Exercícios Resolvidos - Geometria Métrica Plana 01

Exercícios Resolvidos - Geometria Métrica Plana 01

(Parte 1 de 2)

112 Matemática

1(Faap-SP) O proprietário de uma área quer dividi-la em três lotes, conforme a figura.

a b cRua B

Sabendo-se que as laterais dos terrenos são paralelas e que a 0 b 0 c = 120 m, os valores de a, b e c, em metros, são, respectivamente:

a)40, 40 e 40c)36, 64 e 20e)30, 46 e 4 b)30, 30 e 60d)30, 36 e 54 Devemos ter:

ab c

Daí, obtemos: a = 30 m, b = 36 m e c = 54 m.

De e , obtemos:12 ab c ab c ab c00

4(UFSC) Na figura abaixo, o é paralelo a 3. Nessas condições, determine o valor de x 0 y.

Os triângulos ACB e DEB são semelhantes. Logo: Logo: x 0 y = 20 0 9 = 29

2 (MACK-SP)

Na figura acima, os ângulos assinalados são iguais, AC = 2 e AB = 6. A medida de 2 é:

a) 65b) 74c) 95d) 32e) 5 4

Os triângulos AEB e DCB são semelhantes.

Do enunciado, temos a figura:

A6 B

3(ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, ao seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,0 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:

a)30 cmc)50 cme)90 cm b)45 cmd)80 cm

60 cm = 0,6 m Antes

Depois

=Θ =s s m ou cm

X M1 - Geometria Métrica Plana

113 Matemática

5(UEL-PR) Após um tremor de terra, dois muros paralelos em uma rua de uma cidade ficaram ligeiramente abalados. Os moradores se reuniram e decidiram escorar os muros utilizando duas barras metálicas, como mostra a figura abaixo. Sabendo que os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente, a que altura do nível do chão as duas barras se interceptam? Despreze a espessura das barras.

a)1,50 m b)1,75 m c)2,0 m d)2,25 m e)2,50 m

9 m3 m

Da figura, temos:

De , vem:1

Substituindo em , vem:32 xa ax bx ab=Θ = 9 Θ =

De , vem:1

7(UFF-RJ) O circuito triangular de uma corrida está esquematizado na figura a seguir:

3 km 3 kmRua SQ

2 km4 kmQ R

As ruas TP e SQ são paralelas. Partindo de S, cada corredor deve percorrer o circuito passando, sucessivamente, por R, Q, P, T, retornando, finalmente, a S. Assinale a opção que indica o perímetro do circuito.

a)4,5 kmc)20,0 kme)24,0 km b)19,5 kmd)2,5 kmX

Do enunciado, temos:

Portanto, o perímetro do circuito é: 4 0 2 0 4,5 0 3 0 6 = 19,5 Θ 19,5 km

Os triângulos RQS e RPT são semelhantes. Logo:

x xx16 x

AD ab F

3x ab a

Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos:

x = 9 0 12 Θx = 81 0 144 x = 225 x = 15 m h = 16 m B C x A

9 16 − 4 = 12 m

Fazendo a figura, vem:

6(UFSM-RS) Um fio de antena está preso no topo de um prédio de 16 metros de altura e na cumeeira de uma casa ao lado, a 4 metros de altura. Considerando o terreno plano (horizontal) e sabendo que a distância entre a casa e o prédio é de 9 metros, o comprimento do fio é, em metros:

a)12b)15c) 337d)20e)25X

8(MACK-SP) As bases de um trapézio isósceles medem 7 e 13. Se a altura do trapézio é 4, o seu perímetro é:

a)27 b)25 c)20 d)30 e)40

4 3EDC F3 5 4

7BA

O triângulos ADE e BCF da figura são retângulos, congruentes e de catetos medindo 3 e 4.

