Baixe Teoria do Grau e Aplicações e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! 1 Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Tecnologia Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Teoria do Grau e Aplicações por Orlando Batista de Almeida sob orientação do Prof. Dr. Claudianor Oliveira Alves - UFCG Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação emMatemática - CCT - UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Campina Grande - PB Maio/2006 . Teoria do Grau e Aplicações por Orlando Batista de Almeida Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Programa de Pós-Graduação em Matemática - CCT - UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de Concentração: Matemática Aprovada por: ———————————————————————— Prof. Dr. Amauri da Silva Barros - UFAL ———————————————————————— Prof. Dr. José de Arimatéia Fernandes - UFCG ———————————————————————— Prof. Dr. Claudianor Oliveira Alves - UFCG Orientador Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciências e Tecnologia Programa de Pós-Graduação em Matemática Curso de Mestrado em Matemática Maio/2006 2 Agradecimentos Agradeço primeiramente a Deus, por toda benção e glória, saúde, força, coragem e perseverança para que eu podesse concluir este trabalho. Ao meu querido professor e amigo Claudianor, um profissional e um ser humano que dispensa comentários, pela atenção, compreensão, paciência, que teve comigo nesta difícil jornada. Ao professor Marco Aurélio Souto, ser humano maravilhoso, que foi responsável pela minha vinda para o mestrado da UFCG. Aos professores Aparecido Jesuíno, Bráulio Maia, Claudianor, Daniel Cordeiro e Marco Aurélio pelas disciplinas que lecionaram e, que com seus conhecimentos contri- buíram de forma decisiva para a minha formação. A todos que fazem parte do Departamento de Matemática e Estatística da UFCG, pelo acolhimento. Ao meu irmão e amigo Otacílio Almeida pelo incentivo e apoio. Aos queridos e inesquecíveis AMIGOS, Aldo Trajano, Moisés Dantas, José Fernando, Cícero, Luiz Paulo, Tatiana, Jesualdo e JESUS pelo companheirismo, mo- tivação, paciência e humildade e, que indiretamente contribuiram para a elaboração deste trabalho. Aos professores: Dr. Amauri da Silva Barros e Dr. José de Arimatéia Fernandes por si mostrarem prestativos e disponíveis para fazerem à avaliação deste meu trabalho de dissertação, fazendo parte da Banca Examinadora. A toda minha família, em especial as minhas filhas: Michaella, Sabrina, O‘hana e O‘hara pela ausência e falta de atenção nos momentos que mais precisaram de mim, e que mesmo assim me deram muita força e incentivo para que pudesse concluir este curso de pós-graduação e, dizer que foi nelas que encontrei força e inspiração. 5 Dedicatória A minha mãe Edite, a minha es- posa, minhas filhas: Michaella, Sabrina, O’hana e O’hara e aos meus irmãos. 6 Notações: (1) 〈 ·, · 〉 produto interno. (2) [·] referência bibliográfica. (3) (·) referência citada no texto. (4) ρ{A,B} distância entre os conjuntos A e B. (5) suptϕ suporte da função ϕ. (6) Se f : Ω ⊂ RN → RN é uma função, usamos ao longo da dissertação as seguintes notações: (i) |f(x)| é a norma usual do RN para f(x). (ii) |x| é a norma usual do RN para x. (iii) |x| é o valor absoluto de x, se n = 1. (iv) |f ′(x)| é a norma da transformação linear de f ′(x), se f for diferenciável. (7) Se f : X → Y é uma função com X e Y espaços de Banach, usamos as mesmas notações do item (6) usando-se ‖ · ‖ ao invés de | · |. (8) divϕ é o divergente da aplicação ϕ. (9) diamA é o diâmetro do conjunto A. (10) m(A) é a medida do conjunto A. (11) m∗(A) é a medida exterior do conjunto A. (12) Jf (x) = det[f ′(x)] é o valor do determinante jacobiano de f aplicado no ponto x. (13) Br(x) é a bola fechada de centro x e raio r. (14) sgnf é o sinal da função f 7 Introdução Muitos problemas em Análise Funcional não-linear podem ser reduzidos ao estudo de encontrar soluções para equações do tipo: ϕ(x) = b (1) sobre um espaço de Banach adequado. A teoria do grau tem sido desenvolvida como um método utilizado para estudar o conjunto das soluções da equação (1), obtendo infomações sobre a existência, multi- plicidade e a natureza destas soluções. Este tipo de abordagem tem sido usada principalmente em Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) e Equações Diferenciais Parciais (EDP). Neste trabalho , temos por objetivo apresentar a Teoria do Grau, que será estu- dada em duas etapas: Na primeira será feita o estudo do Grau Topológico de Brouwer que vale em espaços vetoriais de dimensão finita e na segunda etapa será estudado o Grau de Leray & Schauder que vale em espaços vetoriais de dimensão infinita, que teve por base o trabalho da Tese de Doutorado de Henry Berestycki [7] de 1975, cujo objeto de estudo foi Métodos Topológicos e Problemas Auxiliares Limitados. Uma vez mostrada a existência do grau topológico usamos o mesmo para obter soluções para duas classes de problemas elípticos. O método aplicado para obter as soluções dos problemas está centralizado no Método de Galerkin e no teorema do Ponto Fixo de Schaeffer. No Capítulo 1, seguindo o trabalho de Berestycki [7], construímos o Grau Topo- 9 10 lógico de Brouwer, definindo o mesmo para o caso Regular. Depois estudamos o grau para as funções contínuas, e em seguida estudamos suas propriedades e as principais consequências dessas propriedades. Definimos o Grau de Leray & Schauder, trabalha- mos as suas propriedades e as suas principais consequências. No capítulo 2, norteado ainda pelo trabalho de Berestycki [7], definimos alguns espaços de Schauder com suas respectivas normas e apresentamos alguns resultados devido a Schauder. Usando a teoria do Grau de Leray & Schauder demonstramos o Teorema do Ponto Fixo de Schaeffer, o qual juntamente com os resultados de Schauder são usados para mostrar a existência de solução para a seguinte classe de problemas elípticos quaselineares    Lu = F (x, u), Ω u = 0, ∂Ω. (P ) onde, Ω ⊂ RN é um aberto limitado, o operador L diferencial é dado por Lu = N∑ i,j=1 aij(x)uxixj(x) + N∑ i=1 bi(x)uxi(x) + c(x)u(x) com u : Ω → R, sendo uma função de classe C2(Ω), N ≥ 1 e F ∈ Cα(Ω) com α ∈ (0, 1). No capítulo 3, seguindo idéias desenvolvidas por Alves & de Figueiredo [3] (2003) e Alves, Corrêa & Gonçalves [4] (2005), usamos o grau de Brouwer para demonstrar o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer e uma consequência do mesmo, o qual chamaremos de Lema Fundamental, que é utilizado para mostrar a existência de solução positiva para a seguinte classe de problemas elípticos singulares    −∆u = 1 uγ , Ω u > 0, Ω u = 0, ∂Ω, (P1) onde Ω ⊂ RN um aberto limitado, 0 < γ < 1, N ≥ 2. O método utilizado para obter tal solução é conhecido como Método de Galerkin, que é uma técnica de resolução de alguns problemas não lineares, que consiste em aproximar o espaço H10 (Ω) por uma sequência de subespaço de dimensão finita. Neste capítulo, usamos um resultado de Regularidade devido a Agmon [1], e também destacamos um importante resultado devido a Ambrosetti, Brézis e Cerami [5], que é um Teorema envolvendo Subsolução e Supersolução, o qual estabelece a unicidade de solução para uma classe de problemas singulares que inclui o problema (P1). No apêndice A, recordamos algumas definições e enunciamos os principais teore- mas de análise no RN utilizados neste trabalho. No apêndice B, apresentamos alguns resultados envolvendo os espaços de Sobolev e Teoria da Medida e Integração que foram usados nesta dissertação. 