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NOTAS DE AULAS Mecanica Classica

Prof.: Salviano A. Leao Goiania – Goias

Sumario

1.1 Princıpio da Relatividade de Galileu3
1.2 Tempo4
1.3 Espaco6
1.4 Cinematica8
1.5 Problemas12

1 Introducao 1

2.1 Introducao15
2.2 Dinamica: massa e forca15
2.3 Leis de Newton17
2.3.1 Primeira Lei de Newton18
2.3.2 Segunda Lei de Newton19
2.3.3 Terceira Lei de Newton20
2.4 Transformacoes galileanas: referenciais inerciais2
2.5 Aplicacoes das leis de Newton25
2.6 Integracao das equacoes de movimento30
2.6.1 Analise do movimento unidimensional31
2.6.2 Forca aplicada constante3
2.6.3 Forca aplicada dependente do tempo34
2.7 Forcas dependentes da velocidade: Forcas de retardamento37
2.8 Teoremas de conservacao4
2.8.1 Conservacao do momentum linear45
2.8.2 Conservacao do momentum angular45
2.8.3 Conservacao da energia46
2.9 Forcas conservativas48
2.10 Forcas nao conservativas49
2.1 Energia potencial50
2.12 Energia51
2.12.1 Equilıbrio54
2.13.1 Movimento do foguete: forca externa57
2.13.2 Movimento do foguete: sem forca externa58
2.13.3 Foguete em ascensao58
2.14 Limitacoes da mecanica newtoniana59
2.15 Problemas59
2.16 Apendice63
2.16.1 Expansoes em series de Taylor63
2.16.2 Funcoes Hiperbolicas63
2.16.3 Funcoes trigonometricas64
3.1 Introducao67
3.2 Pequenas Oscilacoes: Oscilacoes Lineares e Nao-Lineares67
3.2.1 Oscilacoes Lineares69
3.2.2 Oscilacoes Nao-Lineares70
3.2.3 Moleculas Diatomicas70
3.3 Oscilador Harmonico Simples71
3.4 Estudo do Movimento Harmonico Simples73
3.4.1 Analise do Movimento76
3.4.2 Condicoes Iniciais76
3.5 Oscilador Harmonico Simples: Solucao por Conservacao de Energia7
3.6 Oscilador Harmonico Simples e a Conservacao de Energia78
3.7 Energias Medias79
3.8 Oscilador Harmonico e o Movimento Circular Uniforme80
3.9 Pendulo Simples82
3.10 Osciladores Acoplados84
3.1 Oscilacoes Harmonicas em duas Dimensoes85
3.12 Diagramas de Fase87
3.13 Oscilacoes Amortecidas89
3.13.1 Amortecimento Subcrıtico (β < ω0)91
3.13.2 Balanco de Energia: Fator de Qualidade Q93
3.13.3 Amortecimento Crıtico (β = ω0)96
3.13.4 Amortecimento Supercrıtico (β > ω0)97
3.14 Oscilacoes Forcadas Amortecidas9
3.15 Ressonancia101
3.16 Impedancia de Um Oscilador102
3.17 Princıpio da superposicao: series de Fourier103
3.18 Elementos de um Circuito105

3 Oscilacoes 67 i

3.18.2 Capacitor106
3.18.3 Indutor106
3.18.4 Gerador107
3.19 Oscilacoes Eletricas107
3.20 Analogia entre as Oscilacoes Mecanicas e Eletricas113
3.21 Problemas114
3.21.1 Circuitos LC118
3.21.2 Circuitos RLC118
4.1 Introducao119
4.2 Princıpio da Superposicao120
4.3 Distribuicoes Contınuas de Massa121
4.4 Centro de Gravidade123
4.5 O Campo Gravitacional g124
4.6 Potencial Gravitacional126
4.7 Lei de Gauss131
4.7.1 Angulo Solido131
4.7.2 Fluxo de Um Campo Vetorial133
4.7.3 Lei de Gauss Para o Campo Gravitacional g134
4.7.4 Aplicacoes da Lei de Gauss136
4.8 Forma Diferencial da Lei de Gauss: Equacao de Poisson137
4.9 Linhas de Forca e Superfıcies Equipotenciais138
4.10 Problemas140
4.1 Gauss Law Paradox141
4.1.1 Question141
4.1.2 Answer142
5.1 Introducao: Aproximacao Variacional da Mecanica143
5.2 A Natureza Geral dos Problemas de Extremos144
5.3 Formulacao do Problema144
5.4 Johann Bernoulli145
6.1 Introducao150
6.2 Conceitos Fundamentais152
6.3 Coordenadas Generalizadas153
6.4 Graus de Liberdade154

