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Cálculo II - apostila em pdf
(Parte 1 de 2)
Apostila de Cálculo I 1

Apostila de Cálculo I
Antiderivada e Integral Indefinida
Uma antiderivada ou primitiva da função f no intervalo []b,a, é uma função F, tal que:
dF = para todo x[]ba,∈

Notação de Leibniz:
Outra notação empregada para designar a operação de primitivação de uma função f , no intervalo []ba, é ∫, notação de Leibniz.
O símbolo ∫( esse alongado de soma ), é o sinal da integral.

Exemplo: Se a derivada em relação a x da função f (x) = x2+4 é
df202)()('=+===, | |
então: | Uma primitiva de |
xxxfDxxfdx x2dx
= é | f(x) = x2 |
outra primitiva é f(x) = x2 – 2 , outra primitiva é f(x) = x2 + 3 ,
Apostila de Cálculo I
Assim, a função |
+ C | é primitiva |
3 f ( x ) = x2 de f (x) = x2 + 4, onde C é uma constante arbitrária, chamada constante de integração. Variando o valor de C, obtém-se uma infinidade de primitivas.
A integral ∫+=C)x(fdx)x('f , é chamada integral indefinida e representa uma família de primitivas. No caso, f(x) = x2 + C é uma família de parábolas.
Numa família de curvas, os seus gráficos diferem entre si apenas por uma translação vertical .
Significado geométrico da constante de integração “C “:
Geometricamente: a constante de integração “C”, representa a ordenada do ponto onde a curva corta o eixo 0y.
y y = f (x ) + C1
Apostila de Cálculo I
∫∫ℜ∈=Condedx,f(x)Cf(x)dxC | ; |
Propriedades da integral indefinida:
[ ] ∫ ∫±=∫ ± dxg(x)dxf(x)dxg(x)f(x) Tabela das integrais indefinidas fundamentais:
Definição: Seja I ⊂ R; a função G é uma primitiva de ƒƒƒƒ em I , se e somente se:
Gxd∈∀= |
3 | ∫+=Cadualnauu |
4 | Csenuduucos+=∫ |
5 | ∫+−=Cucosdusenu |
6 | Cutgduusec2+=∫ |
7 | ∫+−=Cugcotduueccos2 |
8 | Cusecduutg.usec+=∫ |
9 | ∫+−=Cuseccosduugcot.useccos |
10 CucosarcCusenarc ou
CucosCusen
1 CugcotarcCutgarc
CugcotCutg
Apostila de Cálculo I
Obs: f -1 (x) indica função inversa de f (x).
1) Integração por Mudança de Diferencial
As fórmulas para integrais indefinidas tem objetivo limitado, pois não se pode usá-las diretamente para calcular integrais como por exemplo dx 1x∫+. Pode-se usar o seguinte artifício para resolvê-la: Seja u= x+1. Logo du=dx e com a mudança de variável fica-se comC 2
3u u
21 +=∫. Voltando a variável inicial
Após fazer a substituição u = g (x) pode ser necessário inserir um fator constante k no integrando para se obter uma forma adequada ∫du f(u). Deve-se multiplicar por k 1 para manter a igualdade.
Exercício Resolvido:
Seja u= 5x + 7 | e du= 5 dx . Como du contém o fator 5, a integral a |
Calcular dx 75x∫+ resolver não está na forma ∫du f(u). Pode-se fazer então
dx 5 | 7 x 5. |
1 dx | 5 |
=∫. Voltando a variável original ()C75x
Apostila de Cálculo I
Exercícios: Calcular as integrais: 1) ∫dx4x cos
x x cos∫
2x cos 4x sen∫
4x sen .4x tg1∫
2) Integração por Substituição Algébrica
Este método consiste em substituir uma expressão por uma variável, com a finalidade de eliminar um radical, eliminar adições e subtrações do denominador, etc. O problema é resolvido na nova variável.
Exercício Resolvido:
Apostila de Cálculo I
Calcular a integral I = dx 23x9x∫ −
Fazendo
3 dtdx3
ctln2tt dt2dttt3dtt
Voltando para a variável x:
I = dx
1) Método da Integração por Partes Sejam u e v duas funções de x. Da fórmula da derivada do produto, tem-se que:
du v - (u.v) d dv u du v - u.v) ( d dv u du v dv u d(u.v)
Esta técnica de integração consiste em substituir a integral que se deseja calcular por outra integral, de preferência mais simples do que a integral original. A primeira coisa a ser feita na aplicação desta fórmula é a escolha para os termos u e dv, que deve seguir os seguintes critérios.
a) Você deve ser capaz de calcular a integral ∫dv para encontrar a expressão de v.