11 14 Consequentemente |f(y)− f(x)− f ′(x)(y − x)| ≤ ²|y − x|, o que implica |f(y)− f(x)− f ′(x)(y − x)| ≤ ² diam(C̃). (1.3) Desde que, x ∈ C ∩ S tem-se que Jf (x) = 0. Logo f ′(x) não é inversível e podemos afirmar que f ′(x)(RN) ⊂ H, onde H é um hiperplano do RN . Por (1.3) temos |f(y)− (f(x) + f ′(x)(y − x))| ≤ ² diam(C̃), onde f ′(x)(y − x) ∈ H e sendo ρ(f(y), f(x) + H) a distância entre o ponto f(y) e o conjunto f(x) + H, por definição da função distância temos ρ(f(y), f(x) + H) = inf{|f(y)− (f(x) + h)|; h ∈ H}. Assim, se considerarmos h = f ′(x)(y − x), obtemos ρ(f(y), f(x) + h) ≤ |f(y)− (f(x) + f ′(x)(y − x))|,∀ h ∈ H e com isso ρ(f(y), f(x) + H) ≤ ² diam(C̃). Desta forma, f(C̃) está contido num paralelepípedo P de centro f(x) e volume V (P ) = 2² diam(C̃)(2Mdiam(C̃))N−1. Sendo assim, a medida exterior do conjunto f(C̃) é dada por m∗(f(C̃)) ≤ 2² diam(C̃)(2Mdiam(C̃))N−1 implicando m∗(f(C̃)) ≤ 2NMN−1diam(C̃)N ². Logo m∗(f(C̃)) ≤ 2NMN−1( a K √ N)N ². Agora, veja que m∗(f(C ∩ S)) ≤ ∑ eC∩S 6=∅ m∗(f(C̃ ∩ S)) 15 e consequentemente m∗(f(C ∩ S)) ≤ ∑ eC∩S 6=∅ m∗(f(C̃)), donde obtemos m∗(f(C ∩ S)) ≤ 2NMN−1N N2 ( a K )N .².KN . Portanto m∗(f(C ∩ S)) ≤ 2NMN−1N N2 (a)N ². Considerando 2NMN−1N N 2 (a)N = σ, temos que m∗(f(C ∩ S)) ≤ σ². Fazendo ² → 0, concluímos m∗(f(C ∩ S)) = 0. Agora, considere uma família de cubos abertos {Cλ} verificando S ⊂ ⋃ S∩Cλ 6=∅ Cλ, com Cλ aberto e Cλ ⊂ Λ. Segue do teorema de Lindëlof que existe {Cj}j∈N ⊂ {Cλ}, tal que S ⊂ ∞⋃ j=1 (Cj ∩ S). Daí, segue f(S) ⊂ f( ∞⋃ j=1 (Cj ∩ S)), implicando f(S) ⊂ ∞⋃ j=1 f(Cj ∩ S). Logo m∗(f(S)) ≤ m∗( ∞⋃ j=1 f(Cj ∩ S)) e consequentemente 0 ≤ m∗(f(S)) ≤ ∑ Cj∩S 6=∅ m∗(f(Cj ∩ S)) = 0, donde concluímos m∗(f(S)) = 0. Conforme resultado da teoria da medida (ver Teorema B.3) temos que f(S) é men- surável com m(f(S)) = m∗(f(S)) = 0. 16 1.1.1 Definição do Grau para o Caso Regular Considere Ω ⊂ RN um aberto limitado e Ck(Ω,RN) o espaço das funções k- vezes continuamente diferenciáveis em Ω, isto é, o espaço das funções contínuas em Ω que possuem todas as derivadas até ordem k, sendo restrições de funções contínuas definidas em Ω. Para o espaço Ck(Ω,RN) vamos considerar a seguinte norma ‖ϕ‖k = max 0≤j≤k sup x∈Ω ‖D(j)ϕ(x)‖. Sejam ϕ ∈ C1(Ω,RN) e S = {x ∈ Ω; Jϕ(x) = 0}, onde Jϕ representa a matriz jacobiana de ϕ. Seja b ∈ RN com b /∈ ϕ(∂Ω)∪ϕ(S). Se x ∈ ϕ−1({b}) temos que Jϕ(x) 6= 0, então pelo Teorema da Aplicação Inversa ϕ é um difeomorfismo de uma vizinhança U de x sobre uma vizinhança V de b, isto é, ϕ|U : U → ϕ(U) = V é um difeomorfismo. Afirmação: O conjunto ϕ−1({b}) é finito. De fato, ϕ−1({b}) é um fechado em Ω, consequentemente ϕ−1({b}) é um fechado e limitado em RN , pois ϕ−1({b}) ⊂ Ω. Portanto, ϕ−1({b}) é um compacto. Para cada x ∈ ϕ−1({b}), considere a bola Brx(x) ⊂ Ux. Assim ϕ−1({b}) ⊆ ⋃ xj∈ϕ−1({b}) Brj(xj), e desde que {Brj(xj)} é uma cobertura por abertos para o compacto ϕ−1({b}), pelo Teorema de Borel-Lebesgue podemos extrair uma subcobertura finita de maneira que ϕ−1({b}) ⊂ k⋃ j=1 Brj(xj), mostrando que ϕ−1({b}) é finito, ou seja, ϕ−1({b}) = {ξ1, ξ2, ξ3, ..., ξk} com Jϕ(ξi) 6= 0 para todo i ∈ {1, 2, 3, . . . , k} . Definição 1.2 Sejam ϕ ∈ C1(Ω,RN) e b /∈ ϕ(∂Ω)∪ϕ(S). Definimos o grau topológico de Brouwer da aplicação ϕ em relação a Ω no ponto b, como sendo o número inteiro d(ϕ, Ω, b) = ∑ ξi∈ϕ−1({b}) sgn(Jϕ(ξi)) 19 Fixando ² > 0 suficientemente pequeno, considere as vizinhanças Ui de ξi, desta forma I² é dado por I² = k∑ i=1 ∫ Ui J²(ϕ|Ui (x))Jϕ|Ui (x)dx, onde ϕi = ϕ|Ui com 1 ≤ i ≤ k. Sendo ϕ(Ui) = B²(b) temos que Ui = ϕ−1(B²(b)). Assim I² = k∑ i=1 ∫ ϕi−1(B²(b)) J²(ϕi(x))Jϕi(x)dx. Usando o Teorema de Mudança de Variávéis temos I² = k∑ i=1 ∫ B²(b) J²(ϕi(ϕ −1 i (x)))Jϕi(ϕ −1 i (x))|Jϕ−1i (x)|dx, ou seja, I² = k∑ i=1 ∫ B²(b) J²(x)Jϕi(ϕ −1 i (x))|Jϕ−1i (x)|dx. (1.4) Desde que ϕi(ϕ −1 i (x)) = x temos |Jϕ−1i (x)| = 1 |Jϕi(ϕ−1i (x))| . (1.5) Usando a igualdade (1.5) em (1.4) obtemos I² = k∑ i=1 ∫ B²(b) J²(x)Jϕi(ϕ −1 i (x)) 1 |Jϕi(ϕ−1i (x))| dx. Observe que Jϕi(ϕ −1 i (x)) |Jϕi(ϕ−1i (x))| =    1 , se Jϕi(ϕ −1 i (x)) > 0 −1 , se Jϕi(ϕ−1i (x)) < 0 e portanto Jϕi(ϕ −1 i (x)) |Jϕi(ϕ−1i (x))| = sgn[Jϕi(ϕ −1 i (x))]. Consequentemente, I² = k∑ i=1 ∫ B²(b) J²(x)sgn[Jϕi(ϕ −1 i (x))]dx. 20 Desde que, sgn [ Jϕi(ϕ −1 i (x)) ] = sgnJϕ(ξi), ∀x ∈B²(b), segue-se que I² = k∑ i=1 ∫ B²(b) J²(x)sgn[Jϕ(ξi)]dx. Assim, I² = k∑ i=1 sgn[Jϕ(ξi)] ∫ B²(b) J²(x)dx. Sendo suptJ² ⊂ B²(b) e ∫ RN J²(x)dx = 1 temos I² = k∑ i=1 sgn[Jϕ(ξi)] donde podemos concluir que I² = d(ϕ, Ω, b). O número I² é denominado a Forma Integral do Grau Topológico de Brouwer de ϕ com relação a Ω no ponto b. Observação 1.2 Podemos concluir a partir do que já foi visto sobre a teoria do grau que, se d(ϕ, Ω, b) 6= 0, existe x0 ∈ Ω tal que ϕ(x0) = b. De fato, se b /∈ ϕ(∂Ω) temos d(ϕ, Ω, b) = ∑ ξi∈ϕ−1({b}) sgn(Jϕ(ξi)) = ∫ {x∈Ω;|ϕ(x)−b|<²} J²(ϕ(x))Jϕ(x)dx. Sendo d(ϕ, Ω, b) 6= 0, por hipótese, temos ∫ {x∈Ω;|ϕ(x)−b|<²} J²(ϕ(x))Jϕ(x)dx 6= 0 implicando que {x ∈ Ω; |ϕ(x)− b| < ²} 6= ∅. Consequentemente, existe x² ∈ Ω tal que |ϕ(x²) − b| < ². Desde que Ω seja limitado, fazendo ² → 0 temos que, ϕ(x0) − b = 0 concluimos que ϕ(x0) = b. Lema 1.3 Seja ϕ ∈ C1(Ω,RN) e b /∈ ϕ(∂Ω) ∪ ϕ(S). Então, existe uma vizinhança U de ϕ pela topologia de C1(Ω,RN) tal que ∀ψ ∈ U, temos que: (i) b /∈ ψ(∂Ω), (ii) x ∈ ψ−1(b) ⇒ Jϕ(x) 6= 0, (iii) d(ψ, Ω, b) = d(ϕ, Ω, b). 21 Demonstração: Prova do item (i). Seja ²1 = ρ{b, ϕ(∂Ω)} > 0 e vamos considerar a seguinte vizinhança de ϕ ‖ψ − ϕ‖C1(Ω,RN ) ≤ ²1 2 . (1.6) Afirmação: b /∈ ψ(∂Ω). De fato, segue de (1.6) |ψ(x)− ϕ(x)| ≤ ²1 2 , ∀x ∈ Ω. (1.7) Assim, não existe x0 ∈ ∂Ω com ψ(x0) = b, pois caso contrário, em (1.7) teríamos |ψ(x0)− ϕ(x0)| ≤ ²1 2 , ou seja, |b− ϕ(x0)| ≤ ²1 2 implicando que ²1 = ρ{b, ϕ(∂Ω)} ≤ ²1 2 , que é um absurdo. Prova do item (ii). Considere ϕ−1({b}) = {ξ1, ξ2, ξ3, . . . , ξk} e as vizinhanças U1,U2,U3, . . . ,Uk e ² > 0, tais que ϕi = ϕ∣∣∣ Ui : Ui → B²(b) é um difeomorfismo e vamos supor que |Jϕi(x)| > η > 0, ∀x ∈ Ui, i = 1, 2, 3, . . . , k. Usando o fato que ϕ ∈ C1(Ω,RN), dado ²∗ = 1 2M , onde 0 < M = max{|ϕ′(ξi)−1|; i = 1, 2, 3, . . . , k}, existe r > 0 tal que ∀ x ∈ Br(ξi), i = 1, 2, 3, . . . , k tem-se |ϕ′(x)− ϕ′(ξi)| < ²∗ = 1 2M . Logo, |ϕ′(ξi)−1[ϕ′(x)− ϕ′(ξi)]| ≤ |ϕ′(ξi)−1||ϕ′(x)− ϕ′(ξi)| e daí temos |ϕ′(ξi)−1[ϕ′(x)− ϕ′(ξi)]| < M · 1 2M = 1 2 , ∀ x ∈ Br(ξi), i = 1, 2, 3, . . . , k. 24 Logo |θ′i(x)− I| = max{|ψ′(ξi)−1[ψ′(x)v − ψ′(ξi)v]|; |v| = 1}, donde se obtém |θ′i(x)− I| ≤ 3 4 , ∀ x ∈ Br(ξi). Definindo ψi(x) = θi−x tem-se que θi = x+ψi(x), onde ψi é 3 4 − contração. Usando o Lema A.17− (ii), θi é injetiva em Br(ξi), implicando que ψ é injetiva em Br(ξi). Defina φ(x) = θi(x + ξi)− θi(ξi) e note que φ(x) = x + (θi(x + ξi)− x− θi(ξi)). Repetindo o mesmo argumento utilizado para mostrar que θi − I é 3 4 − contração, podemos concluir que θi(x + ξi)− x− θi(ξi) é 3 4 − contração em Br(0). Logo, pelo Lema A.17 temos que φ(Br(0)) ⊃ B r 4 (0), ou seja, θi(Br(ξi)) ⊃ Br(0) + θi(ξi) = B r 4 (0)(θi(ξi)), isto é, ψ(Br(ξi)) ⊃ ψ′(ξi)(B r 4 (θi(ξi))). Além disso, ψ′(ξi)(B r 4 (θi(ξi))) ⊃ B r 4a (ψ(ξi)), (1.8) pois para y ∈ B r 4a (ψ(ξi)) temos |ψ′(ξi)−1(y)− θi(ξi)| = |ψ′(ξi)−1y − ψ′(ξi)−1ψ(ξi)| implicando que |ψ′(ξi)−1(y)− θi(ξi)| = |ψ′(ξi)−1[y − ψ(ξi)]|. Assim |ψ′(ξi)−1(y)− θi(ξi)| ≤ |ψ′(ξi)−1| |y − ψ(ξi)|, e consequentemente |ψ′(ξi)−1(y)− θi(ξi)| < a r 4a = r 4 . 25 Desta forma, ψ′(ξi)−1(y) ∈ B r 4 (θ(ξi)) que implica y ∈ ψ′(ξi)(B r 4a (ψ(ξi))), ou seja, B r 4a (ψ(ξi)) ⊂ ψ′(ξi)(B r 4a (ψ(ξi))). (1.9) De (1.8) e (1.9) obtemos ψ(Br(ξi)) ⊃ B r 4a (ψ(ξi)). (1.10) Recorde que |ϕ(x)− ψ(x)| < r 4a , ∀x ∈ Ω, e com isso, para x = ξi temos |ϕ(ξi)− ψ(ξi)| < r 4a isto é, |b− ψ(ξi)| < r 4a implicando que b ∈ B r 4a (ψ(ξi)) e por (1.23) temos que b ∈ ψ(Br(ξi)). Mostrando que existe um elemento xi0 ∈ Br(ξi) verificando ψ(xi0) = b. Desde que ψ injetiva, tal elemento é único. Portanto, d(ψ, Ω, b) = d(ϕ, Ω, b), ∀ψ ∈ U. Observação 1.3 O item (iii) afirma que o grau topológico de Brouwer é localmente constante na topologia C1(Ω,RN). Lema 1.4 Sejam ϕ ∈ C1(Ω,RN) e b1, b2 pontos de RN que não pertencem a ϕ(∂Ω)∪ϕ(S). Se b1 e b2 estão na mesma componente conexa de RN\ ( ϕ(∂Ω)∪ϕ(S) ) , tem-se que d(ϕ, Ω, b1) = d(ϕ, Ω, b2). 