Provas de Matemática do IME

Provas de Matemática do IME

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AM atematica no Vestibular do IME

c©2006, Sergio Lima Netto sergio n@ ps.ufrj.br

A origem deste material talvez remonte a 1984/1985, quando fiz o vestibular do IME sem a preparacao adequada e fui reprovado, como seria de se esperar. Particularmente, a prova de Geometria do IME sempre foi um grande desafio, me atraindo pela beleza e dificuldade de seus problemas e principalmente pela elegancia e plasticidade das respectivas solucoes.

Em 2004, me deparei com a lista de discussao da Sociedade da OBM (Olimpıada Brasileira de Matematica). Nesta lista, moderada pelo Prof. Nicolau C. Saldanha da PUC-RJ, algumas pessoas que sempre admirei colabora(va)m com curiosos, amadores e estudantes na solucao de problemas de Matematica. Fiquei surpreso como alguns conhecidos matematicos participavam ativamente e apaixonadamente das discussoes. Observei tambem um grande interesse da comunidade pelos problemas de Matematica do vestibular do IME, principalmente os mais antigos. Foi neste contexto que resolvi dar minha contribuicao, organizando este material com as provas antigas que tinha, disponibilizando-as para todos os interessados da lista.

Ap rimeira versao tinha apenas alguns enunciados de provas, mas a resposta inicial foi bastante positiva.

Usando este interesse como motivacao, novas versoes vieram, corrigindo e complementando as versoes anteriores. Passei a receber significativo material (solucoes alternativas, correcoes para algumas das minhas solucoes, novos enunciados de provas, por exemplo) de diversos colaboradores. Em algum momento, o material passou a ter vida propria, requerendo cada vez mais atencao para continuar crescendo de forma saudavel. Algumas versoes intermediarias representaram grandes avancos na incorporacao das solucoes das provas de Algebra, numa primeira fase, e, posteriormente, de Geometria. Para a versao 9, foi feita uma grande pesquisa junto aos arquivos do proprio IME. Conseguimos, com a ajuda do sub-tenente Petrenko e sua equipe, complementar bastante o material. Infelizmente, porem, alguns anos ficaram faltando. Nesta versao 10, temos um total de 97 provas, sendo que 46 delas com solucoes.

Cabe dizer que este material nao tem a pretensao de ensinar Matematica. E, talvez, um bom apoio no exercıcio desta disciplina, para que se apliquem os conhecimentos adquiridos em bons livros e principalmente com a ajuda de bons professores. Como sempre, realimentacoes positivas sao bem-vindas. Vocep ode entrar em contato comigo pelo email sergio n@ ps.ufrj.br. Ep ossıvel que uma versao mais nova deste material possa ser encontrada no endereco eletronico w.lps.ufrj.br/sergioln/ime.

Agradecimentos a todos que tem contribuıdo para a elaboracao deste texto. Agradecimentos especiais a Onan Neves, Claudio Gustavo, Caio S. Guimaraes, Alessandro J. S. Dutra, Paulo Abreu, sub-tenente Petrenko (do IME-RJ) e Claudio Gomes que entenderam o espırito deste material e enviaram enunciados de diversas provas.

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• As figuras dos enunciados foram mantidas como no original. Assim, a notacao destoa da notacao usada no texto que foi uniformizada.

• Em relacao a algumas solucoes, credito ed evidoa :

– Jean-Pierre, Eric e Francisco Javier Garcıa Capitan, via Luıs Lopes: [1985/1986 (geometria), 6a, item (b)];

– Algumas correcoes das solucoes me foram apontadas por Caio S. Guimaraes (diversas!), Douglas Ribeiro, Jair Nunes, Arthur Duarte, Estude+ e Cesario J. Ferreira.

Nesta decima versao, foram feitas as seguintes modificacoes:

• Os enunciados das provas de algebra de 1975/1976 e 1976/1977 foram incluıdos, cortesia de Claudio

Gomes. • Os enunciados e solucoes das provas de 2006/2007 foram incluıdos.