6 Formulacao Lagrangeana da Mecanica 150 i

6.6 Espaco de Configuracoes157
6.7 Vınculos158
6.8 Dificuldades Introduzidas Pelos Vınculos164
6.8.1 Vınculos e as coordenadas generalizadas164
6.9 Princıpios dos Trabalhos Virtuais170
6.9.1 Trabalho Virtual171
6.10 Princıpio de D’Alembert174
6.1 Equacoes de Lagrange175
6.1.1 Vınculos nas equacoes de Lagrange179
6.1.2 Exemplos de Sistemas Sujeitos a Vınculos181
6.12 Aplicacoes da Formulacao Lagrangeana182
6.13 Energia Cinetica em Coordenadas Generalizadas189
6.14 Momentum Generalizado190
6.15 Potenciais Dependentes da Velocidade191
6.16 Funcao de Dissipacao194
6.17 Problemas195
6.17.1 Deducoes195
6.17.2 Exercıcios196
7.1 Introducao201
7.2 Princıpio de Hamilton202
7.2.1 Introducao202
7.2.2 Princıpio de Hamilton a Partir do Princıpio de D’Alembert206
7.3 Equacoes de Lagrange a Partir do Princıpio de Hamilton209
7.4 Princıpio da Relatividade de Galileu212
7.5 A Lagrangeana de Uma Partıcula Livre213
7.6 Lagrangeana de um Sistema de Partıculas215
7.7 Princıpio de Hamilton: Vınculos Nao-Holonomicos217
7.8 Vantagens de Uma Formulacao Por Um Princıpio Variacional225

7 Princıpio de Hamilton: Dinamicas Lagrangeana e Hamiltoniana 201

8.1 Introducao228
8.2 Equacoes Canonicas de Hamilton229
8.3 Equacoes de Hamilton a Partir do Princıpio Variacional230
8.4 Integrais de Movimento das Equacoes de Hamilton233
8.5 Integrais de Movimento Associados com as Coordenadas Cıclicas233
8.6 Transformacoes Canonicas233

8 Dinamica Hamiltoniana 228 iv

8.8 Propriedades Fundamentais dos Parenteses de Poisson241
8.9 Parenteses de Poisson Fundamentais241
8.10 Exemplo241
8.1 Parenteses de Poisson e as Integrais de Movimento242
8.12 Equacao de Movimento na Forma dos Parenteses de Poisson244

Capıtulo 1

Introducao

Em ”ciencias exatas”, toda teoria cientıfica parte de um conjunto de hipoteses sugeridas pelas observacoes dos fenomenos naturais. Essas hipoteses representam uma idealizacao dos referidos fenomenos e sao as bases com que se constroi uma teoria. Nessa teoria, as leis envolvendo grandezas fısicas sao expressas em termos de equacoes matematicas que descrevem e preveem seus comportamentos sob determinadas condicoes. Com a mesma finalidade, medidas experimentais dessas mesmas grandezas podem ser efetuadas com certa precisao. A comparacao numerica entre a previsao teorica e a medida experimental serve como um parametro para julgar se a teoria e correta ou nao e, se for o caso, em que ponto e necessario introduzir correcoes ou modificacoes. Se a concordancia numerica for boa, a probabilidade da teoria estar correta e grande. Por outro lado, se a concordancia for apenas qualitativa, fica difıcil julgar a teoria. Alem disso, se existir mais de uma, a dificuldade de escolher entre as diferentes possibilidades seria grande.