Desta forma,

O perímetro do trapézio ABCD, isósceles, é: AB 0 BC 0 CD 0 DA = 7 0 5 0 13 0 5 = 30

114 Matemática

Observando o gráfico, temos que os triângulos ACD e ABE são semelhantes, logo:

A gratificação y que um funcionário recebe quando obtém 100 pontos é a mesma que a recebida quando obtém 90 pontos.

gratificação (em reais)

CDBE DEEA y=Θ −

1(FAM-SP) Uma emissora de rádio de ondas médias, a ZYR-90, deseja instalar uma antena de 28 m de altura. Para fixá-la, serão presos três cabos de aço que ficarão esticados do topo da antena ao solo, e todos ficarão a 21 m do seu pé (conforme figura). Supondo que o terreno seja completamente plano e que a antena ficará perfeitamente perpendicular ao solo, quantos metros de cabo de aço serão utilizados? a) 90 b) 105 c) 120 d) 135 e) 150

Aplicando o teorema de Pitágoras: x = (28) 0 (21) Θ x = 784 0 441 x = 1225 x = 35

Como são 3 cabos de aço, o total de metros de cabo de aço utilizados será de 3 9 35 = 105 Θ 105 m.

Pelos dados, temos:

10(MACK-SP) Na figura, ABCD é um quadrado inscrito no triângulo EFG. Se a medida de 4 é 10, o perímetro do quadrado é:

a) 20 b) 15 c) 18 d) 16e) 17

6 6 − x

Dxx x

F B CE G10

ABCD é um quadrado Υ % // t

Assim sendo, o perímetro do quadrado ABCD é:

Observando que, entre 30 e 90 pontos, a variação da gratificação é proporcional à variação do número de pontos, determine a gratificação que um funcionário receberá no mês em que obtiver 100 pontos.

9(UFF-RJ) A Cerâmica Marajó concede uma gratificação mensal a seus funcionários em função da produtividade de cada um convertida em pontos; a relação entre a gratificação e o número de pontos está representada no gráfico a seguir.

gratificação (em reais)

115 Matemática

12(EEM-SP) Um cabo deverá ligar o ponto A, situado na margem esquerda do rio, ao ponto D, situado na margem direita do mesmo rio, 240 metros rio abaixo (conforme a figura). Suponha que as margens do rio sejam paralelas e que sua largura seja de 70 metros. Este cabo deverá ser esticado pela margem esquerda do rio, de A até B, 100 metros rio abaixo. Do ponto B atravessará perpendicularmente a margem do rio para o ponto C. De C seguirá ao longo da margem direita até D. Calcule o comprimento total do cabo e determine qual seria seu comprimento se ele fosse esticado diretamente de A até D.

70 m CD

BA100 m 240 m

Seja x o comprimento total do cabo. Assim:

x = AB 0 BC 0 CD Θx = 100 0 70 0 140 x = 310 m

Seja y o comprimento do cabo esticado de A até D. Logo: (AD) = (240) 0 (70) Θ(AD) = 62500

14(PUC-SP) Uma estação de tratamento de água (ETA) localiza-se a 600 m de uma estrada reta. Uma estação de rádio localiza-se nessa mesma estrada, a 1000 m da ETA. Pretende-se construir um restaurante, na estrada, que fique à mesma distância das duas estações. A distância do restaurante a cada uma das estações deverá ser de:

a)575 mc)625 me)750 m b)600 md)700 m

Sendo AB = 1000 m, AC = 600 m e AR = BR = x, temos:

I)Teorema de Pitágoras no #ABC: BC 0 600 = 1000 Υ BC = 800

I)Teorema de Pitágoras no #ARC: AR − RC 0 600 Υ x = (800 − x) 0 600 Υ x = 625

Seja R a posição do restaurante, situado na entrada e eqüidistante das 2 estações. A partir do enunciado, podemos construir a seguinte figura:

rádio estrada

A (ETA) 1 0 m

13(FAM-SP) Eu não conheço o seu, mas o meu namorado é muito exigente. Quando ganha um presente, faz questão que o pacote seja muito bem-feito. No Natal, eu inventei de dar uma vara de pescar, ele é louco por pescaria. O problema foi embrulhar o presente. Para ficar bem bonito, usei uma caixa de papelão. Como a vara era grande, ela precisou ser colocada exatamente na diagonal do fundo da caixa. Qual o comprimento e a largura da caixa que usei, se a vara de pescar mede exatamente 0,50 m e um dos lados da base da caixa é 10 cm menor do que o outro? a)0,45 m e 0,35 md)0,35 m e 0,32 m b)0,40 m e 0,30 me)0,5 m e 0,45 m c)0,35 m e 0,25 m

