APOSTILA DE ELETROMAGNETISMO I 1

Este capítulo fornece uma introdução e uma recapitulação dos conhecimentos de álgebra vetorial, estando por isto numerado com o zero. Não faz parte de fato dos nossos estudos de eletromagnetismo, mas sem ele o tratamento dos fenômenos de campos elétricos e magnéticos torna-se mais complicado, uma vez que estes são resultados matemáticos de operações vetoriais.

Um exemplo prático de um sistema de coordenadas encontra-se numa carta geográfica onde um ponto é localizado em função da latitude e da longitude, isto é, medidas angulares que são tomadas em função de um referencial neste sistema plano. No espaço, um ponto também pode ser perfeitamente determinado quando conhecemos a sua posição em vista de um sistema de coordenadas. Particularmente no espaço tridimensional, um ponto é determinado em função de 3 coordenadas.

Os sistemas de coordenadas definem um ponto no espaço como fruto da intersecção de 3 superfícies que podem ser planas ou não. Vamos nos ater aqui a três tipos de sistemas de coordenadas: cartesianas, cilíndricas e esféricas.

Sistema de coordenadas cartesianas, também conhecido por coordenadas retangulares, define um ponto pela intersecção de 3 planos. Neste sistema um ponto P (x, y, z) é definido pela intersecção dos planos x, y e z constantes paralelos respectivamente ao plano y0z, ao plano x0z e ao plano x0y, conforme a figura 0.1. É o sistema (x, y, z).

Figura 0.1: o sistema de coordenadas cartesianas ou retangulares (x, y, z). IUNESP – Naasson P. de Alcântara Jr. – Claudio Vara de Aquino

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Sistema de coordenadas cilíndricas. Neste sistema de coordenadas o ponto P (r, φ, z) é determinado pela intersecção de uma superfície lateral cilíndrica de raio r constante e altura infinita, pelo semiplano φ constante (que contem o eixo z) e finalmente pelo plano z constante, como pode ser mostrado na figura 0.2. É o sistema (r, φ, z).

Figura 0.2: o sistema de coordenadas cilíndricas (r, φ, z)

Sistema de coordenadas esféricas que define um ponto P (r, θ, φ) na superfície de uma esfera de raio r constante centrada na origem, vinculando-o pela intersecção desta superfície com uma outra cônica θ (ângulo formado com o eixo y) constante e um semiplano φ (contendo o eixo z) constante, melhor esclarecido pela figura 0.3. É o sistema (r, θ, φ).

Figura 0.3: o sistema de coordenadas esféricas (r, θ, φ) IUNESP – Naasson P. de Alcântara Jr. – Claudio Vara de Aquino

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Muitas grandezas necessitam de uma direção e de um sentido além do valor e da unidade, ou seja, de sua intensidade para uma definição perfeita. Assim, definiremos os vetores como representantes de classes ou conjuntos de segmentos orientados com mesma intensidade ou módulo, direção e sentido no espaço. A figura 0.4 mostra um mesmo vetor representado por segmentos de retas de mesmo tamanho, mesma orientação e paralelas no espaço. vr

Figura 0.4: a classe de vetores vr no espaço

Trata-se de um vetor de módulo 1, com a direção de um dado vetor . Um vetor vavr é definido como múltiplo o submúltiplo de m vezes este versor e possui o mesmo sentido quando m for positivo ou o sentido oposto, caso m seja negativo. Assim, um vetor pode ser expresso como o produto de um versor por um escalar de modo que:

vaˆ vr

Outra forma de se indicar um versor é aquela que exprime a relação entre um vetor e o seu próprio módulo, isto é,

Se conhecermos o sistema de coordenadas, um ponto P pode ser localizado no espaço pelas componentes de um vetor posição que vai da origem deste sistema de coordenadas ao referido ponto. Trata-se de uma soma vetorial das componentes orientadas por seus versores.

Um vetor cuja origem coincide com a origem de um sistema de coordenadas cartesianas e com extremidade no ponto P pode ser dado por:

V r

Do mesmo modo o ponto P pode ser determinado nos sistemas cilíndrico e esférico sendo a soma vetorial das componentes dadas respectivamente por

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A figura 0.5 mostra os três versores aplicados em P. Os vetores unitários do sistema retangular apresentam direções fixas, independentemente do ponto P, o que não ocorre nos outros dois sistemas de coordenadas (exceto para o versor ), onde cada versor é normal à sua superfície coordenada, coerente com o sentido de crescimento de cada coordenada associada ao ponto P.

Figura 0.5: versores das componentes coordenadas.

PRODUTO ESCALAR É uma operação vetorial cujo resultado é um valor escalar, ou seja, uma grandeza algébrica; um valor numérico precedido de um sinal. O produto escalar entre dois vetores Ar e Br cujas direções formam um ângulo α entre eles é denotado por BA r⋅ cujo resultado é dado por:

Pela relação (0.6) observamos que o produto escalar entre dois vetores multiplica o módulo de um vetor pelo módulo da projeção do outro sobre ele. De acordo com a figura 0.6, em uma linguagem matemática podemos escrever:

O produto escalar resulta positivo quando o ângulo é agudo, nulo quando ele for reto e negativo quando o ângulo α entre os vetores for obtuso (90º < α < 180º).

