Exercícios Resolvidos - Geometria Métrica Plana 02

Exercícios Resolvidos - Geometria Métrica Plana 02

(Parte 1 de 2)

121 Matemática

A função que expressa a área do triângulo retângulo sombreado em função de x é:

a) A x= b) A x= c) A x=

36(UEL-PR) Tome uma folha de papel em forma de quadrado de lado igual a 21 cm e nomeie os seus vértices A, B, C, D, conforme a figura 1. A seguir, dobre-a, de maneira que o vértice D fique sobre o “lado” AB (figura 2). Seja Dδ esta nova posição do vértice D e x a distância de

AB A x Dδ B Figura 1Figura 2

Da figura, temos: B

AD δx a21 − a

A área do triângulo é:

A xa A x x

37(UFG) Determine um triângulo isósceles, cujo perímetro é 18 cm e a área é 12 cm2, sabendo que a medida de seus lados são números inteiros.

Sendo y um número inteiro positivo e menor que 9, o único valor possível é y = 4; logo, x = 5. Portanto, o triângulo tem um lado medindo 8 cm e os outros lados medindo 5 cm.

Fazendo a figura e observando os dados do problema, tem-se:

Perímetro: 2x 0 2y = 18 Π x 0 y = 9 Área: hy = 12

Pitágoras: h = x − y = 9(x − y) x h2y x = 9 − y

Υ (9 − 2y)y = 16

38(São Camilo-SP) A razão entre a altura de um triângulo isósceles ABC de lados AB = AC = 5 cm e BC = 8 cm e sua área é:

a) 1

Fazendo a figura, vem:

39(USS-RJ) O lado AB de um triângulo ABC mede 36 cm. Os pontos P e Q pertencem aos lados CA e CB, respectivamente. O segmento PQ é paralelo a AB e as áreas do triângulo CPQ e do trapézio PABQ são iguais. O comprimento PQ é de:

a) 32cmc) 182cme)18 cm b) 9 cmd)6 cm

Fazendo a figura, temos:

PQAB x

= 36 (razão de semelhança)

Razão das áreas:

Área do CPQ Área do CAB A A# x = 648

Como a razão das áreas é o quadrado da razão de semelhança, temos:

•Cálculo da área do triângulo ABC:

A BC AD A= 9 Θ=

A = 12 cm hA h A

Portanto:

M1 - Geometria Métrica Plana

122 Matemática

I.Se AE = EB, então a área do triângulo ACE é um quarto da área do retângulo ABCD.

I.O valor da área do triângulo CDE é o mesmo da soma das áreas dos triângulos ACE e EBD.

I.A área do triângulo CDE é metade da área do retângulo ABCD, independentemente da posição em que o ponto E esteja no segmento AB.

Com relação às afirmações I, I e II, pode-se dizer que: a)todas são verdadeiras b)todas são falsas c)apenas I é verdadeira d)as afirmações I e II são falsas e)apenas I e II são verdadeiras

43(UFAC) Na figura, ABCD é um retângulo e E é um ponto do segmento AB. Da figura, podemos concluir que:

Ax xEB

S = S 0 S S 0 S (verdadeira)

42 (FGV-SP) a)Num triângulo eqüilátero ABC, unindo-se os pontos médios de i e de o, obtém-se um segmento de medida igual a 4 cm. Qual a área do triângulo ABC? b)Num triângulo retângulo ABC, de hipotenusa p, a altura relativa à hipotenusa é 6. Se BH = 3 cm e HC = 8 cm, qual a medida do cateto o?

Sejam σ a medida do lado do triângulo eqüilátero ABC, M o ponto médio do lado i e N o ponto médio do lado o.

I.Como MN = 4 cm, temos σ = 8 cm, pois os triângulos AMN e ABC são semelhantes e a razão de semelhança é 1 : 2.

I.Sendo S a área do triângulo ABC, temos:

40(Unipa-MG) Um casal adquiriu um terreno pela planta retangular, de 10 m Ο 20 m, pagando R$ 500,0. Quando o topógrafo foi medir, observou que as medidas do terreno eram diferentes. No desenho abaixo, a área destacada é a real. Pode-se concluir que o prejuízo do casal foi de:

a)R$ 200,0 b)R$ 500,0 c)R$ 700,0 d)R$ 900,0 e)R$ 10,0 a c ba c a ba a = 1 m b = 9 m c = 19 m

Pelos dados, temos: X

Portanto, o prejuízo foi de R$ 700,0.