Fazendo a figura de fundo da caixa, temos:x x − 100,50 = 50 cm

Portanto, o comprimento vale 40 cm = 0,4 m e a largura vale 40 −10 = 30, ou seja, 30 cm ou 0,3 m.

Aplicando o teorema de Pitágoras:

(não serve)

27a)Mostre que os triângulos ABC e BEC são semelhantes e, em seguida, calcule AB e EC.

b)Calcule AD e FD.

15(Unifesp-SP) No triângulo ABC da figura, que não está desenhada em escala, temos:

BhC ≅ CjE, AlF ≅ BlF, AC = 27, BC = 9, BE = 8, BD = 15 e DE = 9.

b)Na figura, temos que: AD = AC − DC, ou seja, AD = 27 − 12 Ι AD = 15.

No triângulo ADB, sendo AD = BD e AlF = BlF, podemos concluir que DF é a altura relativa à base AB do triângulo isósceles ADB.

Assim, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ADF, temos que:

(FD) 0 12 = 15 Ι FD = 9 a)Os triângulos ABC e BEC são semelhantes, pois têm dois ângulos respectivamente congruentes:

h = j e k = k Da semelhança dos triângulos, temos que:

ABBE BCEC AC BC== , ou seja,

Ι AB = 24 e EC = 3

116 Matemática

18(UFRN) Considere a posição da escada na figura ao lado.

Sabendo que h = 200 cm, e que o comprimento da escada é

H cm, calcule H x A

BC x 20

H − xh = 200

Os triângulos ABC e ADE são semelhantes.

ACAE ABAD x Hx=Θ −

10x = H − x

De e , vem:12

Portanto:

19(Vunesp-SP) O comprimento c de uma circunferência é dado pela fórmula c = 2πr. Um ciclista, cuja bicicleta tem pneus de 20 cm de raio, deu 7500 pedaladas. Usando a aproximação π = 3 e supondo que cada pedalada corresponde a uma volta completa do pneu, a distância percorrida pelo ciclista foi de:

a)4,5 kmc)45 kme)900 km b)9 kmd)150 kmX

De acordo com os dados, em cada volta o ciclista andou: C = 2 9 π 9 r Θ C = 2 9 3 9 0,2 Θ C = 1,2 m Como ele deu 7500 voltas, temos: 7500 9 1,2 = 9000 m = 9 km

A menor altura que pode ser obtida é: a)36 cmc)40 cme)4 cm b)38 cmd)42 cm

16(Fuvest-SP) Um banco de altura regulável, cujo assento tem forma retangular, de comprimento 40 cm, apóiase sobre duas barras iguais, de comprimento 60 cm (ver figura 1). Cada barra tem três furos, e o ajuste da altura do banco é feito colocando-se o parafuso nos primeiros, ou nos segundos, ou nos terceiros furos das barras (ver visão lateral do banco, na figura 2).

Figura 1Figura 2 40 cm60 cm

40 cm 25 cm

25 cm 5 cm5 cm

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo CMB, resulta que a 0 20 = 25. Logo, a = 15 cm

Os triângulos ABC e EDC são semelhantes. Assim, temos que b a

A menor altura pode ser obtida quando se coloca o parafuso nos primeiros furos. Considere a figura que representa o parafuso colocado nos primeiros furos, onde h é a me- dida da altura pedida: b

25 cm A B

25 cm

35 cm35 cm

C h

20 cm20 cm

17(UNILUS-SP) Fazer figuras com papel dobrado é uma arte. Ricardo vai construir um barco e dobrou uma folha de papel conforme a figura. Se a folha tem 18 cm por 12 cm, qual é a medida do segmento 2?