• Como sempre, inumeras correcoes do texto foram implementadas.

Na nona versao, foram feitas as seguintes modificacoes:

• Os enunciados das provas de 1949/1950 a 1959/1960 e de 1963/1964 a 1972/1973 foram incluıdos e/ou corrigidas. • As solucoes das provas de geometria 1977/1978 e 1978/1979 foram incluıdas.

Na oitava versao, foram feitas as seguintes modificacoes: • O enunciado da prova de geometria de 1978/1979 foi incluıdo, cortesia de Paulo Abreu.

• As olucao da prova de algebra de 1978/1979 foi incluıda.

Na setima.(b) versao, foram feitas as seguintes modificacoes: • As solucoes das provas de geometria de 1979/1980 a 1990/1991 foram incluıdas.

• As olucao da prova de algebra de 1978/1979 foi incluıda.

• As provas de 1994/1995 (militar) e 2005/2006 foram incluıdas com solucao.

• A separacao das sılabas foi feita para a lıngua portuguesa.

Na sexta versao, foram feitas as seguintes modificacoes: • A prova de 1979/1980 (algebra) foi incluıda.

• As solucoes das provas de algebra de 1979/1980 a 1990/1991 foram incluıdas.

• A notacao foi uniformizada.

Na quinta versao, foram feitas as seguintes modificacoes: • As provas de 1977/1978 (algebra), 1978/1979 (algebra), 1981/1982 (algebra) foram incluıdas.

• A prova de 1988/1989 (algebra) foi completada.

Na quarta versao, foram feitas as seguintes modificacoes: • As provas de 1888/1889 (algebra e geometria) foram incluıdas.

• A prova de 2004/2005 foi incluıda com solucao.

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Enunciados

Algebra Geometria

Matematica

Objetiva Matematica 2006/2007 X X

(*1): As provas de Algebra e Calculo foram realizadas separadamente. (*2): Houve prova de Desenho Tecnico, nao incluıda neste material. (*3): As provas de Geometria e Trigonometria foram realizadas separadamente. (*4): Houve prova de Desenho Geometrico, nao incluıda neste material. (*5): Foi incluıdaap rova do CicloB asico para alunos militares.

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onde z e w representam, respectivamente, os numeros complexos conjugados de z e w.O valor de z + w e:

2a Questao [Valor: 0,25] Seja N um numero inteiro de 5 algarismos. O numero P ec onstruıdo agregando-se o algarismo 1 ad ireita de N eo numero Q ec onstruıdo agregando-se o algarismo 1ae squerda de N. Sabendo-se que P e o triplo de Q, o algarismo das centenas do numero N e:

3a Questao [Valor: 0,25] Um quadrado de lado igual a um metro e dividido em quatro quadrados identicos. Repete-se esta divisao com os quadrados obtidos e assim sucessivamente por n vezes. A figura abaixo ilustra as quatro primeiras etapas desse processo. Quando n →∞ , a soma em metros dos perımetros dos quadrados hachurados em todas as etapas e:

Primeira etapa Segunda etapa Terceira etapa Quarta etapa

Se r1 e r2 sao raızes reais distintas de x2 + px +8 = 0, e correto afirmar que:

Sendo b1, b2 e b3 valores reais quaisquer, a condicao para que o sistema possua solucao unica e:

6a Questao [Valor: 0,25] Seja f : R → R, onde R e o conjunto dos numeros reais,

(D) 1

7a Questao [Valor: 0,25] Um grupo de nove pessoas, sendo duas delas irmaos, deveraf ormar tres equipes, com respectivamente dois, tres e quatro integrantes. Sabendo-se que os dois irmaos nao podem ficar na mesma equipe, o numero de equipes que podem ser organizadas e:

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8a Questao [Valor: 0,25] Seja a matriz D dada por:

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