Função quadrática

Função quadrática

(Parte 1 de 2)

TD de Matemática Prof.: Tiago Rodrigues – proftiagorodrigues@gmail.com

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Definição: Uma função quadrática é uma função fdefinida por ceb,a são números reais. - O domínio de uma função quadrática é o conjunto dos números reais.

- O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

1. ESTUDO DA FUNÇÃO 2x)x(fx= Construa-se o gráfico da função 2xy:f=

Nota: Esta função deverá ser visualizada na máquina de calcular.

Vamos fazer agora o estudo da função, tendo em conta a sua representação geométrica. •Domínio: ℜ (como aliás já tinha sido dito na definição);

•Zeros: 0;

•Sinal da função: f é não negativa em todo o seu domínio, ou seja, em ℜ;

•Monotonia: →f é decrescente no intervalo ][0,∞− → f é crescente no intervalo ][+∞,0 ;

•Extremos: A função tem um mínimo em 0;

•Injectividade: A função é não injectiva, pois existem objectos diferentes que têm a mesma imagem, Por exemplo: f(1)=1 e f(-1)=1 ;

•Eixo de simetria: O eixo de simetria é OY(uma vez que é par); •Vértice da parábola: (0,0);

•Concavidade: Voltada para cima.

Vamos agora fazer o estudo dos vários casos de funções quadráticas.

1º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO 0a,axx2≠ (a) Consideremos as seguintes funções em que a>0:

2x)x(f=2x5,0)x(g= h(x)=22x
Vamos representar graficamente estas três funções:

Conclusões:

Verificamos que nestas três funções o que varia é a abertura da parábola, mantendo--se todas as outras características. Então podemos concluir que quanto maior é o valor de a, mais fechada é parábola.

2x)x(a−=2x5,0)x(b−= 2x2)x(c−=
Voltemos novamente a representá-las geometricamente:

(b)Consideremos agora as funções em que a<0:

Conclusões:

Verificamos que o que varia nestas três funções é novamente a abertura da parábola. Neste caso, quanto menor é o valor de a, mais fechada é a parábola. Em relação às funções consideradas em (a) já vão variar outras características.

Registemos num quadro as principais características da função do tipo 0a,axy2≠=:

a<0

À medida que a diminui, a abertura também diminui a>0

À medida que a aumenta, a abertura diminui

Concavidadevoltada para baixovoltada para cima Domínio ℜ ℜ

Extremosmáximo absoluto: 0 maximizante: 0 mínimo absoluto: 0 minimizante: 0

Vértice(0,0)(0,0)

Eixo de simetriaeixo OYde equação 0x = eixo OYde equação 0x=

Sinalnão positiva em ℜnão negativa em ℜ

2º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO 0a,kaxx2≠+

2x2)x(f=2x2)x(g2
−=2x2)x(h2+=

Consideremos as funções: Geometricamente temos:

Conclusões: •A abertura das parábolas é a mesma, assim como a concavidade (a é o mesmo);

•Houve uma translação vertical nas funções h e g em relação a f;

•A função g sofreu uma translação associada ao vector (0,-2);

•A função h sofreu uma translação associada ao vector (0,2);

- em g→(0,-2)

•Os vértices vão passar a ser: - em h→(0,2) •Os eixos de simetria são os mesmos, ou seja, a recta 0x=;

- em h temos um mínimo →2

•Os extremos vão mudar: - em g temos um mínimo →-2 •O contradomínio também vai sofrer alterações: - [[+∞−=,2Dg

Concavidade voltada para cimavoltada para cimavoltada para baixovoltada para baixo

Domínio ℜ ℜ ℜ ℜ

Contra-

Monotonia decrescente:

Zerosnão tem1xe 2x1xe 2xnão tem Extremosmínimo absoluto: k minimizante: 0 mínimo absoluto: k minimizante: 0 máximo absoluto: k maximizante: 0 máximo absoluto: k maximizante: 0

