Baixe Calculo diferencial e integral 1 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Química, somente na Docsity! Universidade Federal da Paraíba Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Matemática Matemática Aplicada à Administração, Ciências Contábeis e Economia Antônio de Andrade e Silva iv Dedicatória Aos meus filhos José Augusto, Amanda e Fernanda. Sumário Prefácio v 1 Números Reais 1 1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Conjuntos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Representação Geométrica dos Números Reais . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Representação gráfica 33 2.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Distância entre Dois Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 A Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4 Posições Relativas de Duas Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5 Perpendicularismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.6 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3 Funções 57 3.1 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2 Gráficos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Propriedades de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4 Tipos Especiais de Funções 73 4.1 Funções Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2 Funções Exponenciais e Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.3 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.4 Regiões no Plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.5 Funções como Modelos Matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5 Limites e Continuidade 107 5.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.3 Limites Infinitos e no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.4 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 vii viii SUMÁRIO 6 Diferenciabilidade 137 6.1 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.2 Técnicas de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7 Comportamento de Funções 159 7.1 Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.2 Regiões de Crescimento e Decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.3 O Teste da Derivada Primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 7.4 Concavidade e Ponto de Inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.5 Regras de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.6 Gráficos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.7 Taxas Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Referências Bibliográficas 201 Capítulo 1 Números Reais O principal objetivo deste capítulo é fornecer a base necessária para a boa compreensão dos números reais e suas propriedades através de um tratamento conciso sem, contudo, descurar do rigor matemático. 1.1 Conjuntos A noção de conjunto é a própria estrutura para o pensamento da matemática abs- trata. Assim, sem dúvida, para atacar a lista de noções indefinidas e os vários axiomas, relacionando-os, será tomada uma abordagem formal e/ou informal do assunto. Um conjunto é formado de objetos ou entidades bem definidos. Os objetos que com- põem um conjunto particular são chamados de elementos ou membros. (A teoria dos conjuntos foi desenvolvida pelo matemático russo Georg Cantor, 1845 - 1918). Conjuntos e elementos serão indicados, salvo menção explícita em contrário, por letras maiúsculas e minúsculas do nosso alfabeto, respectivamente. Quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A ou A contém x, e escrevemos x ∈ A; caso contrário, escrevemos x /∈ A. Sejam A e B conjuntos. Dizemos que A e B são iguais, denotado por A = B, se eles consistem dos mesmos elementos, isto é, x ∈ A⇔ x ∈ B. Caso contrário, A 6= B (O símbolo ⇔ significa “equivalente”). Assim, um conjunto é completamente determinado se conhecemos seus elementos. Um conjunto com um número finito de elementos pode ser exibido escrevendo todos os seus elementos entre chaves e inserindo vírgulas entre eles. Assim, {a, b, c} denota o conjunto cujos elementos são a, b e c. A ordem em que os elementos são escritos não altera o conjunto. Assim, {a, b, c} e {b, c, a} 1 4 CAPÍTULO 1. NÚMEROS REAIS Figura 1.4: A interseção de A e B. Sejam A e B subconjuntos de U . A diferença de A e B, denotada por A − B, é o conjunto A−B = {x ∈ U : x ∈ A e x /∈ B}. Figura 1.5: A diferença de A e B. Se A ⊆ B, então B − A é chamado o complementar de A em B. Os conjuntos A e B são chamados disjuntos se A ∩ B = ∅. O complementar de A em U é simplesmente chamado de complementar de A e denotado por A0 ou Ac, sem referência explícita a U . Assim, A−B = A ∩B0. Figura 1.6: O complemento de A. Exemplo 1.1 Sejam U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2, 4}, B = {2, 3, 5} e C = {1, 2, 4, 5}. 1.1. CONJUNTOS 5 Então: A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5} A ∩B = {2} A−B = {1, 4} B −A = {3, 5} A− C = ∅ A0 = {0, 3, 5, 6} B0 = {0, 1, 4, 6}. É fácil verificar que: x /∈ A ∪B ⇔ x /∈ A e x /∈ B. x /∈ A ∩B ⇔ x /∈ A ou x /∈ B. x /∈ A−B ⇔ x /∈ A ou x ∈ B. x /∈ A⇔ x ∈ A0. Seja A um conjunto qualquer. Então o conjunto cujos elementos são subconjuntos de A é chamado o conjunto de potências de A e denotado por P(A), isto é, P(A) = {X : X ⊆ A}. Note que o conjunto vazio ∅ e o conjuntoA (ele próprio) são subconjuntos deA e, portanto, são elementos de P(A). Exemplo 1.2 Seja A = {0, 1}. Então os subconjuntos de A são ∅, {0}, {1} e A. Logo, P(A) = {∅, {0}, {1}, A}. Se A é o conjunto vazio ∅, então P(A) tem um elemento, a saber ∅. Note que x e {x} não são o mesmo, pois x representa um elemento, enquanto {x} representa um conjunto. Se x ∈ A, então {x} ∈ P(A). EXERCÍCIOS 1. Se A = {a, b, c} e B = {a, d}, determinar A−B; B −A; A ∩B e A ∪B. 2. Se A ∩B = {a, c}, A−B = {b} e A ∪B = {a, b, c, d}, determinar A e B. 3. Se U = {a, b, c, d, e, f}, A = {c, d, e}, B = {a, b, c} e C = {a, b, c, d}, determinar (a) A0 ∩B0 ∩ C 0 (f) (A0 ∪B0)0 (b) (A−B) ∪ (B −A) (g) (A ∪B)− C 0 (c) (A ∪B)− (A ∩B) (h) (A− C)− (B −A) (d) (B −A) ∩ C (i) (B −A)− [(C −A) ∪ (C −B)] (e) (A0 −B0) ∪ C (j) (C −A) ∪B. 6 CAPÍTULO 1. NÚMEROS REAIS 4. Se U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, determinar (a) A = {x ∈ U : x é par} (d) D = {x ∈ U : x é múltiplo de 2} (b) B = {x ∈ U : x é ímpar} (e) E = {x ∈ U : x é múltiplo de 3} (c) C = {x ∈ U : x é primo} (f) F = {x ∈ U : x é múltiplo de 10}. 5. Sejam A e B subconjuntos de U . Mostrar que(A∪B)0 = A0∩B0 e (A∩B)0 = A0∪B0. 6. Numa faculdade em que estudam 250 alunos houve, no final do semestre, reposição nas disciplinas de Matemática e Português, sendo que 10 alunos fizeram reposição das duas matérias, 42 fizeram reposição de Português e 187 alunos não ficaram em reposição. Determinar: (a) Quantos alunos ficaram, no total, em reposição? (b) Quantos fizeram reposição apenas em Matemática? (c) Quantos ficaram em apenas uma matéria? 7. Se A ∩ C = {2, 7}, B ∩ C = {2, 5, 6}, A− B = {4, 7, 8}, A− C = {4, 8}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} e A ∪B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, determinar A, B e C. 1.2 Conjuntos Numéricos O primeiro conjunto numérico a surgir foi o conjunto dos números naturais N = {1, 2, 3, . . .}. Esse conjunto tinha, originalmente, a capacidade de representar “todas” as quantidades e, posteriormente, com o advento das operações elementares, em particular a adição e a multiplicação, foi possível somar e multiplicar dois números quaisquer de N, obtendo-se um número de N, o que em linguagem moderna significa dizer que em N é fechado em relação à soma e à multiplicação, isto é, ∀ x, y ∈ N⇒ x+ y ∈ N e x · y ∈ N. (O símbolo ∀ significa “para todo” ou “qualquer que seja”). Com a subtração surgiu um problema, que era o da impossibilidade de se subtrair um número do outro quando o primeiro era menor do que o segundo ou de resolver equações do tipo x+ 2 = 0. Daí, a necessidade de se construir um conjunto contendo uma “cópia” de N e onde pudésse- mos, além de somar e multiplicar, subtrair um elemento do outro sem qualquer restrição. Assim, surgiu o conjunto dos números inteiros Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}. Vamos destacar alguns subconjuntos de Z: 1.2. CONJUNTOS NUMÉRICOS 9 Portanto, somando e subtraindo 21 · 35k, obtemos 7 = (2− 35k)21 + (−1 + 21k)35, ∀k ∈ Z, isto é, mdc(21, 35) = 21r + 35s é a solução geral da equação, onde r = 2− 35k e s = −1 + 21k,∀ k ∈ Z. Além disso, para encontrar as soluções positivas desta equação, basta resolver as in- equações −1 + 21k ≥ 0 e 2− 35k ≥ 0. Neste caso a equação não possui solução positiva. Sejam a, b ∈ Z, com a 6= 0 ou b 6= 0. Dizemos que um inteiro positivo m ∈ Z∗+ é o mínimo múltiplo comum de a e b, denotado por mmc(a, b), se as seguintes condições são satisfeitas: 1. a | m e b | m. 2. Se a | c e b | c, então m | c. Observação 1.7 A condição (1) diz que m é um múltiplo comum de a e b, (2) diz que m é o menor múltiplo comum de a e b. Se a, b ∈ Z∗ e mmc(a, b) existe, então ele é único (Prove isto!). Além disso, mdc(a, b) ·mmc(a, b) = ab, ∀a, b ∈ N. De fato, suponhamos que m = mmc(a, b). Como a | ab e b | ab temos, por (2), que existe d ∈ N tal que ab = dm. Mas, por (1), existem r, s ∈ N tais que m = ar e m = bs. Logo, ab = dm = dar e ab = dm = dbs, de modo que b = dr e a = ds, isto é, d | a e d | b. Por outro lado, se c | a e c | b, então existem t, u ∈ N tais que a = ct e b = cu. Assim, a | ctu e b | ctu. Logo, por (2), m | ctu, digamos, ctu = vm, para algum v ∈ N. Então dm = ab = (ct)(cu) = cvm⇒ c | d. Portanto, d = mdc(a, b). Exemplo 1.8 Calcular o mínimo múltiplo comum de 21 e 35. 