Capıtulo 1 Vetores

1.1 Segmentos

1.1.1 Segmento Orientado

O segmento orientado e formado por um conjunto de pontos que estao sobre a reta suporte r e entre os pontos A, denominado origem, e B denominado extremidade; Este segmento e representado por AB, sendo geometricamente indicado por:

1.1.2 Comprimento do Segmento

O comprimento de um segmento e a medida do segmento em relacao a uma unidade de medida pre-fixada. AB = BA = 5u.c.

1.1.3 Direcao do Segmento Dois segmentos orientados, nao nulos, tem a mesma direcao se as retas suporte sao paralelas.

1.1.4 Sentido do Segmento

Dois segmentos AB e CD, distintos e nao nulos, tem mesmo sentido caso os segmentos AC e BD tenham intersecao vazia.

1.1.5 Segmentos Equivalentes

Dois segmentos sao equivalentes ou equipotentes quando tem a mesma direcao, mesmo sentido e o mesmo comprimento.

1.1.6 Propriedades i) AB ∼ AB i) Se AB ∼ CD, entao CD ∼ AB i Se AB ∼ CD e ED ∼ EF, entao AB ∼ EF iv) Seja o segmento orientado AB e comprimento C, existe um unico ponto D tal que AB ∼ CD

Vetor e o conjunto de todos os segmentos orientados equivalentes, sendo representado por letras minusculas encimadas por uma seta.

1.2.1 Vetor Oposto

Dado o vetor →

AB o vetor oposto a →

AB e um vetor que possui sentido inverso a → AB, ou seja:

AB ou - → AB

1.2.2 Modulo de um Vetor

O modulo ou norma de um vetor ~v = (x,y) e o comprimento do segmento orientado, sendo representado por |~v| e definido por:

seja ~v um vetor no R3 entao:

1.2.3 Vetor Unitario Vetor unitario e o vetor que possui |~v| = 1

1.2.4 Igualdade de Vetores Dois vetores sao iguais quando possuem todas as suas coordenadas correspondentes iguais.

O versor do vetor ~v(x,y,z) e um vetor ~w que possui mesma direcao e sentido de ~v, porem de modulo 1, Podemos definir o versor do vetor ~v pela seguinte relacao:

1.3 Operacoes com Vetores

1.3.1 Multiplicacao de um Vetor por uma Constante

Seja o vetor ~v = (x,y) entao a multiplicacao de ~v por uma constante k com a operacao usual sera dada por:

Se considerarmos ~w = k.~v entao:

• Se k > 0, ~w possui a mesma direcao e sentido de ~v, com modulo correspondente a k vezes o comprimento de ~v.

• Se k < 0, ~w possui a mesma direcao de ~v e o sentido oposto, com modulo correspondente a k vezes o comprimento de ~v.

• Se k = 0, w sera o vetor nulo.

Da mesma forma, se considerarmos o vetor ~v = (x,y,z) um vetor em R3 e k uma constante teremos: k.~v = k.(x,y,z) = (kx,ky,kz)

Geometricamente o vetor soma e representado pelo vetor diagonal do paralelogramo construıdo a partir de ~v e ~u.

Propriedades

Estas propriedades caracterizam certos conjuntos denominados espacos vetoriais, que apesar de terem naturezas diferentes dos vetores no espaco, comportam-se como eles.

Nota: Alguns autores consideram a operacao de subtracao de vetores, que nada mais e que a soma de um vetor ~v ao vetor oposto de ~u, sendo a mesma definida por:

1.4 Condicao de Paralelismo de Vetores

Isto e, dois vetores sao paralelos quando suas coordenadas sao proporcionais, sendo que esta condicao e representada por ~v//~u.

2. Determinar o modulo do vetor resultante da soma do vetor ~v = (2,−6,5) ao vetor oposto de ~w = (1,−5,3)

3. Dados os pontos A(3,2) e B(−1,5) determine o versor do vetor → AB.

Capıtulo 2 Produto de Vetores

2.1 Produto Escalar O produto escalar entre dois vetores v e w e representado por v.w e e dado por:

Propriedades do Produto Escalar.

