Matematica Discreta 2

Matematica Discreta 2

(Parte 2 de 11)

9. Jogar um dado tres vezes e anotar o terno de numeros obtidos.

10. Jogar um dado tres vezes e anotar a soma dos numeros obtidos.

1. Jogar um dado tres vezes e anotar quantos numeros pares ocorrem.

12. Anotar o sexo dos recem-nascidos em uma maternidade, durante um determinado ano.

13. Observar, num conjunto de 1000 famılias com, pelos menos dois filhos, ao correncia de gemeos.

14. Em uma linha de producao, fabricar pecas em serie e contar o numero de pecas defeituosas produzidas num perıodo de 12 horas.

15. Escolher, ao acaso, uma pessoa em determinado grupo e verificar seu tipo de sangue.

16. Sortear duas pessoas de um grupo de cinco para formarem uma comissao.

DISCRETADISCRETA MATEMTICA Aula 14 – Introducao ao estudo das probabilidades

Um pouco de Historia

Oi nıcio do estudo das probabilidades esta ligado aos jogos de azar.

Embora matematicos como Cardano e Kepler ja tivessem se ocupado do estudo das probabilidades, foi a partir de um contato feito entre um rico jogador frances, Chevalier de Mere, e o matematico Blaise Pascal, por volta de 1650, que a moderna Teoria das Probabilidades realmente se desenvolveu.

Jeronimo Cardano (1501-1576) eo autor da primeira obra sobre o estudo das probabilidades de que se tem conhecimento. Trata-se de Ludo Aleae (Sobre os

Jogos de Azar), publicado em 1663.

Johannes Kepler (1571-1630) fez algumas anotacoes sobre probabilidades no livro De

Stella nova in pede

Serpentarii, publicado em 1606.

Em 1654, De Mere, um jogador fanatico que sempre buscava criar

Chevalier De Mere (1607-1684) foi um filosofo e amante das letras, figura destacada da corte de Luıs XIV.

complicadas regras que lhe permitissem ganhar no jogo de dados, apresentou a Pascal um problema famoso, envolvendo jogos, que ficou conhecido como O Problema dos Pontos: “Um jogo entre dois jogadores igualmente habeis e interrompido. No momento da interrupcao sao conhecidos os pontos obtidos por cada jogador e o numero necessario de pontos para que cada um ganhe o jogo. Como dividir o premio?”. Esse problema ja fora considerado por Cardano e, aproximadamente ao mesmo tempo, por Pacioli e Tartaglia.

Motivado pelo desafio, Pascal escreveu a outro matematico frances, Pierre de Fermat, trocando ideias sobre o problema, e essa correspondencia, consistindo de cinco cartas, levou ao desenvolvimento da Teoria das Probabilidades. Alem do problema dos pontos, os dois matematicos consideraram tambem o chamado Problema do Dado: Quantas vezes temos que jogar um par de dados para obter um duplo 6?,j a estudado por Cardano.

Interessante que nem Pascal nem Fermat publicaram seus resultados.

Em 1657, estimulado pelo trabalho dos dois franceses, o cientista Christian Huygens (1629-1695) publicou o folheto De ratiociniis em ludo aleae (Sobre o raciocınio em jogos de dados), primeiro tratado de Teoria de Probabilidades.

Como vemos, a origem do interesse pelas probabilidades esta ligada a situacoes de jogos de azar: os jogadores faziam uso delas para estabelecer estrategias de jogo e de apostas. A partir de 1700, porem, ha importantes progressos na aplicacao dos estudos de probabilidades em outras areas.

Em 1713, James Bernoulli publicou Ars conjectandi. Essa obra estabe- leceu a relacao entre probabilidade e frequencia relativa de cada resultadoFrequencia relativa eu m conceito muito importante no estudo das probabilidades es era explicado detalhadamente em aulas futuras.

de um experimento aleatorio, atraves de um resultado importante, conhecido como Teorema de Bernoulli (ou Lei dos Grandes Numeros). O teorema afirma que: Se dois eventos sao igualmente provaveis entao, apos um numero grande de realizacoes do experimento, eles serao obtidos, aproximadamente, om esmo numero de vezes.