• Prejuízo: P = (200 − 172) 9 250 Θ P = 7000

•Cálculo do valor do metro quadrado do terreno:

/m Rm

•Cálculo da área real do terreno:

A = 200 − 9 − 19 A = 172 m

41(UFMG) Observe as figuras:

Nessas figuras, estão representadas as vistas frontal e lateral de uma casa de madeira para um cachorrinho, com todas as medidas indicadas em centímetros. Observe que o telhado avança 12 cm na parte da frente da casa. Considerando-se os dados dessas figuras, a área total do telhado dessa casa é de:

a)0,96 m2b)1,2 m2c)1,4 m2d)0,72 m2X

A largura de cada parte do telhado mede:

30 cm40 cm x = 30 0 40 Θ x = 50 cm

A área é igual a: S = 122 9 50 = 6100 cm

A área total é igual a: 2S = 2 9 6100 = 1200 Θ 1200 cm = 1,2 m

Cada parte do telhado é um retângulo de dimensões:

122 cm 50 cm

No triângulo retângulo ABC, temos:

(AC) = HC 9 BC (AC) = 8 9 1

123 Matemática

4(UCSal-BA) No centro de uma praça circular, de 90 m de raio, foi montado um tablado, também circular e com 12 m de raio, no qual realizou-se um espetáculo musical. Considerando que todas as pessoas que foram ao espetáculo restringiram-se à faixa da praça exterior ao tablado, que teve uma ocupação média de 4 pessoas por metro quadrado, quantas pessoas estiveram presentes a esse espetáculo? (Use π = 3.)

Do enunciado, temos:

12 m 90 m

O número de pessoas é: n = 4 9 23868 = 95472 Θ 95472 pessoas

S = 3 9 (8100 − 144) S = 23868 m

Do enunciado, temos a figura:

45(Unifesp-SP) A figura mostra uma circunferência, de raio 4 e centro C1, que tangencia internamente a cir- cunferência maior, de raio R e centro C2. Sabe-se que A e B são pontos da circunfêrencia maior, AB mede 8 e tan- gencia a circunferência menor em T, sendo perpendicular

8 8 − R

Aplicando-se o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ATC: (8 − R) 0 4 = R Ι R = 5

A área S da região hachurada é igual à área do círculo de raio 5 menos a área do círculo de raio 4, ou seja:

S = π 9 5 − π 9 4 Ι S = 9π

46(Furb-SC) “Lixo é basicamente todo e qualquer resíduo sólido proveniente das atividades humanas ou geradas pela natureza em aglomerados urbanos. O lixo faz parte de nossa vida, e tratá-lo bem é uma questão de bom senso, cidadania, e bem-estar, agora, e principalmente no futuro.” (w.loucosporlixo.com.br) Pensando nisso, um grupo teatral quer representar uma peça sobre a importância da reciclagem do lixo. Eles querem montar um cenário no qual 3 paredes de 4 m de altura por 5 m de comprimento deverão ser revestidas de CDs defeituosos. Sabendo-se que cada CD possui 12 cm de diâmetro, quantos CDs, aproximadamente, serão necessários para revestir estas paredes? (Use: π = 3,14.)

•Área do cenário: A = 3 9 4 9 5 = 60 Θ 60 m

•Área de cada CD: A = π 9 R ΘA = 3,14 9 (0,06) A = 0,011304 m

•O número de CDs necessários é:

N=Θ Λ 60

47(Cefet-PR) Uma indústria necessita produzir lâminas de máquinas moedoras de carne, conforme a especificação a seguir. A área da lâmina está diretamente relacionada com a potência do motor da máquina. Considerando que o contorno da lâmina somente é constituído de semicírculos, a área da mesma, em cm2, é igual a:

cm 6

2468 cm

Logo, a área da lâmina é: 4 9 4 = 16 Θ 16 cm

Completando a figura abaixo, obtemos um quadrado de lado 4 cm.

124 Matemática

50(UFJF-MG) Uma janela foi construída com a parte inferior retangular e a parte superior no formato de um semicírculo, como mostra a figura abaixo. Se a base da janela mede 1,2 m e a altura total 1,5 m, dentre os valores abaixo, o que melhor aproxima a área total da janela, em metros quadrados, é:

a) 1,40 b) 1,65 c) 1,85 d) 2,21 e) 2,62

Pelos dados, vem:

A = 1,08 0 0,57 A = 1,65 Θ 1,65 m

51(UEL-PR) Na figura, ABCD é um quadrado cujo lado mede a. Um dos arcos está contido na circunferência de centro C e raio a, e o outro é uma semicircunferência de centro no ponto médio de BC e de diâmetro a. A área da região hachurada é:

a)um quarto da área do círculo de raio a b)um oitavo da área do círculo de raio a c)o dobro da área do círculo de raio a d)igual à área do círculo de raio a

2 e)a metade da área do quadrado

A área hachurada é igual a um oitavo da área do círculo de raio a.

