Apostila Vibrações Mecânicas

Apostila Vibrações Mecânicas

(Parte 7 de 7)

Aplicando a condição de equilíbrio estático, obtém-se a equação dinâmica:

Método da Energia Conservativa: Como primeiro passo, efetua-se a soma das energias cinéticas e potenciais envolvidas no exemplo :

cte xkJxm

No segundo passo, escreve-se as equações de compatibilidade entre as diversas variáveis de deslocamento e substitui-se na equação da energia total conservativa :

Vibrações

Prof. Airton NabarretePag. 30

O terceiro passo é a diferenciação da energia total sabendo que seu valor é constante :

Como θ! não pode ser nulo sempre, então :

( ) 022 =++ θθ rkJrm !! Por fim, pode-se calcular a freqüência natural não-amortecida do sistema massa-polia-mola :

Num segundo exemplo, representado na figura abaixo, uma barra rígida de massa m, comprimento l e seção transversal uniforme, é articulada no ponto O e suportada por uma mola.

Neste exemplo, o amortecedor será desconsiderado para poder aplicar o método da energia conservativa. a) Expressão da energia total:

cte xkJ b) Equação de compatibilidade entre os deslocamentos:

Vibrações

Prof. Airton NabarretePag. 31 c) Diferenciação da equação de energia:

Para a barra de seção uniforme, tem-se que:

Aplica-se o teorema dos eixos paralelos para obter o momento de inércia no ponto O, então,

Finalmente, tem-se:

3 ml

Um terceiro exemplo será utilizado para determinar a equação dinâmica do pêndulo simples com massa m na extremidade da haste de comprimento l. Como procedimento de modelagem, admite-se que a massa tem dimensões reduzidas em relação ao comprimento da haste. Além disto, a massa da haste é desprezível quando comparado à massa m. a) Expressão da energia total:

() ctemglJE O l - l cos(θ )

O m

Vibrações

Prof. Airton NabarretePag. 32 b) A equação de compatibilidade não é necessária, pois o sistema está todo escrito em função de θ . c) Diferenciação da equação de energia:

O momento de inércia do pêndulo é escrito na forma:

2mlJO = Portanto,

A equação obtida é uma equação diferencial não-linear. Entretanto, aplicamos uma simplificação, admitindo que o pêndulo oscile com pequenos ângulos. Para condições iniciais que façam o pêndulo oscilar com pequenos ângulos, tem-se :

lg n =ω

3.3 Amortecimento equivalente

Nos sistemas em que é necessário determinar o amortecedor equivalente, devemos fazer uso da técnica usada no item 3.1 . Se houver vários amortecedores, a potência dissipada é obtida pela expressão:

Vibrações

Prof. Airton NabarretePag. 3

No exemplo da figura abaixo, vários amortecedores são montados em uma alavanca de comprimento l que oscila em torno do ponto O.

y z x a

Para o cálculo da equação dinâmica na rotação da alavanca é necessário determinar o amortecimento angular equivalente. Então, utiliza-se a expressão de potência dissipada :

As equações de compatibilidade para este caso são : θθθ lxbzay === ,,

Portanto, a constante equivalente de amortecimento é escrita como :

A constante de mola também pode ser obtida por procedimento semelhante ao apontado no item 3.1 . Assim, tem-se :

1 xkkE eqtP == θ

Aplicando-se a compatibilidade dos deslocamentos,

1 lkklkk eqteqt =→= θθ

Portanto, utilizando do momento de inércia encontrado no exemplo 2 do item 3.2, faz-se :

θθθ lklcbcac lm !!!

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