Problemas Resolvidos de Cinemática de Física

Problemas Resolvidos de Cinemática de Física

(Parte 1 de 2)

Exercícios de Cinemática 1. Movimento rectilíneo com dependência em t

Determine: a) a velocidade média do corpo entre os instantes 2t=s e 5t=s; b) a expressão geral da velocidade; c) a velocidade no instante s; 1t= d) as posições em que a velocidade se anula; e) a aceleração média do corpo entre os instantes 1t=s e 4t=s; f) a expressão geral da aceleração; g) a aceleração no instante s; 3t= h) os intervalos de tempo em que o movimento é acelerado ou retardado.

a) as dimensões das constantes numéricas; b) a expressão geral da velocidade; c) a expressão geral da aceleração; d) os instantes em que o corpo passa pela origem; e) a posição do corpo nos instantes em que a velocidade se anula; f) a distância percorrida pelo corpo ao fim de 5 segundos.

1.3. A aceleração de um corpo em movimento rectilíneo é directamente proporcional ao tempo. Para 0t=s, a velocidade do corpo é ()01vt6==−m⋅s−1. Sabendo que a velocidade e a coordenada de posição são nulas quando s, determine a aceleração, velocidade e posição do corpo num instante genérico. 4t=

Resolução A aceleração é proporcional ao tempo,

()40xt==m Para determinar o valor da constante k,

ou seja

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e a velocidade é

3 ttx t xtdxvv dt dx t dt dx t t xdt

1.4. Considere uma partícula que se desloca em movimento rectilíneo com uma velocidade dada por

a) a aceleração; b) a posição para qualquer instante; c) o tempo que a partícula demora a parar.

Resolução a) A aceleração obtém-se por derivação da velocidade

2 xt t ttdx v dxv dt dx ed t x t edt c) A partícula pára quando a sua velocidade se anula. Se for T o instante em que a velocidade se anula deve ter-se

referencial, determine: a) a lei de velocidade num instante genérico; b) a posição em qualquer instante; c) a distância percorrida entre os instantes 1t=s e 2t=s.

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Exercícios de Cinemática

a) o valor das constantes k1 e k2 e respectivas unidades; b) a lei da velocidade e a lei do movimento; c) a distância total percorrida ao fim de 4 s.

Resolução a) Comecemos por obter a lei da velocidade

kvtktt⇒=−

kvk k k kvk b) Usando os valores das constantes na expressão da velocidade vem

Por integração e sabendo que no instante inicial a partícula se encontra na origem do referencial, obtém-se a lei do movimento

c) Primeiro temos de verificar se há inversão no sentido do movimento até ao instante s. Para haver inversão do sentido do movimento é necessário que o sinal da velocidade mude, e deve portanto anular-se. Como a velocidade se anula para

1t=s e muda de sinal, há inversão no sentido do movimento e a distância total percorrida é

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Exercícios de Cinemática

1.9. A aceleração de um corpo com movimento rectilíneo segundo a direcção Oz é dada por ()atgt=−, onde g é uma constante, e a sua posição inicial é ()0zh=. Determine o instante em que o corpo passa pela origem do referencial e a sua velocidade nesse instante para os diferentes casos em que a velocidade inicial é:

a) ; 00v= b) , com k uma constante positiva; 0vk= c) , com k uma constante positiva. 0v=−k

1.10. Um corpo movendo-se com velocidade inicial de 3 m⋅s−1, é submetido a uma aceleração constante de 4 m⋅s−2 com o sentido oposto ao da velocidade. Qual a velocidade do corpo e a distância percorrida após 20s.

2. Movimento rectilíneo com dependência em v

2.1. Um ponto material em movimento rectilíneo está sujeito a uma força de atrito proporcional à velocidade,

a) A distância percorrida até o ponto material atingir o repouso. b) O tempo necessário para a velocidade se reduzir a 1% do seu valor inicial.