A área hachurada é igual a um quarto da área do círculo de raio a menos a metade da área do círculo de raioa 2 , logo:

A a A a = π9 − π9

Θ= π9 −

A a= π9

Pelos dados, temos:

B x x R

48(Unicap-PE) Deseja-se construir um oleoduto, ligando duas cidades, A e B (observe a figura abaixo). Há três possibilidades de trajetos para o mesmo: em linha reta, com o custo total por km, em real, de 270,0; em arco (semicircunferência), com custo total por km, em real, de 160,0; em forma de L, ACB, com custo total por km, em real, de 170,0. Assim:

Em questões como a 48, assinale na coluna I as proposições corretas e na coluna I as proposições erradas.

•Trajeto i: 2R 2700 9 2R = 5400R

•Trajeto em arco: 2 π =πR R

1600 9 3,14R = 5024R

•Trajeto em forma de L: 2x = 2 9 1,41R = 2,82R 2,82R 9 1700 = 4794R

Aplicando Pitágoras, vem: (2R) = x 0 x Θ4R = 2x x = 2R

49(UESPI) Um trabalhador gasta 3 horas para limpar um terreno circular de 6 metros de raio. Se o terreno tivesse 12 metros de raio, quanto tempo o trabalhador gastaria para limpar tal terreno? a)6 hb)9 hc)12 hd)18 he)20 h x = 12 h

As áreas são iguais a: SR S m63 6=π Θ =π 9 = π

Portanto:

tempo área

125 Matemática

52(UERJ) Um professor de matemática fez, com sua turma, a seguinte demonstração:

– colocou um CD sobre uma mesa e envolveu-o completamente com um pedaço de barbante, de modo que o comprimento do barbante coincidisse com o perímetro do CD;

– em seguida, emendando ao barbante um outro pedaço, de 1 metro de comprimento, formou uma circunferência maior que a primeira, concêntrica com o CD.

Veja as figuras.

Calculou, então, a diferença entre a medida do raio da circunferência maior e a do raio do CD, chamando-a de x. Logo após, imaginando um CD com medida do raio idêntica à do raio da Terra, repetiu, teoricamente, as etapas anteriores, chamando de y a diferença encontrada. Assim, demonstrou a seguinte relação entre essas diferenças, x e y:

Para o CD temos C R R C ,: 2 2 =π Θ = π

Com o barbante temos C R R C ,: 12

Portanto:

Logo:

xR R x C x=− Θ =

Para ya Terra, a diferença também é igual a =

53(FGV-SP) Um círculo de área 16π está inscrito em um quadrado. O perímetro do quadrado é igual a:

Do enunciado temos a figura ao lado, onde r é a medida do raio do círculo.

Temos que: πr = 16π r = 16 Ι r = 4 Logo, o lado do quadrado mede 8.

Portanto, o perímetro do quadrado é igual a 32.r r

As medidas dos raios são: d = 2r Θ 1,8 = 2r Θ r = 5,9 cm d = 2r Θ 3,6 = 2r Θ r = 1,8 cm

A área da etiqueta é igual a: Sr r S r r=π −π Θ =π −()

S = 3,14(5,9 − 1,8) S = 9,1298 Θ 9,1298 cm Ι S = 9 cm

54(UFMT) A etiqueta do CD mostrado na figura tem a forma de uma coroa circular cujo diâmetro da circunferência externa mede 1,8 cm e o da circunferência interna, 3,6 cm. Considerando π = 3,14, determine o número inteiro mais próximo da medi- da (em cm2) da área da etiqueta.3,6 cm 1,8 cm

5(Vunesp-SP) A figura representa um canteiro de forma circular com 5 metros de raio. O canteiro tem uma região retangular que se destina à plantação de flores e uma outra região, sombreada na figura, na qual se plantará grama.

4 B C DO M

Na figura, O é o centro do círculo, OB é o raio, o retângulo está inscrito no círculo e CD mede 8 metros.

a) Determine a medida do lado BD e a área da região retangular destinada à plantação de flores.

b) Sabendo-se que o metro quadrado de grama custa R$ 3,0, determine quantos reais serão gastos em grama (para facilitar os cálculos, use a aproximação π = 3,2).

Assim:

x x

6 m (medida do lado BD) S = CD 9 BD Π S = 8 9 6 Π S = 48 48 m (área da região com flores) b) S = π(OB) Π S

= 3,2 9 5 Π S

S = S − S Π S = 80 − 48 Π S = 32

R = S 9 3,0 Π R = 32 9 3,0 Π R = 96,0 R$ 96,0 (valor gasto com a grama)

Sejam:x a medida de 7, em metros

S a área destinada à plantação de flores, em metros quadrados.

S a área do círculo de centro O e raio OB, em metros quadrados.