As grandezas que aparecem nas equacoes matematicas da teoria devem ser expressıveis nas formas quantitativas. Assim, os conceitos na ”ciencia exata” devem ser desenvolvidos de forma que deem significados numericos precisos. Se uma dada grandeza for definida, espe- cificacoes de como determina-la quantitativamente devem estar contidas na sua definicao. Uma definicao apenas qualitativa nao e suficiente para ser usada como alicerce da construcao de uma teoria cientıfica. Na pratica, apesar de ser muito difıcil construir uma definicao idealmente precisa, supoe-se implicitamente que as grandezas envolvidas estao precisamente definidas quando se escreve uma equacao matematica. Nesta situacao, e importante estar ciente em que ponto e em que grau a construcao de uma teoria e afetada pela falta de precisao nessas definicoes. Existem conceitos que sao definidos em termos daqueles que ja foram anteriormente definidos e sao chamados conceitos derivados. Assim, toda vez que um novo conceito derivado for definido, sera suposto que os conceitos anteriores, usados na nova definicao, estao precisamente definidos. Rastreando-se os conceitos anteriores, utilizados para definir os conceitos derivados, fatalmente voltar-se-a ate os conceitos basicos ou primitivos, os quais existem com uma certa falta de precisao. Geralmente esses conceitos primitivos sao supostos como conhecidos ”a priori”, seja pela vivencia, seja pela intuicao. Muitos desses conceitos (por exemplo, espaco, tempo, massa e carga no caso da fısica) tornaram-se parte integrante da nossa vida diaria, o que aumenta o risco de serem considerados mais obvios do que realmente o sao. De qualquer forma, a construcao de uma teoria deve ser iniciada em algum ponto mesmo que a precisao desejavel nao seja alcancada. Sempre que atingir um estagio mais avancado, deve-se retornar as definicoes desses conceitos e aperfeicoa-las. Assim, cada vez que houver uma compreensao melhor, aperfeicoa-se as definicoes dos conceitos primitivos. Mesmo nesses conceitos primitivos, ha necessidade de incluir ao menos uma definicao operacional para que a sua determinacao quantitativa seja possıvel.

Uma das teorias cientıficas mais antigas e mais conhecidas, nos moldes das chamadas ”ciencias exatas”, e a Mecanica Classica. As leis da alavanca e dos fluidos em equilıbrio estatico ja eram conhecidos pelos cientistas da antiga Grecia. Depois da descoberta das leis da mecanica por Galileu e por Newton, a Fısica teve um desenvolvimento enorme nos ultimos tres seculos. Apos o surgimento da chamada Fısica Moderna no inıcio do seculo X, muitas das leis da mecanica sofreram modificacoes. Entretanto, a Mecanica Classica continua sendo uma otima teoria na maioria das aplicacoes que surgem no cotidiano terrestre. Ela leva a previsoes corretas das grandezas que descrevem os fenomenos fısicos, desde que nao envolvam velocidades proximas a da luz, massas enormes, distancias cosmologicas e dimensoes atomicas.

A Mecanica Classica, tem como objeto de estudo corpos em movimento ou em repouso e a condicoes de movimento e repouso, dos mesmos quando estes estao sob a influencia de forcas internas e externas. Ela nao explica porque os corpos se movem; ela simplesmente mostra como o corpo ira se mover em uma dada situacao e como descrever o seu movimento. Ela nao se preocupa em explicar a origem das forcas, e sim, como os corpos irao se movimentar sob a acao de tais forcas. O estudo da mecanica pode ser dividido em tres partes: Cinematica, Dinamica e Estatica. A cinematica fornecem uma descricao puramente geometrica do movimento (ou trajetoria) dos objetos, desconsiderando as forcas que o produziram. Ela trata com os conceitos que se interrelacionam de posicao, velocidade, aceleracao e tempo. A dinamica se preocupa com as forcas que produzem as mudancas no movimento ou mudanca em outras propriedades, tais como a forma e o tamanho do objeto. Isto nos conduz aos conceitos de massa e forca e as leis que governam o movimento dos objetos. A estatica, por sua vez, e um caso particular da dinamica, a qual trata os corpos na condicao de repouso, ou seja, na ausencia de forcas externas.

Embora a mecanica tenha seu inıcio na antiguidade, ela teve um grande avanco com Aristoteles (384-322 a.C.) e depois ficou paralisada por quase 20 seculos. Entretanto, a verdadeira ciencia da Mecanica foi fundada por Galileu, Huygens e Newton. Eles mostraram que os objetos se movem de acordo com certas regras, e estas regras foram estabelecidas na forma de leis do movimento. A Mecanica Classica ou Newtoniana e essencialmente o estudo das consequencias das leis do movimento formuladas por Newton no seu ”Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, publicado em 1686.

Apesar das Leis de Newton em sua formulacao original, fornecerem uma abordagem simples e direta para os problemas da

Mecanica Classica, existem algumas outras formulacoes dos princıpios da Mecanica Classica. Entre eles, os dois mais usados sao a formulacao Lagrangeana e a Hamiltoniana. Estas duas formulacoes tem a energia e nao a forca com o conceito fundamental, desta forma, as equacoes que se seguem, destas formulacoes, sao escalares e nao vetoriais.