A18 cm

12 cm

12 cmBDCAB E D C a) 6 cmc) 65cme) 45cm b)12 cmd) 155cm

Do enunciado, temos:

D 18 − 12 = 6

Aplicando Pitágoras, vem: x = 12 0 6 Θx = 144 0 36 x = 180 xc m= 65

Sendo h = a 0 b, temos que h = 15 0 21, ou seja, h = 36 cm.

117 Matemática

A primeira parte da espiral é uma semicircunferência de raio 1 m. Seu comprimento é:

C = π 9 R Θ C = 3 9 1 = 3 Θ 3 m

A segunda parte da espiral (R = 2 m) tem comprimento: C = π 9 R Θ C = 3 9 2 = 6 Θ 6 m

A terceira parte da espiral (R = 3 m) tem comprimento: C = π 9 R Θ C = 3 9 3 = 9 Θ 9 m

A quarta parte da espiral (R = 4 m) tem comprimento: C = π 9 R Θ C = 3 9 4 = 12 Θ 12 m

O número de tijolos de comprimento 30 cm = 0,3 m é:

Para construir esta espiral, escolheu dois pontos que distam 1 m um do outro. A espiral tem 4 meias-voltas e cada tijolo mede 30 cm de comprimento. Considerando π = 3, o número de tijolos necessários para fazer a espiral é:

a) 100 b) 110 c) 120 d) 130

20(UERJ) José deseja construir, com tijolos, um muro de jardim com a forma de uma espiral de dois centros, como mostra a figura ao lado.

21(UFU-MG) Uma escola resolveu construir uma pista de atletismo em suas dependências. Essa pista deverá ser construída a partir de um retângulo de lados 4R por 2R com uma semicircunferência em cada extremidade, conforme mostra a figura. As raias terão 1 m de largura.

R 0 1R 0 1 4R

4R 2R

O valor de R é: C = 600 m Θ8R 0 6,28 (R 0 1) = 600 8R 0 6,28R 0 6,28 = 600 14,28R = 593,72 R Λ 41,5 m

Que intervalo R (em metros) deverá ser escolhido para que o circuito, em negrito na figura, tenha 600 m de comprimento? (Observação: utilize π = 3,14.) a)(41, 42)b)(40, 41)c)(42, 43)d)(39, 40)X

Da figura, temos:

O comprimento da pista é: C = 4R 0 4R 0 2π (R 0 1) C = 8R 0 6,28 (R 0 1)

2(Fatec-SP) Em um motor há duas polias ligadas por uma correia, de acordo com o esquema abaixo.

Se cada polia tem raio de 10 cm e a distância entre seus centros é 30 cm, qual das medidas abaixo mais se aproxima do comprimento da correia? a)122,8 cmc)92,8 cme)32,4 cm b)102,4 cmd)50 cm X

23(UESPI) Dado um quadrado de lado 5 cm, a razão entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito ao quadrado, nessa ordem, é:

a) 2

Fazendo as figuras:

Aplicando Pitágoras, vem:

118 Matemática

24(MACK-SP) Por um ponto P que dista 10 do centro de uma circunferência de raio 6, traçam-se as tangentes à circunferência. Se os pontos de tangência são A e B, então a medida do segmento AB é igual a:

a)9,6 b)9,8 c)8,6 d)8,8 e)10,5

No triângulo retângulo APO, temos que: (PA) 0 (AO) = (PO) Υ (PA) 0 6 = 10 Ι PA = 8 Ainda, nesse triângulo: (PO) 9 h = (PA) 9 (AO) Υ 10 9 h = 8 9 6 Ι h = 4,8 Como AB = 2h, então AB = 9,6.