S a área destinada à plantação de grama, em metros quadrados.

R a quantia, em reais, a ser gasta com a plantação de grama.

126 Matemática

Se a medida do raio da circunferência inscrita no quadrado é 3 cm, a área, em cm2, de toda a região pintada de preto é:

56(FMTM-MG) Na figura, a medida dos segmentos OA e OB é 4 cm. O arco AOB tem 90) e OCA e OCB são semicircunferências.

A área da superfície hachurada é:

Pelos dados, temos:OA a) 9 b) 18

57(Vunesp-SP) Uma empresa tem o seguinte logotipo:

Assim:

A área S, em centímetros quadrados, da região pintada de preto é dada por S = 2A 0 4B, onde:

a)A área pedida é igual a quatro vezes a área do triângulo T mais quatro vezes a área do setor S, ou seja,

Logo, a área pedida é (8 0 π) cm .

b)A área da região R é igual à área do quadrado menos a área obtida no item a, ou seja, 4 − (8 0 π).

Logo, a área de R é (8 − π) cm .

Do enunciado, temos:

59(Fafeod-MG) A figura ao lado ilustra um triângulo ABC, inscrito numa circunferência de centro O e raio 2,5 cm, sendo CB igual a 3 cm.

AB é o diâmetro da circunferência, pois passa pelo centro O, logo o triângulo ABC é retângulo em C.

Substituindo os valores na figura, vem:

Aplicando Pitágoras no triângulo ABC, temos: (AB) = (BC) 0 (AC) Θ5 = 3 0 x 25 = 9 0 x x = 16 x = 4

Substituindo π, vem: A = 6,25 9 3,14 − 6 ΘA = 19,625 − 6 A = 13,625 cm

Portanto, a área hachurada vale:

A = 4π − 4π 0 2(π − 2) = (2π − 4) Θ (2π − 4) cm a)a área da região interna ao quadrado, complementar à região R b)a área da região R

58(UFSCar-SP) Considere a região R, pintada de preto, exibida a seguir, construída no interior de um quadrado de lado medindo 4 cm.

Sabendo-se que os arcos de circunferência que aparecem nos cantos do quadrado têm seus centros nos vértices do quadrado e que cada raio mede 1 cm, pede-se:

Assumindo π = 3,14, é correto afirmar que a área, em cm2, da região hachurada na figura é:

127 Matemática

Determine a área da região sombreada da figura.

Considere E, F e G os pontos indicados na figura abaixo:

Os segmentos OA e OG têm medidas iguais à metade da diagonal e à metade do lado dos quadrados, respectivamente.

Portanto, a área pedida é:

62(UFF-RJ) Na figura a seguir, o quadrado MNPQ, com 20 m de lado, representa o terreno reservado à área de lazer da chácara de João. A região limitada pelo quadrado MRST, com 10 m de lado, está destinada ao salão de jogos e à churrasqueira. O círculo, contendo o ponto S e tangente ao quadrado MNPQ nos pontos U e V, representa a região destinada à construção da piscina. Determine a área da região que será ocupada pela piscina.

Pelos dados, temos: QP

OV é perpendicular ao lado QP, assim como OU é perpendicular ao lado PN.

Como OV e OU são medidas do raio do círculo, tem-se que OVPU é um quadrado de lado R.

Portanto, a área do círculo é dada por:

A massa da planta da cidade é 40 g. A área da praça de dimensões 100 m por 100 m é 10000 m e o recorte da planta tem massa 0,08 g.

Logo, a área da cidade é de 5000000 m, pois

Com esses dados foi possível dizer que a área da cidade, em metros quadrados, é de, aproximadamente:

61(ENEM) Um engenheiro, para calcular a área de uma cidade, copiou sua planta numa folha de papel de boa qualidade, recortou e pesou numa balança de precisão, obtendo 40 g. Em seguida, recortou, do mesmo desenho, uma praça de dimensões reais 100 m Ο 100 m, pesou o recorte na mesma balança e obteve 0,08 g.

Praça de área conhecida

Planta X

63(UA-AM) Um setor circular de raio 5 cm tem arco de comprimento 8 cm. Então a sua área é:

a)30 cm2c)10 cm2e)20 cm2 b)40 cm2d)80 cm2 X

128 Matemática a)Se cada metro quadrado desse terreno vale R$ 50,0, qual é o valor total do terreno? b) Divida o trapézio ABCD em quatro partes de mesma área, por meio de três segmentos paralelos ao lado BC. Faça uma figura para ilustrar sua resposta, indicando nela as dimensões das divisões no lado AB.

64(Unicamp-SP) Um terreno tem a forma de um trapézio retângular ABCD, conforme mostra a figura, e as seguintes dimensões:

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