Vértice (0,k) (0,k) (0,k) (0,k)

Eixo de simetria eixo OYde equação 0x= eixo OYde equação 0x= eixo OYde equação 0x= eixo OYde equação 0x=

Sinalpositiva em ℜ positiva:

negativa em ℜ

Exercício 1: Determina os zeros, analiticamente, das funções f, g e h anteriormente definidas:

→f(x)2x2=2x2)x(g2

Resolução: −=→

0x0x20)x(f2=⇔=⇔=1x02x20)x(g2±=⇔=−⇔=
(1 zero) (2 zeros)

Exercício 2: Escreve na forma kaxy2+=as funções que têm a seguinte representação gráfica: (a) (b)

Resolução:

(a) Temos que 2k=, logo vem 2axy 2 +=

Resta determinar a. Como o ponto (2,4) pertence à parábola, ele verifica a equação:

Então a equação da função é dada por 2x2 1y 2 += .

Resta determinar a. Como o ponto (2,0) pertence à parábola, ele verifica a equação:

Então a equação da função é dada por 3x4 3y 2 +−= .

Exercício 3:

Seja f uma função quadrática definida por 3

2x3y 2 −−=. Indica as coordenadas do vértice, o contradomínio e os intervalos de monotonia.

Resolução:

Como

O contradomínio é o intervalo

A função é decrescente no intervalo ][+∞,0 e crescente no intervalo ][0,∞−.

3º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO 2)hx(ax−

Conclusões:

Obtivemos os gráficos das funções g e h através de uma translação horizontal, segundo o vector (h,0). Vamos ter alterações nos zeros, nas coordenadas do vértice, o eixo de simetria e na monotonia.

Sintetizando: a>0 a<0

Concavidadevoltada para cimavoltada para baixo Domínio ℜ ℜ

Monotonia decrescente: ][h,∞−

Zeros h h

Extremos mínimo absoluto: 0 minimizante: h máximo absoluto: 0 maximizante: h

Vértice (h,0) (h,0)

Eixo de simetriarecta de equação hx=recta de equação hx= Sinalnão negativa em ℜnão positiva em ℜ

(a) 5,2xx2+(b) 4x3x2− (c) 2)3x(x−−

Exercício: Sem efectuar cálculos faz um possível esboço do gráfico de cada uma das funções:

(a)v = (0;2,5) (b) v = (0;-4)

Resolução: (d) v = (3,0)

4º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO k)hx(ax2+−

Consideremos a função 3)1x(2)x(f2−+=. Que transformações devem ser feitas ao gráfico da função 2x)x(g= para obter o gráfico da função f ?

Vamos deslocar o gráfico segundo uma translação associada ao vector (-1,0). 3º) Passar de 2)1x(2y+= para 3)1x(2y2−+=:

Vamos deslocar o gráfico segundo uma translação associada ao vector (0,-3).

Conclusões:

Obtemos o gráfico de f através de uma translação do gráfico da função 2x2y=, associada ao vector (-1,3).

Sintetizando:

Concavidadevoltada para cimavoltada para baixo

Domínio ℜ ℜ

Monotoniacrescente em ][+∞,h decrescente em ][h,∞− crescente em ][h,∞− decrescente em ][+∞,h

Extremosmínimo absoluto: k minimizante: h máximo absoluto: k maximizante: h

Eixo de simetriarecta de equação hx=recta de equação hx=

Exercício: Sem efectuar cálculos faz um possível esboço do gráfico da seguinte função:

Resolução: v = (-3,0)

Em termos de representação gráfica temos o seguinte:

1º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO 0a,axx2≠

Qualquer função do tipo 2axx tem gráfico resultante do de 2xy=, variando apenas a abertura da parábola.

2º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO 0a,kaxx2≠+

O gráfico de funções do tipo kax)x(f2+= resulta do de 2axy= por uma translação vertical associada ao vector (0,k).