Se não conseguir calcular esta integral, faça outra escolha para u e dv.
Apostila de Cálculo I b) Você deverá obter uma integral ∫du vque seja mais simples ou pelo menos semelhante à integral original; afinal de contas, esta é a integral que você efetivamente calculará. Em geral, a integral ∫du vserá mais simples quando a expressão u é simplificada pela diferenciação.
Exemplos:
1) Calcular a integral ∫dx ex x .
Não use as expressões u=ex e dv=xdx, pois a nova integral torna-se mais complexa do que a original; use as expressões u=x e dv=ex dx e o problema se resolve facilmente. Então:
e dx e vdx | du |
dx e dv | x u |
()C1e | C x.edx e-e x.dx e . x x+−=+−=∫∫=xe |
2) Calcular a integral ∫dx x sen x Basta usar as expressões u=x e dv = sen x dx
xcos vdx | du |
dx x sen dv | x u |
Csen x.cos- dx x cos- xcos x.- dx x sen . x +−=∫∫=x 3) Calcular a integral ∫dx e x3x2
Apostila de Cálculo I
Use as expressões dx e dv e | x u3x2 |
9 ==; neste caso a integral subsequente deverá ser calculada aplicando-se novamente a fórmula de integração por partes.
3x3x 3x2
1 dx e vdx | 2x du |
dx e dv | x u |
dxex 3
1 . xdx 2x e
Reaplica-se o método na integral do último termo dxex 3x∫:
3x3x3x e
1 dx e vdx | du |
dx e dv | x u |
3x3x3x3x3xe 9
. xdx | e |
A integral inicial fica:
C e 27
Exercícios: Calcular as integrais:
1) ∫dx x cos x.
Apostila de Cálculo I
2) Método da Integração por Substituições Trigonométricas
Se o integrando contém expressões das formas
()()()n22n22n22xa ou ax xa+−−, tente fazer substituições imediatas (do tipo u=a2-x2 , u=x2-a2 ou u=a2+x2), que serão úteis desde que hajam outros termos no integrando que simplifiquem a nova integral. Se não for este o caso, proceda da seguinte forma para realizar uma substituição trigonométrica:
a) Desenhe um triângulo retângulo.
b) Identifique a hipotenusa e os dois catetos do triângulo retângulo; lembrese de que um dos lados do triângulo deverá representar uma das expressões
c) Use as definições das funções trigonométricas e obtenha a substituição correspondente.
Temos os seguintes tipos de substituições:
Apostila de Cálculo I
(a) Se no integrando aparece a expressão ()n22xa−, use a substituição:
dθ θ c adx , θ sen a x os== e ()θ cos axa22 =−.
Substituição trigonométrica: dθ θ c adx , θ sen a x os== e ()θ cos axa22 =−.
(b) Se no integrando aparece a expressão()n22ax −, use a substituição dθ θ tg θsec adx , θsec a x == e ()θ tg a ax
Substituição trigonométrica: dθ θ tg θsec adx , θsec a x == e()θ tg a ax 2 =−
(c) Se no integrando aparece a expressão ()n22xa +, use a substituição dθ θ sec adx , θ tg a x 2 == e ()θsec a xa 2=+.
Substituição trigonométrica: dθ θ sec adx , θ tg a x 2 == e ()θsec a xa 2 =+
Apostila de Cálculo I
Não há necessidade de memorizar todas estas substituições; basta desenhar o triângulo apropriado e ler as expressões correspondentes na figura.
Resolvidos
1) Calcular a integral ()dx x16x 1
cosθ 4 x-16 e dθ θ cos 4 dx | com , θ sen 4 x 2 |
Faz-se a substituição ===
θ cotg16 θcossec 16
1 dθ
1 dθ θ cos 4.
θ cos 4 . θsen 16. 1 dx
Voltando a variável original ()
2) Calcular a integral dx
θsec 2 x4 e dθ θ sec 2 dx | com , θ tg 2 x 2=+==. |
C tgθ secθ ln dθ θsec | dθ θ sec 2 |
Faz- se a substituição θsec 2 1 dx
C |
Voltando a variável original 2x2 x4 ln dx
3) Calcular a integral dx
Faz-se a substituição θ tg 3 9x e dθ θ tg θsec 3 dx com , θsec 3 x 2=+==.
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θ 3tgθ 3 dθ3 dθ θsec 3 dθ 1θsec 3 dθ θtg 3 dθ tgθ secθ 3 θsec 3 θ tg 3 dx x
Voltando a variável original C
3 xarcsen39x dx x
Exercícios: Calcular as integrais:
Apostila de Cálculo I
4) Método de Integração: Decomposição em Frações Parciais
Apresenta-se uma seqüência de passos que se usam para calcular integrais de funções racionais da forma p(x)/q(x) onde p e q são polinômios em x e o grau de p é estritamente menor do que o grau de q (funções racionais próprias). A técnica de integração de funções racionais por fatoração em frações parciais é dividida em dois casos: linear e quadrático.