10 CAPÍTULO 1. NÚMEROS REAIS Solução. Sejam A = {21, 42, 63, 84, 105, 126, . . .} e B = {35, 70, 105, 140, . . .} os múltiplos positivos de 21 e 35, respectivamente. Então A ∩B = {105, 210, 305, . . .}. é o conjunto de todos os múltiplos comuns de 21 e 35. Logo, 105 é o menor múltiplo comum de 21 e 35. Portanto, o mmc(21, 35) = 105. Podemos, também, determinar o mínimo múltiplo comum de 21 e 35 usando a seguinte tabela: 21 35 3 7 35 5 7 7 7 1 1 . Portanto, mmc(21, 35) = 3 · 5 · 7 = 105. No conjunto Z não temos problemas com a subtração, isto é, podemos subtrair um elemento qualquer de outro sem qualquer restrição, mas surge a impossibilidade de se efetuar a divisão de certos números inteiros ou de resolver equações do tipo 2x− 1 = 0. Assim, surgiu o conjunto dos números racionais Q = na b : a, b ∈ Z, com b 6= 0 o . Note que a b representa a divisão de a por b e, por isso, b é diferente de zero. Seja x = a b ∈ Q. Dizemos que x é uma fração irredutível se mdc(a, b) = 1, caso contrário, é x uma fração redutível. Por exemplo, x = 5 9 é uma fração irredutível, enquanto x = 15 35 é uma fração redutível. Sejam a b , c d ∈ Q. Então: 1. a b + c d = ad+bc bd ∈ Q; 2. a b · c d = a·c b·d ∈ Q. Note que estas operações possuem as seguintes propriedades: 1. A adição é associativa, x+ (y + z) = (x+ y) + z, para todos x, y, z ∈ Q. 1.2. CONJUNTOS NUMÉRICOS 11 2. Existe um único elemento 0 (zero) em Q tal que x+ 0 = 0 + x = x, para todo x ∈ Q. 3. A cada x em Q corresponde um único elemento −x (oposto) em Q tal que x+ (−x) = (−x) + x = 0. 4. A adição é comutativa, x+ y = y + x, para todos x, y ∈ Q. 5. A multiplicação é associativa, x · (y · z) = (x · y) · z, para todos x, y, z ∈ Q. 6. Existe um único elemento 1 (um) em Q tal que x · 1 = 1 · x = x, para todo x ∈ Q. 7. A cada x em Q corresponde um único elemento x−1 ou 1 x (inverso) em Q tal que x · x−1 = x−1 · x = 1. 8. A multiplicação é comutativa, x · y = y · x, para todos x, y ∈ Q. 9. A multiplicação é distributiva com relação à adição, x · (y + z) = x · y + x · z e (x+ y) · z = x · z + y · z, para todos x, y, z ∈ Q. Neste caso, dizemos que Q é um corpo. Se x = a b , então x−1 = b a , pois x−1 = c d ⇒ x · x−1 = 1⇒ a · c b · d = 1⇒ c d = b a . Portanto, a b ÷ c d = ³a b ´ · ³ c d ´−1 = a b · d c , isto é, na divisão de uma fração por uma outra fração: conserva-se a primeira e multiplica- se pela segunda invertida. 14 CAPÍTULO 1. NÚMEROS REAIS 10. (−1)(−1) = 1. Prova. Vamos provar apenas o item 8. −(a+ b) = (−1)(a+ b) = (−1)a+ (−1)b = (−a) + (−b). ¥ Lema 1.15 √ 2 é um número irracional. Prova. Suponhamos, por absurdo, que √ 2 seja um número racional, digamos √ 2 = a b com mdc(a, b) = 1, isto é, a b é uma fração irredutível. Elevando ao quadrado ambos os membros, obtemos 2 = a2 b2 ou 2b2 = a2. Logo, 2 | a2 implica que 2 | a (prove isto!) e, assim, existe c ∈ Z tal que a = 2c. Assim, 2b2 = 4c2 ⇔ b2 = 2c2, de modo análogo, 2 | b. Portanto, 2 | mdc(a, b), ou ainda, 2 | 1, o que é uma contradição. ¥ EXERCÍCIOS 1. Efetuar as operações indicadas: (a) 1 2 + 1 3 (c) 1 + 4 5 (e) 5 · 2 7 (g) (1 4 − 2 3 )÷ 3 4 (b) 1 4 − 2 3 (d) −3 7 · 4 7 (f) 3 4 ÷ 5 6 (h) −3 5 ÷ (2 7 + 1 5 ). 2. Determinar se a representação decimal dos números racionais abaixo é exata ou periódica: (a) 7 30 (b) 11 50 (c) 4 45 (d) 13 40 (e) 7 13 (f) 17 5 . 3. Calcular a representação decimal do número racional 2 7 . 4. Calcular a representação decimal do número racional 1 17 . 5. Determinar a fração correspondente às dízimas periódicas: (a) 0, 343343 · · · (c) 3, 266 · · · (e) 0, 21507507 · · · (b) 0, 714285714285 · · · (d) 1, 333 · · · (f) 0, 0002727 · · · 1.2. CONJUNTOS NUMÉRICOS 15 6. Seja p ∈ N um número primo. Mostrar que √p é irracional. 7. Sejam r, s ∈ R, com r 6= 0. Mostrar que se r é racional e s é irracional, então r+ s, r− s, rs e 1 s são irracionais. Conclua que se r, s são irracionais e r2 − s2 é racional não-nulo, então r + s e r − s são irracionais. Por exemplo, se r = √ 3 e s = √ 2. 8. Calcular o mdc(180, 252). 9. Calcular r, s ∈ Z tais que mdc(a, b) = ra+ sb nos seguintes casos: (a) a = 21 e b = 35 (c) a = 20 e b = 13 (e) a = 180 e b = 252 (b) a = 11 e b = 15 (d) a = 69 e b = 372 (f) a = 275 e b = 792. 10. Mostrar que o quadrado de qualquer inteiro ímpar sempre deixa resto 1 quando dividido por 8. 11. Mostrar que a2+ b2 nunca deixa resto 3 quando dividido por 4, para todos a, b ∈ Z. 12. Em uma loja dois produtos custam $71, 00 e $83, 00, respectivamente. Que quanti- dade inteiras de ambos podem ser compradas com $1.670, 00? 13. Escreva o número 300 como soma de dois inteiros positivos de tal forma que um seja múltiplo de 7 e o outro seja múltiplo de 17. 14. Um terreno retângular, com dimensões 7.200m por 2.700m, respectivamente, foi dividido em lotes quadrados. Determinar a maior área possível para esses lotes. 15. Determinar o menor inteiro positivo que tem para restos 2, 3 e 4 quando dividido, respectivamente, por 3, 4 e 5. 16. Determinar o menor inteiro positivo que tem para restos 1, 2, 3, 4 e 5 quando dividido, respectivamente, por 2, 3, 4, 5 e 6. 17. Um produto é oferecido ao mercado consumidor apenas em embalagens dos tipos x, y e z e contendo cada uma 15, 24 e 100 unidades, respectivamente. Uma loja encomendou 590 unidades desse produto para o seu estoque. Calcular a quantidade total possível de embalagens que ele receberá. 18. Sejam A o conjunto dos múltiplos positivos de 2 e B o conjunto dos múltiplos positivos de 3. Se o conjunto A ∩ B é colocado em ordem crescente, determinar a posição do número 2004 neste conjunto. 19. O máximo divisor comum de dois números é 36 e os quocientes encontrados, por divisões sucessivas, foram 1, 2 e 2. Quais são esses números? 20. Numa casa há três goteiras. A primeira pinga de 5 em 5 segundos; a segunda de 6 em 6 segundos e a terceira de 7 em 7 segundos. Se, em um dado instante, as três pingarem ao mesmo tempo, depois de quanto segundos voltarão a pingar juntas? 16 CAPÍTULO 1. NÚMEROS REAIS 1.3 Representação Geométrica dos Números Reais Nesta seção vamos mostrar, de um ponto de vista intuitivo, que os números reais podem ser identificados com os pontos de uma reta r. Para isto, fixemos sobre a reta r um ponto O. Agora, escolhamos um outro ponto P sobre r e uma unidade de comprimento u, de modo que u seja igual ao comprimento do segmento OP . Com um compasso de abertura OP centrado em P marcamos o ponto P2, a partir do qual, obtemos o ponto P3 e, assim, sucessivamente, obtemos a seqüência de pontos P1, P2, P3, . . . , onde P1 = P . Note que o n-ésimo ponto Pn dista n unidades de O. De modo análogo, obtemos a seqüência de pontos P−1, P−2, P−3, . . . na direção oposta (confira Figura 1.7). Figura 1.7: Marcando os pontos Pn sobre r. Assim, identificamos cada n ∈ Z com um ponto Pn ∈ r. Portanto, a figura acima se transforma na Figura 1.8. Figura 1.8: Identificando cada n ∈ Z com um ponto Pn ∈ r. Agora, dado x = m n ∈ Q, com n > 0. Como podemos associar x a um único ponto da reta r? Primeiro. Se m > n, então, pelo algoritmo da divisão, existem únicos q, s ∈ Z tais que m = qn+ s, onde s ∈ {0, 1, . . . , n− 1}. Assim, x = m n = q + s n = q s n , onde q s n é chamada de fração mista. Segundo. A partir de q tracemos uma reta que faz um certo ângulo com a reta r. Agora, com uma dada abertura do compasso, marcamos a partir de q, n pontos sobre esta 1.4. DESIGUALDADES 19 3. Se x ∈ R, então uma e apenas uma das condições ocorre: x ∈ P ou x = 0 ou − x ∈ P. Seja x ∈ R. Dizemos que x é estritamente positivo se x ∈ P e escreveremos x > 0. Dizemos que x é positivo se x ∈ P ∪ {0} = R+ e escreveremos x ≥ 0. Assim, um número x ∈ R é estritamente negativo (negativo) se −x ∈ P (−x ∈ R+) e escreveremos x < 0 (x ≤ 0). Sejam x, y ∈ R. Dizemos que x é menor do que y se y − x ∈ P e escreveremos x < y. Dizemos que x menor do que ou igual y se y − x ∈ R+ e escreveremos x ≤ y. Note que x < y se, e somente se, existe a ∈ P tal que y = x+ a. Exemplo 1.17 5 > 2, pois 5− 2 = 3 > 0, −2 < −1, pois −1− (−2) = −1 + 2 = 1 > 0, 3 4 > 2 3 , pois 3 4 − 2 3 = 9− 8 12 = 1 12 > 0. Propriedade 1.18 Sejam x, y, z, w ∈ R. Então: 1. Se x < y e y < z, então x < z; 2. Se x 6= 0, então x2 > 0; 3. 