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AMB0207 – Hidráulica aplicada à Engenharia Ambiental 27

  1. PERDA DE CARGA EM CONDUTOS FORÇADOS

O líquido ao escoar em um conduto é submetido a forças resistentes exercidas pelas paredes da tubulação e por uma região do próprio líquido. Nesta região denominada camada limite há um elevado gradiente de velocidade e o efeito da velocidade é significante. A conseqüência disso é o surgimento de forças cisalhantes que reduzem a capacidade de fluidez do líquido. O conceito de camada limite foi desenvolvido em 1904 por Ludwig Prandtl.

O líquido ao escoar transforma (dissipa) parte de sua energia em calor. Essa energia não é mais recuperada na forma de energia cinética e/ou potencial e, por isso, denomina-se perda de carga. Trata-se de perda de energia devido ao atrito contra as paredes e à dissipação devido à viscosidade do líquido em escoamento.

Para efeitos de estudo e de cálculos para dimensionamentos em engenharia, a perda de carga, denotada por h ou hp, é classificada em perda de carga contínua, ou linear, denotada por: h’, hf ou hL; e perda de carga singular, h’’ ou hS.

As perdas de carga lineares são aquelas devido ao fluxo em trechos retilíneos de tubulação, enquanto que as singulares, são devidas à trechos curvos, à peças e dispositivos especiais instalados na linha onde se está verificando ou calculando as perdas de carga, sendo assim denominadas como perdas de carga singulares.

Conforme visto anteriormente, temos na figura abaixo, e na respectiva equação da conservação de energia de Bernoulli, o seguinte:

Considerando agora o mesmo esquema ilustrado acima, para uma tubulação sem variação de diâmetro, sabe-se que a velocidade média nas duas seções será igual, pois a vazão e o diâmetro do conduto são constantes (equação da continuidade).

Assim, pode-se definir, para a perda de carga entre os pontos 1 e 2, o seguinte:

A perda de carga linear quando expressa por unidade de comprimento do conduto, é chamada de perda de carga unitária, expressa por J, ou seja:

J = hp1,2 / L1,2

4.1 Fórmula Universal de Perda de Carga (Darcy-Weisbach)

Diversos estudos apontaram para a relação de proporcionalidade que a resistência ao escoamento em uma tubulação poderia possuir, concluindo-se que a mesma é:

  • Independente da pressão a que o líquido é submetido em um escoamento;

  • Diretamente proporcional ao comprimento L;

  • Inversamente proporcional a uma certa potência do diâmetro D;

  • Proporcional a uma certa potência da velocidade V; e

  • Relacionada à rugosidade da tubulação, se o escoamento for turbulento.

Assim, diversas formulações empíricas foram sugeridas baseadas nesta proporcionalidade, sendo que Henry e Weisbach por volta de 1845 fizeram um estudo avaliando as diferentes forças presentes em um elemento de fluido em escoamento sobre uma tubulação, principalmente relacionando a força de cisalhamento existente junto às paredes do conduto.

Estabeleceram então a formulação seguinte:

então chamada de Fórmula Universal da Perda de Carga, ou Fórmula de Darcy-Weisbach, onde:

L: comprimento da tubulação;

D: o diâmetro do conduto;

v: velocidade do escoamento;

g: aceleração local da gravidade; e

f: fator de perda de carga (ou fator de atrito friction).

O fator de perda de carga f, na época da proposição da fórmula, era tido como um valor constante e dependente então de características da tubulação. Com o tempo, porém, esta teoria demonstrou-se equivocada, descobrindo-se e propondo formulações específicas para o cálculo deste coeficiente.

Como ficaria uma equação para expressar a perda de carga unitária J utilizando a equação da perda de carga universal, e ainda expressa em termos de vazão, para um conduto de seção circular?

4.1.1 Determinação do fator de perda de carga f

A fórmula universal da perda de carga apresentada acima se trata de uma equação dimensionalmente homogênea, sendo o fator de perda de carga f, um elemento numérico adimensional. Esta formulação, pela sua generalidade, pode ser utilizada para calcular as perdas de carga lineares nos condutos tanto em regime laminar, quanto em regime turbulento. A estrutura da fórmula continua válida nestes dois regimes, entretanto a determinação do fator de perda de carga f é que deverá ser modificada para considerar a diferença de comportamento do fluxo nestes dois regimes de escoamentos.

Experimentalmente, demonstra-se que este fator de perda de carga é dependente de variáveis como a velocidade média do escoamento (v), o diâmetro do tubo (D), a massa específica () e a viscosidade () do fluido, bem como de características físicas relacionadas com a rugosidade das paredes internas do conduto (), tais como o tamanho, a forma e o arranjo espacial (distribuição) dessas rugosidades.

Escoamentos Laminares

Para escoamentos laminares em condutos, ou seja, para aqueles que apresentam Número de Reynolds Re<2000300, tanto se verifica experimentalmente, quanto se demonstra analiticamente pela composição das forças atuantes e do comportamento deste tipo de fluxo; que o fator f irá depender exclusivamente da viscosidade dinâmica () e da massa específica () do fluido, juntamente com a velocidade média do fluxo e com o diâmetro da tubulação.

Assim, para escoamentos laminares o fator de perda de carga f, assim pode ser determinado:

, ou seja,

Com isso, a determinação da perda de carga hp, através da utilização da equação universal da perda de carga, fica:

Escoamentos Turbulentos

Para este regime, devido às diversas oscilações das variáveis características do escoamento (velocidade, pressão, etc.) em torno de valores médios, tornou-se um tanto mais complexo a dedução de uma formulação para a quantificação do fator de perda de carga f.

