Baixe 07 - Campo Magnético Estacionário e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity! Campo Magnético Estacionário 1 Eletromagnetismo Campo Magnético Estacionário Analogias: campo elétrico x campo magnético: Elétrico Magnético Fonte (Infinitesimal) dQ ( )C ldI r . ( )mA. Campo E r ( )mV H r ( )mA Densidade de Fluxo D r ( )2mC B r ( )TmWb →2 Fluxo ψ ( )C φ ( )Wb Fontes de campo magnético: - Imã permanente; - Campo elétrico variante no tempo; - Corrente contínua. Elemento de corrente: entidade com sentido matemático, porém sem sentido físico: nadlld rr .= ldI r . ( )mA. Por que não há sentido físico no “elemento de corrente”? Condutor filamentar: aproximação de um condutor cilíndrico com raio tenden- do a zero. Campo Magnético Estacionário 2 Eletromagnetismo Lei de Biot-Savart Lei experimental: 2..4 . R aLdI Hd r π rrr ∧ = ( )mA Forma integral da Lei de Biot-Savart: ∫ ∧ = 2..4 . R aldI H r π rrr Outros tipos de elementos de corrente: dVJdSKldI ... rrr == ( )mA. Campo Magnético Estacionário 5 Eletromagnetismo Exercício 2: Calcule H r no centro de uma espira quadrada de corrente de lado L. Analisar os resultados obtidos. Resolução: Aplicando Biot-Savart: ( ) ( ) 2 3 22 2..4 . 2 ...     +       +−∧ = Lx aLaxadxI Hd yxx π rrr r ( ) 2 3 22 2..4 . 2 ..     + = Lx aLdxI Hd z π r r Cálculo total do campo na origem, considerando os oito segmentos: Campo Magnético Estacionário 6 Eletromagnetismo ( ) ∫     + = 2 0 2 3 22 2..4 . 2 .. .8 L z Lx aLdxI H π r r zaL IH r r . .2.2 π = Genericamente: naL IH r r . .2.2 π = O que significa na r ? Campo Magnético Estacionário 7 Eletromagnetismo Exercício 3: Um filamento de corrente de 5A segundo ya r é paralelo ao eixo “y” em x = 2m, z = -2m. Pede-se H r na origem. Analisar os resultados. Resolução: “Redesenhando” o problema, teremos: Partindo-se de φπ a r IH r r ..2 = , sendo 2.2822 22 ==+=rr , tem-se: 2 zx aaa rr r + =φ Campo Magnético Estacionário 10 Eletromagnetismo 321 rrrrr EnlaçadaCorrente aKaHaHldH .2.0.2.0.2. =+++=⋅∫ 2 K H r r = (Independe de a) No caso: xa KH r r 2 = para z > 0 e xa KH r r 2 − = para z < 0. Genericamente: naKH rrr ∧= 2 1 Campo Magnético Estacionário 11 Eletromagnetismo Exercício 5: Obter H r para um cilindro condutor sólido de raio a, em que uma corrente I é uniformemente distribuída por sua secção reta. Resolução: Para a<ρ : ernaIldH int=⋅∫ rr → ernaIH int..2. =ρπ r ernatotal JJ int rr = → 2 int 2 .. ρππ ernaI a I = → 2 2 int a II erna ρ = 2 2 ..2. a IH ρρπ = r → φπ ρ a a IH r r 2..2 . = ( )a≤≤ ρ0 Para a>ρ : IH =ρπ ..2. r → φρπ aIH r r ..2 = ( )a>ρ Análise gráfica: Campo Magnético Estacionário 12 Eletromagnetismo Exercício 6: Determinar H r no eixo de uma espira circular de corrente com raio a. Particularizar o resultado para o centro da espira. Analisar. Resolução: Com base nas representações