1 > 0; 4. Se x < y, então x+ z < y + z; 5. Se x < y e z < w, então x+ z < y + w; 6. Se x < y e z > 0, então xz < yz; 7. Se x < y e z < 0, então xz > yz; 8. Se x > 0, então x−1 > 0; 9. Se xy > 0, então (x > 0 e y > 0) ou (x < 0 e y < 0); 10. Se xy < 0, então (x > 0 e y < 0) ou (x < 0 e y > 0). Prova. Vamos provar apenas os itens 8. e 9. Como x−1 = 1 x = x µ 1 x ¶2 20 CAPÍTULO 1. NÚMEROS REAIS temos que x−1 > 0. Agora, se xy > 0, então x 6= 0 e y 6= 0 (prove isto!). Como x 6= 0 temos que x > 0 ou x < 0. Se x > 0, então x−1 > 0 e, assim, y = 1 · y = (x−1x)y = x−1(xy) > 0. O caso x < 0, prova-se de modo similar. ¥ Note que se x = a b , y = c d ∈ Q, então seu ponto médio m = x+ y 2 = da+ bc 2bd ∈ Q. Suponhamos que x < y. Então m = x+ y − x 2 . Figura 1.13: Ponto médio m. Observação 1.19 Em torno de qualquer x ∈ R, existe uma infinidade de números racionais. De fato, seja bxc o maior inteiro menor do que ou igual a x ou, equiva- lentemente, bxc = max{n ∈ Z : n ≤ x}, por exemplo b √ 2c = 1. Então bxc ≤ x < bxc+ 1. Assim, para cada x ∈ R, existem m,n ∈ Z tais que m < x < n. Portanto, podemos aplicar indefinidamente, de modo conveniente, o processo de obter o ponto médio. Sejam x ∈ R∗ e n ∈ Z. A potência n-ésima de x, denotada por xn, é definida como xn = ⎧⎪⎨⎪⎩ xn−1 · x se n > 0 1 se n = 0 xn+1 · x−1 se n < 0. O número x será chamado de base e n de expoente. Por exemplo, 24 = 23 · 2 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 e 2−4 = 2−3 · 2−1 = 1 2 · 1 2 · 1 2 · 1 2 = 1 16 . Propriedade 1.20 Sejam x, y ∈ R∗ e m,n ∈ Z. Então: 1.4. DESIGUALDADES 21 1. xm · xn = xm+n; 2. x m xn = xm−n; 3. (xm)n = xmn; 4. (xy)m = xmym; 5. (x y )m = x m ym . Sejam x ∈ R e n ∈ N. A raiz n-ésima de x, denotada por n√x, é todo número real y tal que yn = x. Por exemplo, −2 é a raiz cúbica de −8, pois (−2)3 = −8, 3 e −3 são a raízes quartas de 81, pois (3)4 = 81 e (−3)4 = 81. Propriedade 1.21 Sejam x, y ∈ R∗+ e k,m, n ∈ N. Então: 1. n √ x · n√y = n√x · y; 2. n√x n √ y = n q x y ; 3. ( n √ x)m = n √ xm; 4. m p n √ x = m·n √ x; 5. n √ xm = k·n√ xk·m. Finalmente, sejam x ∈ R∗+ e mn ∈ Q. Então o símbolo x m n é definido como x m n = n √ xm. Por exemplo, 3 3 5 = 5 √ 33. Seja x ∈ R. O valor absoluto ou o módulo de x é definido como |x| = ⎧⎪⎨⎪⎩ x se x > 0, 0 se x = 0, −x se x < 0. ou, equivalentemente, |x| = max{−x, x}. Exemplo 1.22 |5| = 5, |−3| = −(−3) = 3. Note, também, que |5| = max{−5, 5} = 5 e |−3| = max{−(−3),−3} = 3. 24 CAPÍTULO 1. NÚMEROS REAIS É muito comum, em diversas situações de resolução de problemas, necessitarmos de realizar operações de união e interseção com intervalos numéricos. Por exemplo, se A = {x ∈ R : −3 ≤ x < 7} e B = {x ∈ R : x > 1}, então Figura 1.18: Representão gráfica da interseção de A e B. Uma equação em x é uma igualdade da forma x2 − 4x+ 3 = 0 ou cos2 x+ sen 2x = 1. Uma solução de uma equação é um número a tal que torna a equação uma identidade quando substituímos x por a. Uma inequação em x é uma desigualdade da forma x2 − 4x+ 3 ≥ 0 ou 2x− 3 x− 10 < 0. Exemplo 1.24 Resolver a equação |3x− 2| = 1. Solução. Pelo item 4 da propriedade 1.23, |3x− 2| = 1⇔ 3x− 2 = −1 ou 3x− 2 = 1⇔ x = 1 3 ou x = 1. Portanto, as soluções da equação são x = 1 3 e x = 1 ou S = ½ 1 3 , 1 ¾ . Exemplo 1.25 Resolver a equação |2− 5x| = 3x− 1. Solução. Pelo item 1 da propriedade 1.23, devemos impor à condição 3x − 1 ≥ 0, isto é, x ≥ 1 3 . Além disso, para resolver esse tipo de equação devemos primeiro elevar ao quadrado ambos os membros e usar o item 3 das Propriedades 1.23. |2− 5x| = 3x− 1⇔ |2− 5x|2 = (3x− 1)2 ⇔ (2− 5x)2 = (3x− 1)2 ⇔ 16x2 − 14x+ 3 = 0. Assim, basta resolver a equação 16x2 − 14x+ 3 = 0. 1.4. DESIGUALDADES 25 Temos que a = 16, b = −14 e c = 3. Logo, ∆ = b2 − 4ac = (−14)2 − 4 · 16 · 3 = 4. Assim, x1 = −b+ √ ∆ 2a = 14 + √ 4 32 = 1 2 e x2 = −b− √ ∆ 2a = 14− √ 4 32 = 3 8 . Portanto, as soluções da equação são x = 3 8 e x = 1 2 ou S = ½ 3 8 , 1 2 ¾ , pois ambas são compatíveis com a condição x ≥ 1 3 . Exemplo 1.26 Resolver a equação |2− 3x| = |2x− 1|. Solução. Para resolver esse tipo de equação devemos primeiro elevar ao quadrado ambos os membros e usar o item 3 das Propriedades 1.23. |2− 3x| = |2x− 1|⇔ |2− 3x|2 = |2x− 1|2 ⇔ (2− 3x)2 = (2x− 1)2 ⇔ 5x2 − 8x+ 3 = 0. Portanto, as soluções da equação são x = 3 5 e x = 1 ou S = ½ 3 5 , 1 ¾ . Exemplo 1.27 Resolver a inequação (x2 − 1)(2x+ 1) > 0. Solução. Pelo item 9 da propriedade 1.18, há dois casos a ser considerado: 1.o Caso. Se x2 − 1 > 0 e 2x+ 1 > 0, então x2 − 1 > 0⇔ |x|2 > 1⇔ |x| > 1⇔ x < −1 ou x > 1 ou, graficamente, Figura 1.19: Representação gráfica. e 2x+ 1 > 0⇔ 2x > −1⇔ x > −1 2 ou, graficamente, 26 CAPÍTULO 1. NÚMEROS REAIS Figura 1.20: Representação gráfica. Logo, x2 − 1 > 0 e 2x+ 1 > 0⇔ x ∈ ]1,+∞[ ou, graficamente, Figura 1.21: Representação gráfica da solução S1. 2.o Caso. Se x2 − 1 < 0 e 2x+ 1 < 0, então x2 − 1 < 0⇔ |x|2 < 1⇔ |x| < 1⇔−1 < x < 1 ou, graficamente, Figura 1.22: Representação gráfica. e 2x+ 1 < 0⇔ 2x < −1⇔ x < −1 2 ou, graficamente, Figura 1.23: Representação gráfica. Logo, x2 − 1 < 0 e 2x+ 1 < 0⇔ x ∈ ]− 1,−1 2 [ ou, graficamente, 1.4. DESIGUALDADES 29 Exemplo 1.31 Resolver a inequação |2x+ 6| < |4− x|. Solução. Para resolver esse tipo de inequação devemos primeiro elevar ao quadrado ambos os membros |2x+ 6| < |4− x|⇔ |2x+ 6|2 < |4− x|2 ⇔ (2x+ 6)2 < (4− x)2 ⇔ 3x2 + 32x+ 20 < 0. Assim, |2x+ 6| < |4− x|⇔ 3x2 + 32x+ 20 = (x+ 10) (3x+ 2) < 0. Portanto, a solução é dada pela Figura 1.26. Figura 1.26: Solução da inequação |2x+ 6| < |4− x|. EXERCÍCIOS 1. Simplificar as expressões: (a) 2 3 q a4b3 16c4 (c) 5√8· 4 √ 3√16 3 · √ 32 3 √ 12√2 36 (b) 3√18· 3 √√ 3· 3 √ 2 4√27· √ 18 (d) ³ a 1 2+1 a 1 2−1 + a 1 2−1 a 1 2+1 − 4 a−1 ´−3 , a ∈ R∗+ − {1}. 2. Resolver as seguintes equações: (a) |2x− 6| = 6− 2x (g) √x+ 1 = √ 2x+ 1 (b) ¯̄ 2x−1 x−3 ¯̄ = 2 (h) √ x+ 6 + 2x = 9 (c) ¯̄ x 1−5x ¯̄ = 4 (i) √ 2x+ 3 + √ 3x+ 4 = √ 5x+ 9 (d) |2x− 5| = x+ 3 (j) 2x = 512 (e) |1− 2x| = |1− 3(x+ 2)| (k) 3x+7 = 1 729 (f) √ 2x+ 5 = x+ 1 (l) 22x − 9 · 2x + 8. 30 CAPÍTULO 1. NÚMEROS REAIS 3. Resolver as seguintes inequações: (a) 2− x < x+ 1 < −10x (e) |1− x| > |2x− 1| (b) 3x−1 2−x > −10 (f) |5x− 4| ≤ |x+ 4| (c) 2 x−3 < 5 3x−2 (g) |2x+ 1| ≤ |3x+ 2| (d) x−1 2x−5 ≤ 1+x 2 x+3 (h) |x2 − 7x+ 12| > x2 − 7x+ 12. 4. Sejam a, b ∈ R. Mostrar que a2 + b2 = 0 se, e somente se, a = b = 0. 5. Seja x ∈ R. Se x2 ≥ 4, é verdade que x ≥ 2? Justifique. 6. Determinar o valor de a, de modo que, a equação −3x2 + 7x+ (2− 3a) = 0 admita duas raízes reais e distintas. Respostas, Sugestões e Soluções Seção 1.1 1. A−B = {b, c}; B −A = {d}; A ∩B = {a} e A ∪B = {a, b, c, d}. 3. (a) {f}; (b) {a, b, d, e}; (c) {a, b, d, e}; (d) {a, b}; (e). {a, b, c, d}; (f) {c}; (g) {a, b, c, d}; (h) {e}; (i) ∅; (j) {a, b, c}. 5. Faça um digrama de Venn para uma prova geométrica e comprove o seguinte argu- mento: x ∈ (A ∪B)0 ⇔ x /∈ A ∪B ⇔ x /∈ A e x /∈ B ⇔ x ∈ A0 e x ∈ B0 ⇔ x ∈ A0 ∩B0. Prova-se, de modo análogo, que (A ∩B)0 = A0 ∪B0. 7. A = {2, 4, 7, 8}, B = {1, 2, 3, 5, 6} e C = {2, 5, 6, 7, 9, 10}. Seção 1.2 1. (a) 5 6 ; (b) − 5 12 ; (c) 9 5 ; (d) −12 49 ; (e) 10 7 ; (f) 9 10 ; (g) −5 9 ; (h) −21 17 . 3. 0, 285714285714 · · · . 1.4. DESIGUALDADES 31 7. Suponha, por absurdo, que √ p seja um número racional, digamos √ p = a b com mdc(a, b) = 1. Elevando ao quadrado ambos os membros, obtemos p = a2 b2 ou pb2 = a2. Logo, p | a2 implica que p | a (prove isto!) e, assim, existe c ∈ Z tal que a = pc. Assim, pb2 = p2c2 ⇔ b2 = pc2, de modo análogo, p | b. Portanto, p | mdc(a, b), ou ainda, p | 1, o que é uma contradição. 