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figura 0.6: o produto escalar entre Ar e Br .

Sendo o resultado de um produto escalar um valor algébrico, a propriedade comutativa pode ser assim verificada:

Sejam dois vetores em um sistema de coordenadas onde zzyyxxaAaAaAA++=r e zyx aBaBaBB ++=r . Considerando que o produto escalar entre dois versores paralelos possui módulo igual a 1 e que entre versores perpendiculares o resultado é nulo, o produto escalar será dado por

O quadrado do módulo de um vetor pode ser obtido a partir do produto escalar de um vetor por ele próprio. Assim,

O produto vetorial entre dois vetores Ar e Br , onde suas direções formam um ângulo agudo α entre eles, denotado por BA rr×, fornece como resultado um outro vetor com as características abaixo:

1. Intensidade: αsenABαsenB.ABA==×rrrr ;

2. Direção: perpendicular aos dois vetores Ar e Br ;

3. Sentido: o do avanço de um parafuso de rosca direita, fornecido pela regra da mão direita, na ordem em que se tomam os dois vetores.

Em linhas gerais o produto vetorial de dois vetores Ar e Br pode ser expresso na direção e sentido de um versor perpendicular a naAr e Br , cujo sentido é dado pela regra da mão direita e ilustrado na figura 0.7. Assim,

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Figura 0.7: o produto vetorial entre Ar e Br

Podemos também verificar sem nenhuma dificuldade que este produto não é comutativo e podemos escrever que se o versor estiver definido naˆ

Podemos observar na figura 0.5 que os versores das coordenadas são perpendiculares entre si em qualquer um sistema. Assim, cada versor pode ser estabelecido em função dos outros dois como resultado de um produto vetorial. Para um sistema de coordenadas cartesianas ou retangulares teremos:

yxz xzy zyx

Da mesma forma para um sistema de coordenadas cilíndricas:

φrz rzφ zφr

E para um sistema de coordenadas esféricas:

θrφ rφθ φθr

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Estas expressões mostram que cada versor pode ser determinado em função dos outros dois. Pela relação (0.12) verificamos que se invertermos a ordem dos versores no produto vetorial, teremos um versor negativo àqueles obtidos pelas relações (0.13), (0.14) e (0.15). Quaisquer dois vetores ou versores paralelos possuem o produto vetorial nulo, visto que sen 0 = sen π = 0.

Sistema cartesiano Tomemos um paralelepípedo elementar de arestas dx, dy e dz conforme a figura 0.8 (a), onde o seu volume dv é dado por

O elemento vetorial de linhaLd é dado pela soma vetorial de suas arestas dx, dy e dz orientadas pelos versores , e resultando na diagonal do paralelepípedo, de maneira que xa ya zaˆ

Figura 0.8: comprimentos, áreas e volumes elementares.

Sistema cilíndrico

Tomaremos agora um paralelepípedo curvilíneo cujas arestas serão dadas por dr, r.dφ e dz mostradas na figura 0.8 (b). Da mesma forma como procedemos no sistema retangular, o elemento de volume será

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E o comprimento elementar Ld será dado então pela soma de suas componentes dr, rdφ e dz orientadas pelos versores , e onde raφazaˆ

Sistema esférico

Considerando ainda um paralelepípedo curvilíneo de arestas dr, r.dθ e r.senθ.dφ mostradas na figura 0.8 (c), o elemento de volume será dado por

Logo, o comprimento elementar Ld será dado por

Os elementos de área, em qualquer dos três sistemas de coordenadas, podem ser determinados sem maiores dificuldades em qualquer sistema de coordenadas, uma vez que bastará multiplicar as arestas elementares que definem a superfície da face em questão.

As identidades vetoriais relacionadas abaixo podem ser provadas, embora algumas exijam do estudante um pouco de trabalho “braçal”. Simplificando, a notação vetorial é denotada apenas pelos vetores em letras maiúsculas, sem as setas, enquanto que os escalares serão representados por letras minúsculas.

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1) Encontre o vetor Ar que liga o ponto P (5, 7, -1) ao ponto Q (-3, 4, 1). Calcule também o vetor unitário ou versor associado ao vetor determinado por Ar .

2) Dados os pontos (5 m; π; 2 m) e (3m; -π/6; -2 m) em coordenadas cilíndricas, encontre o valor da distância entre eles.

, calcule os produtos escalar e vetorial entre eles.

, calcule o menor ângulo entre eles usando o produto vetorial e o produto escalar entre eles.

5) Use um sistema de coordenadas esféricas para calcular a área sobre uma casca esférica de raio r com α ≤ θ ≤ β. Qual o resultado quando α = 0 e β = π?

, calcule a projeção de Ar sobre a direção de Br .

7) Determine a expressão do produto vetorial entre Ar e Br num sistema cartesiano e mostre que ele pode ser calculado a partir do determinante de uma matriz 3 x 3.

8) Defina a condição de paralelismo entre dois vetores a partir do produto vetorial entre eles.

9) Obtenha a condição de ortogonalidade entre dois vetores. 10) Dado o plano A x + B y + C z = K, onde K é uma constante, obtenha o vetor nVr normal a este plano. Pode existir mais de uma solução?

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