gráficas: zahaaR rrr .. +−= ρ ( ) ( ) ( ) 2322..4 ..... ha ahaaadaI Hd z + +−∧ = π φ ρφ rrr r ( )( ) ( ) 2322..4 ..... ha ahaadaI Hd z + + = π φ ρ rr r Campo Magnético Estacionário 15 Eletromagnetismo O módulo de H r devido ao fio deve ser 3 ( )mA . Então: ρπ ..2 IH fio = r ( )5,14..23 −= π I 1,47=I (A) A corrente deverá estar orientada segundo xa r + de modo a cancelar o campo planoH r . Campo Magnético Estacionário 16 Eletromagnetismo Rotacional x∆ e y∆ são pequenos. Fazendo a integral ao longo do percurso 1-2-3-4-1: yHLH y ∆⋅=∆⋅ −− 2121 rr Sendo:       ∆ ∂ ∂ +≅− xx H HH yyy 2 1 021 Logo: ( ) yx x H HLH yy ∆      ∆ ∂ ∂ +≅∆⋅ − .2 1 021 rr Para o trecho 2-3: ( ) xy y H HxHLH xxx ∆      ∆ ∂ ∂ +−≅∆−≅∆⋅ −− .2 1. 03232 rr Se o mesmo procedimento for feito para os segmentos 3-4 e 4-1, ao so- mar os resultados chega-se à: yx y H x H LdH xy ∆∆      ∂ ∂ − ∂ ∂ ≅⋅∫ .. rr Pela Lei de Ampère: yxJILdH zenvolvida ∆∆==⋅∫ .. rr Campo Magnético Estacionário 17 Eletromagnetismo Então: zx y J y H x H yx LdH ≅ ∂ ∂ − ∂ ∂ ≅ ∆∆ ⋅∫ . rr Fazendo x∆ e y∆ tendendo à zero: z xy y x J y H x H yx LdH = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∆∆ ⋅∫ →∆ →∆ . lim 0 0 rr De modo semelhante, teremos: Ou seja: x yz z y J z H y H zy LdH = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∆∆ ⋅∫ →∆ →∆ . lim 0 0 rr yzx x z J x H z H xz LdH = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∆∆ ⋅∫ →∆ →∆ . lim 0 0 rr Como: zx y y zx x yz a y H x H a x H z H a z H y H HHrot rrr rrr       ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ =∧∇= Ou seja: zyx zyx HHH zyx aaa HHrot ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂=∧∇= rrr rrr Campo Magnético Estacionário 20 Eletromagnetismo c) ( ) yy zyx azaz z z zyx aaa H rr rrr rr ..4,0..2,0 00.2,0 2 2 = ∂ ∂ =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂=∧∇ Para 1zz = , tem-se yazH rrr ..4,0 1=∧∇ . Notar que a definição de rotacional consiste em: Sn LdH H Sn ∆ ⋅ =∧∇ ∫ →∆ rr rr 0 lim Conclusão? Campo Magnético Estacionário 21 Eletromagnetismo Forma pontual (ou local) da Lei de Ampère: JH rrr =∧∇ (2ª Equação de Maxwell) A partir da Lei de Kirchhoff: 0=⋅∫ ldE rr E aproveitando o conceito de rotacional, além de enlaçadaIldH =⋅∫ rr , tem-se: 0=∧∇ E rr Que corresponde à forma pontual ou local da Lei de Kirchhoff para o Ele- tromagnetismo (estática), ou ainda, à 3ª Equação de Maxwell. Sabendo-se que inexistem “monopólos magnéticos”, ou seja, os pólos N e S não são separáveis, ao contrário do que ocorre com as cargas positivas e negativas, e aproveitando a analogia com VD ρ=⋅∇ rr , tem-se que: 0>⋅∇ D rr 0=⋅∇ D rr 0<⋅∇ D rr Para uma superfície envoltória de “cargas magnéticas”, teremos, diante dos fatos considerados, que todas as linhas de fluxo que saem da superfície fechada considerada também entram, ou seja: 0=⋅∫ SdB rr Campo