Do enunciado, temos a figura:

90 cm = 6 9 15 cm 1,2 m = 8 9 15 cm

25(UFRJ) Quantos azulejos quadrados de lado 15 cm são necessários para cobrir uma parede retangular de 90 cm por 1,2 m?

O número total de azulejos necessários para cobrir a parede é, portanto, 6 9 8 = 48.

Observe a figura abaixo:

26(Vunesp-SP) Para ladrilhar uma sala são necessárias exatamente 400 peças iguais de cerâmica na forma de um quadrado. Sabendo-se que a área da sala é 36 m2, determine:

a) a área de cada peça, em metros quadrados b) o perímetro de cada peça, em metros

Logo, o perímetro pedido é 4 9 0,3 = 1,2.

a)Sendo A a área pedida, então:

A=Ι = 36 b)Sendo σ a medida do lado de cada peça, temos: σ= 0 9,

27(Acafe-SC) Um terreno tem a forma e as medidas indicadas na figura a seguir. Querendo gramar 3

7 desse terreno, sendo que cada placa de grama cobre 2,5 m2 do mesmo, o número de placas que se deve usar é:

Pelos dados, temos:

60 m 30 m

A área do terreno vale: A = 40 9 30 0 30 9 100 Θ A = 4200 m

Como vai ser gramado 37 de A, temos:

O número necessário de placas é:

N N placas=Θ =

Seja A a área da sala retangular. Logo: A = 45 9 3,2 9 0,25 Θ A = 36 m

Seja x a área de cada peça quadrada. Logo: x = 0,40 9 0,40 Θ x = 0,16 m

Portanto:

28(Unicentro-PR) Um construtor calculou que serão necessárias 45 tábuas de 3,2 m de comprimento por 0,25 m de largura para revestir todo o piso de uma sala retangular. O proprietário, preferindo comprar peças quadradas de granito com 0,40 m de lado, necessitará, para revestir todo o piso, de uma quantidade mínima de peças igual a:

a) 62 b) 84 c) 120 d) 208 e) 225

ON = 6

119 Matemática

29(Unitau-SP) Um terreno tem forma retangular. Sabe-se que seus lados são dois números inteiros consecutivos e sua área é de 20 m2. Quais as dimensões desse terreno? xRepresentando o terreno, temos:

Se x = 4, x 0 1 = 4 0 1 = 5 As dimensões do terreno são: 4 m e 5 m.

x(x 0 1) = 20 Θ x 0 x − 20 = 0xδ = 4 xφ = −5 (não serve)

A capacidade do açude em litros pode ser estimada multiplicando-se a área de sua superfície pela profundidade, lembrando que 1 m3 corresponde a 103 litros. Se a profundidade média do açude é 2 m e ele estiver completamente cheio, aproximadamente quantas famílias com consumo mensal de 2 9 104 litros de água cada uma poderiam ser atendidas em um mês? A resposta correta é:

30(Fatec-SP) Em certa região árida prevê-se construir um açude, cuja superfície tem aproximadamente a forma de um losango, conforme a vista superior apresentada.

800 m 400 m

400 m B

A capacidade V do açude é tal que V = 160000 m 9 2 m = 320000 m = 32 9 10 9 10 σ Υ V = 32 9 10 σ O número n de famílias atendidas é tal que

A área S da superfície do açude é tal que n V = 9σ

= 9σ

31(UFF-RJ) Num terreno retangular com 104 m2 de área, deseja-se construir um jardim, também retangular, medindo 9 m por 4 m, contornado por uma calçada de largura L, como indica a figura.

calçada jardim

Ι L = 2 m

32(UFJF-MG) Um clube recreativo vai colocar piso numa área externa retangular e vai cercar as laterais com uma tela, com exceção de uma abertura de entrada. Essa área está representada na figura abaixo com suas dimensões dadas, em metros, em função do comprimento L. A empresa contratada para o serviço cobra R$ 10,0 por metro quadrado de piso e R$ 2,50 por metro colocado de tela. A expressão que fornece o preço total do serviço, em função do comprimento L, é:

(Parte 1 de 2)

Comentários