26 Demonstração: Sejam b1 e b2 pontos de RN\ ( ϕ(∂Ω) ∪ ϕ(S) ) . Desde que, a compo- nente conexa que contém b1 e b2 é um aberto em RN , pois RN\ ( ϕ(∂Ω) ∪ ϕ(S) ) é um aberto, a mesma é conexa por caminhos, donde segue que existe q : [0, 1] →RN t 7→q(t) ∈ Cb1,b2 , com q(0) = b1 e q(1) = b2 onde Cb1,b2 é a componente contendo b1 e b2. Note que q([0, 1]) ⊂ Cb1,b2 é um compacto em RN . Assim, existem ² > 0 e {x1, x2, x3, ..., xs} tais que q([0, 1]) ⊂ s⋃ i=1 B²(xi) e B²(xi) ∩B²(xi+1) 6= ∅, com i = 1, 2, 3, ..., s− 1. Vamos fixar nossa atenção a B²(x1) com x1 = b1 e xs = b2. Considere x /∈ ( ϕ(∂Ω) ∪ ϕ(S) ) . Assim d(ϕ, Ω, x) está bem definido e pelo Lema 1.3 temos d(ϕ, Ω, b1) = d(ϕ− b1, Ω, 0). Além disso, ‖(ϕ− b1)− (ϕ− x)‖C1 = |b1 − x| < ², e pelo Lema 1.3 com ² suficientemente pequeno, temos que d(ϕ− b1, Ω, 0) = d(ϕ− x, Ω, 0),∀x ∈ B²(b1), que implica d(ϕ, Ω, b1) = d(ϕ, Ω, x),∀x ∈ B²(x). Seguindo com este raciocínio temos d(ϕ, Ω, xi) = d(ϕ, Ω, y), ∀ y ∈ B²(xi), com i = 1, 2, 3, ..., s. Desde que B²(xi) ∩B²(xi+1) 6= ∅ podemos concluir que d(ϕ, Ω, b1) = d(ϕ, Ω, b2). Lema 1.5 Seja ϕ ∈ C2(Ω,RN) e b1, b2 pontos de RN que não pertencem a ϕ(∂Ω)∪ϕ(S). Se b1 e b2 estão na mesma componente conexa de RN\ϕ(∂Ω), temos que d(ϕ, Ω, b1) = d(ϕ, Ω, b2). 29 Demonstração: Temos duas possibilidades a considerar: (10) b /∈ ϕ(S), o resultado segue do Lema (1.3). (20) b ∈ ϕ(S). Seja r = ρ{b, ϕ(∂Ω)} > 0. Pelo Teorema de Sard existe b1 /∈ ϕ(S) satisfazendo |b1 − b| < r 4 pois caso contrário, B r 4 (b) ⊆ ϕ(S) e assim 0 < m(B r 4 (b)) ≤ m(ϕ(S)), que é um absurdo. Além disso, tem-se também B r 4 (b) ⊂ RN\ϕ(∂Ω) portanto, b e b1 estão na mesma componente conexa de RN\ϕ(∂Ω). Usando a definição do grau para o caso b ∈ ϕ(S) temos que d(ϕ, Ω, b) = d(ϕ, Ω, b1). (1.11) Temos que b1 /∈ ϕ(∂Ω)∪ϕ(S), assim aplicando o Lema 1.3 encontramos uma vizinhança U de ϕ em C1(Ω,RN) de maneira que, ∀ψ ∈ U temos b1 /∈ ψ(∂Ω) ∪ ψ(S) e d(ϕ, Ω, b1) = d(ψ, Ω, b1). (1.12) Note agora que ρ{b, ψ(∂Ω)} ≥ r 2 , ∀ψ ∈ U implicando B r 4 (b) ⊂ RN\ϕ(∂Ω), ∀ψ ∈ U. Portanto, b e b1 estão na mesma componente conexa de RN\ψ(∂Ω),∀ψ ∈ U. Assim, d(ψ, Ω, b) = d(ψ, Ω, b1). (1.13) Segue de (1.11), (1.12) e (1.13) que d(ϕ, Ω, b) = d(ψ, Ω, b). Lema 1.8 (Invariância por Homotopia de Classe C2) Seja H(x, t) ∈ C2(Ω×[0, 1],RN), com b /∈ H(∂Ω× [0, 1]). Então, d(H(·, t), Ω, b) ≡ constante, ∀t ∈ [0, 1]. 30 Demonstração: As funções H e ∂H ∂x são uniformemente contínuas em Ω × [0, 1]. Então, para cada τ ∈ [0, 1] fixado e ² > 0, existe δ > 0 tal que t ∈ [0, 1], |t− τ | < δ ⇒ ‖H(·, t)−H(·, τ)‖C1 < ² (ver Teorema A.10). Segue do Lema 1.7 que d(H(·, τ), Ω, b) = d(H(·, t), Ω, b) para t suficientemente próximo de τ. Assim, a função t 7→ d(H(·, t), Ω, b) é localmente constante em [0, 1]. Sendo [0, 1] um compacto e conexo, podemos afirmar que a mesma é constante. 1.1.3 Definição do Grau para Funções Contínuas Sejam ϕ ∈ C(Ω,RN), b /∈ ϕ(∂Ω) e r = ρ{b, ϕ(∂Ω)} > 0. Sendo C2(Ω,RN) denso em C(Ω,RN), devido ao Teorema de Aproximação de Weirstrass, existe ψ ∈ C2(Ω,RN) com ‖ϕ− ψ‖∞ < r 2 . Fixando U = {ψ ∈ C2(Ω,RN); ‖ϕ− ψ‖∞ < r 2 }, tem-se d(ψ1, Ω, b) = d(ψ2, Ω, b), ∀ψ1, ψ2 ∈ U. De fato, defina a aplicação H : Ω× [0, 1] → RN (x, t) 7→ H(x, t) = tψ1(x) + (1− t)ψ2(x). Observe que, H ∈ C2(Ω× [0, 1],RN) e b /∈ H(∂Ω× [0, 1]). Vamos justificar que b /∈ H(∂Ω× [0, 1]). Para x ∈ Ω, e para cada t ∈ [0, 1] temos |H(x, t)− ϕ(x)| = |tψ1(x) + (1− t)ψ2(x)− tϕ(x)− (1− t)ϕ(x)|, que implica |H(x, t)− ϕ(x)| = |t(ψ1(x)− ϕ(x)) + (1− t)(ψ2(x)− ϕ(x))|. 31 Portanto, |H(x, t)− ϕ(x)| ≤ t|ψ1(x)− ϕ(x)|+ (1− t)|ψ2(x)− ϕ(x)|,∀x ∈ Ω. Desde que |ψ1(x)− ϕ(x)| ≤ ‖ψ1 − ϕ‖∞ e |ψ2(x)− ϕ(x)| ≤ ‖ψ2 − ϕ‖∞, ∀x ∈ Ω segue-se que |H(x, t)− ϕ(x)| ≤ t‖ψ1 − ϕ‖∞ + (1− t)‖ψ2 − ϕ‖∞, ∀ x ∈ Ω. Logo |H(x, t)− ϕ(x)| < t r 2 + (1− t) r 2 , implicando |H(x, t)− ϕ(x)| < r 2 (1.14) e consequentemente b /∈ H(∂Ω× [0, 1]), pois caso contrário, existiria x0 ∈ ∂Ω e t0 ∈ [0, 1] tais que H(x0, t0) = b, e com isso |H(x0, t0)− ϕ(x0)| < r 2 , que implicaria |b− ϕ(x0)| < r 2 o que é um absurdo, pois sendo r = ρ{b, ϕ(∂Ω)} tem-se |b− ϕ(x)| ≥ r. Portanto, b /∈ H(∂Ω× [0, 1]). Pelo Lema 1.8 temos d(H(·, t), Ω, b) ≡ constante,∀t ∈ [0, 1], que implica d(H(·, 0), Ω, b) = d(H(·, 1), Ω, b), isto é, d(ψ2, Ω, b) = d(ψ1, Ω, b). 34 e ‖ϕ−H‖∞ = sup x∈Ω |ϕ(x)−H(x)|, deduzimos que |ϕ(x)−H(x)| ≤ ‖ϕ−H‖∞ < r 4 , ∀ x ∈ Ω implicando por (1.20) |b−H(x)| ≥ r − r 4 . Consequentemente |b−H(x)| ≥ 3r 4 > 0, ∀x ∈ ∂Ω mostrando assim que b /∈ H(∂Ω). Agora fixe ψ ∈ C2(Ω,RN) satisfazendo ‖ϕ − ψ‖∞ < r 8 . Usando a definição do grau topológico de Brouwer para funções contínuas temos d(ϕ, Ω, b) = d(ψ, Ω, b). (1.21) Definindo para H ∈ V o número r′ = ρ{b,H(∂Ω)} temos que r′ ≥ 3r 4 e ‖ψ −H‖∞ < r ′ 2 . De fato, para x ∈ Ω temos |ψ(x)−H(x)| = |ψ(x)− ϕ(x) + ϕ(x)−H(x)|, que implica |ψ(x)−H(x)| ≤ |ψ(x)− ϕ(x)|+ |H(x)− ϕ(x)|. Desde que, |ψ(x)− ϕ(x)| ≤ ‖ψ − ϕ‖∞ e |ψ(x)−H(x)| ≤ ‖ψ −H‖∞, ∀x ∈ Ω, temos que |ψ(x)−H(x)| ≤ ‖ψ − ϕ‖∞ + ‖H − ϕ‖∞. Assim, |ψ(x)−H(x)| < r 8 + r 4 = 3r 8 = 1 2 . 3r 4 < r ′ 2 e portanto, |ψ(x)−H(x)| < r ′ 2 . 35 Como o conjunto {|ψ(x)−H(x)|; x ∈ Ω} é limitado superiormente, pelo postulado de Dedekind, o mesmo possui supremo. Assim, sup x∈Ω |ψ(x)−H(x)| < r ′ 2 e com isso, ‖ψ −H‖∞ < r ′ 2 . Usando novamente a definição do grau topológico de Brouwer temos d(H, Ω, b) = d(ψ, Ω, b). (1.22) De (1.21) e (1.22) concluimos d(ϕ, Ω, b) = d(H, Ω, b), ∀ H ∈ V. (P2) Invariância do Grau por Homotopia Sejam H ∈ C(Ω× [0, 1],RN) e b /∈ H(∂Ω× [0, 1]). Então, d(H(·, t), Ω, b) ≡ constante,∀t ∈ [0, 1]. Demonstração: Para τ ∈ [0, 1] fixado, dado ² > 0, existe δ > 0 tal que t ∈ [0, 1], |t− τ | < δ ⇒ ‖H(·, t)−H(·, τ)‖∞ < ². Usando a propriedade (P1) a aplicação t 7→ d(H(·, t), Ω, b) é localmente constante. Sendo [0, 1] um conjunto compacto e conexo, segue que a função t 7→ d(H(·, t), Ω, b) é constante, isto é, d(H(·, t), Ω, b) ≡ costante, ∀t ∈ [0, 1]. (P3) O Grau é Constante em Componentes Conexas de RN\ϕ(∂Ω). Se b1 e b2 estão na mesma componente conexa de RN\ϕ(∂Ω), tem-se que d(ϕ, Ω, b1) = d(ϕ, Ω, b2). Demonstração: Sejam b1 e b2 pontos de RN\ϕ(∂Ω) que pertencem a mesma compo- nente conexa RN\ϕ(∂Ω). Desde que, a componente conexa que contém b1 e b2 é um 36 aberto em RN , pois RN\ϕ(∂Ω) é um aberto, a mesma é conexa por caminhos, e com isso existe q : [0, 1] →RN t 7→q(t) ∈ Cb1,b2 , com q(0) = b1 e q(1) = b2 onde Cb1,b2 é a componente conexa que contém b1 e b2. Note que q([0, 1]) ⊂ Cb1,b2 é um compacto em RN . Assim, existem ² > 0 e {x1, x2, x3, ..., xs} tais que q([0, 1]) ⊂ s⋃ i=1 B²(xi) e B²(xi) ∩B²(xi+1) 6= ∅, com i = 1, 2, 3, ..., s− 1. Vamos fixar nossa atenção a B²(x1) com x1 = b1 e xs = b2. Considerando x /∈ ϕ(∂Ω), temos que d(ϕ, Ω, x) está bem definido e pelo Lema 1.10 temos d(ϕ, Ω, b1) = d(ϕ− b1, Ω, 0). Além disso, ‖(ϕ− b1)− (ϕ− x)‖C1 = |b1 − x| < ². Assim, pelo Lema 1.4 e ² suficientemente pequeno, temos d(ϕ− b1, Ω, 0) = d(ϕ− x, Ω, 0),∀x ∈ B²(b1), que implica d(ϕ, Ω, b1) = d(ϕ, Ω, x),∀x ∈ B²(x). Seguindo com este raciocínio temos d(ϕ, Ω, xi) = d(ϕ, Ω, y), ∀ y ∈ B²(xi), com i = 1, 2, 3, ..., s. Desde que B²(xi) ∩B²(xi+1) 6= ∅ concluimos que d(ϕ, Ω, b1) = d(ϕ, Ω, b2). (P4) Aditividade Seja Ω = Ω1 ∪ Ω2 com Ω1, Ω2 abertos, disjuntos e limitados. Se b /∈ ϕ(∂Ω1) ∪ ϕ(∂Ω2) temos que: d(ϕ, Ω, b) = d(ϕ, Ω1, b) + d(ϕ, Ω2, b). 