11. Dados a, b ∈ Z, obtemos a = 2r ou a = 2r + 1 e b = 2s ou b = 2s + 1, pois todo inteiro é par ou ímpar. Logo, a2 = 4t ou a2 = 4t + 1 e b2 = 4u ou b2 = 4u + 1. Portanto, a2 + b2 = ⎧⎪⎨⎪⎩ 4v 4v + 1 4v + 2, isto é, a2 + b2 deixa resto 0, 1 ou 2 quando dividido por 4, para todos a, b ∈ Z. 13. É fácil verificar que 1 = mdc(71, 83) e 1 = (−7) · 71 + 6 · 83. Logo, 1.670 = (−11.690) · 71 + (10.020) · 83. Assim, 1.670 = (−11.690− 83k)71 + (10.020 + 71k)83,∀k ∈ Z, é a solução geral. Agora, vamos encontrar as soluções positivas desta equação −11.690− 83k ≥ 0 e 10.020 + 71k ≥ 0⇔−10.020 71 ≤ k ≤ −11.690 83 . Portanto, k = −141 e, assim, podemos comprar 13 que custa $71, 00 e 9 que custa $83, 00. 14. O lado do quadrado é igual ao mdc(2.700, 7.200). 16. Seja n ∈ N. Então n = 2r + 1, n = 3s + 2, n = 4t + 3, n = 5u + 4 e n = 6v + 5. Logo, n + 1 = 2(r + 1), n + 1 = 3(s + 1), n + 1 = 4(t + 1), n + 1 = 5(u + 1) e n+ 1 = 6(v + 1). Assim, n+ 1 = mmc(2, 3, 4, 5, 6) = 60. Portanto, o menor inteiro positivo é igual a 59. 34 CAPÍTULO 2. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Para cada ponto P do plano tracemos uma paralela ao eixo y, que intercepta o eixo dos x no ponto P1 cuja coordenada x é chamada de abscissa de P . Tracemos, também, por P uma paralela ao eixo x, que intercepta o eixo dos y no ponto P2 cuja coordenada y é chamada de ordenada de P . Portanto, cada ponto P do plano determina um par ordenado de números reais (x, y) e vice-versa. Os pontos P1 e P2 são chamados as projeções ortogonais de P sobre os eixos dos x e dos y, respectivamente. Conclusão 2.1 Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e os pares ordenados de números reais. Para indicar que x e y são a abscissa e a ordenada do ponto P , escreveremos P = (x, y). Vamos usar R2 para indicar o conjunto dos pares ordenados de números reais, isto é, R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}. O sistema formado pelo dois eixos perpendiculares é chamada de sistema de coorde- nadas cartesianas ou plano cartesiano e O = (0, 0) é a origem do sistema. Os eixos x e y são chamados de eixos coordenados. (Sistema de eixos foi introduzido pelo filósofo e matemático francês Renê de Descartes, 1596 - 1650). Note que eles dividem o plano em quatro partes chamadas de quadrantes (confira Figura 2.2). Figura 2.2: Sistema de coordenadas cartesianas. Exemplo 2.1 Faça o gráfico dos pontos (−4,−3), (−3, 0), (−2, 3), (1, 2), (0,−2), (2, 0) e (4, 3). Solução. Para marcar o ponto (−4,−3) no plano cartesiano, devemos andar quatro unidades para à esquerda no eixo dos x e três unidades para baixo no eixo dos y. Os outros pontos são marcados de modo análogo (confira Figura 2.3). 2.1. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS 35 Figura 2.3: Representação gráfica de pontos. Uma equação em R2 é uma igualdade da forma 3x− 6y + 6 = 0 ou x2 − 4y2 + 3 = 0. O gráfico ou (a curva) de uma equação em R2 é o conjunto de todos os pontos (x, y) que satisfazem esta equação. Exemplo 2.2 Esboçar o gráfico da equação y2 − x− 2 = 0. Solução. Como y2 − x− 2 = 0⇔ y2 = x+ 2 e y2 ≥ 0 devemos escolher os x ∈ R tais que x ≥ −2. Assim, vamos construir a tabela x −2 −1 −1 0 0 1 1 2 2 y 0 1 −1 √ 2 − √ 2 √ 3 − √ 3 2 −2 para depois esboçar o gráfico (confira Figura 2.4). 36 CAPÍTULO 2. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Figura 2.4: O gráfico da equação y2 − x− 2 = 0. EXERCÍCIOS 1. Faça o gráfico dos pontos (3, 0), (0,−2), (2, 2), (−2,−3), (1,−1), (−3, 4) e (−3 2 , 2). 2. Todo ponto pertencente ao eixo das abscissas possui uma mesma ordenada. Qual é o valor dessa ordenada? 3. Todo ponto pertencente ao eixo das ordenadas possui uma mesma abscissa. Qual é o valor dessa abscissa? 4. Dê os sinais da abscissa e da ordenada de um ponto, conforme ele pertença ao 1.o, 2.o, 3.o e 4.o quadrante. 5. Determinar x e y de modo que: (a) (2x− 1, y + 2) = (3x+ 2, 2y − 6); (b) (x+ 2, y − 3) = (2x+ 1, 3y − 1); (c) (2x, x− 8) = (1− 3y, y); (d) (x2 + x, 2y) = (6, y2); (e) (y2, |x|) = (3, 2). 6. Determinar x de modo que: (a) (3x− 1, 2x− 1) pertença ao 1.o quadrante; 2.3. A RETA 39 (a) Calcular o perímetro do triângulo ABC. (b) Mostrar que o triângulo ABC é retângulo e calcular sua área. 4. Determinar x de modo que a distância entre A = (x, 2) e B = (1,−1) seja 5 unidades. 5. Determinar um ponto P do eixo das abscissas, sabendo que P é eqüidistante dos pontos A = (3, 8) e B = (9, 2). 6. Determinar x de modo que o ponto P = (3, x) seja eqüidistante dos pontos P1 = (0, 4) e P2 = (6, 0). 7. Calcular o raio da circunferência que tem centro em C = (4, 9) e que passa pelo ponto P = (−2, 1). 8. Calcular o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo de vértices A = (2, 17), B = (−6, 1) e C = (−4,−15). 2.3 A Reta O gráfico da equação Ax+By + C = 0, (2.1) onde A, B e C são constantes e pelo menos um dos dois, A ou B, é não-nulo, é uma reta. A equação (2.1) é chamada de equação geral do 1.o grau em x e y ou equação cartesiana da reta. (A geometria analítica foi ciriada pelo matemático francês Pierre de Fermat, 1601-1665). Note que a equação λAx+ λBy + λC = 0, para todo λ ∈ R com λ 6= 0, representa o mesmo gráfico da equação (2.1). Uma maneira de esboçar o gráfico de uma reta é determinar as suas interseções com os eixos coordenados: Se A 6= 0, então, fazendo y = 0, obtemos o ponto P1 = (− C A , 0) de interseção da reta com o eixo dos x, o qual é chamado de intercepto x. Se B 6= 0, então, fazendo x = 0, obtemos o ponto P2 = (0,− C B ) de interseção da reta com o eixo dos y, o qual é chamado de intercepto y. Exemplo 2.4 Esboçar o gráfico da reta 3x+ 2y − 6 = 0. 40 CAPÍTULO 2. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Solução. Para esboçar o gráfico de uma reta basta determinar os interceptos x e y, respectivamente. Fazendo y = 0, obtemos 3x− 6 = 0⇒ 3x = 6⇒ x = 6 3 = 2. Logo, P1 = (2, 0) é o ponto de interseção da reta com o eixo dos x. Fazendo y = 0, obtemos 2y − 6 = 0⇒ 2y = 6⇒ y = 6 2 = 3. Logo, P2 = (0, 3) é o ponto de interseção da reta com o eixo dos y. Portanto, o gráfico da reta é dado pela Figura 2.6. Figura 2.6: Gráfico da reta 3x+ 2y − 6 = 0. A inclinação, declive ou coeficiente angular de uma reta é a tangente do ângulo que ela faz com o eixo dos x (confira Figura 2.7). Figura 2.7: Inclinação da reta Ax+By + C = 0. 2.3. A RETA 41 Logo, m = tan θ = ¯̄̄̄ A B ¯̄̄̄ = ⎧⎪⎨⎪⎩ A B se 0 < θ < π 2 , −A B se π 2 < θ < π. Portanto, se B 6= 0, a equação (2.1) pode ser escrita sob a forma y = mx+ b, onde b = −C B . (2.2) A equação (2.2) é chamada de forma inclinação intercepto (ou equação reduzida) da reta e b é chamado de coeficiente linear da reta. Observação 2.5 Se B = 0, então a equação (2.1) é a reta x = −C A paralela ao eixo dos y. Neste caso, a inclinação m não está definida. Exemplo 2.6 Determinar a equação da reta que passa pelo ponto P = (2, 1) e tem inclinação m = −1. Solução. A equação da reta que tem inclinação m = −1 é y = −x+ b. Como P = (2, 1) é um ponto desta reta temos que 1 = −2 + b⇒ b = 3. Portanto, y = −x+3 é a equação da reta que passa pelo ponto P = (2, 1) e tem inclinação m = −1. Vamos agora determinar a equação da reta que passa por dois pontos P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2). Há três casos a ser considerado. 1.o Caso. Se x1 = x2, então a reta é paralela ao eixo dos y e, portanto, sua equação é x = x1. Neste caso, a inclinação m não está definida. 2.o Caso. Se x1 6= x2 e y1 = y2, então a reta é paralela ao eixo dos x e, portanto, sua equação é y = y1. Neste caso, m = 0. 44 CAPÍTULO 2. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Solução. 1. Pelas equações temos que A = 1, B = −2 e A0 = 3, B0 = −6. Logo, AB0 −A0B = 1 · (−6)− 3 · (−2) = −6 + 6 = 0. Portanto, as retas são paralelas. 2. Pelas equações temos que A = 1, B = −1 e A0 = 2, B0 = −1. Logo, AB0 −A0B = 1 · (−1)− 2 · (−1) = −1 + 2 = 1 6= 0. Portanto, as retas são concorrentes. 2.5 Perpendicularismo Consideremos duas retas, r e s, dadas por suas equações cartesianas Ax+By + C = 0 e A0x+B0y + C 0 = 0. Se r não é paralela ao eixo dos y, então a inclinação de r é m = tan θ = ¯̄̄̄ A B ¯̄̄̄ . Figura 2.10: Retas perpendiculares. Assim, pela Figura 2.10, r e s são perpendiculares se, e somente se, θ0 = θ + π 2 . Como m0 = tan θ0 = tan(θ + π 2 ) = − 1 tan θ temos que m ·m0 = −1 ou, equivalentemente, AA0 +BB0 = 0. 2.5. PERPENDICULARISMO 45 Se r é paralela ao eixo dos y, então r e s são perpendiculares se, e somente se, B = A0 = 0, de modo que AA0 +BB0 = 0. Portanto, r e s são perpendiculares se, e somente se, AA0 +BB0 = 0. Exemplo 2.9 Determinar se as retas são perpendiculares ou não: 1. 