Caso linear
Trata-se do caso em que o denominador é fatorável em diferentes fatores lineares (repetidos ou não).
Consideremos a integral dx
1) Reduza as funções racionais impróprias a frações próprias através de divisão. Por
exemplo, a função racional x8 - x2 - x
23 é imprópria, pois o grau do numerador é igual ao grau do denominador. Fazemos então a divisão e obtemos
23 += . A integral transforma-se em
Concentramo-nos agora na fração própria, que está preparada para ser fatorada em frações parciais.
2) Fatore o denominador. No caso presente, o denominador fatora-se como x3-2x2 -
3) Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas
através de frações parciais. No caso da função racional x8 - x2 - x escrever
++=. Usando algum método para resolver
esta equação (por exemplo, calculando a soma das parcelas do lado direito e
Apostila de Cálculo I resolvendo o sistema de equações lineares que se obtém igualando termos de mesmo grau), obtemos A=2, B=-8/3 e C=14/3.
4) Se o denominador de uma função racional básica é da forma (ax+b), use a substituição u=(ax+b). Neste exemplo, temos
dx 2x
2 dx 5 dx resolve facilmente usando as substituições indicadas para cada parcela.
5) Se o denominador possui fatores lineares repetidos da forma (ax+b)k , use k frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral
++ usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma
B 1xBx A
++ . Resolvendo esta equação, obtemos A=2, B1=1,
B2=-1. Portanto, temos () dx 1xx
+∫ e esta última integral se resolve facilmente através de substituições indicadas (u=ax+b) para cada parcela.
Caso quadrático
Trata-se do caso em que o denominador não é fatorável apenas em fatores lineares; o denominador apresentará, portanto, termos quadráticos (repetidos ou não). Consideremos a integral
1) Reduza as funções racionais impróprias a frações próprias através de divisão. Neste exemplo, já partimos de uma função própria e esta etapa já está feita.
Apostila de Cálculo I
2) Fatore o denominador. No caso presente, o denominador se fatora como x3+x2+4x+4=x2(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x2+4). Observe que o fator x2+4 é irredutível (isto é, não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de grau 1 com coeficientes reais).
3) Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas. Devemos escrever a função racional dada na forma
B A x 4 x 4 x x . Resolvendo esta equação, encontramos A=3, B=0
e C=5. Dessa forma
4x3x 4 x 4 x
4) Finalmente podemos calcular a integral dx
3x dx 4 x 4 x fazendo substituições imediatas.
5) Se o denominador possui fatores quadráticos repetidos da forma (ax2+bx+c)k , use k frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral dx 1)(x
++ usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma
CxB 1x
CxB xA 1)(x
++ . Resolvendo esta equação, obtemos A=2,
+. Observe que a primeira e terceira parcelas podem ser feitas por substituições óbvias; porém a segunda parcela parece diferente.
Reescrevendo tudo desta forma: ()dx 1x problema se resolve facilmente.
Exercícios:
Apostila de Cálculo I
Calcular as integrais:
3x2xx
913x4x
4xx 163x x6 x3
A Integral Definida
Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e tal que 0 (x) f≥ para todo []ba, x∈.
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Vamos calcular a área da região compreendida entre o gráfico de f e o eixo x, para x variando em [ a, b].
conjunto de pontos {}bx, | ,x,xaPn21,0===. |
Para tanto, vamos considerar uma partição do intervalo [a,b], constituída pelo
Dessa maneira, ficam determinados n sub-intervalos, cada um deles da forma
[]i1-ix,x, sendo que o índice i varia de 1 até n, isto é, ni1≤≤. No caso de tomarmos as n divisões de [a,b] todas do mesmo tamanho, temos que cada um dos sub- intervalos terá comprimento 1-ix−=∆, para ni1≤≤.
Vamos considerar um ponto xi* em cada um dos sub-intervalos []i1-ix,x, obtendo um valor aproximado para a área da região, que é dado por:
Qualquer uma das somas i n é denominada soma de Riemann para a função
f, relativa à partição P e aos números xi, para -
Quando fazemos crescer indefinidamente o número de pontos da partição, isto é, fazemos ∞→n, obtemos:
i n
in x).(x flim∆∑
Apostila de Cálculo I
Definição: a integral definida da função f, sendo 0 (x) f≥ no intervalo [a,b], é igual ao limite da soma das áreas dos n retângulos, quando o número desses retângulos tende a infinito.