Resolução a) A aceleração é 3av=− e no instante inicial

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Exercícios de Cinemática

1 ln

3 tv t tv tdv dvad t dt dv t v

60 20 tx t t xttt

x dxvv dt dx e dt dx e xdt

Como a velocidade é sempre positiva, o ponto material nunca inverte o sentido do movimento e a distância percorrida ()dt no instante t é

ou seja, embora nunca pare, a distância máxima que o ponto material percorre é de 20 metros. b) Seja τ o instante em que a velocidade se reduz a 1 % do seu valor inicial. Tem-se

2.2. Um corpo executa um movimento rectilíneo com aceleração dada por ()2avkv=−. Sabendo que em

−1, determine: a) a constante k; b) a posição da partícula quando m⋅s6v=−1; c) o valor máximo da velocidade.

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Exercícios de Cinemática 3. Movimento rectilíneo com dependência em x

as posições xA e xB. Determine: a) o valor de k;

a) a velocidade quando ; 5x= b) a posição onde a velocidade se anula novamente; c) a posição onde a velocidade é máxima e o valor da velocidade.

3.3. Considere uma grelha difusora de ar. A velocidade do ar é dada por 0()kvvxx =, em que k é uma constante, x representa a posição do ar relativamente à grelha difusora e v0 é a velocidade em 0xk=.

b) a posição em função do tempo, supondo que 00t=s; c) a velocidade em função do tempo; d) a velocidade e posição no instante 2t=s.

3.4. Um corpo ligado a uma mola, oscila num plano horizontal sem atrito. O corpo passa em 0Ax=m com

Resolução A aceleração é akx= e as condições iniciais são

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Exercícios de Cinemática dv dv dxa a x a x dx vdv kxdx vdv

b) a velocidade da partícula quando esta percorreu a distância de 15 metros; c) a distância máxima da partícula à origem.

a) a velocidade como função de x: ()vfx=; c) a lei do movimento; d) a lei da velocidade.

3.7. A aceleração dum ponto material é dada por ax=−2532. Sabendo que parte do repouso para x=0, determine: a) a velocidade após ter percorrido 2 m; b) a posição onde a velocidade se anula; c) a posição onde a velocidade é máxima.

b) a posição onde a velocidade se anula novamente; c) a posição onde a velocidade é máxima e o valor da velocidade.

3.9. Um ponto material desloca-se no sentido positivo do eixo dos x, sendo a sua aceleração dada por

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Exercícios de Cinemática 4. Movimento rectilíneo – outros problemas

4.1. Uma tartaruga veloz corre a 10 cm⋅s−1 e uma lebre é 20 vezes mais rápida. Numa corrida, ambas partem no mesmo instante, mas a lebre pára para descansar 2 min, acabando a tartaruga por ganhar por 20 cm. Quanto tempo durou a corrida e qual a sua extensão?

4.2. Um automobilista desloca-se a 80 km⋅h−1 quando observa que o semáforo, a 250 m, passa a vermelho. O semafóro está regulado de tal modo que o vermelho permanece 15 segundos. Se o motorista quiser passar sem precisar de parar no momento em que o sinal passa verde, determine a desaceleração constante que deverá imprimir ao carro, e a velocidade do carro ao passar pelo semáforo.

4.3. Qual o tempo necessário para um automóvel que se desloca a 60 km/h, ultrapassar outro automóvel com velocidade de 40 km/h se estiverem a uma distância de 100 m.

4.4. Dois automóveis A e B estão inicialmente distanciados 9 m. A está a deslocar-se com velocidade constante de 8 m⋅s−1 e B inicia o seu movimento com uma aceleração de 2 m⋅s−2 com o objectivo de atingir o carro A (os movimentos de A e B são rectilíneos). a) Qual a lei do movimento e a lei da velocidade de cada carro. b) Ao fim de quanto tempo os dois carros têm a mesma velocidade. c) Ao fim de quanto tempo o carro B atinge o carro A. d) Represente graficamente a velocidade e a posição de cada carro.