Para essa dedução, diversas teorias sobre o comportamento do escoamento sobre a superfície interna do tubo foram aplicadas. A teoria sobre o comprimento de mistura apresentada por Prandtl em 1925, é uma delas. Esta teoria demonstra uma relação existente entre as tensões aparente de Reynolds e uma escala de comprimento proporcional à distância à parede e ao gradiente de velocidade média, identificando basicamente duas regiões, uma primeira denominada região interna, onde a tensão de Reynolds aumenta linearmente com a distância à parede; e uma segunda, onde ela passa a decrescer devido à queda do gradiente de velocidades.

Esta hipótese só não foi verificada como válida em duas regiões: uma no centro do escoamento, onde o gradiente de velocidades é praticamente nulo, e outra numa região muito próxima à parede do conduto, onde os efeitos viscosos são preponderantes sobre o termo turbulento, região esta denominada de sub-camada viscosa.

O conceito de sub-camada viscosa está relacionado ao fato de que em um escoamento muito próximo de um contorno sólido qualquer, o mesmo encontra-se regido basicamente pelas forças viscosas do fluído, com relação as forças de inércia do próprio escoamento. Este efeito é um dos principais elementos geradores da turbulência do fluxo.

No estudo de escoamentos turbulentos em condutos, é importante a relação então existente entre a espessura desta sub-camada viscosa e da rugosidade equivalente das paredes do conduto.

A teoria da camada limite mostra que a espessura da sub-camada viscosa, de forma simplificada, pode ser calculada por:

onde u* é a velocidade de cisalhamento (ou de atrito), relação entre a tensão de cisalhamento junto à parede e a massa específica do fluido.

Assim, é possível definir diferentes regiões para o regime de escoamento turbulento de acordo com as relações existente entre a espessura da sub-camada limite viscosa e a espessura da rugosidade das paredes do conduto.

Escoamento turbulento hidraulicamente liso

Ocorre no caso em que as rugosidades da parede da tubulação, , estão totalmente cobertas pela sub-camada viscosa, apresentando a relação adimensional:

< 5

Escoamento turbulento hidraulicamente rugoso

Para a situação em que as asperezas da parede afloram a sub-camada viscosa, alcançando o núcleo turbulento e gerando fontes de turbulência. Nesta região tem-se que:

> 70

Escoamento turbulento de transição, ou hidraulicamente misto

É uma condição intermediária entre os dois anteriores, onde:

5   70

O termo é denominado de número de Reynolds da rugosidade.

Através destes conceitos, Nikuradse em 1933 determinou experimentalmente a influência da rugosidade, colocando areias de diferentes diâmetros uniformes nas paredes de condutos circulares cilíndricos e determinando os diferentes perfis de velocidades resultantes. Com estes ensaios o perfil de velocidades obtido resultou numa lei do tipo:

Ou seja, um perfil de velocidades logarítmico.

A partir dessa relação básica, deduziu o fator de perda de carga fpara cada uma das situações de escoamento em regime turbulento, apresentando equacionamentos para este fator no caso dos escoamentos hidraulicamente liso, rugoso e de transição.

O valor da rugosidade absoluta  para tubulações comerciais é determinado experimentalmente, sendo normalmente fornecido pelo fabricante, bem como é encontrado tabelado em diversas bibliografias da área.

(apresentar tabelas)

Em 1939, Colebrook e White apresentaram uma formulação para o fator de perda de carga, agrupando os equacionamentos apresentados por Nikuradse. Assim, ficou apresentada a fórmula de Colebrook-White para o fator de perda de carga em escoamentos turbulentos:

A resolução desta formulação para fator de perda de carga exige a aplicação de métodos iterativos de cálculo numérico, que até bem pouco tempo apresentavam dificuldades matemáticas e computacionais. Porém, com o advento das máquinas calculadoras programáveis, bem como das planilhas de cálculos eletrônicas, estes procedimentos vêm se tornando cada vez mais simples.

Por estes motivos de dificuldade na resolução rápida deste equacionamento, foi que em 1944, Moody propôs a tabulação dos dados de forma gráfica, através de um diagrama de dupla entrada (/D e Re, ou /D e f, ou ainda Re e f), que levou seu nome: Diagrama de Moody.

(apresentar diagrama)

Ainda devido a estas dificuldades matemáticas para a resolução desta equação, surgiram e foram propostas diversas formulações aproximadas e/ou empíricas para a resolução de escoamentos em condutos. Muitas delas até hoje ainda são aplicadas no cálculo ou na verificação de redes de distribuição de água e sistemas de adução, salientando-se que algumas têm apresentado excelentes resultados quando comparados com a realidade, ou quando comparadas com a própria formulação de Colebrook-White. Porém, com as facilidades matemáticas e computacionais agora disponíveis, torna-se um tanto quanto injustificável a utilização de formulações aproximadas, quando da existência de formulação deduzida a partir de conceitos físicos estabelecidos e aceitos como verdadeiros.

Além disso, a tendência das Normas é estabelecer a unificação destes cálculos em hidráulica, todos a partir da formulação de Darcy-Weisbach (Fórmula Universal da Perda de Carga) em conjunto com a determinação do fator de perda de carga através da Fórmula de Colebrook-White.

4.2 Cálculos de condutos em hidráulica

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