Cálculo II - apostila em pdf

(Parte 1 de 2)

Apostila de Cálculo I 1

Apostila de Cálculo I

Antiderivada e Integral Indefinida

Uma antiderivada ou primitiva da função f no intervalo []b,a, é uma função F, tal que:

dF = para todo x[]ba,∈

Notação de Leibniz:

Outra notação empregada para designar a operação de primitivação de uma função f , no intervalo []ba, é ∫, notação de Leibniz.

O símbolo ∫( esse alongado de soma ), é o sinal da integral.

Exemplo: Se a derivada em relação a x da função f (x) = x2+4 é

df202)()('=+===,
então:	Uma primitiva de

xxxfDxxfdx x2dx

= é

f(x) = x2

outra primitiva é f(x) = x2 – 2 , outra primitiva é f(x) = x2 + 3 ,

Apostila de Cálculo I

Assim, a função

+ C	é primitiva

3 f ( x ) = x2 de f (x) = x2 + 4, onde C é uma constante arbitrária, chamada constante de integração. Variando o valor de C, obtém-se uma infinidade de primitivas.

A integral ∫+=C)x(fdx)x('f , é chamada integral indefinida e representa uma família de primitivas. No caso, f(x) = x2 + C é uma família de parábolas.

Numa família de curvas, os seus gráficos diferem entre si apenas por uma translação vertical .

Significado geométrico da constante de integração “C “:

Geometricamente: a constante de integração “C”, representa a ordenada do ponto onde a curva corta o eixo 0y.

y y = f (x ) + C1

Apostila de Cálculo I

∫∫ℜ∈=Condedx,f(x)Cf(x)dxC

;

Propriedades da integral indefinida:

[ ] ∫ ∫±=∫ ± dxg(x)dxf(x)dxg(x)f(x) Tabela das integrais indefinidas fundamentais:

Definição: Seja I ⊂ R; a função G é uma primitiva de ƒƒƒƒ em I , se e somente se:

Gxd∈∀=

3	∫+=Cadualnauu

4	Csenuduucos+=∫
5	∫+−=Cucosdusenu
6	Cutgduusec2+=∫
7	∫+−=Cugcotduueccos2
8	Cusecduutg.usec+=∫
9	∫+−=Cuseccosduugcot.useccos

10 CucosarcCusenarc ou

CucosCusen

1 CugcotarcCutgarc

CugcotCutg

Apostila de Cálculo I

Obs: f -1 (x) indica função inversa de f (x).

1) Integração por Mudança de Diferencial

As fórmulas para integrais indefinidas tem objetivo limitado, pois não se pode usá-las diretamente para calcular integrais como por exemplo dx 1x∫+. Pode-se usar o seguinte artifício para resolvê-la: Seja u= x+1. Logo du=dx e com a mudança de variável fica-se comC 2

3u u

21 +=∫. Voltando a variável inicial

Após fazer a substituição u = g (x) pode ser necessário inserir um fator constante k no integrando para se obter uma forma adequada ∫du f(u). Deve-se multiplicar por k 1 para manter a igualdade.

Exercício Resolvido:

Seja u= 5x + 7

e du= 5 dx . Como du contém o fator 5, a integral a

Calcular dx 75x∫+ resolver não está na forma ∫du f(u). Pode-se fazer então

dx 5

7 x 5.

1 dx

5

=∫. Voltando a variável original ()C75x

Apostila de Cálculo I

Exercícios: Calcular as integrais: 1) ∫dx4x cos

x x cos∫

2x cos 4x sen∫

4x sen .4x tg1∫

2) Integração por Substituição Algébrica

Este método consiste em substituir uma expressão por uma variável, com a finalidade de eliminar um radical, eliminar adições e subtrações do denominador, etc. O problema é resolvido na nova variável.

Exercício Resolvido:

Apostila de Cálculo I

Calcular a integral I = dx 23x9x∫ −

Fazendo

3 dtdx3

ctln2tt dt2dttt3dtt

Voltando para a variável x:

I = dx

1) Método da Integração por Partes Sejam u e v duas funções de x. Da fórmula da derivada do produto, tem-se que:

du v - (u.v) d dv u du v - u.v) ( d dv u du v dv u d(u.v)

Esta técnica de integração consiste em substituir a integral que se deseja calcular por outra integral, de preferência mais simples do que a integral original. A primeira coisa a ser feita na aplicação desta fórmula é a escolha para os termos u e dv, que deve seguir os seguintes critérios.

a) Você deve ser capaz de calcular a integral ∫dv para encontrar a expressão de v.

Se não conseguir calcular esta integral, faça outra escolha para u e dv.