A Mecanica e o ramo da Fısica que estuda os movimentos dos corpos e suas causas. E, entao, necessario uma boa compreensao dos conceitos primitivos e de como as teorias sao construıdas com base neles. A hipotese mais fundamental na Mecanica Classica e a de considerar o espaco e o tempo contınuos, o que significa que existem padroes universais de comprimento e de tempo. Assim, observadores em diferentes lugares e em diferentes instantes podem comparar suas medidas de um dado evento ocorrido em um determinado ponto do espaco e em um instante especıfico. Ate hoje, nenhuma evidencia convincente de que se alcancou o limite de validade desta hipotese surgiu. Outras duas hipoteses, tambem muito importantes, estabelecem que o comportamento dos instrumentos de medida nao e afetado pelos seus estados de movimento (desde que nao estejam sendo rapidamente acelerados) e que, pelo menos em princıpio, os valores numericos obtidos para as grandezas fısicas poderao ser tornados tao precisos quanto se queira. Estas duas hipoteses falham no limite que envolvem altas velocidades e medidas de grandezas de magnitudes muito pequenas.

1.1 Princıpio da Relatividade de Galileu

E essencial que se consiga descrever o movimento de um corpo para poder estuda-lo. Para isso e necessario que se escolha um referencial (ou sistema de referencia), em relacao ao qual esse movimento sera descrito. As leis do movimento tem, em geral, formas diferentes para diferentes sistemas de referencias. Poderao ter formas extremamente complexas se a escolha do referencial nao for bem feita, mesmo que o movimento em si seja muito simples. Dentre as inumeras possibilidades, sempre que possıvel, opta-se por aquele sistema de referencia que leva as leis da mecanica as formas mais simples possıveis.

O espaco nao e homogeneo nem isotropico em relacao a um sistema de referencia qualquer. Diferentes posicoes ou orientacoes neste espaco nao serao equivalentes do ponto de vista da mecanica, mesmo para um corpo que nao interage com nenhum outro. O tempo tambem nao sera uniforme, isto e, instantes diferentes nao serao equivalentes. Com estas propriedades do espaco e do tempo e evidente que a descricao do movimento de um corpo sera proibitivamente complicada. Entretanto, sempre e possıvel encontrar um sistema de referencia onde o espaco e homogeneo e isotropico e o tempo uniforme. Tal sistema de referencia e chamado referencial inercial ou galileano. Se considerarmos um outro referencial animado de um movimento retilıneo e uniforme em relacao ao primeiro, as leis do movimento sao as mesmas no novo sistema. Experiencias mostram que as leis do movimento sao totalmente equivalentes nos dois referenciais no sen- tido que as equacoes matematicas sao invariantes. Assim, existe uma infinidade de referenciais inerciais, animados de movimento retilıneo uniforme um em relacao ao outro. Em qualquer referencial inercial, as propriedades do espaco e do tempo sao as mesmas, assim como todas as leis da mecanica. Esta afirmacao constitui o que se chama Princıpio da Relatividade de Galileu que e um dos mais importantes da Mecanica Classica.

De acordo com este Princıpio da Relatividade, a posicao de um corpo e a sua velocidade so tem significado relativo a algum referencial. Assim, dados dois corpos movendo-se com velocidade relativa constante, e impossıvel estabelecer qual dos dois esta em repouso e qual esta em movimento se nao for especificado um referencial. A aceleracao, no entanto, retem um significado ”absoluto”, pois e possıvel detectar experimentalmente a aceleracao de um movimento, mesmo que nao seja possıvel medir a sua velocidade.

Idealmente, pode-se definir que um referencial inercial e aquele em relacao ao qual um corpo isolado permanece em repouso ou movese com velocidade constante. Um corpo isolado esta muito afastado de qualquer outro corpo, ou seja, sua interacao com um outro corpo qualquer e desprezıvel. Os referenciais acelerados em relacao a qualquer sistema inercial nao sao inerciais. Muitas vezes, depara-se com um referencial cuja aparencia e o de inercial, mas uma analise mais cuidadosa revela que nao o e na realidade. Pode-se citar, como exemplo, o referencial de um astronauta dentro de um satelite. Se o astronauta abandonar um objeto qualquer no ”ar”, ele ficara em ”repouso” ou em ”movimento retilıneo uniforme”. Aparentemente tem-se um referencial inercial neste caso. Entretanto, apos um exame minucioso, conclui-se que a forca de atracao gravitacional da Terra sobre o referido objeto esta sendo apenas compensada pela forca centrıfuga devido ao movimento ”circular” do satelite ao redor da Terra. Se fosse possıvel observar num espaco de dimensao bem maior que o do compartimento do satelite, notar-se-ia que existe um desvio no movimento desse objeto em relacao a uma reta. Portanto, nao se trata de um referencial inercial. Numa situacao real, corpo algum jamais podera estar completamente isolado. Assim, sera muito difıcil encontrar um referencial inercial ”verdadeiro”. Porem, para todos os fins praticos, pode-se adotar um sistema de tres eixos com origem no centro de massa do sistema solar e orientados para as estrelas ”fixas”, por exemplo, como sendo um referencial inercial. Mesmo um sistema fixo na superfıcie da Terra pode, em muitas circunstancias, ser considerado inercial. A hipotese da existencia de um referencial inercial e essencial na Mecanica Classica.