3x− y − 1 = 0 e x+ 3y = 0 2. x− y = 0 e x+ 2y − 1 = 0. Solução. 1. Pelas equações temos que A = 3, B = −1 e A0 = 1, B0 = 3. Logo, AA0 +BB0 = 3 · 1 + (−1) · 3 = 3− 3 = 0. Portanto, as retas são perpendiculares. 2. Pelas equações temos que A = 1, B = −1 e A0 = 1, B0 = 2. Logo, AA0 +BB0 = 1 · 1 + (−1) · 3 = 1− 3 = −2 6= 0 Portanto, as retas não são perpendiculares mas são concorrentes, pois AB0 −A0B = 3 · 2− 1 · (−1) = 6 + 1 = 7 6= 0. Observação 2.10 Para estudar a posição relativa de duas retas r e s, basta discutir o sistema ( Ax+By = −C A0x+B0y = −C 0. Para finalizar esta seção, vamos expressar a equação da reta que passa em dois pontos, em forma de determinante. A equação da reta que passa pelos pontos P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) é, conforme equação (2.3), dada por y − y1 = µ y2 − y1 x2 − x1 ¶ (x− x1) ou, equivalentemente, (x2 − x1)(y − y1) = (y2 − y1)(x− x1), ou ainda, (y1 − y2)x− (x1 − x2)y + (x1y2 − x2y1) = 0. 46 CAPÍTULO 2. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA É fácil verificar que isto é o desenvolvimento, relativo a primeira linha, do determinante da matriz A = ⎡⎢⎣ x y 1x1 y1 1 x2 y2 1 ⎤⎥⎦ . Portanto, a equação da reta que passa pelos pontos P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) pode ser escrita sob a forma de determinante det (A) = 0. Exemplo 2.11 Determinar a equação da reta que passa pelos pontos P1 = (−1, 3) e P2 = (2, 1). Solução. Já vimos que a equação da reta que passa pelos pontos P1 = (−1, 3) e P2 = (2, 1) é dada por det ⎛⎜⎝ ⎡⎢⎣ x y 1−1 3 1 2 1 1 ⎤⎥⎦ ⎞⎟⎠ = 0⇔ (3− 1)x− (−1− 2)y + (−1− 6) = 0, isto é, 2x+ 3y− 7 = 0. O determinante de uma matriz de ordem três pode, também, ser obtido pela Regra de Sarrus. Figura 2.11: Regra de Sarrus. Observações 2.12 1. Sejam r e s duas retas, cujas equações cartesianas são: Ax+By + C = 0 e A0x+B0y + C 0 = 0. Uma condição necessária e suficiente para que r e s sejam paralelas (concorrentes) é que det ⎛⎜⎝ ⎡⎢⎣ 0 0 1A B 1 A0 B0 1 ⎤⎥⎦ ⎞⎟⎠ = 0 ⎛⎜⎝det ⎛⎜⎝ ⎡⎢⎣ 0 0 1A B 1 A0 B0 1 ⎤⎥⎦ ⎞⎟⎠ 6= 0 ⎞⎟⎠ . 2. Uma condição necessária e suficiente para que três pontos P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2) e P3 = (x3, y3) estejam alinhados é que det ⎛⎜⎝ ⎡⎢⎣ x1 y1 1x2 y2 1 x3 y3 1 ⎤⎥⎦ ⎞⎟⎠ = 0. 2.5. PERPENDICULARISMO 49 17. Calcular a distância entre o ponto P e a reta r nos seguintes casos: (a) P = (0, 0) e 12x+ 5y + 26 = 0; (b) P = (3,−2) e 3x− 4y + 3 = 0; (c) P = (5,−2) e x+ 2y − 1 = 0; (d) P = (−3, 7) e y = 11− x; (e) P = (1, 1) e x 4 + y 3 = 1. 18. Calcular a distância do ponto P = (1, 2) à reta definida por A = (5, 7) e B = (−1,−1). 19. Calcular a distância entre as retas r e s nos seguintes casos: (a) 7x+ 24y − 1 = 0 e 7x+ 24y + 49 = 0; (b) 2x+ y − 11 = 0 e 4x+ 2y − 17 = 0; (c) Ax+By + C = 0 e Ax+By + Ć = 0. 20. Calcular a altura AH do triângulo ABC, dados A = (1, 1), B = (−1,−3) e C = (2,−7). 21. Calcular a altura do trapézio ABCD, dados A = (0, 0), B = (8, 1), C = (16, 4) e D = (0, 2). 22. Determinar as equações das retas paralelas a reta r, cuja equação é 12x−5y+1 = 0, e distantes 3 unidades de r. 23. Sejam A = (x1, y1), B = (x2, y2) e C = (x3, y3) três vértices de um triângulo. Mostrar que área do triângulo ABC é dada por S = 1 2 · |D| onde D = det(A) e A = ⎡⎢⎣ x1 y1 1x2 y2 1 x3 y3 1 ⎤⎥⎦ . 24. Calcular a área do triângulo ABC nos seguintes casos: (a) A = (9, 2), B = (1, 10) e C = (−3,−8); (b) A = (0, 0), B = (3, 0) e C = (0, 5); (c) A = (−2, 6), B = (8,−4) e C = (11, 11); (d) A = (x, x+ 3), B = (x− 1, x) e C = (x+ 1, x+ 1). 25. Calcular a área do quadrilátero ABCD, dados A = (1, 2), B = (5, 0), C = (7, 10) e D = (1, 6). 50 CAPÍTULO 2. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 26. Calcular a área do pentágono ABCDE, dados A = (0, 0), B = (2, 0), C = (4, 2), D = (1, 6) e E = (0, 4). 27. Dados A = (5, 1), B = (7, 3) e C = (−1, x), determinar x, de modo que, o triângulo ABC tenha área igual a 4 unidades. 28. Dados A = (−3, 0) e B = (0,−3), determinar C, de modo que, o triângulo ABC tenha área igual a 9 unidades, sabendo-se que pertence à reta y = 2x. 29. Considere os pontos A = (2, 0) e B = (0, 1). Determinar o ponto P = (x, y) perten- cente ao terceiro quadrante, de modo que, as retas AB e BP sejam perpendiculares e o triângulo ABP tenha área igual a 10 unidades. 30. De um triângulo ABC são dados: B = (1, 0), d(A,C)2 = 45, d(B,C)2 = 89 e M = (−9 2 ,−1 2 ). Sendo M o ponto médio do segmento AB, determinar as coordenadas do ponto C, sabendo que estas são números inteiros. 2.6 Aplicações Nesta seção apresentaremos algumas aplicações da equação da reta. Exemplo 2.15 Suponhamos que um equipamento seja comprado por um preço P e sofra uma depreciação linear até zero, após um período de N anos. 1. Determinar uma equação que relacione o valor do equipamento (contábil) e o tempo. 2. Calcular o valor contábil após 5 anos, quando P = $3.000, 00 e N = 12. Solução. 1. Sejam x o tempo e y o valor contábil do equipamento. Como x = 0 e y = P , x = N e y = 0, temos que a reta passa pelos pontos P1 = (0, P ) e P2 = (N, 0). Logo, sua inclinação é dada por m = 0− P N − 0 = − P N . Assim, a equação da reta é y − P = −P N (x− 0), ou ainda, y = −P N x+ P, 0 ≤ x ≤ N. 2. Como P = $3.000, 00 e N = 12 temos que y = −250x+ 3.000, 0 ≤ x ≤ 12. 2.6. APLICAÇÕES 51 Quando x = 5, obtemos y = −250 · 5 + 3.000 = 1.750. Portanto, o valor contábil do equipamento ao fim de 5 anos é $1.750, 00. Figura 2.12: Reta de depreciação. Exemplo 2.16 Desde o início do ano o preço do pãozinho tem aumentado 2% ao mês. Em abril, o pãozinho já custava $0, 12 cada. 1. Determinar uma equação que relacione o preço e o tempo. 2. Determinar o preço cobrado no início do ano. Solução. 1. Sejam x o número de meses desde o início do ano e y o preço do pãozinho. Como a variação de y com relação à variação de x é constante temos que a equação que relaciona x e y é uma reta, cuja inclinação é igual a 2, pois y varia de 2 quando x varia de 1 unidade. Desde que x = 4 e y = 12, temos que a reta passa pelo ponto P = (4, 12) e tem inclinação 2. Logo, a equação da reta é y − 12 = 2(x− 4), ou ainda, y = 2x+ 4. 2. No início do ano x = 0 e y = 4. Portanto, o preço do pãozinho no início do ano era $0.04. 54 CAPÍTULO 2. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 5. Em certo banco, cobram $200, 00 por talão de cheques e $5, 00 por cheques utiliza- dos. Em outro banco, cobram $100, 00 por talão de cheques e $9, 00 por cheques utilizados. (a) Determinar uma equação que relacione o serviço e os cheques utilizados, para cada banco. (b) Qual o banco que oferece o melhor serviço? 6. O gráfico de uma equação relacionando as leituras de temperaturas em graus Celsius e Fahrenheit é uma reta. A água congela a 0◦ Celsius e 32◦ Fahrenheit, e ferve a 100◦ Celsius e 212◦ Fahrenheit. (a) Se y graus Fahrenheit corresponde x graus Celsius, escreva uma equação rela- cionando x e y. (b) Faça um esboço do gráfico da equação obtida no item anterior. (c) Qual a temperatura Fahrenheit correspondente a 20◦ Celsius? (d) Qual a temperatura Celsius correspondente a 86◦ Fahrenheit? Respostas, Sugestões e Soluções Seção 2.1 3. Sim. O valor da abscissa igual a 0. 5. (a) x = −3 e y = 8; (b) x = 1 e y = −1; (c) x = 5 e y = −3; (d) x = −3 ou 2 e y = 0 ou 2; (e) x = −2 ou 2 e y = − √ 3 ou √ 3. 7. (2, 1) ∈ A; (0, 1) /∈ A; (−2, 3) /∈ A; (1, 0) ∈ A e (−1,−2) ∈ A. 11. Seja (x, y) ∈ A× B. Então x ∈ A e y ∈ B. Como B = C ∪D e y ∈ B temos que y ∈ C ou y ∈ D. Logo, x ∈ A e y ∈ C ou x ∈ A e y ∈ D. Assim, (x, y) ∈ A×C ou (x, y) ∈ A×D. Portanto, (x, y) ∈ (A× C) ∪ (A×D), ou seja, A×B ⊆ (A× C) ∪ (A×D). A recíproca prova-se de modo análogo. 2.6. APLICAÇÕES 55 Seção 2.2 1. (a) 5 √ 2 u c; (b) 2 √ 5 u c; (c) 5 u c. 3. (a) Como d(A,B) = 5, d(A,C) = 4 e d(B,C) = 3 são os comprimentos dos lados do triângulo ABC temos que o perímetro é igual p = 3 + 4 + 5 = 12; (b) Como d(A,B)2 = d(A,C)2 + d(B,C)2 temos que o triângulo ABC é retângulo e sua área é igual a 6 u a. 5. P = (1, 0). 7. O raio da circunferência que tem centro em C = (4, 9) e que passa pelo ponto P = (−2, 1) é dado por r = d(A,B) = 10. Seção 2.5 1. (a) m = 5 6 ; (b) m = 5 7 ; (c) m = 1; (d) m = − 7 13 . 3. (a) y = 5x+ 3, m = 5 e b = 3; (b) y = −2 3 x+ 7 3 , m = −2 3 e b = 7 3 ; (c) y = 1 2 x+ 2, m = 1 2 e b = 2; (d) y = −2x+ 1 3 , m = −2 e b = 1 3 . 5. y = 4x− 11. 7. 2x− 5y + 18 = 0. 9. 4x+ 3y + 12 = 0. 11. y = −7. 