3º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO 2)hx(ax−

Qualquer função definida por uma expressão do tipo 2)hx(ay−= tem gráfico resultante do de 2axy= por uma translação associada ao vector (h,0).

Qualquer função definida por uma expressão do tipo )0a,k,h,a(k)hx(ay2≠ℜ∈+−=, tem

4º CASO: GRÁFICO DA FUNÇÃO k)hx(ax2+− um gráfico resultante do de 2axy= por translação associada ao vector (h,k).

Exemplo: Sem representar graficamente a função 1)3x(2x:f 2 +−− indica as suas principais características.

Resolução: Domínio: ℜ; Contradomínio: ]]1,∞−;

Máximo absoluto: 1maximizante: 3

COMO PASSAR DE cbxax2++ PARA k)hx(a2+−? Consideremos a seguinte função: 5x4x)x(f 2 +−=

Teremos que construir um caso notável:

A função f representa uma parábola com a concavidade voltada para cima )0a,1a(>=, vértice no ponto (2,-4) e eixo de simetria 2x=.

Exercício: Dadas as funções g e h, passa à forma k)hx(a2+−, indicando o vértice de cada uma delas:

Resolução:

O vértice tem coordenadas

Exercícios :

1) Para cada par de funções, descreve como podes obter o gráfico da segunda partindo do gráfico da primeira:

Resolução: 1.1) O gráfico da função terá que sofrer uma translação segundo o vector (-5,0). 1.2) Primeiro, o gráfico da função terá que ser invertido em relação ao eixo OX, depois terá que sofrer uma translação associada ao vector (-2,3).

2) Escreve a expressão que define a função quadrática tal que: (a)o vértice da parábola é (-1,4) e 5a−=; (c) o vértice da parábola é (-3,1) e um dos zeros é 3x= Resolução:

Como um dos seus zeros é 3 então o ponto (3,0) pertence à parábola, substituindo vem 1)3(a0 2 ++=

Temos então

3.1) Sabendo que 5h−=, o que podes dizer acerca dos intervalos de monotonia da função? 3.2) Considerando 2a−= e 3h= determina o contradomínio da função. 3.3) Indica um intervalo onde a função seja injectiva.

Resolução: 3.1) Como 5h−=, a função é do tipo 0a,)5x(a)x(f2≠+=. Logo o que irá fazer variar a função é o

Então:
- se 0a>, a função é

valor de a. −∞−

5,ervalointnoedecrescent ,5ervalointnocrescente

- se 0a<, a função é

,5ervalointnoedecrescent 5,ervalointnocrescente

4.1)4.2)

4) Escreve uma expressão analítica para as funções quadráticas representadas graficamente:

Resolução:

O vértice tem coordenadas (0,3), logo 3k=. Vem então 3axy2+=. Resta determinar a.

Como o ponto (-2,0) é um ponto da parábola, então verifica a equação:

Vem então

O vértice tem coordenadas (2,0), logo 2h=. Vem então 2)2x(ay−=. Resta determinar a.

Como o ponto (0,4) é um ponto da parábola, então verifica a equação:

ESTUDO DO GRÁFICO DE cbxaxx2++ A PARTIR DE aE DE ∆

Já vimos a importância do valor a, pois além de nos indicar a abertura da parábola, também nos permite concluir se a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo, mediante a>0 ou a<0, respectivamente. Outro parâmetro importante para o estudo do gráfico de uma função é ∆ , ou seja, o binómio discriminante.

Ao analisarmos o valor de ∆, ficamos a conhecer o número de raízes da função, podendo ser 0, 1 ou 2. Então,

Conhecendo a e ∆ podemos localizar o gráfico da função cbxaxx2++ em relação ao eixo horizontal e posteriormente saber o sinal da função.

a>0

Função positiva 21 x >∨<

Função negativa 21 x <<

Função positiva 1xx ≠ Função sempre positiva

a<0

Função positiva

21 x << Função negativa

Função negativa 1xx ≠

Função sempre negativa

Exemplos:

(a) Consideremos a função definida por 3x8x4)x(f2+−=. A função representa uma parábola de concavidade voltada para cima )0a,4a(>=.