2.1.1 Angulo entre dois vetores

Estudo de Caso:

2.1.2 Angulos diretores e cossenos diretores de um vetor

Angulos diretores de ~v sao os angulos α,β e γ que ~v forma com os vetores~i,~j e ~k respectivamente. Os cossenos diretores de ~v sao os cossenos de seus angulos diretores, isto e, cosα, cosβ e cosγ. Para obte-los usamos as seguintes formulas:

2.2 Produto Vetorial O produto vetorial entre dois vetores ~u e ~v e representado por ~u ×~v e e definido por:

Se devolvermos a expressao teremos:

2.2.1 Propriedades do Produto Vetorial

As propriedades do produto vetorial estao indiretamente relacionadas com propriedades dos determinantes.

2.2.2 Interpretacao geometrica do modulo do produto vetorial de dois vetores

Geometricamente, o modulo do produto vetorial dos vetores ~u e ~v mede a area do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores ~u = ~AB e ~v = ~AC.

2.3 Produto Misto O produto misto entre os vetores ~u, ~v e ~w e um numero real representado por (~u,~v, ~w) e definido por:

2.3.1 Propriedades do produto misto i)(u,v,w) = 0 a) se um dos vetores e nulo, b) se dois deles sao colineares, c) se os tres sao coplanares.

Prova, se ~u e ~v × ~w sao ortogonais entao u.(v × w)=(u,v,w) = 0. Devemos perceber que ~v e ~w e ortogonal ao plano ~v que contem, logo se ~u e ortogonal a (~v × ~w) entao ~u tambem pertence a ~v, sendo assim: ~u, ~v e ~w sao coplanares.

2.3.2 Interpretacao geometrica do modulo do produto misto

Geometricamente o modulo do produto misto ~u.(~v × ~w) e igual ao volume do paralelepıpedo de arestas determinadas pelos vetores ~u, ~v e ~w.

V=(area base).h

2.4 Lista de Exercıcios

1. Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor ~v = (2,−5), sabendo que sua origem e o ponto A(−1,3)

(a) Os pontos A,B e C sao vertices de um triangulo? (b) Determine D de modo que ABCD seja um paralelogramo

13. De exemplo de dois vetores unitarios que tenham a mesma direcao que ~v = −3~i +~j − 4~k. 14. Mostre que para quaisquer vetores ~a,~b e ~c, os vetores ~a +~b, ~a +~c e ~c −~a sao coplanares.

17. Verificar se sao unitarios os seguintes vetores: ~u(1,1,1) e ~v = (

21. Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistante dos pontos A(2,−3,1) e B(−2,1,−1).

35. Qual o comprimento do vetor projecao de ~u = (3,5,2), sobre o eixo dos x?

42. Calcular, a area do paralelogramo definido pelos vetores ~u = (3,1,2) e ~v = (4,−1,0). 43. Calcular a ara do triangulo de vertices

45. Verificar se sao coplanares os seguintes vetores:

46. Verificar se sao coplanares os pontos:

54. Calcule a area (usando produto vetorial) e a medida do angulo interno oposto ao maior lado do triangulo PQR onde P = (0,0,0), Q = (6,0,0) e R = (3,4,0).

56. Mostre que se ~u for ortogonal a ~v − ~w e ~v for ortogonal a ~u −~v, entao ~w e ortogonal a ~u −~v.

57. Determine x de modo que o volume do paralelepıpedo com arestas definidas pelos vetores ~a = −2~i + x~j, ~b = x~i −~j +~k, ~c =~i +~k, seja igual a 2 unidades de volume.

59. Considerando um triangulo com lados definidos por ~a,~b e ~c = ~a −~b, mostre o resultado conhecido como Lei dos Cossenos:

60. Um vetor ~v de comprimento 5 tem dois de seus cossenos diretores dados por cosα = 13 e cosβ = 14, onde α = (~v,~i) e β = (~v,~j). Determine as coordenadas de ~v na base canonica do <3.

AB e → AC, nao sao colineares, os pontos formam um triangulo

53. Demonstracao

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