4.5. Os móveis A e B inicialmente a uma distância de 3 m, executam movimentos rectilíneos de acordo com as velocidades vt e respectivamente. Determine: A=+2vB=−6t a) ao fim de quanto tempo os móveis têm a mesma velocidade. b) o instante em que os móveis se encontram supondo que A se encontra inicialmente à frente de B; c) o instante em que os móveis se encontram supondo que B se encontra inicialmente à frente de A. d) Represente graficamente as situações correspondentes às alíneas anteriores.

5. Movimento curvilíneo (sem integração)

a) Escreva a equação cartesiana da trajectória e represente-a graficamente. b) Escreva a expressão dos vectores velocidade e aceleração. c) Represente sobre o gráfico da trajectória os vectores velocidade e aceleração no instante 0t=.

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Exercícios de Cinemática d) Mostre que em qualquer instante o vector aceleração tem o sentido oposto ao de r. G

Resolução a) Usando as equações paramétricas obtém-se a equação cartesiana do movimento

b) Os vectores velocidade e aceleração são

d) A aceleração é

a) Represente graficamente a trajectória. b) Escreva a expressão analítica de v e GaG e determine as suas normas.

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Exercícios de Cinemática c) Classifique o movimento.

d) Calcule o espaço percorrido durante os primeiros 5 segundos.

os vectores velocidade e aceleração e os seus módulos no instante 2t=πs.

5.4. Seja ()22xyrttutu=+G o vector que define a trajectória de uma partícula. Para o instante s, calcule a velocidade, a aceleração e as componentes tangencial e normal da aceleração.

a) o vector velocidade e o seu módulo; b) o vector aceleração e o seu módulo; c) Represente graficamente o vector posição, a velocidade e a aceleração em cada eixo, até s. 6t= d) Indique o tipo de movimento a que está sujeito o corpo, em cada um dos eixos, até s. 6t=

a) o vector unitário ; tuG b) o raio de curvatura; c) a normal principal nuG

5.7. As equações paramétricas do movimento de uma partícula são xt yt

Determine, no instante s, a velocidade, a aceleração, a aceleração tangencial, a aceleração normal e o raio de curvatura da trajectória. 2t =

5.8. A equação vectorial do movimento de uma partícula é

a) Obtenha a equação da trajectória da partícula. Represente-a graficamente, assinalando o ponto onde se inicia o movimento. b) Verifique que o movimento é periódico. Em 10 s, quantas vezes a partícula percorre a sua trajectória? c) Obtenha a expressão da velocidade da partícula, representando-a graficamente da trajectória, entre os instantes e s. O movimento processa-se no sentido directo ou retrógrado? 0t=2t=

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Exercícios de Cinemática d) Mostre que a aceleração da partícula é sempre dirigida para a origem do referencial e que o seu módulo é proporcional à distância a que a partícula se encontra da origem do referencial.

5.9. As equações paramétricas do movimento de uma partícula são dadas por:

a) Escreva a equação da trajectória da partícula e represente-a graficamente. b) Determine as leis de velocidade e aceleração. c) Mostre que e represente graficamente o vector aceleração nos pontos A e B definidos por a=−GrG

20Ayru=G e . 10Bxru=G d) Escreva as componentes normal e tangencial da aceleração nos pontos A e B. Justifique.

nas quais x e y são expressos em metros, e t em segundos. Determine: a) as expressões da velocidade e da aceleração da particula; b) o instante para o qual a aceleração é nula; c) a intensidade da menor velocidade alcançada pela partícula.

Resolução a) O vector posição escreve-se t trt t u u

Derivando em ordem a t obtém-se o vector velocidade dr t ttvt t u t u

e derivando uma vez mais, obtém-se o vector aceleração

12 x y dv t ttat u udt b) A aceleração é nula no instante T para o qual

c) A intensidade da velocidade é

4 8 t tvt t t t t t e será máxima (ou mínima) no instante τ em que a derivada de v(t) (no fundo a aceleração tangencial) se anula,

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Exercícios de Cinemática

8 dv t dt t t

A única raíz do polinómio é , e nesse instante a intensidade da velocidade é 2τ=

Nesse instante a velocidade é mínima (e não máxima) porque podemos comparar esse valor com o da velocidade em qualquer outro instante, por exemplo 0t=

5.1. Uma partícula move-se de modo que as suas coordenadas, como funções do tempo são dadas por xt v t

a) Faça os gráficos de x e y como funções de t. b) Faça o gráfico da trajectória da partícula. c) Calcule os módulos da velocidade e da aceleração como funções do tempo.