Aula 14 – Introducao ao estudo das probabilidades MODULO 2 - AULA 14

O Teorema de Bernoulli tambem permite deduzir a probabilidade de cada um dos eventos acontecer, a partir das quantidades de suas ocorrencias num numero grande de experimentos.

Abraham De Moivre era um frances protestante que se refugiou na Inglaterra onde viveu atea sua morte. Desenvolveu importantes trabalhos em varios campos.

Em 1718, De Moivre publicou a primeira edicao de The doctrine of chances (Doutrina das probabilidades), sua obra mais celebre. Ali o autor explora a aplicacao do calculo de probabilidades em mais de cinquenta problemas. Dentre outras questoes envolvendo jogos, discute a probabilidade de se tirar bolas de cores diferentes de uma urna.

Em 1812, Laplace publicou o tratado Theorie analitique des probabilites

(Teoria analıtica das probabilidades), onde discutiu inumeros problemas de probabilidade, desenvolveu tecnicas para o calculo de probabilidades e analisou varias aplicacoes desses calculos. Laplace e considerado o matematico que mais contribuiu para a Teoria das Probabilidades.

O maior trabalho do matematico frances Laplace (1749-1827) foi uma obra em 5 volumes chamada Mecanica Celeste.S eu trabalho em probabilidade surgiu quando usou metodos probabilısticos para interpretar dados cientıficos em sua obra. Quando Napoleao observou que Deus nao era mencionado na Mecanica Celeste,L aplace respondeu “eu nao tenho necessidade desta hipotese”. Na verdade, Laplace estava afirmando que conseguiu provar a estabilidade do sistema solar utilizando apenas a Matematica.

Op roblema daa gulhad eB uffon

A Teoria das Probabilidades permite a analise de problemas interessantes e resultados, as vezes,surpreendentes. Destacamos o chamado problema da agulha de Buffon: consideremos uma area plana, dividida em linhas retas paralelas, distantes entre si uma distancia fixa, d. Uma agulha, de comprimento a,c om a< d,e abandonada de uma certa altura, ao acaso, sobre essa regiao. A probabilidade de a agulha cortar uma das retas e 2a pid .

Determinacoes empıricas dessa probabilidade fornecem uma aproximacao de pi.

No seculo X, o desenvolvimento do estudo das probabilidades foi

George Louis Leclere (1701-1788) foi nomeado Conde de Buffon por Luıs XV. O problema da agulha foi apresentado em 1777, num pequeno ensaio sobre probabilidades, chamado Essai d’Arithmetique Morale. Uma variacao desse problema possibilitou, cerca de 200 anos mais tarde, o desenvolvimento da tecnologia envolvida na tomografia computadorizada.obtido, principalmente, por matematicos russos, entre eles P.L. Chebyshev

(1821-1894), A.A. Markov (1856-1922) e A. N. Kolmogorov (nascido em 1903). Este ultimo, em sua obra Foundations of the Theory of Probability (Fundamentos da Teoria da Probabilidade), de 1933, apresentou um tratamento axiomatico da Teoria das Probabilidades.

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Resumo

Nesta aula apresentamos alguns dados sobre a evolucao do estudo das probabilidades e voce aprendeu a distinguir fenomenos aleatorios de fenomenos determinısticos.

Exercıcios

1. Classificar cada experimento a seguir como determinıstico ou aleatorio:

(a) Lancar 3 moedas e anotar o numero de caras obtidas. (b) Obter um numero que, somado a 7, resulte 13.

(c) Rodar a bolinha de uma roleta e observar o numero em que ela para.

(d) Retirar uma bola de uma urna contendo bolas pretas e brancas e observar a cor.

(e) Lancar 2 dados e anotar a soma dos numeros obtidos. (f) Retirar uma carta de um baralho e anotar qual e.

(g) Anotar a cor de uma bola retirada de uma urna contendo apenas bolas vermelhas.

(h) Dirigir um automovel a uma velocidade constante de 60km/h e observar o tempo gasto para percorrer 200km.

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