39 Escolhendo b1 suficientemente próximo de b com b1 ∈ Cb\ψ(S), temos d(ψ, Ω, b) = d(ψ, Ω, b1). Sendo d(ϕ, Ω, b) 6= 0, por hipótese, temos que d(ψ, Ω, b1) 6= 0, implicando que existe x0 ∈ Ω tal que ψ(x0) = b1, pela mesma justificativa feita na observação 1.2. Afirmação: b ∈ ϕ(Ω). De fato, caso contrário b /∈ ϕ(Ω) com ρ{b, ϕ(Ω)} > 0. Fixe δ > 0 e considere o seguinte conjunto (ϕ(Ω))δ = {x ∈ RN; ρ{x, ϕ(Ω)} < δ}, que é uma delta vizinhança de ϕ(Ω), onde 0 < δ < 1 2 ρ{b, ∂(ϕ(Ω))}. Fixado ψ de maneira que ‖ψ − ϕ‖∞ < δ temos que ψ(Ω) ⊂ (ϕ(Ω))δ. De fato, |ψ(x)− ϕ(x)| ≤ ‖ψ − ϕ‖∞ < ² < δ, onde 0 < ² < r 2 . Assim ρ{ψ(x), ϕ(Ω)} < ² < δ, que implica ψ(x) ⊂ (ϕ(Ω))δ, ∀x ∈ Ω e consequentemente ψ(Ω) ⊂ (ϕ(Ω))δ. Logo, ψ(Ω) ∩ {b1} = ∅, que é um absurdo, pois b1 ∈ ψ(Ω). Portanto, b ∈ ϕ(Ω) e segue-se que existe x0 ∈ Ω tal que ϕ(x0) = b. Observação 1.5 Como consequência de (C2) temos que se b /∈ ϕ(Ω), então d(ϕ, Ω, b) = 0. (C3) Se d(ϕ, Ω, b) 6= 0, então ϕ(Ω) é uma vizinhança de b, isto é, existe δ > 0 tal que Bδ(b) ⊂ ϕ(Ω). 40 Demonstração: Sendo Cb a componente conexa de b em RN\ϕ(∂Ω), então para ∀z ∈ Cb tem-se d(ϕ, Ω, z) = d(ϕ, Ω, b) 6= 0, por hipótese. Assim, por (C2), para cada z ∈ Cb existe y ∈ Ω tal que ϕ(y) = z e portanto Cb ⊂ ϕ(Ω). Desde que, Cb é um conjunto aberto e b ∈ Cb, existe δ > 0 tal que Bδ(b) ⊂ Cb ⊂ ϕ(Ω). Portanto, Bδ(b) ⊂ ϕ(Ω). (C4) Se ϕ(Ω) está contido num subespaço próprio de RN temos que d(ϕ, Ω, b) = 0. Demonstração: Seja V um subespaço próprio de RN tal que ϕ(Ω) ⊂ V. Se d(ϕ, Ω, b) 6= 0, então por (C3), existe δ > 0 tal que Bδ(b) ⊂ ϕ(Ω) ⊂ V como todo subespaço próprio de um espaço que contém uma bola é o próprio espaço, concluimos que V = RN , que é um absurdo. Portanto, d(ϕ, Ω, b) = 0. (C5) (Excisão) Seja K ⊂ Ω um compacto e b /∈ ϕ(K) ∪ ϕ(∂Ω). Então, d(ϕ, Ω, b) = d(ϕ, Ω\K, b). Demonstração: Por definição, o grau topológico de Brouwer de ϕ com relação a Ω no ponto b, d(ϕ, Ω, b), está bem definido, pois b /∈ ϕ(∂Ω). Para que faça sentido a igualdade d(ϕ, Ω, b) = d(ϕ, Ω\K, b) devemos mostrar que b /∈ ϕ(∂(Ω\K)). Afirmação: b /∈ ϕ(∂(Ω\K)) ⊆ ϕ(∂Ω ∪ ∂K). De fato, caso contrário b ∈ ϕ(∂Ω ∪ ∂K) e assim existiria x0 ∈ ∂Ω ∪ ∂K tal que ϕ(x0) = b com x0 ∈ ∂Ω, isto é, b ∈ ϕ(∂Ω) ou ϕ(x0) = b com x0 ∈ ∂K, isto é, b ∈ ϕ(∂K), 41 que é um absurdo, pois por hipótese b /∈ ϕ(∂Ω) ∪ ϕ(K). Portanto, b /∈ ϕ(∂(Ω\K)). Fixe ψ ∈ C2(Ω,RN) com ‖ψ − ϕ‖∞ ≤ 1 2 min{ρ{b, ϕ(∂Ω)}, ρ{b, ϕ(K)}}. Então, d(ϕ, Ω, b) = d(ψ, Ω, b) e d(ϕ, Ω\K, b) = d(ψ, Ω\K, b). Segue da última condição que b /∈ ψ(K). De fato, sendo ‖ψ − ϕ‖∞ ≤ 1 2 ρ{b, ϕ(K)} e se b ∈ ψ(K), então existe x0 ∈ K tal que ψ(x0) = b. Assim, |b− ϕ(x0)| = |ψ(x0)− ϕ(x0)| ≤ ‖ψ − ϕ‖∞ < 1 2 ρ{b, ϕ(K)}. Desde que ρ{b, ϕ(K)} = inf{|b− ϕ(y)|; y ∈ K} temos ρ{b, ϕ(K)} ≤ |b− ϕ(x0)|. Logo ρ{b, ϕ(K)} < 1 2 ρ{b, ϕ(K)}, que é um absurdo. Mostrando que b /∈ ψ(K). Vamos mostrar agora que b /∈ ψ(∂Ω). De fato, como b /∈ ψ(∂Ω) e ‖ψ − ϕ‖∞ < 1 2 ρ{b, ϕ(∂Ω)} supondo, por absurdo, que b ∈ ψ(∂Ω) deve existir x0 ∈ ∂Ω tal que ψ(x0) = b. Assim, |ψ(x0)− ϕ(x0)| ≤ ‖ψ − ϕ‖∞ < 1 2 ρ{b, ϕ(∂Ω)}, isto é, |b− ϕ(x0)| < 1 2 ρ{b, ϕ(∂Ω)}. Portanto, ρ{b, ϕ(∂Ω)} < 1 2 ρ{b, ϕ(∂Ω)}, 44 Dessa forma, para todo i ∈ I\I0, b /∈ ϕ(Ωi) e pela observação 1.4 temos que d(ϕ, Ωi, b) = 0. Sendo K = Ω\ ⋃ i∈I0 Ωi um compacto, pois K = Ω ∩ ( ⋂ i∈I0 Ωci) então K é fechado e como, K ⊂ Ω, então K é limitado e consequentemente compacto. Sendo b /∈ ϕ(K), pela propriedade da excisão (C5) segue-se que d(ϕ, Ω, b) = d(ϕ, Ω\K, b) = d(ϕ, Ω\(Ω\ ⋃ i∈I0 Ωi), b) = d(ϕ, ⋃ i∈I0 Ωi, b). Assim, pela propriedade aditiva do grau topológico de Brouwer, obtemos d(ϕ, Ω, b) = ∑ i∈I0 d(ϕ, Ωi, b), ou seja, d(ϕ, Ω, b) = ∑ i∈I d(ϕ, Ωi, b). (C7 (Dependência da Fronteira) Suponha que ϕ = Ψ em ∂Ω e que ϕ, Ψ ∈ C(Ω,RN). Então, ∀ b /∈ ϕ(∂Ω) = Ψ(∂Ω) tem-se que d(ϕ, Ω, b) = d(Ψ, Ω, b). Demonstração: Considere a seguinte aplicação contínua H : Ω× [0, 1] → RN (x, t) 7→ H(x, t) = t · ϕ(x) + (1− t) · ψ(x). Afirmação: b /∈ H(∂Ω× [0, 1]). De fato, caso contrário existiria x0 ∈ ∂Ω e t ∈ [0, 1] tal que b = H(x0, t). Como ϕ = ψ em ∂Ω, por hipótese, para todo x ∈ ∂Ω temos H(x, t) = t · ϕ(x) + (1− t) · ϕ(x) = ϕ(x) = ψ(x). Considerando x = x0 segue-se que b = H(x0, t) = ϕ(x0) o que é um absurdo, pelo fato que b /∈ ϕ(∂Ω), mostrando que b /∈ H(∂Ω× [0, 1]). Sendo o grau topológico de Brouwer invariante por homotopia, concluímos que d(H(·, 0), Ω, b) = d(H(·, 1), Ω, b), donde segue-se que d(ϕ, Ω, b) = d(Ψ, Ω, b). 45 (C8) Sendo ϕ, Ψ ∈ C(Ω,RN), e supondo que existe H̃ ∈ C(∂Ω× [0, 1],RN) com H̃(·, 0) = ϕ|∂ϕ e H̃(·, 1) = Ψ|∂ϕ tem-se que d(ϕ, Ω, b) = d(Ψ, Ω, b). Demonstração: Pelo Teorema de Tietze (ver Teorema A.12), podemos estender H̃ a uma função H contínua sobre Ω× [0, 1] a valores no RN . Assim, ϕ = H̃(·, 0) = H(·, 0)|∂Ω = ϕ|∂Ω e ψ = H̃(·, 1) = H(·, 1)|∂Ω = ψ|∂Ω , ou seja, ϕ = ϕ|∂Ω e ψ = ψ|∂Ω , onde ψ e ψ são extensões de ϕ|∂Ω e ψ|∂Ω , respectivamente. Desde que, o grau topológico de Brouwer é invariante por homotopia temos que d(H̃(·, 0), Ω, b) = d(H̃(·, 1), Ω, b), mostrando que d(ϕ, Ω, b) = d(ψ, Ω, b). De acordo com a propriedade (C7) temos d(ϕ, Ω, b) = d(ϕ, Ω, b) pois ϕ|∂Ω = ϕ|∂Ω . De modo análogo, temos d(ψ, Ω, b) = d(ψ, Ω, b) pois ψ|∂Ω = ψ|∂Ω . Portanto, d(ϕ, Ω, b) = d(Ψ, Ω, b). (C9) (Teorema da Não-Contração da Bola Unitária) Não existe aplicação contínua ϕ : B1(0) → ∂B1(0) com ϕ|∂B1(0) ≡ I. Demonstração: Suponha que exista tal aplicação ϕ. Por (C3) temos d(ϕ,B1(0), 0) = 0, pois 0 /∈ ϕ(B1(0)). Por outro lado, como ϕ|∂B1(0) ≡ I|∂B1(0) e usando as propriedades (C1) e (C8) deduzimos que 0 = d(ϕ,B1(0), 0) = d(I, B1(0), 0) = 1, que é um absurdo. Logo temos (C9). (C10) Se N é ímpar, não existe aplicação contínua H : SN−1 × [0, 1] → SN−1 verificando H(x, 0) = x e H(x, 1) = −x, ∀x ∈ SN−1. 46 Demonstração: Observe que SN−1 = ∂B1(0) em RN . Suponha que exista tal aplicação H. Agora, considere Ω = B1(0), b = 0, ϕ(x) = x e ψ(x) = −x, ∀x ∈ SN−1, onde ϕ, ψ ∈ C(B1(0), RN). Por (C7) temos d(I, B1(0), 0) = d(−I, B1(0), 0). (1.23) Mas, por (C1) temos que d(I, B1(0), 0) = 1. Por outro lado, o grau topológico de Brouwer é dado por d(−I, B1(0), 0) = ∑ ξi∈(−I)−1({0}) sgnJ−I(ξi) = sgnJ−I(0) = (−1)N . Sendo N é ímpar, concluímos que d(−I, B1(0), 0) = −1, que contradiz (1.23). Portanto não existe tal aplicação H. (C11) Se N é ímpar, não existe aplicação contínua ϕ : SN−1 → RN com ϕ(x) 6= 0 e 〈ϕ(x), x〉 = 0, ∀x ∈ SN−1. Demonstração: Suponha que exista tal aplicação ϕ. Considere ψ(x) = ϕ(x) |ϕ(x)| e H(x, t) = x cos(πt) + ψ(x) sin(πt), para x ∈ SN−1 e t ∈ [0, 1]. Note que, ψ(x) ∈ SN−1 e H(x, t) ∈ SN−1, pois |H(x, t)− 0|2 = |H(x, t)|2 = |x cos(πt) + ψ(x) sin(πt)|2, que implica |H(x, t)|2 = |x|2 cos2(πt) + sin(2πt)〈x, ψ(x)〉+ |ψ(x)|2 sin2(πt). Sendo |x| = 1, ψ(x) = ϕ(x)|ϕ(x)| e 〈ϕ(x), x〉 = 0 temos |H(x, t)| = 1. Então, |H(x, t)| = 1,∀x ∈ SN−1 e t ∈ [0, 1]. Agora, observe que H ∈ C(SN−1 × [0, 1], SN−1), H(x, 0) = x · cos(π · 0) + ψ(x) · sin(π · 0) = x · 1 + ψ(x) · 0 = x e H(x, 1) = x · cos(π · 1) + ψ(x) · sin(π · 1) = x · (−1) + ψ(x) · 0 = −x, o que contadiz a propriedade (C10). Portanto, não existe a aplicação ϕ considerada no início da demonstração. 49 Portanto, segue da teoria do grau topológico de Brouwer, para o caso regular, que d(Φ, Ω, b) = d(Φ|Ω∩Rm , Ω ∩ Rm, b). 1.2 O Grau Topológico de Leray & Schauder No que segue-se vamos denotar por E um espaço de Banach real e Ω ⊂ E um aberto limitado. A função distância entre conjuntos associada a norma de E, será denotada por ρ, isto é, ρ(A,B) = inf{‖a − b‖; a ∈ A, b ∈ B} com A, B ⊂ E. Seja T ∈ C(Ω, E) uma aplicação tal que T (Ω) está contido num subespaço de dimensão finita de E. A aplicação Φ = I − T é chamada de Pertubação de Dimensão Finita da Identidade. Definição 1.13 Seja b ∈ E com b /∈ Φ(∂Ω). Se F é um subespaço de E de dimensão finita contendo T (Ω) e b, definimos o grau de Leray & Schauder de Φ com relação a Ω no ponto b, como sendo o número inteiro d(Φ, Ω, b) = d(Φ|Ω∩F , Ω ∩ F, b). Vamos mostrar que esta definição é consistente, isto é, independe da escolha do subes- paço F. De fato, sejam F1 e F2 dois subespaços de E de dimensão finita tais que T (Ω) ⊂ F1, T (Ω) ⊂ F2 e b ∈ F1 ∩ F2. Sendo F = F1∩F2 um subespaço de F1 e também de F2, que contém T (Ω) e b, segue-se do Lema 1.12 que d(Φ|Ω∩F1 , Ω ∩ F1, b) = d(Φ|Ω∩F , Ω ∩ F, b) e d(Φ|Ω∩F2 , Ω ∩ F2, b) = d(Φ|Ω∩F , Ω ∩ F, b). Portanto, d(Φ|Ω∩F1 , Ω ∩ F1, b) = d(Φ|Ω∩F2 , Ω ∩ F2, b), e a definição do grau de Leray-Schauder é consistente. 