- Zeros
Logo a função tem dois zeros.

Determinemo-los:

Para fazermos um esboço da parábola um pouco mais rigoroso, é necessário determinar as coordenadas do vértice. Como a parábola é simétrica relativamente ao seu eixo de simetria (que é a recta vertical que passa pelo vértice), o eixo fica equidistante das suas raízes. Logo a abcissa do vértice é dado por:

Como o vértice é um ponto da parábola, para determinarmos a sua ordenada, basta substituirmos na equação vx por 1,

Temos então que o vértice tem coordenadas (1,-1). O eixo de simetria é a recta de equação 1x=. Já estamos então em condições de traçar um esboço do gráfico:

(b) E se considerarmos a função definida por 5x4xy2++= ?

- A concavidade é voltada para cima.

Será que existem?
Logo não existem zeros.

Como determinar o vértice e o eixo de simetria? A maneira mais simples será construir um caso notável e escrever a equação na forma k)hx(ay2+−=.

1)2x( 2 ++= Logo o vértice tem coordenadas (-2,1) e o eixo de simetria é a recta de equação 2x−=.

Exercício: Considere as funções quadráticas definidas como se segue:

1) Determine os zeros e estude o sinal da função f; 2) Represente graficamente a função f. Indique as coordenadas do vértice da parábola, o contradomínio e intervalos de monotonia da função; 3) Repita as alíneas anteriores para a função h.

Resolução:

Zeros: ac4b2
04>=Logo tem dois zeros
Determinemos os zeros:
Como a concavidade é voltada para cima, vem que:

- a função é negativa em ][4,2

2) Determinemos as coordenadas do vértice:

Logo

Então as coordenadas do vértice são (3,-1). Temos a seguinte representação geométrica:

Zeros: ac4b2
0204<−=Logo não tem zeros.

Como )0a(,1a<−=, a concavidade é voltada para baixo, logo a função é sempre negativa. Para representar graficamente a função, será necessário determinar as coordenadas do seu vértice.

Logo o vértice tem coordenadas (1,-4). Temos a seguinte representação geométrica:

APLICAÇÕES DO ESTUDO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA INEQUAÇÕES DO 2º GRAU

O estudo que foi feito até aqui da função quadrática irá ser usado agora na resolução de inequações do 2º grau.

Problema: Para iluminar uma operação de salvamento lança-se um “very light” cuja altura h em relação ao nível do mar é dada aproximadamente pela lei

2tt510h−+=

(h em metros, t em segundos)

A luz só é útil desde que o “very light” esteja a 4m ou mais acima do mar. Quanto tempo dura a luz útil de cada foguete?

Resolução: Queremos os valores de t para os quais 4h≥, ou seja,

Queremos saber para que valores de t, a função é positiva ou nula (não negativa), logo teremos que estudar o sinal da função.

- 0a< (tem concavidade voltada para baixo);

- Zeros:

A função é positiva no intervalo das raízes, ou seja, de -1 a 6. No entanto, neste problema só interessa quando t>0, pelo que a luz é útil do instante 0 a 6, ou seja durante 6 segundos.

Exercícios: Resolva, em ℜ, as inequações:

1) 09x≤−2) 6x5x2<−

Resolução:

Determinemos os zeros:

08124ac4b2<−=−=−=∆logo não tem zeros.
c.s.: {}
Como a<0 temos que
c.s.: []5,3

Exercício: Determina o domínio da cada uma das seguintes funções f, definidas por:

(a) {}0xx:xD2≥+ℜ∈=

Resolução:

0xx2=+
=⇔

282x −±− Impossível em ℜ, ou seja, a função não tem zeros.