13. Sim. 15. (a) Sim; (b) Não; (c) Não; (d) Sim. 17. (a) 2 u c; (b) 4 u c; (c) 0 u c; (d) 7 √ 2 2 u c; (e) 3 √ 2 u c. 19. (a) 2 u c; (b) √ 5 2 u c; (c) |Ć−C|√ A2+B2 u c. 21. 16 √ 65 65 u a. 56 CAPÍTULO 2. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 23. Sabemos que área do triângulo ABC é dada por S = 1 2 (base · altura). Fixando um dos vértices, digamos A, obtemos que o comprimento da base é igual a d(B,C) e da altura é igual a d(A, r), onde r é a reta que passa pelos pontos B e C, isto é, (y3 − y2)x+ (x2 − x3)y + (x3y2 − x2y3) = 0. Como d(A, r) = |(y3 − y2)x1 + (x2 − x3)y1 + (x3y2 − x2y3)|p (x3 − x2)2 + (y3 − y2)2 = |(y3 − y2)x1 + (x2 − x3)y1 + (x3y2 − x2y3)| d(B,C) temos que S = 1 2 d(B,C) · d(A, r) = 1 2 |(y3 − y2)x1 + (x2 − x3)y1 + (x3y2 − x2y3)| = 1 2 |D| , onde D = det(A) e A = ⎡⎢⎣ x1 y1 1x2 y2 1 x3 y3 1 ⎤⎥⎦ . 25. 32 u a. 27. x = −9 ou x = −1. 29. P = (−4,−7). Seção 2.6 1. $360.000, 00. 3. (a) y = 25x+ 3.000. 5. (a) Sejam x o número de cheques e y o serviço. Então y = 5x+ 200 e y = 9x+ 100 são as equações que relaciona o serviço e os cheques utilizados, para cada banco. (b) O ponto de equilíbrio é x = 25. Se x < 25, então o melhor serviço é oferecido pelo segundo banco. Se x > 25, então o melhor serviço é oferecido pelo primeiro banco. 3.1. FUNÇÕES 59 Solução. f(27) = √ 27− 2 = √ 25 = 5, f(5) = √ 5− 2 = √ 3, f(2) = √ 2− 2 = 0, f(1) = √ 1− 2 = √ −1. Note que o valor f(1) não é difinido, pois não existe raiz quadrada de número real negativo. Assim, f não é definida em x = 1. Finalmente, f(x+ h)− f(x) h = √ x+ h− 2− √ x− 2 h = √ x+ h− 2− √ x− 2 h · √ x+ h− 2 + √ x− 2√ x+ h− 2 + √ x− 2 = (x+ h− 2)− (x− 2) h ¡√ x+ h− 2 + √ x− 2 ¢ = 1√ x+ h− 2 + √ x− 2 . Exemplo 3.4 Se f(x) = x 2−4 x−1 , determinar o domínio e calcular, se existir, f(0), f( 1 2 ), f(−2), f(2) e f(1). Solução. Note que a função f só não é definida em x = 1, assim, Dom f = R− {1}. f(0) = 02 − 4 0− 1 = −4 −1 = 4, f( 1 2 ) = (1 2 )2 − 4 (1 2 )− 1 = 1 4 − 4 1 2 − 1 = −15 4 −1 2 = 15 2 . f(−2) = f(2) = 0 e f(1) não existe. Exemplo 3.5 Determinar o domínio da função f(x) = √ 9− x2. Solução. Como a raiz quadrada é definida apenas para números reais positivos temos que f é definida se 9− x2 ≥ 0. Portanto, Dom f = [−3, 3]. Exemplo 3.6 Determinar o domínio da função f(x) = √ 3 + x+ √ 7− x. Solução. f é definida se 3 + x ≥ 0 e 7− x ≥ 0. Portanto, Dom f = [−3, 7]. Exemplo 3.7 Determinar o domínio da função f(x) = p x x+1 . 60 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES Solução. f é definida se x x+1 ≥ 0 e x+ 1 6= 0. Portanto, Dom f =]−∞,−1[ ∪ [0,+∞[. Muitas fórmulas que ocorrem em matemática determinam funções. Por exemplo, a fórmula C = 2πr do comprimento de um círculo de raio r associa a cada número real positivo r um único valor de C. Como o valor de C é determinado pelo número arbitrário r, chamamos C de variável dependente e r de variável independente. Observação 3.8 Uma função pode ser definida por mais de uma equação. Por exemplo, f(x) = ⎧⎪⎨⎪⎩ 2x+ 3 se x < 0, x2 se 0 ≤ x < 2, 1 se x ≥ 2. Neste caso, Dom f = R. 3.2 Gráficos de Funções O gráfico de uma função f : X → Y é o conjunto de todos os pontos (x, y) do produto cartesiano X × Y tais que y = f(x), isto é, Graf(f) = {(x, y) ∈ X × Y : y = f(x)} . Observação 3.9 Para esboçar o gráfico de uma função f devemos determinar, se existir, as interseções com os eixos coordenados, isto é, (0, f(0)) ou (x, f(x) = 0). Exemplo 3.10 Sejam X = {−1, 0, 1, 2}, Y = {0, 1, 2} e f a função definida pela tabela x −1 0 1 2 f(x) 0 0 2 1 Então o gráfico de f é Graf(f) = {(−1, 0), (0, 0), (1, 2), (2, 1)} (confira Figura 3.3). 3.2. GRÁFICOS DE FUNÇÕES 61 Figura 3.3: Gráfico da função f . Claramente, podemos usar as informações contidas na tabela para construir o gráfico de f e usar as informações contidas no gráfico para construir a tabela de f . Assim, uma função determina completamente seu gráfico e, reciprocamente, seu gráfico determina completamente a função. Logo, não existe necessidade de distinguir entre uma função e seu gráfico. Portanto, o domínio da função é a projeção do gráfico sobre o eixo dos x e a imagem da função é a projeção do gráfico sobre o eixo dos y. Observações 3.11 1. Para transladar o gráfico de uma função y = f(x) para cima (baixo), adicione uma constante positiva (negativa) k do lado direito da equação y = f(x), isto é, y = f(x) + k. 2. Para transladar o gráfico de uma função y = f(x) para à direita (à esquerda), adicione uma constante negativa (positiva) k a x, isto é, y = f(x+ k). Exemplo 3.12 Esboçar o gráfico da função f(x) = √ 5− x. Solução. É fácil verificar que Dom f = ]−∞, 5], a interseção com o eixo dos y é f(0) = √ 5− 0 = √ 5, isto é, a interseção com o eixo dos y ocorre no ponto (0, √ 5) e com o eixo dos x é f(x) = 0⇒ x = 5, isto é, a interseção com o eixo dos x ocorre no ponto (5, 0). Façamos uma tabela de alguns valores de f(x). x 5 4 3 2 1 −4 f(x) 0 1 √ 2 √ 3 2 3 64 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES Propriedade 3.15 Sejam X, Y , Z e W subconjuntos não-vazios de R e f : X → Y , g : Z →W duas funções. Então: 1. (f + g)(x) = f(x) + g(x), para todo x ∈ X ∩ Z = Dom(f + g); 2. (f − g)(x) = f(x)− g(x), para todo x ∈ X ∩ Z = Dom(f − g); 3. (cf)(x) = cf(x), para todo x ∈ X e c ∈ R constante; 4. (f · g)(x) = f(x)g(x), para todo x ∈ X ∩ Z = Dom(f · g); 5. (f g )(x) = f(x) g(x) , para todo x ∈ Dom(f g ) = {x : x ∈ X ∩ Z, g(x) 6= 0}. Exemplo 3.16 Sejam f(x) = √ 9− x2 e g(x) = x2 − 1 duas funções. Determinar a soma, a diferença, o produto e o quociente de f e g, e ache o domínio de cada um. Solução. É claro que Dom f = [−3, 3] e Dom g = R. Assim, Dom f ∩Dom g = [−3, 3] e (f + g)(x) = √ 9− x2 + x2 − 1, ∀x ∈ Dom(f + g) = [−3, 3] (f − g)(x) = √ 9− x2 − (x2 − 1), ∀x ∈ Dom(f − g) = [−3, 3] (f · g)(x) = ³√ 9− x2 ´ (x2 − 1), ∀x ∈ Dom(f · g) = [−3, 3]µ f g ¶ (x) = √ 9− x2 x2 − 1 , ∀x ∈ Dom( f g ) = [−3, 3]− {−1, 1}. Sejam X, Y e Z subconjuntos não-vazios de R e f : X → Y , g : Y → Z duas funções. Então, podemos construir uma nova função, denotada por g ◦ f , cujo valor em x ∈ X é (g ◦ f)(x) = g(f(x)), isto é, primeiro determina o valor de f em x para depois detereminar o valor de g em f(x). A função g ◦ f é chamada a função composta de f com g e Dom g ◦ f = {x ∈ X : f(x) ∈ Y } ⊆ Dom f e Im g ◦ f ⊆ Im g. Figura 3.6: Função composta de f com g. 3.3. PROPRIEDADES DE FUNÇÕES 65 Dizemos que f é a função interna e que g é a função externa. Exemplo 3.17 Sejam f(x) = √ 9− x2 e g(x) = x2− 1 funções. Determinar f ◦ g e g ◦ f e o domínio de cada uma delas. Solução. Note que (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2 − 1) = p 9− (x2 − 1)2 = √ 8− x4 + 2x2 e (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g( √ 9− x2) = ¡√ 9− x2 ¢2 − 1 = 8− x2. Como Dom f = [−3, 3] e Dom g = R temos que Dom f ◦ g = {x ∈ R : g(x) ∈ [−3, 3]} = [−2, 2] e Dom g ◦ f = {x ∈ [−3, 3] : f(x) ∈ R} = [−3, 3]. Seja f : X → Y uma função, com X e Y subconjuntos não-vazios de R. Dizemos que f é par se f(x) = f(−x), ∀x ∈ X. e que é ímpar se −f(x) = f(−x), ∀x ∈ X. Exemplo 3.18 Sejam f(x) = 5x3 + 2x, g(x) = x2 − 1 e h(x) = x(x − 2) três funções. Determinar se f , g e h são pares, ímpares ou nem pares nem ímpares. Solução. Como f(−x) = 5(−x)3 + 2(−x) = −5x3 − 2x = −(5x3 + 2x) = −f(x) temos que f é ímpar. Faça o mesmo com g e h. Observação 3.19 O gráfico de uma função par (ímpar) é simétrico com relação ao eixo dos y (à origem 0), pois se f é par e (x, y) ∈ Graf(f), então (−x, y) ∈ Graf(f) (pois se f é ímpar e (x, y) ∈ Graf(f), então (−x,−y) ∈ Graf(f)). Seja f : X → Y uma função, com X e Y subconjuntos não-vazios de R. Dizemos que f é injetora se f(x1) = f(x2)⇒ x1 = x2, ∀x1, x2 ∈ X ou, equivalentemente, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2), ∀x1, x2 ∈ X. 66 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES Exemplo 3.20 Sejam f(x) = 3x+ 1 e g(x) = x2 − 4x+ 3 duas funções. Determinar se f e g são injetoras ou não. Solução. É claro que Dom f = Dom g = R. Dados x1, x2 ∈ R, f(x1) = f(x2)⇒ 3x1 + 1 = 3x2 + 1⇒ x1 = x2. Portanto, f é injetora. Note que, para x1 = 1 e x2 = 3 temos que g(x1) = g(x2) = 0 com x1 6= x2. Portanto, g não é injetora. Seja f : X → Y uma função, com X e Y subconjuntos não-vazios de R. Dizemos que f é sobrejetora se dado y ∈ Y , existir x ∈ X tal que y = f(x), isto é, Im f = Y . Exemplo 3.21 Sejam f(x) = 3x+ 1 e g(x) = x2 − 4x+ 3 duas funções. Determinar se f e g são sobrejetoras ou não. Solução. É claro que Dom f = Dom g = R. Dado y ∈ R, existe x = y − 1 3 ∈ R tal que f(x) = f( y − 1 3 ) = 3( y − 1 3 ) + 1 = y − 1 + 1 = y. Portanto, f é sobrejetora. Note que, para y = −3 não existe nenhum x ∈ R tal que y = g(x), isto é, existe y = −3 ∈ R tal que y 6= f(x), para todo x ∈ R, isto é, Im f ⊂ R. Portanto, g não é sobrejetora. Seja f : X → Y uma função, com X e Y subconjuntos não-vazios de R. Dizemos que f é bijetora se ela é injetora e sobrejetora. Pelos exemplos acima, a função f(x) = 3x+1 é bijetora. Se f : X → Y é uma função bijetora, então existe uma função g : Y → X tal que f ◦ g = IY e g ◦ f = IX . Notação: g = f−1 e f−1 é chamada de função inversa de f , isto é, y = f(x)⇔ x = f−1(y). Assim, Dom f = Im f−1 e Dom f−1 = Im f . Observação 3.22 O gráfico da função f e de sua inversa f−1 são simétricos com relação à reta y = x, pois se (a, b) ∈ Graf(f), então b = f(a) e f−1(b) = f−1(f(a) = (f−1 ◦ f)(a) = IX(a) = a, isto é, (b, a) ∈ Graf(f−1) (confira Figura 3.7). 