50 Definição 1.14 Diremos que uma aplicação T : Ω → E é compacta, se T é contínuo e T (Ω) é relativamente compacto em E, ou seja, T (Ω) é um compacto em E. No que segue-se denotaremos por Q(Ω, E) o espaço de Banach dos operadores compac- tos T : Ω → E munido da norma da convergência uniforme, isto é, ‖T‖∞,Ω = ‖T‖∞ = sup x∈Ω ‖T (x)‖, onde ‖ · ‖ é uma norma em E. Lema 1.15 Seja K um compacto de E. Para todo ² > 0, existe um subespaço de dimensão finita F² ⊂ E e uma aplicação g² ∈ C(K, F²) verificando ‖x− g²(x)‖ < ², ∀x ∈ K. Demonstração: Sendo K um compacto, dado ² > 0, existe uma quantidade finita de pontos y1, y2, y3, . . . , yp ∈ E tais que K ⊂ p⋃ i=1 B²(yi). Seja F² o subespaço gerado por {y1, y2, y3, . . . , yp} e defina a função bi : K → R x 7→ bi(x), i = 1, 2, . . . , p, onde bi(x) =    ²− ‖x− yi‖ , se x ∈ B²(yi) 0 , se x ∈ (B²(yi))c. Observe que bi(x) ≥ 0,∀x ∈ E e que p∑ i=1 bi(x) > 0, ∀x ∈ K. Defina a função g² de K em F² por g²(x) = p∑ i=1 bi(x)yi p∑ i=1 bi(x) . Veja que a função g² está bem definida, isto é, ∀x ∈ K temos g²(x) ∈ F² pois, g²(x) é uma combinação linear dos yi. A aplicação g² é contínua em K, pois é um quociente de funções contínuas, onde 51 p∑ i=1 bi(x) > 0 e g²(x) ∈ F², ∀x ∈ K. Além disso, temos ‖x− g²(x)‖ = ∥∥∥ p∑ i=1 bi(x) · x p∑ i=1 bi(x) − p∑ i=1 bi(x)·yi p∑ i=1 bi(x) ∥∥∥, que implica ‖x− g²(x)‖ ≤ 1p∑ i=1 bi(x) · p∑ i=1 bi(x) · ‖x− yi‖. Assim, ‖x− g²(x)‖ < 1p∑ i=1 bi(x) · p∑ i=1 bi(x) · ², e portanto, ‖x− g²(x)‖ < ², ∀x ∈ K. Lema 1.16 Seja Φ uma perturbação compacta da identidade, onde Φ = I − T, T : Ω → E e T ∈ Q(Ω, E). Então: (I) Φ é um operador fechado ( isto é, a imagem por Φ de um fechado é um conjunto fechado.) (II) Φ é própria ( isto é, a imagem inversa por Φ de um compacto é um conjunto compacto.) Demonstração: (I) Φ é fechado. Devemos mostrar que, se G ⊂ Ω é um fechado em E, então Φ(G) é um fechado em E. Seja G ⊂ Ω um conjunto fechado e {un} ⊂ G tal que Φ(un) → z em E. Nosso objetivo é mostrar que z ∈ Φ(G). Usando a hipótese que T é um operador compacto, existe uma subsequência {unp} ⊂ {un} e w ∈ E tal que T (unp) → w em E. Sendo Φ = I − T temos Φ(unp) = I(unp)− T (unp) implicando unp = Φ(unp) + T (unp). 54 ou seja, ‖Φ(x)− Φr(x)‖ = ‖T (x)− g r 2 (T (x))‖. Fazendo T (x) = w ∈ K obtemos ‖Φ(x)− Φr(x)‖ = ‖w − g r 2 (w)‖ < r 2 , que implica ‖Φ(x)− Φr(x)‖ ≤ r 2 , ∀w ∈ K. Portanto, da desigualdade (1.24) temos ‖b− Φr(x)‖ ≥ r − r 2 = r 2 donde segue-se que ‖b− Φr(x)‖ > r 2 > 0, ∀x ∈ ∂Ω. O conjunto {‖b−Φr(x)‖; x ∈ ∂Ω} é limitado inferiormente e pelo postulado de Dedekind possue ínfimo. Assim, inf{‖b− Φr(x)‖; x ∈ ∂Ω} ≥ r 2 implicando que ρ{b, Φr(∂Ω)} ≥ r 2 > 0. Mostrando que b /∈ Φr(∂Ω). Agora, já podemos calcular o grau de Φr, pois o mesmo está definido com relação a Ω no ponto b e será definido da seguinte maneira. Definição 1.17 Seja Φ uma perturbação compacta da identidade, isto é, Φ = I − T, onde T : Ω → E com T ∈ Q(Ω, E). Definimos o grau de Leray & Schauder de Φ com relação a Ω no ponto b, como sendo d(Φ, Ω, b) = d(Φr, Ω, b), onde Φr é uma perturbação de dimensão finita da identidade satisfazendo ‖Φ(x)− Φr(x)‖ ≤ r 2 ,∀x ∈ Ω. Vamos mostrar que a definição é consistente, isto é, não depende da escolha do Φr. Sejam Φ1 e Φ2 duas perturbações de dimensão finita da identidade, denotadas por Φ1 = I − T1 e Φ2 = I − T2 com ‖Φ(x)− Φ1(x)‖ ≤ r 2 e ‖Φ(x)− Φ2(x)‖ ≤ r 2 , ∀x ∈ Ω. 55 Considere também F1 e F2 subespaços de E de dimensão finita, que contêm T1(Ω) e T2(Ω), respectivamente e, também o vetor b ∈ E. Fixe F um subespaço de E de dimensão finita que contém F1 + F2 e b. Assim, T1(Ω) ⊂ F, T2(Ω) ⊂ F e b ∈ F. Consequentemente, pela definição do grau de uma perturbação finita da identidade, temos d(Φ1, Ω, b) = d(Φ1|Ω∩F , Ω ∩ F, b) e d(Φ2, Ω, b) = d(Φ2|Ω∩F , Ω ∩ F, b). Defina a seguinte homotopia H : Θ× [0, 1] → F (x, t) 7→ H(x, t) = t · Φ1|Ω∩F (x) + (1− t) · Φ2|Ω∩F (x) com Θ = Ω ∩ F. Temos que b /∈ H(∂Θ× [0, 1]). De fato, usando a invariânçia do grau de Brouwer, por homotopia segue-se que d(H(·, 0), Θ, b) = d(H(·, 1), Θ, b). Desde que H(·, 0) = Φ1|Ω∩F , H(·, 1) = Φ2|Ω∩F e Θ = Ω ∩ F concluimos que d(Φ2|Ω∩F , Ω ∩ F, b) = d(Φ1|Ω∩F , Ω ∩ F, b). Portanto, d(Φ2, Ω, b) = d(Φ1, Ω, b). Mostrando que a definição do grau de Leray & Schauder de Φ com relação a Ω no ponto b é consistente. 1.2.1 Propriedades Fundamentais do Grau de Leray & Schau- der No que segue, vamos usar sempre T ∈ Q(Ω, E) e Φ = I − T. (P1) Continuidade em relação ao operador T Existe uma vizinhança U de T em Q(Ω, E) tal que ∀S ∈ U temos que: (i) b /∈ (I − S)(∂Ω), (ii) d(I − S, Ω, b) = d(Φ, Ω, b). Demonstração: Fixe r = ρ{b, Φ(∂Ω)} > 0, U = {S ∈ Q(Ω, E); ‖S − T‖∞ < r 2 } e S ∈ U. Definindo 56 Ψ = I − S temos que ρ{b, Ψ(∂Ω)} ≥ r 2 e b /∈ Ψ(∂Ω). De fato, para x ∈ ∂Ω temos ‖b−Ψ(x)‖ = ‖b− Φ(x) + Φ(x)−Ψ(x)‖ implicando ‖b−Ψ(x)‖ ≥ ‖b− Φ(x)‖ − ‖Φ(x)−Ψ(x)‖. (1.25) Uma vez que ‖Φ(x)−Ψ(x)‖ ≤ ‖T − S‖∞ < r 2 , ∀x ∈ Ω e ‖b− Φ(x)‖ ≥ r temos ‖b−Ψ(x)‖ ≥ r 2 > 0. Sendo o conjunto {‖b − Ψ(x)‖; x ∈ ∂Ω} limitado inferiormente, pelo postulado de Dedekind o mesmo possui ínfimo. Logo inf{‖b−Ψ(x)‖; x ∈ ∂Ω} ≥ r 2 e assim ρ{b, Ψ(∂Ω)} ≥ r 2 > 0. Observando que {b} é um compacto e Ψ(∂Ω) um fechado, concluímos que b /∈ Ψ(∂Ω). Considere Φ1 e Φ2 duas perturbações de dimensão finita da identidade, verificando ‖Φ(x)−Φ1(x)‖ ≤ r 4 e ‖Ψ(x)−Φ2(x)‖ ≤ r 4 , ∀ x ∈ Ω. Logo, pela definição do grau de Leray & Schauder temos d(Φ, Ω, b) = d(Φ1, Ω, b) = d(Φ1|Ω∩F , Ω ∩ F, b) e d(Ψ, Ω, b) = d(Φ2, Ω, b) = d(Φ2|Ω∩F , Ω ∩ F, b), onde F é um subespaço de dimensão finita contendo T1(Ω), S1(Ω) e o ponto b, com Φ1 = I − T1 e Φ2 = I − S1. Defina a seguinte homotopia H : Θ× [0, 1] → F (x, t) 7→ H(x, t) = tΦ1|Ω∩F (x) + (1− t)Φ2|Ω∩F (x), com Θ = Ω ∩ F. Temos que b /∈ H(∂Θ× [0, 1]), pois ‖H(x, t)− Φ(x)‖ = ‖tΦ1|Ω∩F (x) + (1− t)Φ2|Ω∩F (x)− tΦ(x)− (1− t)Φ(x)‖. Donde obtemos ‖H(x, t)− Φ(x)‖ ≤ |t|‖Φ1|Ω∩F (x)− Φ(x)‖+ |1− t|‖Φ2|Ω∩F (x)− Φ(x)‖. 59 E × R o que implica H(∂Ω× [0, 1]) é um fechado E. Desde que, b /∈ H(∂Ω× [0, 1]) podemos concluir que r > 0. Fixe K = S(Ω× [0, 1]) ⊂ E. Pelo Lema 1.15 existe um subespaço de dimensão finita F r 2 ⊂ E e uma aplicação g r 2 ∈ C(K,F r 2 ) verificando ‖x− g r 2 (x)‖ < r 2 ,∀x ∈ K. Definindo H1(x, t) = x− g r 2 (S(x, t)), ∀x ∈ Ω, ∀ t ∈ [0, 1] encontramos ‖H(x, t)−H1(x, t)‖ < r 2 , ∀x ∈ Ω, ∀ t ∈ [0, 1]. De fato, ‖H(x, t)−H1(x, t)‖ = ‖(x− S(x, t))− (x− g r 2 (S(x, t)))‖ implicando ‖H(x, t)−H1(x, t)‖ = ‖S(x, t)− g r 2 (S(x, t))‖. Considerando w = S(x, t) ∈ K, temos ‖H(x, t)−H1(x, t)‖ = ‖w− g r 2 (w)‖ e portanto ‖H(x, t)−H1(x, t)‖ < r 2 , ∀x ∈ Ω, ∀ t ∈ [0, 1]. Desde que, {‖H(x, t)−H1(x, t)‖; x ∈ Ω, t ∈ [0, 1]} é limitado superiormente, pelo postulado de Dedekind sup x∈Ω ‖H(x, t)−H1(x, t)‖ < r 2 com t ∈ [0, 1] e com isso, ‖H(·, t)−H1(·, t)‖ < r 2 , ∀ t ∈ [0, 1]. Então, pela propriedade (P1) d(H(·, t), Ω, b) = d(H1(·, t), Ω, b), ∀ t ∈ [0, 1]. Usando a invariância do grau por homotopia temos d(H1(·, t)|Ω∩F , Ω ∩ F, b) ≡ constante, 60 onde F é um subespaço de dimensão finita que contém g r 2 (S(Ω× [0, 1])) e b. Aplicando a definição do grau de Leray & Schauder para H1 temos d(H1(·, t), Ω, b) = d(H1(·, t)|Ω∩F , Ω ∩ F, b),∀t ∈ [0, 1]. Portanto, d(H(·, t), Ω, b) ≡ constante. Antes de enunciarmos a próxima propriedade, precisamos do seguinte lema. Lema 1.18 Se b /∈ Φ(∂Ω), então d(Φ, Ω, b) = d(Φ− b, Ω, 0). Demonstração: Seja F ⊂ E um subespaço de dimensão finita que contém b e Tr(Ω). Então, d(Φ, Ω, b) = d(Φr, Ω, b) = d(Φr |Ω∩F , Ω ∩ F, b). Segue do grau topológico de Brouwer que d(Φr |Ω∩F , Ω ∩ F, b) = d(Φr |Ω∩F − b, Ω ∩ F, 0). Note que Φr |Ω∩F − b = (Φr − b)|Ω∩F e assim d(Φ, Ω, b) = d((Φr − b)|Ω∩F , Ω ∩ F, 0). Por outro lado, da definição do grau de Leray & Schauder segue-se que d(Φr − b, Ω, 0) = d((Φr − b)|Ω∩F , Ω ∩ F, 0). Sendo, ‖Φ(x)− Φr(x)‖ ≤ r 2 , ∀ x ∈ Ω e tendo em vista que ‖(Φ− b)− (Φr − b)‖ = ‖Φ− Φr‖ ≤ r 2 obtemos d(Φ− b, Ω, 0) = d(Φr − b, Ω, 0). Portanto, d(Φ, Ω, b) = d(Φ− b, Ω, 0). 