Geometria Analítica - Cônicas

Geometria Analítica - Cônicas

(Parte 1 de 7)

CURSO DE MATEMÁTICA - 2008

Foi o grego Apolônio de Praga em seu tratado “As Cônicas” quem introduziu os nomes elipse, hipérbole e parábola às secções planas no cone. A circunferência foi estudada muito antes sem ser considerada como cônica.

Adotada como modelo para as órbitas dos planetas por Copérnico, somente mais tarde, a partir de observações apuradas de Tycho Bhmer, Johanes Kepler consegue demonstrar que tais órbitas eram realmente elípticas. Os modelos matemáticos a partir das cônicas, tem hoje inúmeras aplicações na administração de empresas, na análise de produção, na ótica e no estudo do movimento dos corpos.

A elipse, a hipérbole e a parábola são chamadas genericamente secções cônicas, pois são obtidas através da intersecção de uma superfície cônica por plano como é visto na figura-1.

Denominamos elipse ao lugar geométrico dos pontos de um plano para os quais a soma das distâncias a dois pontos dados F1 e F2 do plano, é igual a uma constante 2a maior que a distância F1F2, conforme figura-2.

ELIPSE PARÁBOLA HIPÉRBOLE Figura-1: Secções Cônicas x y

Figura-2: Elipse

Os pontos F1 e F2 chamam-se focos e a distância entre eles que vamos representar por 2 c será a distância focal da elipse, ou seja, 12FFd2c=. Chama-se excentricidade da elipse a relação c e a

Vamos definir a equação da elipse de centro na origem, e os focos no eixo das abscissas (figura- 3) teremos.

x c y x c y 2a x c y 2a x c y x 2cx c y 4a 4a x c y x 2cx c y

4a x c y 4a 4cx

a x c y a cx a x 2a cx a c a y a 2a cx c x a c x a y a a c

a c x a y a a c como: a2 – c2 = b2, temos: b2x2 + a2y2 = a2 b2  dividindo por (a2 b2), chegamos a equação da elipse,

INTERSECÇÃO DE UMA RETA COM A ELIPSE Sejam as equações da reta e da elipse:

y m x n

a b

As soluções do sistema darão as coordenadas dos pontos de intersecção da reta com a elipse. TANGENTES A ELIPSE

Portanto temos:

É a equação das retas tangentes à elipse e cujo coeficiente angular é m. Seja, portanto, a reta que passa pelo ponto P (x, y) da elipse. Sendo a equação da reta y – y0 = m(x – x0), devemos determinar o valor de m e substituí-lo na equação da elipse. Portanto teremos:

()()(1)

Calculando o ∆ da equação do segundo grau (1), 2b4ac∆=− temos:

2x y 4 x a y b ou 4x y 4 x a y b ou 4 b x a y a b

Como (x0, y0), pertence à elipse vem:

Uma reta de equação y = mx + n, é tangente a elipse quando o discriminante é nulo, ou seja:

É a equação das retas tangentes à elipse e cujo coeficiente angular é m

logo podemos observar que para ∆ = 0; da equação (1) tiramos: 0 2 2 x y m

da equação (2) tiramos: 2 0 b x m a y =− → substituindo m na equação da reta resulta:

()()()()2

b x y y x x y y a y x x b x 0 a y

a y b x a y b x

dividindo-se por a2b2, vem:

y y x y x b a b a portanto, teremos:

Substituindo o valor de x na equação da elipse resulta:

x y a cos y y 1 1 1 cos a b a b b

y b sen y b sen a relação é igual a 1 x y 1

Seja a elipse da figura-5. A circunferência de raio AO = a, tangência externamente a elipse nos pontos A’, e a circunferência de raio OB = b, tangência internamente a elipse nos pontos B’. Seja, portanto P um ponto da elipse, e P’ a sua projeção em A’. O ponto Q a intersecção da circunferência maior com P’P. Considerando desta forma o triângulo OP’Q, teremos:

X = OP’ = OQ cos θ → x = a cos θ Figura-5 ybsenθ=

A normal à elipse num ponto, é perpendicular à tangente nesse ponto. Logo se o coeficiente angular m da tangente é; b x m a y = então o coeficiente da normal será:

b y e sua equação será; ()2 0 a x y y x x b y −=−, resulta portanto:

()()2

Consideremos agora um ponto A(x, y) situado no interior da elipse. É óbvio que neste caso temos:

<<

121212AFAFPFPFAFAFistoé:2a(I)δδδδδδ+++ desenvolvendo a relação teremos;

a b +. Por considerações análogas, podemos concluir que para um ponto B(x, y) qualquer no exterior da elipse, vale; > 2 2

Em resumo, dado um ponto P(x, y) qualquer do plano, temos:

a x b y a b

Consideremos uma elipse de centro na origem e focos no eixo Ox. Sendo P(x, y) um ponto qualquer da elipse (figura-6) temos:

Figura-6

P está sobre a elipse:=
P está no interior da elipse:<
P está no exterior da elipse:>

Chama-se parábola ao lugar geométrico dos pontos do plano que são eqüidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz).

Seja F o foco e d a diretriz e, seja xOy o sistema de referência tal que Oy paralelo a d e F pertencente a Ox, de tal modo que o eixo Oy intercepte o ponto médio do segmento de medida

igual a:PQPFsendoP(x,y)=→, (figura-7).

2 2 2 2P P P P x x y x px x px y

logo:2y2pxy2px=→= equação reduzida da parábola.

Vamos obter agora a equação da parábola de foco F(x0, y0 + p) e diretriz d: y – (y0 – p) = 0. O vértice de parábola é V(x0, y0) e a parábola tem concavidade para cima (figura-8). Apliquemos a P(x, y) a propriedade dos pontos da parábola.

É a equação natural da parábola. A equação da reta diretriz é:

O valor de P chama-se parâmetro da parábola. Assim a equação natural PQPF= fica da forma: Figura-7: Parabola dPd = dPF y y p x x y y p

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