lançamento de projeteis

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UMC – Universidade de Mogi das Cruzes 1- Introdução

1.1 - Lei dos corpos em queda

A lei dos corpos em queda ou diz que todos os corpos caem com aceleração constante, uma vez que o efeito da aceleração gravítica, ou seja, da gravidade em todos os corpos, à mesma altura, é igual. Esta lei só é observada no vácuo, pois como a densidade dos corpos é diferente, no ar o corpo mais pesado exerce maior força e cai primeiro.

Um exemplo frequentemente usado para exemplificar esta lei consiste em colocar num tubo em vácuo uma pedra e uma pena e observar que ambos caem à mesma velocidade. Esta lei foi descoberta por Galileu Galilei, foi revistada por Isaac Newton e com Albert Einstein foi criada a Teoria Mecânica do Cosmo. O grande cientista italiano Galileu Galilei descobriu as leis da queda dos corpos pouco antes da invasão do Brasil pelos holandeses. Galileu observou que uma esfera rolando por um plano inclinado percorria uma distância 4 vezes maior em 2 segundos do que em 1 segundo. Ele assim provou que a distância percorrida a partir do repouso variava com o quadrado do tempo. Ele mostrou ainda que a velocidade da bola ao fim de 2 segundos era o dobro da velocidade ao fim de 1 segundo, de modo que a velocidade variava proporcionalmente com o tempo. Em outros termos, a aceleração da bola era constante. Quando Galileu aumentou cada vez mais a inclinação do plano, a aceleração da bola se tornou cada vez maior. Ele raciocinou que se a bola caísse verticalmente, sua aceleração seria de 9,8 metros por segundo. Hoje em dia, muita gente conhece as leis da queda dos corpos e as acha naturais. Há três séculos e meio, os cientistas ficaram chocados quando Galileu declarou que uma pedra pesada e uma pedra leve caíam com velocidades iguais. Dois mil anos antes, o filósofo grego Aristóteles tinha afirmado que uma pedra de 2 quilos cairia duas vezes mais depressa que uma pedra de um quilo. Os outros professores da Universidade de Pisa, onde Galileu lecionava, mantinham que como Aristóteles era sábio e bom, ninguém devia duvidar dos seus ensinamentos.

Galileu insistiu calorosamente em que os homens deveriam acreditar no que viam. Segundo reza a lenda sobre Galileu, porém em versão não confirmada, ele teria convencido os professores a acompanhar suas experiências, levou-os à torre inclinada de Pisa e deixou cair uma grande pedra junto com outra pequena do balcão mais alto da torre. Elas chegaram juntas ao solo "o seu impacto soou como o toque de finados da autoridade pela fama, em Física". Desde então nós aprendemos a nos apoiar cada vez mais na experiência e a fazer experiências para descobrir a verdade. A experiência de Galileu marca o nascimento da Física moderna.

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UMC – Universidade de Mogi das Cruzes 1.2 - Movimento em duas dimensões

Em um movimento unidimensional apenas uma variável é necessária para especificar a posição de um corpo em função do tempo em relação a um referencial. Para conhecer o movimento basta saber a função x(t). No movimento bidimensional são necessárias duas variáveis para especificar a posição de um corpo em relação a um referencial. Em coordenadas cartesianas, estas variáveis são as funções x(t) e y(t) no plano xy. Exemplos de movimento de corpos em duas dimensões são: o lançamento de projéteis, o deslocamento da Terra em torno do Sol, o movimento de partículas eletrizadas em campos magnéticos uniformes, etc.

1.3 - Movimento de um projétil

O movimento de um projétil sob a ação da gravidade em duas dimensões pode ser considerado como resultante da composição (soma vetorial) de dois movimentos unidimensionais independentes: um movimento retilíneo uniforme (MRU), ao longo da direção x, e um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), ao longo da direção y. O MRU é a projeção do deslocamento do corpo no eixo horizontal, ou seja, o movimento da sombra do projétil se ele fosse iluminado de cima para baixo. O MRUV é a projeção do deslocamento do corpo na direção vertical, ou seja, o movimento da sombra do projétil sobre o eixo y, se o projétil fosse iluminado da direita para a esquerda. A função horária genéricas do MRU ao longo da direção x é:

X = X 0 +V x .t(1)

Sendo x a posição do corpo no instante t, x0 a posição no instante inicial t0, Vx = v0x a velocidade média, v0 a velocidade no instante t0, e t o instante no qual se queira saber a posição do corpo. As funções horárias genéricas do MRUV ao longo da direção y são:

y = yo + vot1 ay t² , Vy = Voy + ay t (2)

Figura 1 – Trajetória de um projétil para x0 = yo = 0. Mogi das Cruzes – Setembro 2009 2

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Sendo y a posição do corpo, y0 a posição no instante inicial t0, vy a velocidade média instantânea na direção y, v0y a velocidade inicial na direção y, no instante t0, e ay a aceleração média do movimento na direção y. O movimento na direção vertical está sujeito à ação da aceleração da gravidade, sendo a = −g , pois o eixo y é orientado para cima e a aceleração do campo gravitacional (g) atua sempre para baixo.