61 (P3) O Grau é Constante em Componentes Conexas de RN\Φ(∂Ω) Se b1 e b2 estão na mesma componente conexa de RN\Φ(∂Ω), então d(Φ, Ω, b1) = d(Φ, Ω, b2). Demonstração: Sejam b1 e b2 pontos de RN\Φ(∂Ω) que pertencem à mesma com- ponente conexa de RN\Φ(∂Ω). Desde que a componente conexa que contém b1 e b2 é um aberto em RN , pois RN\Φ(∂Ω) é um aberto, esta componente conexa é conexa por caminhos. Assim, existe um caminho q : [0, 1] → RN t 7→ f(t) ∈ Cb1,b2 com b1 = q(0) e b2 = q(1), onde Cb1,b2 é a componente conexa que contém o caminho que liga b1 à b2. Note que, q([0, 1]) ⊂ Cb1,b2 é um compacto em RN . Assim, existem ² > 0 e {x1, x2, x3, . . . , xs} tais que f([0, 1]) ⊂ s⋃ i=1 B²(xi) com B²(xi) ∩B²(xi+1) 6= ∅, onde i = 1, 2, 3, . . . , s − 1. Vamos fixar atenção na bola B²(x1) e, considere b1 = x1 e b2 = xs. Seja x ∈ B²(x1) de modo que x /∈ Φ(∂Ω). Logo d(Φ, Ω, b) e d(Φ, Ω, b1) = d(Φ, Ω, x), pois ‖(Φ− b1)− (Φ− x)‖∞ = ‖b1 − x‖∞ = ‖b1 − x‖ < ². Portanto, para ² > 0 suficientemente pequeno, d(Φ− b1, Ω, 0) = d(Φ− x, Ω, 0) o que implica d(Φ, Ω, b1) = d(Φ, Ω, x), ∀x ∈ B²(b1). Seguindo este raciocínio deduzimos d(Φ, Ω, xi) = d(Φ, Ω, y), ∀ y ∈ B²(xi) com i = 1, 2, 3, . . . , s. 64 Fazendo a negação da propriedade (C2) temos que, se d(Φ, Ω, b) 6= 0, então existe x0 ∈ Ω tal que Φ(x0) = b. Mostrando a propriedade (C3). (C4) Se Φ(Ω) está contido em um subespaço próprio de E, então d(Φ, Ω, b) = 0. Demonstração: Considere V um subespaço próprio de E tal que Φ(Ω) ⊂ V. Se d(Φ, Ω, b) 6= 0, então pela propriedade (C3), Φ(Ω) é uma vizinhança de b, ou seja, existe δ > 0 tal que Bδ(b) ⊂ Φ(Ω) ⊂ V e portanto V = E, o que é um absurdo, pois V é um subespaço próprio de E. Portanto, d(Φ, Ω, b) = 0. (C5) (Excisão) Seja K um fechado contido em Ω com b ∈ Φ(K). Então, d(Φ, Ω, b) = d(Φ, Ω\K, b). Demonstração: Usando a definição do grau de Leray & Schauder temos que d(Φ, Ω, b) = d(Φ|Ω∩F , Ω ∩ F, b), onde F é um subespaço de dimensão finita que contém T (Ω) e b com b ∈ E e b /∈ Φ(∂Ω). Aplicando a propriedade (C5) do grau topológico de Brouwer, segue o resultado. (C6) Seja {Ωi}i∈Γ uma família de abertos, dois a dois disjuntos, contidos em Ω com Φ−1({b}) ⊂ ⋃ i∈Γ Ωi. Então, o grau d(Φ, Ω, b) = 0, a menos de um número finito de índices i ∈ Γ. Além disso, d(Φ, Ω, b) = ∑ i∈Γ d(Φ, Ωi, b). Demonstração: Uma vez que b /∈ Φ(∂Ωi) pelo Lema 1.16 Φ−1({b}) é um compacto, pois estamos usando o fato que Φ é própria. Pelo Teorema A.4, existe um número finito de abertos Ωi ⊂ Ω que cobrem Φ−1({b}), isto é, existe um conjunto finito Γ0 de índices tal que Φ−1({b}) ⊂ ⋃ i∈Γ0 Ωi com Ωi ⊂ Ω. Portanto, ∀ i ∈ Γ\Γ0 temos que b /∈ Φ(Ωi) e pela propriedade (C2) temos d(Φ, Ωi, b) = 0. Considerando que K = Ω\ ⋃ i∈Γ0 Ωi é um compacto, pois K = Ω\ ⋃ i∈Γ0 Ωi = Ω ∩ ( ⋃ i∈Γ0 Ωi) c = Ω ∩ ( ⋂ i∈Γ0 Ωi c), 65 temos que K é fechado e como K ⊂ Ω temos que K é limitado e consequentemente K é compacto. Temos que b /∈ Φ(K), pois Φ(b) ∈ ⋃ i∈Γ0 Ωi. Pela propriedade da excisão (C5), segue-se que d(Φ, Ω, b) = d(Φ, Ω\K, b) = d(Φ, Ω\(Ω\ ⋃ i∈Γ0 Ωi), b) e com isso, d(Φ, Ω, b) = d(Φ, ⋃ i∈Γ0 Ωi, b). Pela propriedade aditiva (P4) temos d(Φ, Ω, b) = ∑ i∈Γ0 d(Φ, Ωi, b). Portanto, d(Φ, Ω, b) = ∑ i∈Γ d(Φ, Ωi, b). (C7) Seja Ψ = I − Φ, onde S ∈ Q(Ω, E) tal que Ψ(x) = Φ(x),∀x ∈ ∂Ω. Se b /∈ Φ(∂Ω) = Ψ(∂Ω), então, d(Φ, Ω, b) = d(Ψ, Ω, b). Demonstração: Considere a seguinte homotopia H(x, t) = tΦ(x) + (1− t)Ψ(x), ∀x ∈ Ω e ∀ t ∈ [0, 1]. Para todo t ∈ [0, 1], H(·, t) é uma perturbação compacta da identidade, onde H(x, t) = x − G(x, t) com G(x, t) = tT (x) + (1 − t)S(x). Desde que, Φ|∂Ω = Ψ|∂Ω temos que b /∈ H(∂Ω× [0, 1]). De fato, caso contrário existiria x0 ∈ ∂Ω e t0 ∈ [0, 1] tal que b = H(x0, t0) implicando que H(x0, t0) = Φ(x0) = Ψ(x0) = b o que é um absurdo, pois b /∈ Φ(∂Ω) = Ψ(∂Ω). Mostrando que b /∈ H(∂Ω× [0, 1]). Sendo o grau constante por homotopia compacta temos d(H(·, 0), Ω, b) = d(H(·, 1), Ω, b), com H(·, 0) = Ψ e H(·, 1) = Φ e assim concluímos que d(Ψ, Ω, b) = d(Φ, Ω, b). (C8) Não existe operador Φ ∈ C(B1(0)), ∂B1(0)) da forma Φ = I − T, onde T ∈ Q(B1(0), E), verificando Φ∂B1(0) ≡ I∂B1(0). Demonstração: Se tal aplicação existisse, então d(Φ, B1(0), 0) = d(I, B1(0), 0) = 1 66 e pela propriedade (C3) existiria x0 ∈ B1(0) tal que Φ(x0) = 0 o que é uma contradição, pelo fato de que ∀x ∈ B1(0) tem-se que ‖Φ(x)‖ = 1. 69 Ao longo desta seção iremos sempre supor que α ∈ (0, 1), Ω é um domínio limitado com fronteira suave e L é uniformemente elíptico com aij, , bi, c ∈ Cα(Ω). Teorema 2.5 (ESTIMATIVA DE SCHAUDER)(Ver [9]) Seja f ∈ Cα(Ω) e u ∈ C2,α(Ω) uma solução do problema de Dirichlet { Lu = f, Ω u = 0, ∂Ω. (P1) Então, ‖u‖2,α ≤ k(‖f‖α + ‖u‖0), onde k é uma constante que depende de α, Ω, ν, N e das normas dos coeficientes de L em Cα(Ω). O próximo resultado conhecido como Princípio do Máximo Clássico é um resul- tado de fundamental importância para estudar o sinal de funções de classe C2,α(Ω) e estabelecer um importante resultado de unicidade para o problema (P1). 2.2.1 Princípio do Máximo Clássico Considere o operador linear diferenciável da forma Lu = aij(x)Diju + bi(x)Diu + c(x)u, com aij = aji, (2.2) onde x = (x1, x2, . . . , xN) ∈ Ω um domínio de RN , com N ≥ 2. Assumiremos que u ∈ C2(Ω). Teorema 2.6 (Princípio do Máximo Fraco) Seja L uniformemente elíptico num domínio limitado Ω. Suponha que Lu ≥ 0 (≤ 0) em Ω, c = 0 em Ω, com u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω). Então, o máximo (mínimo) de u em Ω é obtido sobre ∂Ω, isto é, sup Ω u = sup ∂Ω u ( inf Ω u = inf ∂Ω u ) . (2.3) Demonstração: É claro que, se Lu>0 em Ω, então o princípio do máximo forte é conservado, isto é, o máximo de u não é obtido em Ω. Pois se em x0 ∈ Ω a função u 70 atinge o valor máximo em Ω, devemos ter Du(x0) = 0 e a matriz D2u(x0) = [Diju(x0)] é não positiva. Mas, a matriz [aij] é positiva, desde que L seja uniformemente elíptico. Consequentemente, Lu(x0) = aiju(x0)Diju(x0) ≤ 0, (ver [10] página 328) contrariando o fato que Lu>0. Note que, neste argumento é necessário apenas as pro- priedades da matriz [aij]. Para o operador L temos uma importante limitação com respeito aos termos bi que é |bi| ν ≤ b0 = constante. De fato, desde que a11 ≥ ν, existe uma constante suficientemente grande γ para a qual Leγx1 = (γ2a11 + γb1)e γx1 ≥ ν(γ2 − γb0)eγx1 > 0. Assim, para qualquer ² > 0, temos que L(u + ²eγx1) > 0 em Ω e também temos que sup Ω (u + ²eγx1) = sup ∂Ω (u + ²eγx1). Veja que para ² → 0 temos sup Ω u = sup ∂Ω u, demonstrando o Teorema. Supondo de um modo mais geral c ≤ 0 em Ω e considerando o subconjunto Ω+ ⊂ Ω, definido por Ω+ = {x ∈ Ω; u(x) > 0} como Lu ≥ 0 em Ω temos que L0u = aijDiju + biDiu ≥ −cu em Ω+ e como o máximo de u em Ω + deve ser atingido em ∂Ω +, consequentemente também será atingido sobre ∂Ω. Então, escrevendo u+ = max(u, 0), u− = min(u, 0) obtemos o seguinte corolário: Corolário 2.7 Seja L uniformemente elíptico num domínio limitado Ω. Suponhamos que em Ω Lu ≥ 0(≤ 0) com c ≤ 0 (2.4) e u ∈ C0(Ω). Então, sup Ω u ≤ sup ∂Ω u+ ( inf Ω u ≥ inf ∂Ω u− ) . Se Lu = 0 em Ω, então sup Ω |u| ≤ sup ∂Ω |u|. 