Baixe Equações de movimento de um oscilador underdamped: soluções e condições iniciais e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! FEP2196 - F́ısica para Engenharia II Prova P2 - 23/10/2008 Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . No USP: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assinatura: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Turma/Professor: . . . . . . . . . . . . . . . . . Observações: • A prova tem duração de 2 horas. • Não é permitido o uso de calculadora. • Preencha todas as folhas, inclusive esta, com seu nome, número USP e turma, de forma leǵıvel. • Resolva cada exerćıcio começando na frente da folha com o mesmo número. Se necessário utilize o verso da folha. • Justifique todas as suas respostas com comentários, fórmulas e cálculos intermediários. Não esqueça das unidades das grandezas f́ısicas pedidas. • Apresente sua identidade ao assinar a lista de presença. • Quando nos resultados aparecer qualquer raiz que não seja de um quadrado perfeito, deixe indicado, sem necessidade de substituir por uma aproximação. d2x dt2 + γ dx dt + ω20x = 0 γ = ρ m x(t) = Ae− γ 2 t cos(ωt+ ϕ) ω = √ ω20 − γ2 4 x(t) = acos(ω0t)+bsen(ω0t) x(t) = e − γ 2 t ( a eβt + b e−βt ) β = √ γ2 4 − ω20 x(t) = e− γ 2 t(a+bt) d2x dt2 + γ dx dt + ω20x = F0 m cos(Ωt) x(t) = A(Ω) cos[Ωt+ ϕ(Ω)] A(Ω) = F0 m 1√ (ω20−Ω2)2+γ2Ω2 ϕ(Ω) = −arctan ( γΩ ω20−Ω2 ) Q = ω0 γ 1 v2 ∂2y ∂t2 − ∂2y ∂x2 = 0 y(x, t) = Acos(kx− ωt+ δ) ω = kv τ = 2π ω λ = 2π k v = √ T µ I = 1 2 µvω2A2 kn = n π L ν = ν0 (1± uvs ) (1∓ Vvs ) ν = ν0 [1−V cos(θ)vs ] cos(a± b) = cos(a)cos(b)∓ sen(a)sen(b) sen(a± b) = sen(a) cos(b)± sen(b) cos(a) 1. Um oscilador unidimensional não amorte- cido, de massa m=0,50 kg e freqüência própria ω0 = 2, 0 s−1, move-se sobre um plano hori- zontal sob a ação de uma força externa não periódica F (t) = F0 exp(−βt), com F0 = 40 N e β = 6, 0 s−1. Inicialmente o os- cilador encontra-se em repouso na posição de equiĺıbrio. (a) (0,5) Escreva a equação diferencial que descreve o movimento do oscilador. Resp. : mẍ+ k x = F0 exp(−βt) ẍ+ ω20 x = F0 m exp(−βt) ẍ+ 4x = 80 exp(−6t) (b) (1,0) Lembrando que a solução de uma equação diferencial não homogênea é igual à solução da homogênea somada à solução particular (equação completa), determine a função x(t) que descreve o movimento do oscilador, com as condições iniciais acima. Resp. : A solução particular xp(t) é regida pelo tipo de força aplicada: xp(t) = A exp(−β t) Substituindo a função xp e sua se- gunda derivada na equação diferencial, teremos: ẍp(t) = β2A exp(−β t) E.D. : ẍp(t) + ω20 xp(t) = F0 m exp(−βt) (β2 + ω20)A = F0 m A = F0 m 1 (β2 + ω20) A = 40N 0, 50kg 1 [(6, 0 rad/s)2 + (2, 0 rad/s)2] A = 2, 0 m Assim, a solução particular xp(t) fica: xp(t) = 2, 0 exp(−6, 0 t) A solução homogênea é a solução na- tural xn(t) para um M.H.S. sem amorte- cimento: xn(t) = a cos(ω0t) + b sen(ω0t) Aplicação das Condições Iniciais (C.I.) para a solução geral x(t): x(t) = xn(t) + xp(t) x(t) = a cos(ω0t)+b sen(ω0t)+2, 0 exp(−6, 0 t) C.I. : 1) x(0) = 0 (equiĺıbrio) e 2) ẋ(0) = 0 (repouso) Da condição 1): x(0) = 0 ⇒ a = −2, 0 m Da condição 2): ẋ = −aω0sen(ω0t) + bω0 cos(ω0t)+ +2, 0(−6, 0) exp(−6, 0 t) ẋ(0) = bω0 + 2, 0(−6, 0) = 0 b = 12 ω0 = 12 2, 0 = 6, 0 m A solução geral será: x(t) = [−2, 0 cos(2, 0 t)+6, 0 sen(2, 0 t)+ +2, 0 exp(−6, 0 t) ](m) ou x(t) = 2, 0[exp(−6, 0 t)− cos(2, 0 t)+ +3, 0 sen(2, 0 t) ](m) (c) (0,5) Qual será a função x(t) no regime estacionário (t→∞) ? Resp : Quando (t→∞), exp(−∞)→ 0 x(t) = 2, 0[3, 0 sen(2, 0 t)−cos(2, 0 t) ](m)