3.3. PROPRIEDADES DE FUNÇÕES 69 12. Esboçar o gráfico das seguintes funções: (a) f(x) = ⎧⎪⎨⎪⎩ x+ 2 se x ≤ −1 x3 se |x| < 1 −x+ 3, se x ≥ 1 (c) f(x) = ( x2−1 x−1 se x 6= 1 2, se x = 1 (b) f(x) = ⎧⎪⎨⎪⎩ x− 3 se x ≤ −2 −x2 se − 2 < x < 1 −x+ 4, se x ≥ 1 (d) f(x) = ( x3+1 x+1 se x 6= −1 3, se x = −1 13. Determinar a soma, a diferença, o produto, o quociente e seus domínios, de cada função abaixo: (a) f(x) = √ x+ 5 e g(x) = √ x+ 5; (b) f(x) = 2x x−4 e g(x) = x x+5 ; (c) f(x) = x x−2 e g(x) = 3x x+4 . 14. Determinar no exercício acima f ◦ g e g ◦ f . Determinar também os domínios. 15. Sendo f(2x− 3) = x2, determinar f(x). 16. Seja f : R−{−5 3 }→ R−{−2 3 } a função definida pela regra f(x) = 2x−7 3x+5 . Determinar f−1(2). 17. Determinar uma forma funcional composta para y: (a) y = (x2 + 3x) 1 3 (b) y = 1 (x−3)4 (c) y = 4 √ x4 − 16 (d) y = 3 √ x 1+ 3 √ x . 18. Determinar a função inversa e seu domínio, de cada função abaixo: (a) f(x) = 1 3x−2 , ∀x ∈ ] 2 3 ,+∞[ (c) f(x) = 5x2 + 2, ∀x ∈ [0,+∞[ (b) f(x) = 3x+2 2x−5 , ∀x ∈ ] 5 2 ,+∞[ (d) f(x) = 3√x+ 1, ∀x ∈ R. 19. Verificar se as seguintes funções f são bem definidas: (a) f : Q→ Z definida por f(m n ) = m; (b) f : Q→ Q definida por f(m n ) = m 2 n2 . 20. Defina f : [0, 1]→ [a, b] pela fórmula f(x) = a(1−x)+bx. Mostrar que f é bijetora. 21. Dê exemplo de uma função f : R→ R que (a) seja injetora mas não seja sobrejetora; (b) seja sobrejetora mas não seja injetora. 22. Para a, b ∈ R, defina fab : R → R pela fórmula fab(x) = ax + b para cada x ∈ R. Mostrar que: 70 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES (a) f1b◦ fa0 = fab; (b) Se a 6= 0, então fab é bijetora. Obtenha f−1ab . 23. Sejam f : X → Y e g : Y → Z duas funções. Mostrar que: (a) Se g ◦ f é sobrejetora, então g também o é; (b) Se g ◦ f é injetora, então f também o é; (c) Se f e g são ambas bijetoras, então g ◦ f também o é e, além disso, (g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1. 24. Sejam f : R→ R e g : R∗ → R duas funções tais que g(x) = x− 1 x e (f ◦ g)(x) = x2 + 1 x2 . Determinar f(4). 25. Determinar k ∈ R, de modo que a função f(x) = 2x+ 6 x+ k com x 6= −k, tenha como inversa a função f−1(x) = 5x+ 6 x− 2 . 26. Seja f : R→ R∗+ uma função tal que f(x+ y) = f(x) · f(y), ∀ x, y ∈ R, e f(1) = 9. Determinar f(2), f(0) e f(1 2 ). Agora, determine f(n) e f( 1 n ), para todo n ∈ N. Respostas, Sugestões e Soluções Seção 3.3 1. 4. 3. Não, pois o domínio de f é igual a R− {0} e o da função nula é igual a R. 4. −2x x2−1 . 3.3. PROPRIEDADES DE FUNÇÕES 71 5. Como k e m são as raízes da função quadrática f(x) = x2− 2cx+ c2− 2c− 1 temos que k +m = 2c e km = c2 − 2c− 1. Logo, (k +m)2 + 2 = 4c2 + 2 e (k −m)2 − 2 = (k +m)2 − 4km− 2 = 8c+ 2. Assim, (k −m)2 − 2 (k +m)2 + 2 = 8c+ 2 4c2 + 2 = 4c+ 1 2c2 + 1 ∈ Z se, e somente se, existe n ∈ Z tal que 4c+ 1 = (2c2 + 1)n⇔ 2nc2 − 4c+ n− 1 = 0. Como c ∈ R devemos ter ∆ = (−4)2 − 4(2n)(n− 1) ≥ 0⇔ n2 − n− 2 ≤ 0⇔ n ∈ {−1, 0, 1, 2}. Para n = −1, obtemos c = −1. Continue. 6. k = −3. 7. (a) Dom f = R− {0, 4}; (b) Dom f = R− {−5 2 , 1 3 }; (c) Dom f = [3 2 ,+∞[ −{1, 4}; (d) Dom f = [3 4 ,+∞[ −{−2, 2}; (e) Dom f = ]−∞, 0]; (f) Dom f = [−1 2 ,+∞[; (g) Dom f = ]− 1,+∞[; (h) Dom f = ]2 3 ,+∞[; (i) Dom f = ]−∞,−1[ ∪ ]1,+∞[; (j) Dom f = ]−∞, 1[ ∪ ]2,+∞[. 9. (a) Como g(−x) = f(−x) + f(−(−x)) = f(−x) + f(x) = g(x) temos que g é uma função par; (b) Como h(−x) = f(−x)− f(−(−x)) = f(−x)− f(x) = −h(x) 74 CAPÍTULO 4. TIPOS ESPECIAIS DE FUNÇÕES Usando o algoritmo da divisão, obtemos xn − an x− a = x n−1 + xn−2a+ · · ·+ xan−2 + an−1 para todos n ∈ N e a ∈ R, com x 6= a. Em particular, fazendo x = n√y e a = n √ b, obtemos n √ y − n √ b y − b = 1 n p yn−1 + n p yn−2b+ · · ·+ n p ybn−2 + n √ bn−1 . Sejam X ⊆ R uma intervalo e f : X → R uma função. Dizemos que f é convexa em X, se para todos a, b ∈ X, com a < b, temos que f (a) + f (b)− f(a) b− a (x− a) ≥ f(x), ∀x ∈ ]a, b[ ou f (b) + f (b)− f(a) b− a (x− b) ≥ f(x), ∀x ∈ ]a, b[. Dizemos que f é côncava em X, se para todos a, b ∈ X, com a < b, temos que f (a) + f (b)− f(a) b− a (x− a) ≤ f(x), ∀x ∈ ]a, b[ ou f (b) + f (b)− f(a) b− a (x− b) ≤ f(x), ∀x ∈ ]a, b[ (confira Figura 4.1), onde o primeiro gráfico é uma função convexa e o segundo côncava. Figura 4.1: Representação gráfica de uma função convexa e côncava. Exemplo 4.1 Determinar os intervalos de convexidade e concavidade da função f(x) = ax2 + bx+ c, com a 6= 0. 4.1. FUNÇÕES POLINOMIAIS 75 Solução. Note que, dados x1, x2 ∈ R e x ∈ ]x1, x2[, temos que f (x1) + f (x2)− f(x1) x2 − x1 (x− x1)− f(x) = a[(x21 − x2) + (x2 + x1)(x− x1) = a(x− x1)[(x2 + x1)− (x+ x1)] = a(x− x1)(x2 − x). Portanto, f é convexa em R se a > 0 e é côncava em R se a < 0. Sejam X ⊆ R uma intervalo e f : X → R uma função. Dizemos que f é crescente se x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2) , ∀x1, x2 ∈ X. Dizemos que f é decrescente se x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2) , ∀x1, x2 ∈ X. Exemplo 4.2 A função f : R→ R definida por f(x) = 3x+ 4 é crescente. Solução. Dados x1, x2 ∈ R. Se x1 < x2, então f (x2)− f (x1) = (3x2 + 4)− (3x1 + 4) = 3(x2 − x1) > 0, isto é, f (x1) < f (x2). Exemplo 4.3 Seja f : R → R uma função definida por f(x) = ax + b, com a 6= 0. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f . Solução. Dados x1, x2 ∈ R, com x1 < x2, temos que f (x2)− f (x1) = ax2 + b− (ax1 + b) = a(x2 − x1). Logo, se a > 0, então f é crescente em todo R. Se a < 0, então f é decrescente em todo R. Exemplo 4.4 Seja f : R→ R uma função definida por f(x) = ax2 + bx+ c, com a 6= 0. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f . Solução. Note que, f(x) = ax2 + bx+ c = a(x2 + b a x+ c a ) = a(x2 + 2b 2a x+ b2 4a2 − b 2 4a2 + c a ) = a(x+ b 2a )2 + 4ac− b2 4a . 76 CAPÍTULO 4. TIPOS ESPECIAIS DE FUNÇÕES Assim, dados x1, x2 ∈ R, com x1 < x2, temos que f (x2)− f (x1) = ∙ a(x2 + b 2a )2 + 4ac− b2 4a ¸ − ∙ a(x1 + b 2a )2 + 4ac− b2 4a ¸ = a ∙ (x2 + b 2a )2 − (x1 + b 2a )2 ¸ = a(x2 − x1)(x2 + x1 + b a ). Logo, se a > 0, então f é crescente se, e somente se, x2 + x1 + b a > 0⇔ x2 + x1 2 > − b 2a . Portanto, se a > 0 o intervalo de crescimento é ]− b 2a ,+∞[ e de decrescimento é ]−∞,− b 2a [. Analogamente, se a < 0 o intervalo de crescimento é ] −∞,− b 2a [ e de decrescimento é ]− b 2a ,+∞[. Exemplo 4.5 A função f : R→ R definida por f(x) = x3 + 3x+ 5 é crescente. Solução. Dados x1, x2 ∈ R. Se x1 < x2, então f (x2)− f (x1) = (x32 + 3x2 + 5)− (x31 + 3x1 + 5) = (x32 − x31) + 3(x2 − x1) = (x2 − x1)(x22 + x2x1 + x21 + 3) = (x2 − x1)[(x2 + x1 2 )2 + 3x21 4 + 3] > 0, isto é, f (x1) < f (x2). Portanto, f é crescente. Exemplo 4.6 Seja f : R → R uma função crescente. Então f admite uma função inversa g : R→ R também crescente. Solução. Primeiro vamos provar que f admite uma função inversa g, isto é, dado y1 ∈ R existe um único x1 ∈ R tal que y1 = f(x1). Suponhamos, por absurdo, que exista um x2 ∈ R tal que y1 = f (x1) = f (x2) e x1 6= x2. Como x1 6= x2 temos que x1 < x2 ou x1 > x2. Se x1 < x2, então, por hipótese, f(x1) < f(x2) ou se x1 > x2, então f(x1) > f(x2), que é uma contradição. Neste caso, y = f (x)⇔ x = g(y). Finalmente, dados y1, y2 ∈ R, com y1 < y2, queremos provar que g(y1) < g(y2). Supon- hamos, por absurdo, que g(y1) ≥ g(y2). Então y1 = (f ◦ g)(y1) = f(g(y1)) ≥ f(g(y2)) = (f ◦ g)(y2) = y2, isto é, y1 ≥ y2, que é uma contradição. 4.2. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 79 Figura 4.2: Gráfico da função 2x. Exemplo 4.9 Esboçar o gráfico da função f(x) = 2−x = ¡ 1 2 ¢x . Solução. É claro que Dom f = R, a interseção com o eixo dos y é f(0) = 2−0 = 1, isto é, a interseção com o eixo dos y ocorre no ponto (0, 1). Note que f não intercepta o eixo dos x. Façamos uma tabela de alguns valores de f(x) e o gráfico de f é a Figura 4.3. x −2 −1 0 1 2 3 f(x) 4 2 1 1 2 1 4 1 8 Figura 4.3: Gráfico da função 2−x. Se f(x) = ax, então o gráfico de f é o primeiro se 0 < a < 1 e é o segundo se a > 1 (confira Figura 4.4). Note que f é decrescente se 0 < a < 1 e f é crescente se a > 1. 80 CAPÍTULO 4. TIPOS ESPECIAIS DE FUNÇÕES Figura 4.4: Gráfico da função ax. Quando a for o número irracional e (e ≈ 2, 718), dizemos que f(x) = ex é a função exponencial natural. Usa-se, também, a notação f(x) = exp(x). O número irracional e pode ser definido como o valor que a função y = ¡ 1 + 1 x ¢x assume quando x se torna arbitrariamente grande. Propriedade 4.10 Sejam a, b ∈ R∗+ e x, y ∈ R. Então: 1. ax+y = axay; 2. a x ay = ax−y; 3. (ax)y = axy; 4. (ab)x = axbx; 5. (a b )x = a x bx ; 6. Se x ≤ y e a > 1, então ax ≤ ay; 7. Se x ≤ y e 0 < a < 1, então ay ≤ ax. Sejam a, x ∈ R com a > 0 e a 6= 1. O logaritmo de x na base a é um número b ∈ R tal que ab = x e denotamos por b = loga x. (O conceito de logaritmo foi proposto pelo matemático escocês John Neper, 1550 - 1617). Seja a ∈ R com a > 0 e a 6= 1. A função f : ]0,+∞[ → R definida por f(x) = loga x é chamada de função logarítmica de base a. 4.2. FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 81 Exemplo 4.11 Esboçar o gráfico da função f(x) = log2 x. Solução. É claro que Dom f = ]0,+∞[, a interseção com o eixo dos x é x = 20 = 1, pois x = 2y, isto é, a interseção com o eixo dos x ocorre no ponto (1, 0). Note que f não intercepta o eixo dos y. Façamos uma tabela de alguns valores de f(x) e o gráfico de f é a Figura 4.5. x 1 4 1 2 1 2 4 8 f(x) −2 −1 0 1 2 3 Figura 4.5: Gráfico da função log2 x. Exemplo 4.12 Esboçar o gráfico da função f(x) = log 1 2 x. Solução. É claro que Dom f = ]0,+∞[, a interseção com o eixo dos x é x = µ 1 2 ¶0 = 1, pois x = µ 1 2 ¶y , isto é, a interseção com o eixo dos x ocorre no ponto (1, 0). Note que f não intercepta o eixo dos y. Façamos uma tabela de alguns valores de f(x) e o gráfico de f é a Figura 4.6. x 1 4 1 2 1 2 4 8 f(x) 2 1 0 −1 −2 −3 84 CAPÍTULO 4. TIPOS ESPECIAIS DE FUNÇÕES EXERCÍCIOS 1. Use logaritmo de base 10, para desenvolver as expressões: (a) x = 3a 2 √ b cd2 (c) x = 3√ 2ab2 2 (e) x = 3a 3 √ ab2 (b) x = 2a 2b3 3c (d) x = 1 3 a q ab c (f) x = 10a3 5 √ a3b7. 2. Esboçar o gráfico das seguintes funções: (a) f(x) = log2(x+ 1) (b) f(x) = log 1 2 (x+ 1). 3. Resolva as seguintes equações: (a) x √ 81 = 3 (g) 2 · 33−x − 5 3x−2 = 3 (b) 32−x + 31+x = 28 (h) 6 + 4x+2 = 70(5− 2x+1) (c) 2 √ x = 8 · 2−x (i) log2(4− x2) = log2 3x (d) (0, 01)x = 10 (j) log 1 2 (x− 1) = log 1 2 x2 (e) 4 √ x+1 = 1024 · 2 √ x+1 (k) log3(x 2 + 1) = log3(x+ 1) (f) 22x − 5 · 2x + 4 = 0 (l) log 1 3 (3x+ 2) = log 1 3 (x− 1). 4. Resolva as seguintes inequações: (a) ax 2−1 > 1, 0 < a < 1 (d) x2−x 2 > xx (b) ax 2−x > 0, a > 1 (e) log2(x− 3) + log2(x− 2) < 1 (c) xx 2−2x+1 > x (f) log 1 2 (x+ 2) + log 1 2 (x− 3) > 2. 5. Determinar m, de modo que a equação 2x + 2−x = 2m tenha raízes reais. 6. Determinar o domínio das seguintes funções: (a) f(x) = √ 1− 2x (e) f(x) = log 1 2 (x2 − 1) (b) f(x) = √ 2x+1 − 2−x (f) f(x) = log2(2− 3x+ x2) (c) f(x) = 1√ 2−2−x (g) f(x) = logx(3x− 6) (d) f(x) = log2(3x− 2) (h) f(x) = logx−3(4x2 − 16). 7. Sabendo que 50,35 = k, determinar 51,7. 4.3. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 85 4.3 Funções Trigonométricas Nesta seção apresentaremos as principais funções trigonométricas e suas propriedades. Ângulo é a figura geométrica formada por duas semi-retas com a mesma origem e denotado por θ = ∠AOB (confira Figura 4.9). A origem é o vértice do ângulo e as semi- retas são os lados. O ângulo θ é positivo para uma rotação anti-horário e negativo para uma rotação horário. No cálculo, a unidade de medida é o radiano. Conversão: 1 grau = π 180 rad e 1 rad = 180 π graus. Figura 4.9: Ângulo θ. Em um sistema de coordenadas cartesianas, a posição padrão de um ângulo θ é obtida tomando a origem como vértice e o lado inicial ao longo do eixo dos x (confira Figura 4.10). Figura 4.10: Ângulo padrão. Seja θ um ângulo na posição padrão. Sobre o lado final de θ, escolhemos um ponto P = (x, y) com x 6= 0. Seja r = p x2 + y2. Então r é a distância de P a origem O = (0, 0). Definimos sen θ = y r , cos θ = x r , tan θ = y x csc θ = r y , sec θ = r x e cot θ = x y . 86 CAPÍTULO 4. TIPOS ESPECIAIS DE FUNÇÕES Vamos mostrar que sen θ não depende das coordenadas do ponto P . De fato, seja Q = (a, b) qualquer ponto sobre o lado final de θ. Então existe c ∈ R, com c > 0, tal que a = cx e b = cy. Logo, b√ a2 + b2 = cyp (cx)2 + (cy)2 = yp x2 + y2 . Note que, como |y| = p y2 ≤ p x2 + y2 = r temos que ¯̄̄y r ¯̄̄ ≤ 1, ou seja, −1 ≤ y r ≤ 1. Portanto, −1 ≤ sen θ ≤ 1, ou ainda, |sen θ| ≤ 1, para todo ângulo θ. De modo similar, mostra-se que |cos θ| ≤ 1, |csc θ| ≥ 1 e |sec θ| ≥ 1, etc. Finalmente, vamos definir a seguinte função sen : R → [−1, 1] x 7→ senx que será chamada de função seno. De modo similar, define-se a função cosseno, tangente, etc. Propriedade 4.14 Sejam x, y ∈ R. Então: 1. senx = cos(π 2 − x) ou cosx = sen(x+ π 2 ); 2. sen2 x+ cos2 x = 1; 3. sen(x± y) = senx cos y ± sen y cosx; 4. cos(x± y) = cosx cos y ∓ senx sen y; 5. cos2 x = 1+cos 2x 2 e sen2 x = 1−cos 2x 2 ; 6. tan2 x+ 1 = sec2 x; 7. senx cosx = 1 2 ¡ cos(x+y 2 ) + cos(x−y 2 ) ¢ . Sejam X ⊆ R uma intervalo e f : X → R uma função. Dizemos que f é periódica se existir T ∈ R, T > 0, tal que f(x+ T ) = f(x), para todo x ∈ X, com x+ T ∈ X. O menor número T (se existir) com esta propriedade é chamado o período da função f . 4.4. REGIÕES NO PLANO CARTESIANO 89 Solução. Seja R a região em R2 determinada pela inequação x > 0. Então R = {(x, y) ∈ R2 : x > 0} (confira Figura 4.11). Figura 4.11: Região determinada pela inequação x > 0. Exemplo 4.18 Esboçar a região em R2 determinada pela inequação y + x− 1 > 0. Solução. Seja R a região em R2 determinada pela inequação y + x− 1 > 0. Então R = {(x, y) ∈ R2 : y > −x+ 1} (confira Figura 4.12). Figura 4.12: Região determinada pela inequação y + x− 1 > 0. 90 CAPÍTULO 4. TIPOS ESPECIAIS DE FUNÇÕES Exemplo 4.19 Esboçar a região em R2 determinada pelas inequações 1 < x2 + y2 ≤ 4. Solução. Seja R a região em R2 determinada pelas inequações 1 < x2 + y2 ≤ 4. Então R = {(x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y2 ≤ 4} (confira Figura 4.13). Figura 4.13: Região determinada pelas inequações 1 < x2 + y2 ≤ 4. 4.5 Funções como Modelos Matemáticos Muitos problemas de matemáticas envolvem conjuntos de pares ordenados de números reais. Por exemplo, a representação da demanda por um dado artigo envolve pares de números que especificam a quantidade demandada e o preço correspondente. Nesta seção usaremos o conceito de função para modelar esse tipo de problema. Sejam x e y duas variáveis. Dizemos que y é diretamente proporcional a x se y = kx e inversamente proporcional a x se y = k x , onde k é uma constante não-nula. A constante k é chamada de constante de proporciona- lidade. Exemplo 4.20 O peso aproximado do cérebro de uma pessoa é diretamente proporcional ao seu peso corporal, e uma pessoa com 68 kg tem um cérebro com um peso aproximado de 1, 8 kg. 4.5. FUNÇÕES COMO MODELOS MATEMÁTICOS 91 1. Expressar o número de quilos do peso aproximado do cérebro de uma pessoa como função do seu peso corporal. 2. Determinar o peso aproximado do cérebro de uma pessoa, cujo peso corporal é 80 kg. Solução. 1. Sejam x o peso corporal de uma pessoa e y = f(x) o peso aproximado do seu cérebro. Então y = kx. Como x = 68 e y = 1, 8 temos que 1, 8 = k68⇒ k = 1, 8 68 = 9 340 ≈ 0, 025. Logo, f(x) = 9 340 x. 2. Quando x = 80, obtemos f(80) = 9 340 80 = 2, 1. Portanto, o peso aproximado do cérebro de uma pessoa que pesa 80 kg é 2, 1 kg. Exemplo 4.21 A intensidade de luz de uma dada fonte é inversamente proporcional ao quadrado da distância dela. 1. Expressar o número de velas na intensidade da luz como função da distância em metros da fonte, sabendo que a intensidade é 225 velas a uma distância de 5 m da fonte. 2. Determinar a intensidade num ponto distante 12 m da fonte. Solução. 1. Sejam x distância em metros da fonte e y = f(x) o número de velas na intensidade da luz. Então y = k x2 . Como x = 5 e y = 225 temos que 225 = k 52 ⇒ k = 25 · 225 = 5.625. Logo, f(x) = 5.625 x2 . 2. Quando x = 12, obtemos f(12) = 5.625 122 = 625 16 . Portanto, a intensidade num ponto a 12 m da fonte é 625 16 velas.