71 Um fato importante que segue do princípio do máximo é uma melhora na estimativa de ‖u‖2,α, mencionada na Estimativa de Schauder. Neste caso temos ‖u‖0 ≤ k′‖f‖0 (ver [7]), (2.5) onde k′ é uma constante que depende de α, Ω, ν, N e das normas dos coeficientes de L em Cα(Ω). Teorema 2.8 (Unicidade de Solução) O problema de Dirichlet (P1) tem uma única solução. Demonstração: Se u, v ∈ C2,α(Ω) são soluções de (P1), temos    Lu = Lv, Ω u = v, ∂Ω. Considere w = u− v. Assim    Lw = Lu− Lv = 0, Ω w = 0, ∂Ω. Segue do princípio de máximo que w atinge máximo e mínimo na fronteira, implicando que w ≡ 0, ou seja, u = v. Teorema 2.9 (Teorema de Schauder)(Ver [9]) Se c(x) ≤ 0, ∀ x ∈ Ω, com as hipóteses anteriores sobre Ω e L, e assumindo que para cada f ∈ Cα(Ω), existe uma, e somente uma solução u do problema de Dirichlet { Lu = f, Ω u = 0, ∂Ω (P1) então, existe uma constante k1 independente de f tal que ‖u‖2,α ≤ k1‖f‖α. (2.6) 2.3 Um Princípio de Resolução para uma Classe de Problemas Semilineares. Nesta seção estamos interessados em obter uma solução para uma classe de problemas do tipo    N∑ i,j=1 aij(x)uxixj + N∑ i=1 bi(x)uxi + c(x)u = F (x, u), Ω u = 0, ∂Ω. (P2) 74 e portanto por (2.9) |A(xN)− A(x1)| ≤ ‖A‖1 N∑ k=2 |xk − xk−1|. Sendo N∑ k=2 |xk − xk−1| = l temos |A(xN)− A(x1)| ≤ ‖A‖1l, e portanto, |A(xN)− A(x1)| ≤ ‖A‖1γ|xN − x1|. Considerando ‖A‖1γ = M > 0, deduzimos que |A(xN)− A(x1)| ≤ M |xN − x1|, mostrando que A é Lipschitziana em Ω. Vamos mostrar agora que H0,1(A) ≤ K(Ω)‖A‖1. Pela primeira parte da demonstração temos |A(x)− A(y)| ≤ ‖A‖1γ|x− y|, ∀x, y ∈ Ω. (2.11) Fazendo γ = K(Ω) > 0 e substituindo em (2.11) encontramos |A(x)− A(y)| |x− y| ≤ K(Ω)‖A‖1, e com isso onde podemos concluir que K(Ω)‖A‖1 é uma cota superior para o conjunto C = { |A(x)− A(y)| |x− y| ; x, y ∈ Ω } . Logo, C é limitado superiormente e pelo postulado de Dedekind possui supremo, a saber, sup x,y∈Ω |A(x)− A(y)| |x− y| ≤ K(Ω)‖A‖1, com x 6= y. Segue da última desigualdade e da definição de H0,1(A) a desigualdade, H0,1(A) ≤ K(Ω)‖A‖1. 75 Recordando que estamos supondo aij, bi, c, F funções de classe C1, segue do Lema 2.11 que aij, bi, c, F ∈ Cα(Ω). Logo pelo Teorema de Schauder, existe para cada u ∈ E uma e somente uma solução do problema (P2)u que denotaremos por v = Tu com v ∈ C2,α(Ω), onde: (P2)u    N∑ i,j=1 aij(x)(Tu)xixj + N∑ i=1 bi(x)(Tu)xi + c(x)(Tu) = F (x, u(x)), ∀x ∈ Ω Tu = 0, ∀x ∈ ∂Ω. Com o objetivo de usar um teorema de ponto fixo para o operador T, iremos mostrar que o mesmo é compacto. Para tanto, enunciaremos sem demonstrar o seguinte resultado que pode ser encontrado no livro do Adams [2]. Lema 2.12 A imersão de C2,α(Ω) em C1,α(Ω) é compacta. O próximo Lema é fundamental para a aplicação do método utilizado neste trabalho. Lema 2.13 O operador T : E → E é compacto. Demonstração: O Lema 2.13 fica demonstrado se T verifica: (i) T (B) é relativamente compacto em E = C1,α(Ω), ou seja, T (B) é compacto em E = C1,α(Ω). (ii) T é contínuo em E = C1,α(Ω). Se B um conjunto limitado de E = C1,α(Ω). Então, existe M > 0 tal que ‖u‖1,α ≤ M, ∀u ∈ B. Usando a Estimativa de Schauder, quando c ≤ 0, obtemos a seguinte desigualdade ‖Tu‖2,α ≤ k1‖F (·, u(·))‖α. Sendo a aplicação F de classe C1 sobre Ω×R, segue do Lema 2.11 que a mesma é Lips- chitziana sobre Ω× [−M,M ], uma vez que o domínio Ω× [−M,M ] tem a propriedade da poligonal. Afirmação: Existe M5 > 0 tal que ‖F (·, u(·))‖α ≤ M5, ∀ u ∈B. 76 Para mostrar a afirmação, observamos que para cada u ∈ B temos ‖u‖1,α ≤ M, o que implica ‖u‖α ≤ M. Por outro lado, pelo Lema 2.11 temos H0,1(u) ≤ K(Ω)‖u‖1, (2.12) e assim, obtemos sup x,y∈Ω |u(x)− u(y)| |x− y| ≤ K(Ω)‖u‖1, com x 6= y. Consequentemente, |u(x)− u(y)| |x− y| ≤ K(Ω)‖u‖1, ou seja, |u(x)− u(y)| ≤ ‖u‖1K(Ω)|x− y|, ∀x, y ∈ Ω. Assim, |u(x)− u(y)| |x− y|α ≤ ‖u‖1K(Ω)|x− y| 1−α, ∀x, y ∈ Ω com x 6= y. Usando o fato que, |x− y| ≤ diam(Ω) tem-se |x− y|1−α ≤ (diam(Ω))1−α, ∀x, y ∈ Ω o que implica |u(x)− u(y)| |x− y|α ≤ MK(Ω)diam(Ω) 1−α , ∀u ∈ B. Daí, |u(x)− u(y)| |x− y|α ≤ M1, ∀u ∈ B, e com isso concluimos, sup x,y∈Ω |u(x)− u(y)| |x− y|α ≤ M1, ∀u ∈ B, com x 6= y. Portanto, H0,α(u) ≤ M1, ∀u ∈ B. (2.13) 79 e segue-se da convegência, no sentido C2(Ω), que ‖vnk − v‖0 → 0, N∑ i=1 ∥∥∥∂vnk ∂xi − ∂v ∂xi ∥∥∥ 0 → 0 e N∑ i,j=1 ∥∥∥ ∂ 2vnk ∂xi∂xj − ∂ 2v ∂xi∂xi ∥∥∥ 0 → 0. Sendo assim, podemos concluir que a função v verifica o seguinte problema    N∑ i,j=1 aij(x)vxixj(x) + N∑ i=1 bi(x)vxi(x) + c(x)v(x) = F (x, u(x)), Ω v = 0, ∂Ω. Portanto, podemos deduzir que v = Tu, pois a solução do problema de Dirichlet é única, e desta forma Tunk → Tu em C2(Ω). Para concluir a demonstração, devemos mostrar que vn = Tun → v = Tu em C2(Ω). Suponhamos por contradição que o limite acima não ocorra. Então, existe ²0 > 0 e {vnj} ⊂ {vn} tal que ‖vnj − v‖2 ≥ ²0, ∀ nj. (2.15) Usando {vnj} no lugar {vn} na primeira parte desta demonstração, existe {vnjk} ⊂ {vnj} tal que vnjk → v = Tu em C2(Ω). Assim, existe nj0 ∈ N tal que ‖vnjk − v‖2 < ²0 2 , ∀ njk ≥ nj0 , (2.16) o que contradiz (2.15). Portanto, devemos ter vn → v = Tu em C2(Ω), mostrando a continuidade do operador T. 80 Agora, vamos introduzir um parâmetro σ ∈ [0, 1] no problema (P2) obtendo o seguinte problema:    N∑ i,j=1 aij(x)uxixj(x) + N∑ i=1 bi(x)uxi(x) + c(x)u(x) = σF (x, u), Ω u = 0, ∂Ω, (P3)σ ou seja,    Lu = σF (x, u), Ω u = 0, ∂Ω. (P3)σ Observe que o problema (P2) é obtido fazendo σ = 1 no problema (P3)σ. No que segue, definimos T : [0, 1]× E → E (σ, u) 7→ T (σ, u) o operador que associa a cada par (σ, u) ∈ [0, 1] × E a função v = T (σ, u), que é a única solução do problema linear    Lv = σF (x, u), Ω v = 0, ∂Ω. (P3)u,σ Usando o mesmo tipo de argumento utilizado na demonstração do Lema 2.13, podemos concluir que T : [0, 1]× E → E é um operador compacto. Além disso, da definição do operador T, temos que uσ é uma solução do problema (P3)u,σ se, e somente se, uσ é um ponto fixo do operador T (σ, u). Note também que o operador T verifica a propriedade T (0, u) = 0, ∀ u ∈ E, pois considerando σ = 0 no problema (P3)u,σ obtemos    Lv = 0, Ω v = 0, ∂Ω. (Pv) como a solução do problema (Pv) é unica e v = 0 é uma solução do problema acima devemos ter T (0, u) = 0, ∀ u ∈ E. No que segue, provaremos o Teorema do Ponto Fixo de Schaeffer. Teorema 2.14 (Teorema do Ponto Fixo de Schaeffer.) Seja S um operador compacto de [0, 1]× E sobre E, ou seja, S : [0, 1]× E → E (σ, u) 7→ S(σ, u) 81 com S(0, u) = 0 ∀u ∈ E. Se existe r > 0 tal que a igualdade u = S(σ, u) com u ∈ E e σ ∈ [0, 1] implica que ‖u‖ < r, então ∀σ ∈ [0, 1] o operador S(σ, ·) admite um ponto fixo em Br(0). Demonstração: Considere a seguinte homotopia H(σ, u) = u− S(σ, u), ∀σ ∈ [0, 1] e ∀u ∈ Br(0). Afirmação: 0 /∈ H([0, 1]× ∂Br(0)). A afirmação é equivalente a mostrar u− S(σ, u) 6= 0 ∀u ∈ ∂Br(0) e ∀σ ∈ [0, 1]. Suponhamos por absurdo que 0 ∈ H([0, 1]× ∂Br(0)). Logo, existe u0 ∈ ∂Br(0) e σ0 ∈ [0, 1] tal que H(σ0, u0) = 0, ou equivalentemente, 0 = H(σ0, u0) = u0 − S(σ0, u0) implicando u0 = S(σ0, u0). Desta forma, temos um absurdo, pois sendo u0 = S(σ0, u0) com u0 ∈ E e σ0 ∈ [0, 1] temos que ‖u0‖ < r, ou seja, u0 ∈ Br(0) e assim concluimos que u0 /∈ ∂Br(0). Assim 0 /∈ H([0, 1]× ∂Br(0)). Sendo o grau de Leray & Schauder invariante por homotopia, devemos ter d(H(σ, ·), Br(0), 0) constante. Logo d(H(0, ·), Br(0), 0) = d(H(σ, ·), Br(0), 0), ∀σ ∈ [0, 1]. 