Magnético Estacionário 22 Eletromagnetismo Que corresponde, sob o ponto de vista macroscópico, à “Lei de Inexistên- cia de monopólos magnéticos”, ou, ainda, à Lei de Gauss para o Magnetismo. Analisando sob a forma pontual ou local, teremos: 0=⋅∇ B rr Que corresponde à 4ª Equação de Maxwell para situações estáticas. Campo Magnético Estacionário 25 Eletromagnetismo Exercícios Resolvidos Exercício 1: O comportamento do vetor campo magnético na região compre- endida por x = 0; 0,5 < y < 1 e 1 < z < 1,5 é dada por zyx ayaxazH rrrr ... 432 ++= ( )mA . Pede-se: a) Calcular ∫ ⋅ ldH rr ao longo do perímetro dessa região; b) Obter H rr ∧∇ ; c) Calcular x H rr ∧∇ e área ldH∫ ⋅ rr no centro da região considerada e analisar os resultados obtidos. Resolução: a) ( ) ( )∫∫∫∫∫ +++=⋅ 1 5,1 4 5,0 1 5,1 1 4 1 5,0 .5,0.0.1.0 dzdydzdyldH rr 46875,0=⋅∫ ldH rr ( )A b) 432 yxz zyx aaa H zyx ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂=∧∇ rrr rr Campo Magnético Estacionário 26 Eletromagnetismo zyx ay z x xa z z x ya z x y yH rrr rr       ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ −      ∂ ∂ − ∂ ∂ =∧∇ 232434 zyx axazayH rrrrr 23 .3..2..4 +−=∧∇ ( )mA c) No centro da região tem-se x = 0, y = 0,75m e z = 1,25m, logo: No ponto central, H r será: ( ) ( ) zyx aaaH rrrr .75,0.0.25,1 42 ++= ( )mA centro H rr ∧∇ , que não é calculado a partir do centro H r , e sim através de H r genérico, será: ( ) xxcentro aH rrr .75,0.4 3 , =∧∇ → 6875,1 , =∧∇ xcentro H rr ( )2mA Fazendo área ldH∫ ⋅ rr , teremos: ( )( ) 8750,115,1.5,01 46875,0 = −− ( )2mA Cujo valor é diferente daquele obtido anteriormente. No entanto, se refi- zermos o exercício levando a área em torno do ponto (0; 0,75; 1,25)m a um valor muito pequeno, bem como a circuitação associada, o resultado tenderá a 1,6875 ( )2mA . Para casa: Refazer o problema anterior supondo x = 0; 0,74 < y < 0,76 e 1,24 < z < 1,26m. Analisar os resultados obtidos. Campo Magnético Estacionário 27 Eletromagnetismo Exercício 2: Na região cilíndrica mm6,0≤ρ ,      +      = 2 2 ρ ρφ H ( )mA enquanto que       = ρφ 3H ( )mA para mm6,0>ρ . Pede-se: a) Determinar J r para mm6,0<ρ ; b) Determinar J r para mm6,0>ρ ; c) Há corrente filamentar em 0=ρ ? d) Caso a resposta de c) tenha sido positiva, calculá-la; e) Qual é o valor de J r em 0=ρ ? Resolução: a) Utilizamos a equação de Maxwell JH rrr =∧∇ , logo, em coordenadas cilíndri- cas vale: ( ) z zz a HH a H z H a z HH H rrr rr       ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ =∧∇ φρρ ρ ρρφρ ρφ φ ρ ρ φ 1.11 Como só temos a componente φH que varia com ρ , então: ( ) zzzz aad da d da H H rrrr rr .1 2 21 2 21.1 2 ρ ρ ρ ρρ ρ ρ ρ ρρρ ρ ρ φ =      +=      += ∂ ∂ =∧∇ zaJH rrrr .1==∧∇ ( )2mA b) Para mm6,0>ρ , teremos ρφ 3=H ( )mA , logo: 03.1 =      =∧∇ zad dH r rr ρ ρ ρρ Como isso pode ser interpretado?