Apostila de Cálculo I b) Você deverá obter uma integral ∫du vque seja mais simples ou pelo menos semelhante à integral original; afinal de contas, esta é a integral que você efetivamente calculará. Em geral, a integral ∫du vserá mais simples quando a expressão u é simplificada pela diferenciação.

Exemplos:

1) Calcular a integral ∫dx ex x .

Não use as expressões u=ex e dv=xdx, pois a nova integral torna-se mais complexa do que a original; use as expressões u=x e dv=ex dx e o problema se resolve facilmente. Então:

e dx e vdx	du
dx e dv	x u

()C1e

C x.edx e-e x.dx e . x x+−=+−=∫∫=xe

2) Calcular a integral ∫dx x sen x Basta usar as expressões u=x e dv = sen x dx

xcos vdx	du
dx x sen dv	x u

Csen x.cos- dx x cos- xcos x.- dx x sen . x +−=∫∫=x 3) Calcular a integral ∫dx e x3x2

Apostila de Cálculo I

Use as expressões dx e dv e

x u3x2

9 ==; neste caso a integral subsequente deverá ser calculada aplicando-se novamente a fórmula de integração por partes.

3x3x 3x2

1 dx e vdx	2x du
dx e dv	x u

dxex 3

1 . xdx 2x e

Reaplica-se o método na integral do último termo dxex 3x∫:

3x3x3x e

1 dx e vdx	du
dx e dv	x u

3x3x3x3x3xe 9

. xdx

e

A integral inicial fica:

C e 27

Exercícios: Calcular as integrais:

1) ∫dx x cos x.

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2) Método da Integração por Substituições Trigonométricas

Se o integrando contém expressões das formas

()()()n22n22n22xa ou ax xa+−−, tente fazer substituições imediatas (do tipo u=a2-x2 , u=x2-a2 ou u=a2+x2), que serão úteis desde que hajam outros termos no integrando que simplifiquem a nova integral. Se não for este o caso, proceda da seguinte forma para realizar uma substituição trigonométrica:

a) Desenhe um triângulo retângulo.

b) Identifique a hipotenusa e os dois catetos do triângulo retângulo; lembrese de que um dos lados do triângulo deverá representar uma das expressões

c) Use as definições das funções trigonométricas e obtenha a substituição correspondente.

Temos os seguintes tipos de substituições:

Apostila de Cálculo I

(a) Se no integrando aparece a expressão ()n22xa−, use a substituição:

dθ θ c adx , θ sen a x os== e ()θ cos axa22 =−.

Substituição trigonométrica: dθ θ c adx , θ sen a x os== e ()θ cos axa22 =−.

(b) Se no integrando aparece a expressão()n22ax −, use a substituição dθ θ tg θsec adx , θsec a x == e ()θ tg a ax

Substituição trigonométrica: dθ θ tg θsec adx , θsec a x == e()θ tg a ax 2 =−

(c) Se no integrando aparece a expressão ()n22xa +, use a substituição dθ θ sec adx , θ tg a x 2 == e ()θsec a xa 2=+.

Substituição trigonométrica: dθ θ sec adx , θ tg a x 2 == e ()θsec a xa 2 =+

Apostila de Cálculo I

Não há necessidade de memorizar todas estas substituições; basta desenhar o triângulo apropriado e ler as expressões correspondentes na figura.

Resolvidos

1) Calcular a integral ()dx x16x 1

cosθ 4 x-16 e dθ θ cos 4 dx

com , θ sen 4 x 2

Faz-se a substituição ===

θ cotg16 θcossec 16

1 dθ

1 dθ θ cos 4.

θ cos 4 . θsen 16. 1 dx

Voltando a variável original ()

2) Calcular a integral dx

θsec 2 x4 e dθ θ sec 2 dx	com , θ tg 2 x 2=+==.
C tgθ secθ ln dθ θsec	dθ θ sec 2

Faz- se a substituição θsec 2 1 dx

C

Voltando a variável original 2x2 x4 ln dx

3) Calcular a integral dx

Faz-se a substituição θ tg 3 9x e dθ θ tg θsec 3 dx com , θsec 3 x 2=+==.

Apostila de Cálculo I

θ 3tgθ 3 dθ3 dθ θsec 3 dθ 1θsec 3 dθ θtg 3 dθ tgθ secθ 3 θsec 3 θ tg 3 dx x

Voltando a variável original C

3 xarcsen39x dx x

Exercícios: Calcular as integrais:

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4) Método de Integração: Decomposição em Frações Parciais

Apresenta-se uma seqüência de passos que se usam para calcular integrais de funções racionais da forma p(x)/q(x) onde p e q são polinômios em x e o grau de p é estritamente menor do que o grau de q (funções racionais próprias). A técnica de integração de funções racionais por fatoração em frações parciais é dividida em dois casos: linear e quadrático.