O vetor velocidade inicial v0 é composto por uma componente horizontal V 0x = V0 ⋅cosθ0 e uma componente vertical V 0x = V0 ⋅ senθ0 . As funções horárias para o movimento, equações (1) e (2) podem ser reescritas como:

x= V0 . cosθ0 . T (3)
V x = V0 ⋅cosθ0. T(4)
y = v 0 ⋅senθ 0 ⋅t− 1 ⋅g ⋅t ² (5)
2
Vy = V0senθ 0 − g ⋅t (6)

Isolando a variável t na equação (3) e substituindo na equação (5), se obtém uma equação paramétrica independente do tempo que descreve a trajetória do projétil,

y = (tg θ0) ⋅x -g . x² (7)

2 . (v0 . cosθ0)²

Eliminando-se a variável tempos nas equações 1 e 2 obtém-se a equação da trajetoria parabólica do projétil. Se o projétil for lançado horizontalmente partindo do ponto de coordenadas X0 = 0 e Y0 = H, como o esquema na figura 2,

Figura 2 – Trajetória de um projétil lançado horizontalmente. Mogi das Cruzes – Setembro 2009 3

UMC – Universidade de Mogi das Cruzes a equação da parábola que descreve sua trajetória é:

A partir dessa equação, pode-se demonstrar que, quando o projétil atinge a cota y= 0. seu alcance x= A é dado por :

1.4 - Método de medida

Diversos métodos ou técnicas podem ser utilizados para determinar a posição de um projétil em movimento. Uma das diferenças entre estes métodos é a técnica de detecção da posição, em cada instante de tempo. No método em que se realiza um único lançamento do projétil, a detecção da posição pode ser realizada por diferentes técnicas: marcação por um faiscador, por um radar de ultra-som, por um feixe de luz estroboscópica com registro fotográfico, etc. Em cada uma destas técnicas, o registro é de apenas um movimento, envolvendo apenas um lançamento do projétil. O método usado neste experimento difere em relação ao anterior por ser necessária a realização de vários lançamentos para obter a trajetória do projétil. Os vários lançamentos são realizados mantendo-se as condições iniciais de velocidade e inclinação. A trajetória é obtida com a medição da posição em vários pontos do movimento, sendo também medidos avelocidade e tempo de translado, conforme diagrama apresentado na Figura 3. Os parâmetros em cada ponto são valores médios obtidos de vários lançamentos, e o erro experimental seu desvio padrão. A trajetória deste movimento se encontra em uma faixa mais provável e não em uma linha sem dimensão. Ao final da construção da trajetória, ponto a ponto, esta deve ser idêntica àquela obtida pelo método de detecção para um único lançamento.

Figura 3 - Representação trajetória de um movimento bidimensional no plano xy.

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UMC – Universidade de Mogi das Cruzes 1.5 - Materiais utilizados

1.5.1 - Fio de prumo

O fio de prumo é um instrumento que determina a vertical do lugar. A sua aplicação na topografia está ligada principalmente à medição de distâncias e no estacionamento de aparelhos. O prumo é basicamente composto por um peso (geralmente em formato de peão) preso a um cordel, o que permite suspendê-lo ou abaixá-lo sobre o lugar (ponto) onde pretende-se obter a vertical. A direção do cordel (o fio de prumo, propriamente dito), quando tencionado pelo peso, indica a direção da vertical do lugar. Este método oferece uma maior precisão e rigor do que o método em que se usam as bandeirolas, pois obtemos automaticamente a vertical e temos ainda a vantagem de espessura do fio de ser muito inferior à de uma bandeirola, facilitando assim a leitura da fita.

No entanto existem duas principais desvantagens: –Exigência de uma mão firme que consiga fixar o prumo sobre a piqueta sem que oscile.

–A existência de vento muito forte torna este método um tanto impraticável mesmo que o prumo esteja bastante pesado.

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UMC – Universidade de Mogi das Cruzes 1.5.2 - Fita métrica

Fita métrica de metal auto-retráctil

Fita métrica de plástico

Fita métrica é um instrumento de medida usada para medir distâncias. Pode designar uma fita flexível e graduada que se utiliza para medir tecidos, ou determinados tipos de fitas métricas retácteis que consistem numa fita de metal, plástico ou fibra de vidro enrolada num invólucro.

No Brasil, as fitas métricas retráteis e feitas de metal são também chamadas "trenas". As unidades de medidas das trenas são: centímetros, milímetros, polegadas e pés.

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UMC – Universidade de Mogi das Cruzes 1.5.3 - Esfera

Uma esfera é um objeto tridimensional perfeitamente simétrico. Na matemática, o termo se refere à superfície de uma bola. Na física, esfera é um objeto (usado muitas vezes por causa de sua simplicidade) capaz de colidir ou chocar-se com outros objetos que ocupam espaço.

1.5.4 - Papel Carbono

O papel químico, também chamado de papel carbono (ou apenas químico) é um tipo de papel dotado num dos lados de uma camada de tinta ou pigmento transferível, geralmente por contacto. Qualquer coisa que colida com o lado oposto deste papel faz a tinta transferir.

O papel químico foi muito utilizado antes da banalização das impressoras para criar cópias de formulários e outros documentos. Ainda assim, este tipo de papel foi largamente utilizado com as

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UMC – Universidade de Mogi das Cruzes impressoras de impacto, já que, pela sua natureza, seguiam o mesmo princípio - transferir a tinta por impacto.

1.5.5 - Tubo de PVC

Um tubo (ou cano) é um cilindro oco comprido geralmente fabricado em cerâmico, metal ou plástico. Tubos são geralmente utilizados em:

–Transporte de líquidos e/ou gases; –Construção civil ;

–Revestimento de poços de petróleo ;

–Partes de máquinas e equipamentos mecânicos .

1.5.6 - Nível

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