, encontramos:

Da mesma forma que foi feito no plano, para dois vetores no espaço R3 , podemos escrever:

Figura 23

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LI ou LD.

são LI ou LD.

23. Com os dados do exercício anterior, verifique se u é portanto base de V3 .

26. Calcule as coordenadas do vetor v = 1,1,1 da base E na base F do exercício anterior.

1.5 Mudança de Base

A escolha de uma base conveniente pode, muitas vezes, ajudar a resolver um problema qualquer.

Consideremos, então, duas bases:

De tal sorte que os vetores f1 , f2

Com os escalares aij é possível construir a matriz M:

A esta matriz, dá-se o nome de Matriz Mudança da Base E para base F.

Para provar isto, vamos tomar um

Como F pode ser escrita como sendo combinação linear de E, podemos, então, escrever:

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O vetor v pode então ser escrito como:

Assim, as coordenadas x1; x2 e x3 podem ser escritas como:

As três expressões acima, podem ser escritas na forma matricial que é:

Note-se, então que a matriz dos coeficientes aij é a matriz que relaciona as coordenadas do vetor v na base E com as coordenadas deste mesmo vetor, na base F. Assim sendo, esta matriz é chamada de Matriz Mudança de Base.

De uma maneira geral, podemos escrever:

1.5.1 Mudança de Base Ortornormal.

Sejam E e F duas bases ortonormais e seja a matriz M a matriz mudança de base de E para F.

Quando as bases são ortonormais, a matriz transposta é igual à matriz inversa, ou seja:

M×Mt =I

À matriz que respeita a condição onde M -1= Mt , dá-se o nome de Matriz

Ortogonal.

Assim, se E é uma base ortonormal, para que F, também, seja ortonormal é necessário e suficiente que a matriz de mudança de E para F seja ortogonal.

Como o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua matriz transposta, podemos escrever:

Para que duas bases sejam ortonormais, a matriz mudança de base entre elas deve ser ortogonal e o determinante desta matriz pode ser igual a 1 ou -1.

27. Dadas as bases E; F e G, onde:

Determinar as matrizes mudanças de base entre elas.

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28. Dada a base E e sejam:

a. Verificar se f1 , f2 é uma base. b. Achar a matriz mudança de base entre elas.

coordenadas deste vetor na base F. 29. Dadas as base E e F tais que:

E, achar as coordenadas deste vetor na base F.

31. Sabendo-se que a matriz mudança de base de F para E é:

e de F para G é determinar as coordenadas do vetor v = 4g1 + 2g2 em relação à base

E e a base F.

2 PRODUTOS ENTRE VETORES E ESCALARES

2.1 Ângulo entre dois vetores. Consideremos dois vetores, não nulos u e v , com origem em O e extremidades em P e Q, respectivamente, como os mostrados na figura 24.

u vO

Figura 24

Nesta figura, θ é a medida em radianos (ou graus) do ângulo POQ que é o ângulo entre os vetores u e v .

Vamos procurar uma expressão que

Aplicando-se a lei dos cossenos ao triângulo POQ, resulta

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Lembrando que:

Podemos escrever:

Esta expressão nos permite calcular cos θ, pois

e

Assim, podemos calcular cos θ por:

2.2 Produto Escalar.

Vamos definir um produto entre dois vetores cujo resultado é um escalar. Por isso ele é chamado de Produto Escalar.

Chama-se produto escalar dos diferentes de zero e ortogonais.

podemos escrever:

desde que estas coordenadas se refiram a uma base ortonormal.

Podemos, então, determinar o ângulo θ por meio de:

Por ser um produto, podemos escrever:

2.2.1 Cossenos diretores Fixada uma base ortonormal i ;j ;k , chama-se de cossenos diretores do vetor v os cossenos dos ângulos que v forma com os vetores da base.

Os cossenos diretores são as coordenadas do versor de v . Temos, então:

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Como

Podemos então escrever que:

Sejam E e F duas bases ortonormais e M a matriz mudança de base de E para F. Na matriz M cada coluna j é formada pelos cossenos

2.2.2 Projeção de um vetor vetor qualquer, com mostra a figura 25. O

Figura 25

Assim, finalmente, é possível escrever:

Quando o vetor u não é unitário encontramos:

Assim, finalmente, é possível escrever:

2.2.3 Propriedades do Produto

Escalar. As propriedades do produto entre números se aplicam no produto escalar:

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32. Determinar a medida, em radianos, do ângulo entre os

3. Determinar a medida, em radianos, do ângulo entre os vetores

34. Determinar a medida, em radianos, do ângulo entre os

35. Determinar a medida, em radianos, do ângulo entre os

36. Para as situações mostradas;

37. Mostrar que:

ortonormal e u ; V3 , mostre que:

39. Prove que as diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si.

40. Determine

41. Dos vetores encontrados, no exercício anterior, qual aquele que forma ângulo agudo com o vetor 1,0,0 ?

42. Determine os cossenos diretores

43. Sabendo-se que

45. Mostre que as diagonais de um paralelogramo têm a mesma medida se e somente se o paralelogramo é um retângulo.

46. Mostre que se um triângulo é isóscele, os ângulos da base são congruentes (possuem a mesma medida).

47. Mostre que as bissetrizes de ângulos adjacentes suplementares são perpendiculares entre si.

50. Das matrizes a seguir verifique quais são ortogonais.

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51. Determine as matrizes inversas das matrizes ortogonais do

2.3 Orientação no espaço V3 .

Deste ponto em diante, consideraremos o espaço orientado de tal maneira que a base seja composta

Figura 26

2.4 Produto Vetorial

Vamos definir um produto entre dois vetores, cujo resultado é um vetor. A este produto damos o nome de Produto Vetorial.

Este produto tem aplicação, por exemplo, na Física: a força exercida sobre uma partícula com carga unitária mergulhada num campo magnético uniforme é o produto vetorial do vetor velocidade da partícula, pelo vetor campo magnético. Outro exemplo é possível obter da Mecânica: uma força provoca um movimento de rotação em um corpo através do produto vetorial entre a força e o vetor de posição do ponto de aplicação, tomado como referência o eixo de rotação do corpo.

Sejam V e W dois vetores no espaço.

Definimos o produto vetorial, v = w, como sendo o vetor com as seguintes características: a. Tem comprimento dado numéricamente por:

ou seja, a norma de v = w é numéricamente igual à área do paralelogramo determinado por v e w, mostrado na figura 27.

Figura 27 b. Tem direção perpendicular à v e w c. Tem o sentido dado pela regra da mão direita (Figura 28): Se o ângulo entre v e w é θ, giramos o vetor v de um ângulo θ até que

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