Caso linear

Trata-se do caso em que o denominador é fatorável em diferentes fatores lineares (repetidos ou não).

Consideremos a integral dx

1) Reduza as funções racionais impróprias a frações próprias através de divisão. Por

exemplo, a função racional x8 - x2 - x

23 é imprópria, pois o grau do numerador é igual ao grau do denominador. Fazemos então a divisão e obtemos

23 += . A integral transforma-se em

Concentramo-nos agora na fração própria, que está preparada para ser fatorada em frações parciais.

2) Fatore o denominador. No caso presente, o denominador fatora-se como x3-2x2 -

3) Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas

através de frações parciais. No caso da função racional x8 - x2 - x escrever

++=. Usando algum método para resolver

esta equação (por exemplo, calculando a soma das parcelas do lado direito e

Apostila de Cálculo I resolvendo o sistema de equações lineares que se obtém igualando termos de mesmo grau), obtemos A=2, B=-8/3 e C=14/3.

4) Se o denominador de uma função racional básica é da forma (ax+b), use a substituição u=(ax+b). Neste exemplo, temos

dx 2x

2 dx 5 dx resolve facilmente usando as substituições indicadas para cada parcela.

5) Se o denominador possui fatores lineares repetidos da forma (ax+b)k , use k frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral

++ usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma

B 1xBx A

++ . Resolvendo esta equação, obtemos A=2, B1=1,

B2=-1. Portanto, temos () dx 1xx

+∫ e esta última integral se resolve facilmente através de substituições indicadas (u=ax+b) para cada parcela.

Caso quadrático

Trata-se do caso em que o denominador não é fatorável apenas em fatores lineares; o denominador apresentará, portanto, termos quadráticos (repetidos ou não). Consideremos a integral

1) Reduza as funções racionais impróprias a frações próprias através de divisão. Neste exemplo, já partimos de uma função própria e esta etapa já está feita.

Apostila de Cálculo I

2) Fatore o denominador. No caso presente, o denominador se fatora como x3+x2+4x+4=x2(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x2+4). Observe que o fator x2+4 é irredutível (isto é, não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de grau 1 com coeficientes reais).

3) Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas. Devemos escrever a função racional dada na forma

B A x 4 x 4 x x . Resolvendo esta equação, encontramos A=3, B=0

e C=5. Dessa forma

4x3x 4 x 4 x

4) Finalmente podemos calcular a integral dx

3x dx 4 x 4 x fazendo substituições imediatas.

5) Se o denominador possui fatores quadráticos repetidos da forma (ax2+bx+c)k , use k frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral dx 1)(x

++ usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma

CxB 1x

CxB xA 1)(x

++ . Resolvendo esta equação, obtemos A=2,

+. Observe que a primeira e terceira parcelas podem ser feitas por substituições óbvias; porém a segunda parcela parece diferente.

Reescrevendo tudo desta forma: ()dx 1x problema se resolve facilmente.

Exercícios:

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Calcular as integrais:

3x2xx

913x4x

4xx 163x x6 x3

A Integral Definida

Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e tal que 0 (x) f≥ para todo []ba, x∈.

Apostila de Cálculo I

Vamos calcular a área da região compreendida entre o gráfico de f e o eixo x, para x variando em [ a, b].

conjunto de pontos {}bx,

,x,xaPn21,0===.

Para tanto, vamos considerar uma partição do intervalo [a,b], constituída pelo

Dessa maneira, ficam determinados n sub-intervalos, cada um deles da forma

[]i1-ix,x, sendo que o índice i varia de 1 até n, isto é, ni1≤≤. No caso de tomarmos as n divisões de [a,b] todas do mesmo tamanho, temos que cada um dos sub- intervalos terá comprimento 1-ix−=∆, para ni1≤≤.

Vamos considerar um ponto xi* em cada um dos sub-intervalos []i1-ix,x, obtendo um valor aproximado para a área da região, que é dado por:

Qualquer uma das somas i n é denominada soma de Riemann para a função

f, relativa à partição P e aos números xi, para -

Quando fazemos crescer indefinidamente o número de pontos da partição, isto é, fazemos ∞→n, obtemos:

i n

in x).(x flim∆∑

Apostila de Cálculo I

Definição: a integral definida da função f, sendo 0 (x) f≥ no intervalo [a,b], é igual ao limite da soma das áreas dos n retângulos, quando o número desses retângulos tende a infinito.