Um agricultor comprou 6 metros de rede para fazer um galinheiro rectangular. Para optimizar o empate de capital feito na compra da rede, pretende que o galinheiro tenha área máxima. Ajude o agricultor a resolver o problema, seguindo os passos que a seguir se indicam:

1) Exprime l em função de c; 2) Exprime a área A do galinheiro em função de c; 3) Determina o valor de c para o qual a área é máxima e o correspondente valor de l.

Resolução:

3) Queremos determinar o máximo da função c3c)c(A 2 +−=

Como a1−=, a<0, a concavidade será voltada para baixo, logo o máximo corresponde à abcissa do vértice da parábola.

Determinemos os zeros:

Então

A área é máxima quando 5,1c= m.

EXERCÍCIO 1:

Uma bola é lançada verticalmente ao ar, com uma velocidade inicial de 20m/s. A altura )t(hda bola, em metros, no tempo t, é dada aproximadamente pela fórmula

1) Quanto tempo a bola se manteve no ar? 2) Qual é a atura máxima atingida pela bola? 3) Determina o intervalo de tempo em que a altura era superior a 0,5m. 4) A que altura foi lançada a bola? RESOLUÇÃO: 1) Façamos um breve estudo da função para esboçar o gráfico: 5a−=, a<0, logo a concavidade é voltada para baixo.

Zeros:

Determinemo-los:

025,0t02,4t−≈∨≈⇔
A bola mantém-se no ar aproximadamente 4,02 segundos.

2) Determinar a altura máxima é determinar vh:

A altura máxima é de 20,5m.

3) Queremos determinar t, tal que

C.A.

A altura é superior a 0,5m no intervalo ][4,0. 4) A bola foi lançada no instante 0t=, logo

A bola foi lançada a uma altura de 0,5m. EXERCÍCIO 2:

Uma bola atirada de baixo para cima, na vertical, atinge a altura h, em metros, dada por

ao fim de t segundos.

1) Qual é a altura máxima atingida pela bola e o tempo gasto nesse percurso? 2) Qual é a altura da bola ao fim de 2 segundos? 3) Em que instante atinge a bola o solo? 4) Em que instantes é a altura atingida pela bola superior a 5 metros? RESOLUÇÃO:

Determinemos primeiro os zeros da função:

1) Queremos determinar a altura máxima, ou seja, vh.

Então
logo
Conclui-se então que o tempo gasto é de 3 segundos.
A altura ao fim de 2 segundos é de 10 metros.

3) A bola atinge o solo no instante 3t=. 4) Queremos determinar o intervalo de tempo tal que

Então a altura atingida pela bola é superior a 5 metros no intervalo de tempo ][62,2;38,0.

Consideremos a seguinte função módulo

FUNÇÕES DEFINIDAS POR RAMOS 2x)x(f −= que pode ser definida por

Geometricamente temos

Exemplo: Consideremos agora a seguinte representação gráfica:

Se quisermos determinar a sua expressão analítica, verificamos que não conseguimos definir a função em todo o seu domínio, com apenas uma expressão analítica. Determinemos primeiro a expressão analítica das duas rectas e consideremos os pontos )1;1(A−−=,

- Como o ponto A pertence à recta então verifica a equação, logo vem 2m1m1 =⇔+−=−

Então temos 1x2y:AB +=

Para a recta CD:

Como o ponto C pertence à recta, então verifica a equação

Resta determinar a ordenada na origem: 2bb11 =⇔+−=

A recta AB não está definida em ℜ, mas apenas no intervalo ]]1;∞−, enquanto que a recta CD está definida no intervalo ]]5;1. Então a expressão analítica da função é dada por:

ou equivalentemente

EXERCÍCIOS 1. Considera a função

(a) Determina analiticamente os zeros da função h; (b)Calcula )1(h−, )0(h e )4(h; (c)Representa graficamente a função h.

2. Na figura está representado o gráfico da função g.

(a)Indica o domínio, contradomínio e intervalos de monotonia; (b)Define a função g analiticamente.

1. (a) Queremos determinar os valores de x tais que 0)x(h=:

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