Cálculo II - apostila em pdf

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(Parte 1 de 6)

Apostila de Cálculo I 1

Apostila de Cálculo I

Antiderivada e Integral Indefinida

Uma antiderivada ou primitiva da função f no intervalo []b,a, é uma função F, tal que:

dF = para todo x[]ba,∈

Notação de Leibniz:

Outra notação empregada para designar a operação de primitivação de uma função f , no intervalo []ba, é ∫, notação de Leibniz.

O símbolo ∫( esse alongado de soma ), é o sinal da integral.

Exemplo: Se a derivada em relação a x da função f (x) = x2+4 é

df202)()('=+===,
então:Uma primitiva de

xxxfDxxfdx x2dx

= éf(x) = x2

outra primitiva é f(x) = x2 – 2 , outra primitiva é f(x) = x2 + 3 ,

Apostila de Cálculo I

Assim, a função
+ Cé primitiva

3 f ( x ) = x2 de f (x) = x2 + 4, onde C é uma constante arbitrária, chamada constante de integração. Variando o valor de C, obtém-se uma infinidade de primitivas.

A integral ∫+=C)x(fdx)x('f , é chamada integral indefinida e representa uma família de primitivas. No caso, f(x) = x2 + C é uma família de parábolas.

Numa família de curvas, os seus gráficos diferem entre si apenas por uma translação vertical .

Significado geométrico da constante de integração “C “:

Geometricamente: a constante de integração “C”, representa a ordenada do ponto onde a curva corta o eixo 0y.

y y = f (x ) + C1

Apostila de Cálculo I

∫∫ℜ∈=Condedx,f(x)Cf(x)dxC;

Propriedades da integral indefinida:

[ ] ∫ ∫±=∫ ± dxg(x)dxf(x)dxg(x)f(x) Tabela das integrais indefinidas fundamentais:

Definição: Seja I ⊂ R; a função G é uma primitiva de ƒƒƒƒ em I , se e somente se:

Gxd∈∀=
3∫+=Cadualnauu
4Csenuduucos+=∫
5∫+−=Cucosdusenu
6Cutgduusec2+=∫
7∫+−=Cugcotduueccos2
8Cusecduutg.usec+=∫
9∫+−=Cuseccosduugcot.useccos

10 CucosarcCusenarc ou

CucosCusen

1 CugcotarcCutgarc

CugcotCutg

Apostila de Cálculo I

Obs: f -1 (x) indica função inversa de f (x).

1) Integração por Mudança de Diferencial

As fórmulas para integrais indefinidas tem objetivo limitado, pois não se pode usá-las diretamente para calcular integrais como por exemplo dx 1x∫+. Pode-se usar o seguinte artifício para resolvê-la: Seja u= x+1. Logo du=dx e com a mudança de variável fica-se comC 2

3u u

21 +=∫. Voltando a variável inicial

Após fazer a substituição u = g (x) pode ser necessário inserir um fator constante k no integrando para se obter uma forma adequada ∫du f(u). Deve-se multiplicar por k 1 para manter a igualdade.

Exercício Resolvido:

Seja u= 5x + 7e du= 5 dx . Como du contém o fator 5, a integral a

Calcular dx 75x∫+ resolver não está na forma ∫du f(u). Pode-se fazer então

dx 57 x 5.
1 dx5

=∫. Voltando a variável original ()C75x

Apostila de Cálculo I

Exercícios: Calcular as integrais: 1) ∫dx4x cos

x x cos∫

2x cos 4x sen∫

4x sen .4x tg1∫

2) Integração por Substituição Algébrica

Este método consiste em substituir uma expressão por uma variável, com a finalidade de eliminar um radical, eliminar adições e subtrações do denominador, etc. O problema é resolvido na nova variável.

Exercício Resolvido:

Apostila de Cálculo I

Calcular a integral I = dx 23x9x∫ −

Fazendo

3 dtdx3

ctln2tt dt2dttt3dtt

Voltando para a variável x:

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