5.12. O movimento de um ponto material é definido pelas equações:

a) Faça a representação gráfica da trajectória do ponto material. b) Escreva a lei do movimento sobre a trajectória. c) Indique o valor máximo da velocidade e da aceleração, e as posições onde esses valores se verificam.

5.13. Uma partícula move-se segundo a equação

( ) ( ) ( )cos sinx yrt A t u B t u=α + αG G onde A e B são constantes. a) Represente graficamente a trajectória da partícula, indicando a posição inicial. b) Classifique o movimento. Em que instantes há inversão do sentido do movimento? c) Mostre que a aceleração aponta para a origem e é proporcional a rG.

6. Movimento curvilíneo (com integração) M. Faria – Dez 2007 12/31

Exercícios de Cinemática

6.1. A velocidade de uma partícula é dada por ()6cos26sin2xyvttutu=−G. No instante , a partícula encontra-se na posição 0t =

a) Escreva a lei vectorial do movimento e classifique-o. b) Represente graficamente a trajectória e as grandezas rG, vG e aG para 2t=π.

c) Escreva a lei do movimento sobre a trajectória. d) Mostre que se trata de um movimento periódico e determine o seu período.

Resolução a) Dado o vector velocidade

() 6cos2 6sin2x yv t tu tu=−G G 3 o vector posição obtém-se por integração do vector velocidade

c c donde, a lei do movimento é

( ) 3sin 2 3cos2x yrt tu tu=+G G

Trata-se de um movimento circular no plano xOy (como veremos na alínea seguinte) e uniforme pois o módulo da velocidade é constante

e portanto a componente normal da aceleração é constante

e trata-se pois de um movimento circular e uniforme. b) Usando as equações paramétricas e eliminando t obtém-se a equação da trajectória

3cos2 xt t xy

Esta última equação é a equação da circunferência centrada na origem e de raio 3. Quanto à aceleração ela é

No instante 2t=π, os vectores posição, velocidade e aceleração são

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Exercícios de Cinemática

c) A lei do movimento sobre a trajectória é dada por

d) Por definição o movimento diz-se periódico se

xt x t T t t T rt rt T T

6.2. Um corpo desloca-se à velocidade 1,5 m⋅s−1 na direcção e sentido do semi-eixo positivo Oy. Ao passar pela origem (semi-espaço ) o corpo fica sujeito a uma aceleração de 5 m⋅s0x≥−2 na direcção e sentido do semi-eixo positivo Ox. Determine:

a) a equação da trajectória; b) o módulo da velocidade em s; 1t= c) as componentes normal e tangencial da aceleração, e o raio de curvatura em s. 1t=

Resolução a) Começando a contagem do tempo no instante em que o corpo passa na origem, trata-se de um movimento com aceleração

()5xatu=G e com as condições iniciais

tv t x u dva adt dv u dt dv tu v t udt tr t x yxdrv vdt dr tu u dt dr r t t u tudt =⇒ = ⇒ + = ⇒ = +∫∫ yGG

G (m)

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Exercícios de Cinemática A equação da trajectória obtem-se partindo das equações paramétricas e eliminando o parâmetro t

b) No instante s, 1t=

t dv d tat

vtvat

6.3. Uma partícula desloca-se com aceleração constante 4yau=−G. A posição e a velocidade iniciais são

a) Escreva a equação cartesiana da trajectória, representando-a graficamente. Represente os vectores velocidade e aceleração no instante 1t=.

b) Classifique o movimento, justificando. c) Há inversão no sentido do movimento? Em caso afirmativo, quando? d) Escreva a lei do movimento sobre a trajectória.

Resolução a) Por sucessiva integração do vector aceleração

4yau=−G e usando as condições iniciais

obtém-se o vector velocidade

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As equações paramétricas do movimento são

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