Vetores - Problemas resolvidos

Vetores - Problemas resolvidos

(Parte 1 de 2)

Problemas Resolvidos VETORES

Atenção Leia o assunto no livro-texto e nas notas de aula e reproduza os problemas resolvidos aqui. Outros são deixados para v. treinar

PROBLEMA 1 Dois vetores, cujos módulos são de6e9u nidades de comprimento, formam um ângulo de (a) 0°,

(b) 60°, (c) 90°, (d) 150°, e (e) 180°. Determine o módulo da soma desses vetores e a direção do vetor resultante com relação ao menor vetor.

SOLUÇÃO Seja |a|  6 e |b|  9 e vamos escolher a direção Ox na direção e no sentido do vetor a.N aF igura1 , c  a  b, representa a soma dos vetores a e b,  é o ângulo entre esses vetores e  é a direção da resultante com relação vetor a (menor vetor). De acordo com o que vimos em classe, a soma de dois vetores, em termos das componentes, pode ser escrita como cx  ax  bx, cy  ay  by → c  cx i  cy j de onde podemos calcular a direção de c em relaçãoa oe ixo Ox, usando a expressão

Como a direção de Ox coincide com a direção do vetor a, o angulo  é também o ângulo entre o vetor resultante c eo vetor a, que o problema pede. Com base na figura, vamos calcular o vetor resultante c e sua direção em relação a a para cada um dos casos mostrados.

θ = 60ºθ = 90º θ = 150º α α αα = 180º ab c c b b c b y y y y y x x α = 0º i j

Figura 1 Representação geométrica de c  a  b (a) Componentes:

Logo,

(b) Componentes: Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física 1

Universidade Federal do Amazonas

Logo,

(c) Componentes:

Logo,

Logo,

(e) Componentes:

Logo,

PROBLEMA 2 Calcule o ângulo entre dois vetores, de módulos iguais a 10 e 15 unidades de comprimento, nos casos em que a soma desses vetores é (a) 20 unidades de comprimento e (b) 12 unidades de comprimento. Desenhe uma figura apropriada.

SOLUÇÃO Seja |a|  10 e |b|  15, e  o ângulo entre os dois vetores que queremos calcular. Vamos escolher o

Notas de Aula de Física I Vetores - Problemas Resolvidos 2

Universidade Federal do Amazonas eixo Ox na direção e sentido do vetor a, de modo que ax  a  10 e ay  0. Assim

Assim, substituindo os valores na última equação, encontra-se

b2  3,75 i − 14,5 j Para calcular o ângulo  entre os dois vetores, basta calcular o ângulo entre o vetor b eoe ixo Ox. Assim,

b c

|c| =20 y x

(b) Faça este ítem, seguindo o mesmo procedimento de (a). ★★★

Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física 3

Universidade Federal do Amazonas

PROBLEMA 3 Dois vetores formam um ângulo de 110°. Um dos vetores é de 20 unidades de comprimento e faz um ângulo de 40° com o vetor resultante da soma dos dois. Determine o módulo do segundo vetor e do vetor soma.

SOLUÇÃO Vamos supor que c  a  b e que |a|  20, fazendo um ângulo   40º com o vetor resultante c. Escolhendo o eixo Ox na direção e sentido do vetor a então o ângulo entre o vetor b e ste ixov ale   110º (o mesmo que entre a e b.

θ = 110º a x α = 40º

Figura 3

 Cálculo do módulo do vetor b Da mesma forma,  é o ângulo entre o vetor c eoe ixo Ox (Figura 3). Em termos das componentes:

Para   40º, e como sabemos que

queéom ódulo do vetor b.

PROBLEMA 4 O vetor resultante de dois outros é de 10 unidades de comprimento e forma um ângulo de 35° com um dos vetores componentes, que é de 12 unidades de comprimento. Determine o módulo do outro vetor e o ângulo entre os dois.

SOLUÇÃO Seja c  a  b e |c|  10. Vamos escolher |a|  12 eoe ixo Ox na direção e sentido deste vetor. Assim, o vetor resultante c faz um ângulo   35° com o vetor a e, por construção, com o eixo Ox. Da mesma forma,  éo ângulo entre a e b e também o ângulo entre b eoe ixo Ox (direção de b (Figura 4). As componentes desses vetores são :

Notas de Aula de Física I Vetores - Problemas Resolvidos 4

Universidade Federal do Amazonas x α = 35º

Figura 4

 Cálculo do ângulo  entre os vetores a e b Mas, como conhecemos o móduloead ireção de c, podemos calcular suas componentes, ou seja,

 Cálculo do módulo do vetor b Com o ângulo  agora podemos calcular b usando a expressão para c

Esta equação do segundo grau tem duas iguais, b  6,7 queéom ódulo do vetor, que procuramos. ★★★

PROBLEMA 5 Determine o ângulo entre dois vetores, de8e1 0u nidades de comprimento, quando o vetor resultante faz um ângulo de 50° com o vetor maior. Calcule, também, o módulo do vetor resultante.

SOLUÇÃO Faça este problema; é similar ao anterior. ★★★

PROBLEMA 6 A resultante de dois vetores é de 30 unidades de comprimento e forma, com eles, ângulos de 25° e 50°. Determine os módulos dos dois vetores

SOLUÇÃO Resolva este problema; é similar aos anteriores. ★★★

Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física 5

Universidade Federal do Amazonas

PROBLEMA 7 Determine as componentes ortogonais de um vetor de 15 unidades de comprimento que forma um ângulo, com o eixo Ox, positivo, de (a) 50°, (b) 130, c) 230° e (d) 310°.

(Parte 1 de 2)

Comentários