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1. Matrizes

Definição 1.1:Uma matriz m x n é uma lista de números ai j , com índices duplos, onde 1 i  m e 1 j  n. A matriz A é representada por um quadro com m linhas e n colunas, no qual o elemento ai j situa-se no cruzamento da i-ésima linha com a j-ésima coluna.

também pode ser representada por parênteses ou barras verticais duplas, no lugar dos colchetes.

Uma outra forma de representação, que será usada em algumas partes deste texto, é a seguinte:

A = [[a11 , a12 , ..., a1n],[a21, a22, ...,a2n], ..., [am1, am2, ...,amn]], a vantagem desta forma é sua possibilidade de inserção num texto corrente. (Na sintaxe do software Mathematica se usa chaves no lugar de colchetes)

Assim a i-ésima linha da matriz A é:

[ai1 , ai2 , ..., ain], para i = 1, 2, ...,m

E a j-ésima coluna da matriz A é:

[[a1j], [a2j], ...,[amj]], para j = 1, 2, ..., n

A matriz A também pode ser compactamente representada por: A = (aij)mxn , neste caso seus elementos não aparecem explicitamente.

Exemplo 1.1Considere as seguintes matrizes:

As matrizes A e B são 2x2. A matriz C é 1x3. D é 2x3. E é 3x1 e F é 1x1, neste caso podemos dizer que F = 3, ou seja, uma matriz real de ordem 1 pode ser identificada com um escalar.

Observando a notação dada, podemos escrever alguns elementos das matrizes dadas:

a21 = 5, c13 = -2, d11 = 1, e31 = -1

Definição 1.2: Matriz retangular É toda matriz onde m  n

Definição 1.3: Matriz quadrada É toda matriz onde n = m, ou seja, esta matriz tem mesmo número de linhas e colunas

Definição 1.4: Diagonal principal numa matriz quadrada A = (aij), de ordem n, os elementos aij, em que i = j, constituem a diagonal principal.

Definição 1.5: Diagonal secundária numa matriz quadrada A = (aij), é formada por todos os elementos tal que i + j = n + 1

Definição 1.6: Traço de uma matriz quadrada é o somatório dos elementos da diagonal principal desta matriz

Propriedades:

Para A e B matrizes quadradas de ordem n, valem as propriedades:

I – tr(0) = 0

II – tr(I) = m

III – tr(A+B) = tr(A) + tr(B)

IV – tr(kA) = k tr(A) para todo k

V – tr(AT) = tr(A)

VI – tr(AB) = tr(BA) (Note que em geral AB≠BA)

Definição 1.7: Matriz diagonal é matriz quadrada A = (aij) que tem os elementos aij = 0 quando i  j.

Definição1.8: Matriz escalar é matriz diagonal que tem os elementos aij iguais entre si pra i = j .

para k real.

Definição 1.9: Matriz identidade (ou unidade)é matriz escalar de qualquer ordem que tem os elementos aij = 1 para i = j.

Definição 1.10: Matriz zero (ou nula) é toda matriz cujos elementos são todos nulos.

Operações com Matrizes

Definição 1.11:Duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn são iguais se, e somente se, a­ij = bij , para todo i e j considerados em seus intervalos de variação.

Definição 1.12:A soma de duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn (representada por A + B), é uma matriz C = (cij), tal que cij = aij + bij

Observação 1.1: A diferença A – B de duas matrizes de mesma ordem é uma matriz C, tal que: cij = aij - bij

Dadas A,B e C matrizes m x n, são válidas as seguintes propriedades:

  1. (A + B) + C = A + (B + C) [Associativa]

  2. A + B = B + A [Comutativa]

  3. A + 0 = 0 + A = A [Elem. Neutro]

  4. Para todo A   A tal que – A + A = A – A = 0 [Simétrico]

Observação 1.2:Com as propriedades acima listadas a operação de adição de matrizes se identifica com a adição de reais. Dessa forma em relação a adição, a “álgebra matricial” é idêntica a “álgebra de números reais”. Este fato dispensa uma demonstração formal das propriedades acima.

Definição 1.13:Dado um escalar k e uma Matriz A = (aij)mxn, chama-se produto k.A a matriz B=(bij)mxn, tal que bij = k. aij para todo i e todo j considerados em seus intervalos de variação. (Produto por escalar)

Dados os escalares a e b e as matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn , valem as seguintes propriedades:

I- a.(b.A) = (ab).A [Associativa]

II- a.(A + B) = a.A + a.B [Distributividade do escalar]

III- (a + b). A = a.A + b. A [Distributividade da matriz]

IV- 1. A = A [Elemento escalar neutro]

Observação 1.3:Como no caso anterior (adição), a demonstração destas propriedades se reduzem a mostrar as mesmas propriedades para escalares.

Somatórias (  )

Utilizamos o somatória para escrever somas de várias parcelas de forma sintética. Vejamos o seguinte exemplo:a1 + a2 + a3 + ...+ a25 = , deve ser lido como: “somatória de ai , i variando de um até vinte e cinco”.

Podem surgir somatórias com índices duplos, triplos, etc. Como visto a seguir:

a)

b)

Para n natural , ai , bi e k escalares, valem as propriedades dos Somatórias:

I - .

Demonstração:

II -

Demonstração:

III -

Demonstração:

Fazendo = B, teremos:

IV -

Demonstração:

Exercícios - Lista_1_Matrizes

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