Nesse caso a integral fornece a área da região compreendida entre o eixo horizontal e o gráfico da função f, para x percorrendo o intervalo [a,b].

A integral definida verifica algumas propriedades:

Propriedade 1: Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então a função g f± é integrável em [a,b] e:

aab a dx (x) g dx (x) fdx (x) g (x) f.

Propriedade 2: Se k é uma constante e f é uma função integrável no intervalo [a,b], então a função k.f é integrável em [a,b] e :

. Propriedade 3: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e 0 (x) f≥ em [a,b] então .

Propriedade 4: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c é um ponto qualquer do intervalo [a,b], então :

Apostila de Cálculo I

Teorema Fundamental do Cálculo Integral

O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana

Teorema : Seja f uma função contínua no intervalo [a,b]. A função F, dada por a dt (t) f (x) F, é derivável em todos os pontos interiores ao intervalo ]a,b[ e sua derivada é dada por F'(x)=f (x).

O Teorema Fundamental do Cálculo nos permite facilmente calcular áreas pois, a partir dele, podemos mostrar que:

Se f é uma função contínua no intervalo [a,b], então ∫= ba

(a) G - (b) G dt t) ( f , onde G é uma qualquer primitiva de f, isto é, tal que G'=f.

Resolvidos Calcular as integrais definidas:

x dx x

0 dx x sen pipi

Apostila de Cálculo I

Exercícios: Calcular as integrais definidas:

7 dz

Apostila de Cálculo I

a b y = f (x)

a b f (x) g (x) x sen 3

pi

3dx2x cos .2x sen1

Aplicações da Integral Definida Cálculo de Áreas

Se f (x) é contínua e positiva no intervalo [a,b], então a área limitada por f (x), o eixo x e as retas x=a e x=b é dada por:

a dx (x) f A

[]ba, x , (x) g

(x) f∈∀≥, então a área

Se f (x) e g(x ) são contínuas em [a,b] com limitada por f (x) , g (x) , retas x=a e x=b é dada por:

a dx (x) g - (x) f A

Apostila de Cálculo I

a b f (x) g (x) c

No caso de no intervalo [a,b] a função f (x) nem sempre for maior que g(x), então:

bcc a dx (x) f - (x) g dx (x) g - (x) f A

Podemos ainda isolar x em cada uma das funções obtendo x = f (y) e x = g (y). Se (y) g (y) f≥no intervalo [ c,d ], então a área entre os gráficos de f (y), g (y) e as retas y = c e y = d será:

c dy (y) g - (y) f A

Resolvidos

1) Obter a área limitada pelas curvas x ye xy2 ==.

a) esboçar a região, designando por y = f (x) a fronteira superior e por y = g (x) a fronteira inferior. Achar o valor x = a e o valor x = b dos pontos de intersecção das regiões. Nessa caso a=0 e b=1.

Apostila de Cálculo I b) esboçar um retângulo vertical típico e designar por dx a largura. 1) Expressar a área do retângulo como [ f (x)- g (x)]. dx . Nesse caso a área

2) Obter o valor da área através do cálculo da integral:

2 3xdx x dx x A10

2) Achar a área limitada pelas curvas 0 3- x 2 y e 6 xy 2=+=+ pontos de intersecção ==

3) Obter a área limitada pelas curvas x ye

4x y22

pontos de intersecção ==

Apostila de Cálculo I

Exercícios:

1) Calcular a área limitada pelos gráficos das funções 2y- xe 1 xy 2=+=e as retas x=-2 e x=2.

2) Calcular a área limitada pelo gráfico das funções x4-2x )(x g

e 2xf(x)2

3) Encontre a área da região limitada pela curva 6 x 5 x2 xy 23+−−= , o eixo x e as retas x = -1 e x = 2.

Cálculo de Volumes de Rotação

Uma área ao girar em torno de um eixo gera um sólido de revolução de volume V.

a) Giro em torno do eixo x

Seja f (x) contínua em [ a,b ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de x= a, de x=b e do eixo dos x é dado por:

Apostila de Cálculo I

[]dx (x) f V b

b) Giro em torno do eixo y

Seja f (y) contínua em [ c,d ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de y= c, de y=d e do eixo dos y é dado por

[]dy (y) f V d

c) Giro em torno do eixo x, com a área não apoiada no eixo x.

Seja uma região limitada pelos gráficos de x=a, x=b e pelos gráficos de duas funções contínuas f e g , com 0 (x) g (x) f≥≥ para todo x em [ a,b ]. Fazendo-se essa área girar em torno do eixo x, obtém-se um sólido cujo volume é dado por:

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