Nesse caso a integral fornece a área da região compreendida entre o eixo horizontal e o gráfico da função f, para x percorrendo o intervalo [a,b].
A integral definida verifica algumas propriedades:
Propriedade 1: Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então a função g f± é integrável em [a,b] e:
aab a dx (x) g dx (x) fdx (x) g (x) f.
Propriedade 2: Se k é uma constante e f é uma função integrável no intervalo [a,b], então a função k.f é integrável em [a,b] e :
. Propriedade 3: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e 0 (x) f≥ em [a,b] então .
Propriedade 4: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c é um ponto qualquer do intervalo [a,b], então :
Apostila de Cálculo I
Teorema Fundamental do Cálculo Integral
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana
Teorema : Seja f uma função contínua no intervalo [a,b]. A função F, dada por a dt (t) f (x) F, é derivável em todos os pontos interiores ao intervalo ]a,b[ e sua derivada é dada por F'(x)=f (x).
O Teorema Fundamental do Cálculo nos permite facilmente calcular áreas pois, a partir dele, podemos mostrar que:
Se f é uma função contínua no intervalo [a,b], então ∫= ba
(a) G - (b) G dt t) ( f , onde G é uma qualquer primitiva de f, isto é, tal que G'=f.
Resolvidos Calcular as integrais definidas:
x dx x
0 dx x sen pipi
Apostila de Cálculo I
Exercícios: Calcular as integrais definidas:
7 dz
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a b y = f (x)
a b f (x) g (x) x sen 3
pi
3dx2x cos .2x sen1
Aplicações da Integral Definida Cálculo de Áreas
Se f (x) é contínua e positiva no intervalo [a,b], então a área limitada por f (x), o eixo x e as retas x=a e x=b é dada por:
a dx (x) f A
[]ba, x , (x) g | (x) f∈∀≥, então a área |
Se f (x) e g(x ) são contínuas em [a,b] com limitada por f (x) , g (x) , retas x=a e x=b é dada por:
a dx (x) g - (x) f A
Apostila de Cálculo I
a b f (x) g (x) c
No caso de no intervalo [a,b] a função f (x) nem sempre for maior que g(x), então:
bcc a dx (x) f - (x) g dx (x) g - (x) f A
Podemos ainda isolar x em cada uma das funções obtendo x = f (y) e x = g (y). Se (y) g (y) f≥no intervalo [ c,d ], então a área entre os gráficos de f (y), g (y) e as retas y = c e y = d será:
c dy (y) g - (y) f A
Resolvidos
1) Obter a área limitada pelas curvas x ye xy2 ==.
a) esboçar a região, designando por y = f (x) a fronteira superior e por y = g (x) a fronteira inferior. Achar o valor x = a e o valor x = b dos pontos de intersecção das regiões. Nessa caso a=0 e b=1.
Apostila de Cálculo I b) esboçar um retângulo vertical típico e designar por dx a largura. 1) Expressar a área do retângulo como [ f (x)- g (x)]. dx . Nesse caso a área
2) Obter o valor da área através do cálculo da integral:
2 3xdx x dx x A10
2) Achar a área limitada pelas curvas 0 3- x 2 y e 6 xy 2=+=+ pontos de intersecção ==
3) Obter a área limitada pelas curvas x ye | 4x y22 |
pontos de intersecção ==
Apostila de Cálculo I
Exercícios:
1) Calcular a área limitada pelos gráficos das funções 2y- xe 1 xy 2=+=e as retas x=-2 e x=2.
2) Calcular a área limitada pelo gráfico das funções x4-2x )(x g | e 2xf(x)2 |
3) Encontre a área da região limitada pela curva 6 x 5 x2 xy 23+−−= , o eixo x e as retas x = -1 e x = 2.
Cálculo de Volumes de Rotação
Uma área ao girar em torno de um eixo gera um sólido de revolução de volume V.
a) Giro em torno do eixo x
Seja f (x) contínua em [ a,b ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de x= a, de x=b e do eixo dos x é dado por:
Apostila de Cálculo I
[]dx (x) f V b
b) Giro em torno do eixo y
Seja f (y) contínua em [ c,d ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de y= c, de y=d e do eixo dos y é dado por
[]dy (y) f V d
c) Giro em torno do eixo x, com a área não apoiada no eixo x.
Seja uma região limitada pelos gráficos de x=a, x=b e pelos gráficos de duas funções contínuas f e g , com 0 (x) g (x) f≥≥ para todo x em [ a,b ]. Fazendo-se essa área girar em torno do eixo x, obtém-se um sólido cujo volume é dado por:
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