84 Uma vez que ‖F (·, u(·))‖α = ‖F (·, u(·))‖0 + H0,α(F (·, u(·))) (2.19) segue da limitação da F que, existe M1 > 0 tal que |F (x, t)| ≤ M1, ∀ x ∈ Ω, ∀ t ∈ R, ou seja, |F (x, u(x))| ≤ M1, ∀ x ∈ Ω, e assim obtemos ‖F (·, u(·))‖0 ≤ M1. Usando a estimativa (2.17) e a última desigualdade encontramos ‖u‖0 ≤ K|σ|M1 e fazendo K|σ|M1 = M, concluimos que ‖u‖0 ≤ M, ∀ u ∈ C2,α(Ω). (2.20) De acordo com a desigualdade (2.19) temos que ‖F (·, u(·))‖α ≤ M1 + H0,α[F (·, u(·))]. (2.21) Como a aplicação F é de classe C1 sobre Ω× [−M,M ], segue do Lema 2.11 que F é Lipschitziana em Ω× [−M,M ] e segue-se que existe C > 0 tal que |F (x, η)− F (y, ξ)| ≤ C(|x− y|+ |η − ξ|). Visto que u(x) ∈ [−M, M ] ∀ x ∈ Ω, pois ‖u‖0 ≤ M, obtemos |F (x, u(x))− F (y, u(y))| ≤ C(|x− y|+ |u(x)− u(y)|). (2.22) Agora, usando a definição de H0,α(u) temos |u(x)− u(y)| |x− y|α ≤ H0,α(u) com x 6= y. Fixando δ = diam(Ω) = sup{|x− y|; x, y ∈ Ω} < ∞, 85 segue-se que |F (x, u(x))− F (y, u(y))| |x− y|α ≤ C(|x− y| 1−α + H0,α(u)), portanto, |F (x, u(x))− F (y, u(y))| |x− y|α ≤ C(δ 1−α + H0,α(u)) e assim obtemos sup x,y∈Ω |F (x, u(x))− F (y, u(y))| |x− y|α ≤ C(δ 1−α + H0,α(u)), com x 6= y, mostrando que H0,α(F (·, u(·))) ≤ C(δ1−α + H0,α(u)). (2.23) Substituindo (2.23) em (2.21) encontramos ‖F (·, u(·))‖α ≤ M1 + C(δ1−α + H0,α(u)). (2.24) Agora usando (2.24) em (2.18) obtemos ‖u‖2,α ≤ K1(M1 + C(δ1−α + H0,α(u))) implicando ‖u‖2,α ≤ K1 ·M1 + K1Cδ1−α + K1CH0,α(u). Se M2 = K1M1 + K1Cδ1−α e M3 = K1C, ficamos com ‖u‖2,α ≤ M2 + M3H0,α(u). (2.25) Afirmação: Para todo ² > 0, existe Ψ(²) ∈ R tal que, H0,α(u) ≤ ²‖u‖1 + Ψ(²)‖u‖0, ∀ u ∈ C1(Ω). (2.26) Assumindo por um momento a afirmação acima, segue de (2.25) que ‖u‖2,α ≤ M2 + M3(²‖u‖1 + Ψ(²)‖u‖0), que implica ‖u‖2,α ≤ M2 + M3² · ‖u‖1 + M3Ψ(²) · ‖u‖0. (2.27) Desde que, ‖u‖0 ≤ M fazendo ² = 1 2M3 , obtemos ‖u‖2,α ≤ M2 + 1 2 ‖u‖1 + M3Ψ(²)M. 86 Assim, 2 · ‖u‖2,α ≤ 2M2 + ‖u‖1 + 2M3Ψ(²)M. (2.28) Usando a definição da norma C2,α(Ω), segue-se que 2‖u‖2,α ≥ ‖u‖2 + ‖u‖1 + H2,α(u), implicando 2‖u‖2,α ≥ ‖u‖2,α + ‖u‖1. Substituindo a última desigualdade em (2.28) encontramos ‖u‖2,α + ‖u‖1 ≤ 2M2 + ‖u‖1 + 2M3Ψ(²)M, e com isso concluimos que ‖u‖2,α ≤ 2(M2 + M3Ψ(²)M). Considerando c = 2(M2 + M3Ψ(²)M) temos que ‖u‖2,α ≤ c, para toda u solução do problema (Υ)σ. Agora, usando o fato que a imersão C2,α(Ω) ↪→ C1,α(Ω) é contínua existe k > 0 tal que ‖u‖1,α ≤ k‖u‖2,α, implicando que ‖u‖1,α ≤ kc. Considerando r = ck + 1 temos, ‖u‖1,α < r, ∀ u ∈ E. Demonstração de (2.26) Por um cálculo direto temos que |u(x)− u(y)| |x− y|α ≤ (H0,1(u)) α(2‖u‖0)1−α, Capítulo 3 O Método de Galerkin e Aplicações Neste capítulo pretendemos mostrar a existência de solução para a seguinte classe de problemas singulares    −∆u = 1 uγ , Ω u > 0, Ω u = 0, ∂Ω, (P ) onde Ω ⊂ RN é um domínio limitado, N ≥ 2 e 0 < γ < 1. O método que utilizaremos é conhecido como o Método de Galerkin. 3.1 Teorema do Ponto Fixo de Brouwer em. Nesta seção demonstraremos o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer. Teorema 3.1 Seja f : B̄r(x) → B̄r(x) com B̄r(x) ⊂ RN uma função contínua. Então, existe z ∈ B̄r(x) tal que f(z) = z, isto é, f tem um ponto fixo z em B̄r(x). Demonstração: Vamos mostrar primeiro, o caso em que o centro x da bola é a origem. Neste caso temos f : B̄r(0) → B̄r(0). Defina a aplicação ϕ : B̄r(0) → RN , dada por ϕ(y) = y − f(y) que é contínua, pois é uma diferença de funções contínuas. Vamos supor que y − f(y) 6= 0, ∀y ∈ ∂Br(0), ou equivalentemente, ϕ(y) 6= 0, ∀y ∈ ∂Br(0), pois, caso contrário o teorema já estaria demonstrado. 89 90 Agora, defina a seguinte homotopia H : B̄r(0)× [0, 1] → RN (y, t) 7→ H(y, t) = y − tf(y). Vamos mostrar que 0 /∈ H(∂Br(0)× [0, 1]), isto é, H(y0, t0) 6= 0, ∀ y0 ∈ ∂Br(0) e ∀ t0 ∈ [0, 1]. Se t = 1 temos H(y, 1) = y − f(y) = ϕ(y) 6= 0, ∀ y ∈ ∂Br(0) mostrando que 0 /∈ H(∂Br(0)× {1}). Agora, vamos analisar o caso em que t ∈ [0, 1) e y ∈ ∂Br(0). Assim, |tf(y)| = t|f(y)| 6 t.r < r = |y| e com isso, |tf(y)| < |y|. Consequentemente, tf(y) 6= y donde segue-se que y − tf(y) 6= 0 , ∀y ∈ ∂Br(0) e ∀t ∈ [0, 1), isto é, H(y, t) 6= 0 , ∀y ∈ ∂Br(0) e ∀t ∈ [0, 1), ou seja, 0 /∈ H(∂Br(0)× [0, 1)). Portanto, 0 /∈ H(∂Br(0)× [0, 1]). Usando a propriedade que o grau topológico de Brouwer é invariante por homotopia temos d(H(., t), Br(0), 0) = constante, ∀t ∈ [0, 1] 91 e portanto, d(H(., 0), Br(0), 0) = d(H(., 1), Br(0), 0). Daí, segue-se que d(I, Br(0), 0) = d(ϕ,Br(0), 0). Uma vez que d(I, Br(0), 0) = 1 temos que d(ϕ,Br(0), 0) = 1 6= 0. Agora, usando a propriedade (P2) do grau topológico de Brouwer, existe y0 ∈ Br(0) tal que ϕ(y0) = 0, que implica y0 − f(y0) = 0 e com isso y0 = f(y0). Portanto, a aplicação f tem um ponto fixo y0 em B̄r(0). Vamos agora provar o caso geral, onde o centro da bola B̄r é um ponto qualquer x ∈ RN . Considere a aplicação ϕ : B̄r(0) → B̄r(0), dada por ϕ(y) = f(x + y)− x. A aplicação ϕ é contínua e ϕ(B̄r(0)) ⊂ B̄r(0), pois |ϕ(y)| = |f(x + y)− x| ≤ r, isto é, ϕ(y) ∈ B̄r(0). Assim, ϕ tem um ponto fixo z ∈ B̄r(0), ou seja, ϕ(z) = z ⇔ f(x + z)− x = z ⇔ f(x + z) = x + z. Denotando, w = x + z ∈ B̄r(x) concluímos que f(w) = w. Mostrando que f tem um ponto fixo em B̄r(x). 3.2 Lema Fundamental Lema 3.2 Seja f : RN → RN uma função contínua com 〈f(x), x〉 ≥ 0, para todo x verificando |x| = R > 0. Então, existe z0 ∈ B̄r(0) tal que f(z0) = 0. 94 Definindo para cada ² > 0, a função θ²(t) = θ ( t ² ) , temos que θ²(t) ≥ 0,∀t ∈ R. De fato: θ²(t) = θ ( t ² ) =    1, se t ² ≥ 1 0, se t ² ≤ 0, ou seja, θ²(t) =    1, se t ≥ ² 0, se t ≤ 0. Sendo θ(t) uma função suave não decrescente segue-se que θ²(t) ≥ 0, ∀t ∈ R. Multiplicando a desigualdade (3.7) por θ²(v1 − v2) e integrando em Ω, encontramos ∫ Ω [−v1∆v2 + v2∆v1]θ²(v1 − v2)dx ≥ ∫ Ω [ v1v2 (f(v2) v2 − f(v1) v1 )] θ²(v1 − v2)dx. (3.8) Trabalhando com o lado esquerdo da desigualdade (3.8), ou seja, com o termo ∫ Ω [−v1∆v2 + v2∆v1]θ²(v1 − v2)dx, (3.9) deduzimos que, ∫ Ω [−v1∆v2+v2∆v1]θ²(v1−v2)dx=− ∫ Ω [θ²(v1−v2)v1]∆v2dx+ ∫ Ω [θ²(v1−v2)v2]∆v1dx. (3.10) Usando a primeira identidade de Green na primeira parcela do segundo membro da igualdade (3.10) obtemos − ∫ Ω [θ²(v1−v2)v1]∆v2dx = − [ − ∫ Ω ∇v2∇[θ²(v1−v2)v1]dx+ ∫ ∂Ω [θ²(v1−v2)v1]∂v2 ∂η ds ] (3.11) 95 e sendo v1 = 0 em ∂Ω temos que − ∫ Ω [θ²(v1 − v2)v1]∆v2dx = ∫ Ω ∇[θ²(v1 − v2)v1]∇v2dx. (3.12) Calculando ∇[θ²(v1 − v2)v1] e substituindo em (3.12) encontramos − ∫ Ω [θ²(v1 − v2)v1]∆v2dx = ∫ Ω [∇[θ²(v1 − v2)]v1 + θ²(v1 − v2)∇v1]∇v2dx. (3.13) Pela linearidade da integral − ∫ Ω [θ²(v1−v2)v1]∆v2dx = ∫ Ω [θ ′ ²(v1−v2)∇(v1−v2)]v1∇v2dx + ∫ Ω [θ²(v1−v2)]∇v1∇v2dx e consequentemente − ∫ Ω [θ²(v1−v2)v1]∆v2dx= ∫ Ω [θ ′ ²(v1−v2)(∇v1−∇v2)]v1∇v2dx+ ∫ Ω [θ²(v1−v2)]∇v1∇v2dx. (3.14) Agora, usando a primeira identidade de Green na segunda parcela do segundo membro de (3.10) obtemos ∫ Ω [θ²(v1 − v2)v2]∆v1dx = − ∫ Ω ∇v1∇[θ²(v1 − v2)v2]dx + ∫ ∂Ω [θ²(v1 − v2)v2]∂v1 ∂η ds. Sendo v2 = 0 em ∂Ω, temos que ∫ Ω [θ²(v1 − v2)v2]∆v1dx = − ∫ Ω ∇v1∇[θ²(v1 − v2)v2]dx. (3.15) Calculando ∇[θ²(v1 − v2)v2] e substituindo em (3.15) encontramos ∫ Ω [θ²(v1 − v2)v2]∆v1dx = − ∫ Ω [∇[θ²(v1 − v2)]v2 + [θ²(v1 − v2)]∇v2]∇v1dx. Consequentemente, ∫ Ω [θ²(v1−v2)v2]∆v1dx = − ∫ Ω [θ ′ ²(v1−v2)]∇(v1−v2)v2∇v1dx− ∫ Ω [θ²(v1−v2)]∇v1∇v2dx. Usando a linearidade do gradiente obtemos ∫ Ω [θ²(v1−v2)v2]∆v1dx=− ∫ Ω [θ ′ ²(v1−v2)](∇v1−∇v2)v2∇v1dx− ∫ Ω [θ²(v1−v2)]∇v1∇v2dx. (3.16) 96 Somando as igualdades (3.14) e (3.16) ficamos com − ∫ Ω [θ²(v1 − v2)v1]∆v2dx + ∫ Ω [θ²(v1 − v2) · v2]∆v1dx = ∫ Ω [θ ′ ²(v1 − v2)(∇v1 −∇v2)]v1∇v2dx + ∫ Ω [θ²(v1 − v2)]∇v1∇v2dx − ∫ Ω [θ ′ ²(v1 − v2)](∇v1 −∇v2)v2∇v1dx− ∫ Ω [θ²(v1 − v2)]∇v1∇v2dx. Portanto, − ∫ Ω [θ²(v1 − v2)v1]∆v2dx + ∫ Ω [θ²(v1 − v2)v2]∆v1dx = ∫ Ω [θ ′ ²(v1 − v2)(∇v1 −∇v2)]v1∇v2dx− ∫ Ω [θ ′ ²(v1 − v2)](∇v1 −∇v2)v2∇v1dx. (3.17) Usando novamente a linearidade da integral no lado esquerdo da igualdade (3.17) e somando e subtraindo ∫ Ω [θ ′ ²(v1 − v2)(∇v1 −∇v2)]v1∇v1dx no lado direito da mesma encontramos∫ Ω [−v1∆v2 + v2∆v1][θ²(v1 − v2)]dx = = ∫ Ω [θ ′ ²(v1 − v2)(∇v1 −∇v2)]v1∇v2dx− ∫ Ω [θ ′ ²(v1 − v2)(∇v1 −∇v2)]v1∇v1dx (3.18) + ∫ Ω [θ ′ ²(v1 − v2)(∇v1 −∇v2)]v1∇v1dx− ∫ Ω [θ ′ ²(v1 − v2)](∇v1 −∇v2)v2∇v1dx. Daí, segue-se que∫ Ω [−v1∆v2 + v2∆v1][θ²(v1 − v2)]dx = ∫ Ω v1[θ ′ ²(v1−v2)](∇v1−∇v2)(∇v2 −∇v1)dx+ ∫ Ω (v1−v2)[θ′²(v1−v2)]∇v1(∇v1−∇v2)dx. (3.19) Logo∫ Ω [−v1∆v2 + v2∆v1][θ²(v1 − v2)]dx =− ∫ Ω v1[θ ′ ²(v1−v2)]‖∇v1−∇v2‖2dx + ∫ Ω (v1− v2)[θ′²(v1− v2)]∇v1(∇v1−∇v2)dx. (3.20) Observe que − ∫ Ω v1[θ ′ ²(v1 − v2)]|∇v1 −∇v2|2dx ≤ 0.