Todos os referenciais doravante adotados serao inerciais, exceto se o contrario for dito.

1.2 Tempo

O tempo e um dos conceitos primitivos adotados para construir a teoria da Ciencia Fısica (Mecanica Classica, em particular). Como tal, nao e possıvel definir precisamente o que e o tempo, mas supoe-se que todos ja ”o conhecem muito bem”. Como pode-se notar, existe uma total falta de precisao para definir o tempo. Esta situacao persiste mesmo que se adote as definicoes qualitativas dadas nos dicionarios. Entretanto, o que realmente im- porta aqui nao e definir o que e o tempo com precisao, mas como medı-lo, isto e, definı-lo operacionalmente.

Uma maneira de medir o tempo e utilizar algum fenomeno que se repete com certa regularidade dito periodico. A palavra ”relogio” pode ser adotada no sentido amplo, significando tanto os fenomenos periodicos utilizados para a medida do tempo, como os instrumentos construıdos para a mesma finalidade. O princıpio de funcionamento de um ”relogio” como instrumento e baseado nos fenomenos periodicos. Um dos primeiros ”relogios” que se conhece na historia da Humanidade e o nascer do Sol. Este fenomeno repete-se indefinidamente e a duracao entre dois eventos consecutivos do nascer do Sol e denominado dia. Surge uma questao importante neste ponto. Sera que a duracao dos dias e sempre a mesma? Na realidade, esta e uma questao importante para qualquer ”relogio”, nao se restringindo apenas ao dia. Tudo que se pode fazer e comparar com outros ”relogios” para tentar responder a esta pergunta. Tais comparacoes e as analises das leis que governam os fenomenos repetitivos dao subsıdios para se decidir, nao so esta questao, como o grau de confiabilidade dos ”relogios”. Observe, no entanto, que nao ha maneira de provar que a duracao dos perıodos de qualquer dos fenomenos repetitivos, onde se baseiam esses ”relogios”, e realmente constante. Dessa forma, apenas pode-se afirmar que um tipo de regularidade concorda com a de outro, ou nao, mediante comparacoes. Assim, do ponto de vista operacional, a definicao do tempo esta baseada na repeticao de algum tipo de evento que, aparentemente, e periodico.

O dia, acima citado, e devido a rotacao da Terra. Entao, o perıodo de rotacao da

Terra pode ser comparado com, por exemplo, o perıodo de revolucao da Terra ao redor do Sol, o da Lua em torno da Terra, o do Mercurio em torno do Sol etc. Observacoes muito precisas mostraram concordancia entre si desses outros fenomenos dentro de uma pequena margem de discrepancias. A partir destas comparacoes, detectou-se que o perıodo da rotacao da Terra tem pequenas irregularidades da ordem de uma parte em 108. Entao, o perıodo de rotacao da Terra, o dia, e um bom ”relogio” para muitos propositos.

Com o passar do tempo, a necessidade de se medir intervalos de tempo de duracao menor que a de um dia surgiu. Um dos mais antigos relogios, como instrumentos de medida de tempo, sao os relogios de sol. Basicamente, a projecao da sombra de uma estaca sobre uma escala graduada e o mecanismo de medida do tempo nesses relogios. Com os relogios solares, tornou-se possıvel medir uma fracao do dia com uma certa precisao. Entretanto, eles apresentavam o inconveniente de so funcionarem durante o dia e, dependendo da epoca do ano, de marcarem horas que diferem um pouco. Os clepsidras (relogios de agua) baseados no escoamento de agua, atraves de um orifıcio muito pequeno no fundo de um recipiente para um outro com uma escala graduada, ja eram usados pelos antigos egıpcios e babilonios. Eles permitiam medir o tempo correspondente a fracao do dia com uma precisao razoavel. Havia a vantagem de funcionar mesmo a noite. Com a descoberta do vidro, as ampulhetas (relogios de areia) que se baseiam num princıpio analogo foram desenvolvidas.

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